4.cd tich phan_in

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI ĐẠI HỌC 0913.430 999Email: [email protected]

Chuyên đề

TÍCH PHÂN I. ĐỔI BIẾN SỐ

1. Đổi biến số dạng 2 2. Đổi biến số dạng 1 3. Các dạng đặc biệt

3.1. Dạng lượng giác 3.2. Dạng liên kết 3.3. Các kết quả cần nhớ

II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1. Công thức 2. Phương pháp giải toán

III. TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP 1. Tích phân hàm số phân thức

2. Tích phân các hàm lượng giác

2.1.Dạng 1: Biến đổi về tích phân cơ bản

2.2.Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác

3.Tích phân hàm vô tỉ

3.1 .Dạng 1: Biến đổi về tích phân vô tỉ cơ bản

3.2.Dạng 2: Biến đổi làm mất căn

4.Tích phân hàm chứa trị tuyệt đối

4.1 .Dạng 1:

4.2. Dạng 2

4.3. Dạng 3 IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Phương pháp giải toán

1. Dạng 1 2. Dạng 2 3. Dạng 3 4. Dạng 4 (tham khảo)

V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Diện tích hình thang cong 2. Diện tích hình phẳng

B. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY 1. Trường hợp 1. 2. Trường hợp 2. 3. Trường hợp 3. 4. Trường hợp 4.

VI. TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP

Trang 2


CÔNG THỨC

Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của những

hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của những hàm số

thường gặp Nguyên hàm của những

hàm số hợp Cxdx

11

1

Cxdxx

0ln xCxx

dx

Cedxe xx

10ln

aCa

adxax

x

Cxxdx sincos

Cxxdx cossin

Cxdxx

tancos

12

Cxdxx

cotsin

12

Cbaxa

baxd 1

11

1 1

Cbax

adxbax

0ln1

xCbaxabax

dx

Cea

dxe baxbax 1

Cbaxa

dxbax sin1cos

Cbaxa

dxbax cos1sin

Cbax

adx

bax

tan1cos

12

Cbax

adx

bax

cot1sin

12

Cudu

11

1

Cuduu

0ln uCuudu

Cedue uu

10ln

aCa

adxau

u

Cuudu sincos

Cuudu cossin

Cuduu

tancos

12

Cuduu

cotsin

12

I. ĐỔI BIẾN SỐ

1. Đổi biến số dạng 2

Để tính tích phân b

/

a

f[u(x)]u (x)dx ta thực hiện các bước sau:

Bước 1. Đặt t = u(x) và tính /dt u (x)dx . Bước 2. Đổi cận: x a t u(a) , x b t u(b) .

Bước 3. b

/

a

f[u(x)]u (x)dx f(t)dt

.

Ví dụ 7. Tính tích phân

2e

e

dxI

x ln x .

Giải

Đặt dx

t ln x dtx

2x e t 1, x e t 2 2

21

1

dtI ln t ln 2

t .

Vậy I ln 2 .

Ví dụ 8. Tính tích phân 4

30

cos xI dx

(sin x cos x)

.

Hướng dẫn:

Trang 3


4 4

3 3 20 0

cos x 1 dxI dx .

(sin x cos x) (tan x 1) cos x

. Đặt t tan x 1

ĐS: 3

I8

.


12

dxI

(1 x) 2x 3

.

Hướng dẫn: Đặt t 2x 3

ĐS: 3

I ln2

.


0

3 xI dx

1 x

.

Hướng dẫn:

Đặt 3 2

2 21

3 x t dtt 8

1 x (t 1)

; đặt t tan u

ĐS: I 3 23

.

Chú ý:

Phân tích 1

0

3 xI dx

1 x

, rồi đặt t 1 x sẽ tính nhanh hơn.

2. Đổi biến số dạng 1

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính ( )b

a

f x dx ta thực hiện các bước sau:

Bước 1. Đặt x = u(t) và tính / ( )dx u t dt . Bước 2. Đổi cận: , x a t x b t .

Bước 3. /( ) [ ( )] ( ) ( )b

a

f x dx f u t u t dt g t dt

.


12

20

1I dx

1 x

.

Giải

Đặt x sin t, t ; dx cos tdt2 2

1x 0 t 0, x t

2 6

6 6

20 0

cos t cos tI dt dt

cos t1 sin t

6

60

0

dt t 06 6

.

Vậy I6

.


2

0

I 4 x dx .

Hướng dẫn:

Trang 4


Đặt x 2 sin t ĐS: I .


20

dxI

1 x

.

Giải

Đặt 2x tan t, t ; dx (tan x 1)dt2 2

x 0 t 0, x 1 t4

4 42

20 0

tan t 1I dt dt

41 tan t

.

Vậy I4

.

Ví dụ 4. Tính tích phân 3 1

20

dxI

x 2x 2

.

Hướng dẫn: 3 1 3 1

2 20 0

dx dxI

x 2x 2 1 (x 1)

.

Đặt x 1 tan t

ĐS: I12

.


20

dxI

4 x

.

ĐS: I2

.


20

dxI

x 2x 2

.

ĐS: I12

.

3. Các dạng đặc biệt 3.1. Dạng lượng giác

Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân 2

2 3

0

I cos x sin xdx

.

Hướng dẫn: Đặt t cos x

ĐS: 2

I15

.

Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân 2

5

0

I cos xdx

.

Hướng dẫn: Đặt t sin x

ĐS: 8

I15

.

Trang 5


Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân 2

4 2

0

I cos x sin xdx

.

Giải 2 2

4 2 2 2

0 0

1I cos x sin xdx cos x sin 2xdx

4

2 2

2

0 0

1 1(1 cos 4x)dx cos 2x sin 2xdx

16 4

2 22

0 0

1 1(1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x)

16 8

3 2

0

x 1 sin 2xsin 4x

16 64 24 32

.

Vậy I32

.


0

dxI

cos x sin x 1

.

Hướng dẫn:

Đặt x

t tan2

.

ĐS: I ln 2 .

Biểu diễn các hàm số LG theo tan2at :

2

2 2 22 1 2sin ; cos ; tan .

1 1 1t t ta a at t t

3.2. Dạng liên kết


xdxI

sin x 1

.

Giải Đặt x t dx dt

x 0 t , x t 0

0

0

( t)dt tI dt

sin( t) 1 sin t 1 sin t 1

0 0

dt dtI I

sin t 1 2 sin t 1

22

0 0

dt dttt t2 4 cossin cos 2 42 2

2 00

td

2 4 ttan

2 t 2 2 4cos

2 4

. Vậy I .

Tổng quát:

Trang 6


0 0

xf(sin x)dx f(sin x)dx2

.


2007 20070

sin xI dx

sin x cos x

.

Giải

Đặt x t dx dt2

x 0 t , x t 02 2

20070

2007 2007

2

sin t2I dx

sin t cos t2 2

2 2007

2007 20070

cos tdx J

sin t cos t

(1).

Mặt khác 2

0

I J dx2

(2). Từ (1) và (2) suy ra I

4

.

Tổng quát: 2 2n n

n n n n0 0

sin x cos xdx dx , n

sin x cos x sin x cos x 4

.


0

sin xI dx

sin x 3 cos x

và

6 2

0

cos xJ dx

sin x 3 cos x

.

Giải I 3J 1 3 (1).

6 6

0 0

dx 1 dxI J dx

2sin x 3 cos x sin x3

Đặt t x dt dx3

1

I J ln 34

(2).

Từ (1) và (2)3 1 3 1 1 3

I ln 3 , J ln 316 4 16 4

.


20

ln(1 x)I dx

1 x

.

Giải Đặt 2x tan t dx (1 tan t)dt

x 0 t 0, x 1 t4

4 4

2

20 0

ln(1 tan t)I 1 tan t dt ln(1 tan t)dt

1 tan t

.

Đặt t u dt du4

t 0 u , t u 04 4

Trang 7


04

0

4

I ln(1 tan t)dt ln 1 tan u du4

4 4

0 0

1 tan u 2ln 1 du ln du

1 tan u 1 tan u

4 4

0 0

ln 2du ln 1 tan u du ln2 I4

.

Vậy I ln 28

.


x

4

cos xI dx

2007 1

.

Hướng dẫn: Đặt x t

ĐS: 2

I2

.

Tổng quát:

Với a > 0 , 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn ; thì

x0

f(x)dx f(x)dx

a 1

.

Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên và thỏa f( x) 2f(x) cos x .Tính tích phân

2

2

I f(x)dx

. GiảiĐặt 2

2

J f( x)dx

, x t dx dt

x t , x t2 2 2 2

2 2

2 2

I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx

2 2

02

cos xdx 2 cos xdx 2

.Vậy 2

I3

.

3.3. Các kết quả cần nhớ

i/ Với a > 0 , hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì a

a

f(x)dx 0

.

ii/ Với a > 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì a a

a 0

f(x)dx 2 f(x)dx

.

Trang 8


II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1. Công thức Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có

/ / / // /uv u v uv uv dx u vdx uv dx

b b b

a a a

d uv vdu udv d(uv) vdu udv

b b b b

b ba a

a a a a

uv vdu udv udv uv vdu .

Công thức: b b

ba

a a

udv uv vdu (1).

Công thức (1) còn được viết dưới dạng: b b

b/ /a

a a

f(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx (2).

2. Phương pháp giải toán

Giả sử cần tính tích phân b

a

f(x)g(x)dx ta thực hiện

Cách 1. Bước 1. Đặt u f(x), dv g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi

phân /du u (x)dx không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân b

a

vdu phải tính được.

Bước 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả. Đặc biệt:

i/ Nếu gặp b b b

ax

a a a

P(x) sin axdx, P(x)cos axdx, e .P(x)dx với P(x) là đa thức thì đặt

u P(x) .

ii/ Nếu gặp b

a

P(x) ln xdx thì đặt u ln x .

Cách 2.

Viết lại tích phân b b

/

a a

f(x)g(x)dx f(x)G (x)dx và sử dụng trực tiếp công thức (2).

* Cách đặt u, dv

( )b

x

a

P x e dx ( )lnb

a

P x xdx ( )cosb

a

P x xdx cosb

x

a

e xdx

u P(x) lnx P(x) xe

dv xe dx P(x)dx cosxdx cosxdx

Trang 9



x

0

I xe dx .

Giải

Đặt x x

u x du dx

dv e dx v e

(chọn C 0 )

1 111x x x x

0 00 0

xe dx xe e dx (x 1)e 1 .

Ví dụ 2. Tính tích phân e

1

I x ln xdx .

Giải

Đặt 2

dxduu ln x x

dv xdx xv

2

e ee2 2

11 1

x 1 e 1x ln xdx ln x xdx

2 2 4

.


x

0

I e sin xdx

.

Giải

Đặt x x

u sin x du cos xdx

dv e dx v e

2 2x x x2 2

0

0 0

I e sin xdx e sin x e cos xdx e J

.

Đặt x x

u cos x du sin xdx

dv e dx v e

2 2x x x2

0

0 0

J e cos xdx e cos x e sin xdx 1 I

22

e 1I e ( 1 I) I

2

.


2

4

0

I cos xdx

.

Hướng dẫn:

Đặt t x2

0

I 2 t cos tdt 2

.

Ví dụ 8. Tính tích phân e

1

I sin(ln x)dx . ĐS: (sin1 cos1)e 1

I2

.

Trang 10


IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Phương pháp giải toán 1. Dạng 1

Để chứng minh b

a

f(x)dx 0 (hoặc b

a

f(x)dx 0 ) ta chứng minh f(x) 0 (hoặc f(x) 0 )

với x a; b .

Ví dụ 14. Chứng minh 1

3 6

0

1 x dx 0 .

Giải

Với 1

3 36 6 6

0

x 0; 1 : x 1 1 x 0 1 x dx 0 .

2. Dạng 2

Để chứng minh b b

a a

f(x)dx g(x)dx ta chứng minh f(x) g(x) với x a; b .

Ví dụ 15. Chứng minh 2 2

10 110 0

dx dx1 sin x 1 sin x

.

Giải

Với 11 10x 0; : 0 sin x 1 0 sin x sin x2

10 1110 11

1 11 sin x 1 sin x 0

1 sin x 1 sin x

.

Vậy 2 2

10 110 0

dx dx1 sin x 1 sin x

.

3. Dạng 3


a

A f(x)dx B ta thực hiện các bước sau

Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được m f(x) M .

Bước 2. Lấy tích phân b

a

A m(b a) f(x)dx M(b a) B .


2

0

2 4 x dx 5 .

Giải Với 2 2x 0; 1 : 4 4 x 5 2 4 x 5 .

Vậy 1

2

0

2 4 x dx 5 .

Ví dụ 17. Chứng minh

34

2

4

dx4 23 2 sin x

.

Giải

Với 23 2 1x ; : sin x 1 sin x 1

4 4 2 2

Trang 11


2

2

1 11 3 2 sin x 2 1

2 3 2 sin x

34

2

4

1 3 dx 31

2 4 4 4 43 2 sin x

.

Vậy

34

2

4

dx4 23 2 sin x

.


4

3 cotx 1dx

12 x 3

.

Giải

Xét hàm số cotx

f(x) , x ; x 4 3

ta có

2/

2

xcotx

sin xf (x) 0 x ; 4 3x

f f(x) f x ; 3 4 4 3

3 cotx 4 x ;

x 4 3

3

4

3 cotx 4dx

3 4 x 3 4

.

Vậy 3

4

3 cotx 1dx

12 x 3

.

4. Dạng 4


a

A f(x)dx B (mà dạng 3 không làm được) ta thực hiện

Bước 1. Tìm hàm số g(x) sao cho

b

b

a

a

f(x) g(x) x a; b

f(x)dx Bg(x)dx B

.

Bước 2. Tìm hàm số h(x) sao cho

b

b

a

a

h(x) f(x) x a; b

A f(x)dxh(x)dx A

.

Ví dụ 19. Chứng minh

22

20070

2 dx2 41 x

.

Giải

Trang 12


Với 2007 22 1

x 0; : 0 x x2 2

2 2007

2007 2

1 1 11 x 1 x 1 1

2 1 x 1 x

2 2 22 2 2

2007 20 0 0

dx dxdx

1 x 1 x

.

Đặt x sin t dx cos tdt 2

x 0 t 0, x t2 4

22 4

20 0

dx cos tdtcos t 41 x

.

Vậy

22

20070

2 dx2 41 x

.


20

3 1 xdx 2 14 2x 2 1

.

Giải Với 2x 0; 1 : 2 1 x 2 1 3 1

2

x x x3 1 2 1x 2 1

1 1 1

20 0 0

xdx xdx xdx3 1 2 1x 2 1

.

Vậy 1

20

3 1 xdx 2 14 2x 2 1

.

V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Diện tích hình thang cong Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường

y f(x), x a, x b và trục hoành là b

a

S f(x) dx .

Phương pháp giải toán Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân b

a

f(x) dx .

Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y ln x, x 1, x e và Ox. Giải

Do ln x 0 x 1; e nên

e e

e1

1 1

S ln x dx ln xdx x ln x 1 1 .

Vậy S 1 (đvdt). Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 4x 3, x 0, x 3 và Ox.

Trang 13


Giải

Bảng xét dấu x 0 1 3 y – 0 + 0

1 3

2 2

0 1

S x 4x 3 dx x 4x 3 dx

1 33 32 2

0 1

x x 82x 3x 2x 3x

3 3 3

.

Vậy 8

S3

(đvdt).

2. Diện tích hình phẳng 2.1. Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y f(x), y g(x), x a, x b là b

a

S f(x) g(x) dx .

Phương pháp giải toán Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân b

a

f(x) g(x) dx .

2.2. Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y f(x), y g(x) là S f(x) g(x) dx

. Trong đó , là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất

của phương trình f(x) g(x) a b . Phương pháp giải toán Bước 1. Giải phương trình f(x) g(x) . Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x) trên đoạn ; .

Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f(x) g(x) dx

.

Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 2y x 11x 6, y 6x , x 0, x 2 .

Giải Đặt 3 2 3 2h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6

h(x) 0 x 1 x 2 x 3 (loại). Bảng xét dấu

x 0 1 2 h(x) – 0 + 0

1 2

3 2 3 2

0 1

S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx

1 24 2 4 23 3

0 1

x 11x x 11x 52x 6x 2x 6x

4 2 4 2 2

.

Vậy 5

S2

(đvdt).

Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 2y x 11x 6, y 6x .

Trang 14


Giải

Đặt 3 2 3 2h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6 h(x) 0 x 1 x 2 x 3 .

Bảng xét dấu x 1 2 3

h(x) 0 + 0 – 0

2 3

3 2 3 2

1 2

S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx

2 34 2 4 23 3

1 2

x 11x x 11x 12x 6x 2x 6x

4 2 4 2 2

. Vậy 1

S2

(đvdt).

Chú ý:Nếu trong đoạn ; phương trình f(x) g(x) không còn nghiệm nào nữa thì ta có thể

dùng công thức f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx

.

Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3y x , y 4x . Giải

Ta có 3x 4x x 2 x 0 x 2

0 2

3 3

2 0

S x 4x dx x 4x dx

0 24 4

2 2

2 0

x x2x 2x 8

4 4

.

Vậy S 8 (đvdt). Ví dụ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 4 x 3 và trục hoành.

Giải Ta có

2 2x 4 x 3 0 t 4t 3 0, t x 0 t 1 x 1 x 1

t 3 x 3 x 3

3 3

2 2

3 0

S x 4 x 3 dx 2 x 4x 3 dx

1 3

2 2

0 1

2 x 4x 3 dx x 4x 3 dx

1 33 32 2

0 1

x x 162 2x 3x 2x 3x

3 3 3

.

Vậy 16

S3

(đvdt).

Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 4x 3 và y x 3 . Giải

Phương trình hoành độ giao điểm 2x 4x 3 x 3

2

2

x 3 0x 0

x 4x 3 x 3x 5

x 4x 3 x 3

.

Bảng xét dấu x 0 1 3 5

2x 4x 3 + 0 – 0 +

Trang 15


1 3 5

2 2 2

0 1 3

S x 5x dx x 3x 6 dx x 5x dx

1 3 53 2 3 2 3 2

0 1 3

x 5x x 3x x 5x 1096x

3 2 3 2 3 2 6

.

Vậy 109

S6

(đvdt).

Ví dụ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 1 , y x 5 . Giải

Phương trình hoành độ giao điểm 2 2x 1 x 5 t 1 t 5, t x 0

2

2

t x 0t x 0

t 1 t 5 x 3t 3

t 1 t 5

3 3

2 2

3 0

S x 1 x 5 dx 2 x 1 x 5 dx

Bảng xét dấu

1 3

2 2

0 1

S 2 x x 4 dx x x 6 dx 1 33 2 3 2

0 1

x x x x 732 4x 6x

3 2 3 2 3

.Vậy 73

S3

(đvdt).

x 0 1 3 2x 1 – 0 +

Trang 16


B. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY 1. Trường hợp 1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x) 0 x a;b , y 0 ,

x a và x b (a b) quay quanh trục Ox là b

2

a

V f (x)dx .

Ví dụ 9. Tính thể tích hình cầu do hình tròn 2 2 2(C) : x y R quay quanh Ox. Giải

Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là 2 2x R x R . Phương trình 2 2 2 2 2 2(C) : x y R y R x

R R

2 2 2 2

R 0

V R x dx 2 R x dx

R3 32

0

x 4 R2 R x

3 3

.

Vậy 34 R

V3

(đvtt).

2. Trường hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x g(y) 0 y c;d , x 0 ,

y c và y d (c d) quay quanh trục Oy là d

2

c

V g (y)dy .

Ví dụ 10. Tính thể tích hình khối do ellipse 2 2

2 2

x y(E) : 1

a b quay quanh Oy.

Giải

Tung độ giao điểm của (E) và Oy là 2

2

y1 y b

b .

Phương trình 2 2 2 2

2 22 2 2

x y a y(E) : 1 x a

a b b

b b2 2 2 22 2

2 2b 0

a y a yV a dy 2 a dy

b b

R2 3 22

20

a y 4 a b2 a y

33b

.

Vậy 24 a b

V3

(đvtt).

3. Trường hợp 3. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x), y g(x) , x a và

x b (a b, f(x) 0,g(x) 0 x a; b ) quay quanh trục Ox là b

2 2

a

V f (x) g (x) dx .

Ví dụ 11. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường 2y x , 2y x quay quanh Ox.

Giải

Hoành độ giao điểm 4

x 0 x 0

x 1x x

.

1 1

4 4

0 0

V x x dx x x dx

Trang 17


1

5 2

0

1 1 3x x

5 2 10

. Vậy 3

V10

(đvtt).

4. Trường hợp 4. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x f(y), x g(y) , y c và

y d (c d, f(y) 0,g(y) 0 y c; d ) quay quanh trục Oy là d

2 2

c

V f (y) g (y) dy .

Ví dụ 12. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường 2x y 5 , x 3 y quay quanh Oy.

Giải

Tung độ giao điểm 2y 1

y 5 3 yy 2

.

2

2 22

1

V y 5 3 y dy

2

4 2

1

y 11y 6y 16 dy

25 32

1

y 11y 1533y 16y

5 3 5

.

Vậy 153

V5

(đvtt).

VI. TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP

1. Tính I= 1

10

0

1 x dx Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau: 1 2 1010 10 10

1 1 11 ...2 3 11

S C C C

2. Tính: 1

19

0

1I x x dx . Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau:

0 1 2 18 1919 19 19 19 19

1 1 1 1 1...2 3 4 20 21

S C C C C C .

3. Chứng minh rằng:1

1 21 1 1 2 11 ...2 3 1 1

nn

n n nC C Cn n

Trang 18


ĐỀ THI ĐẠI HỌC

KHỐI D D-2011

Giải

D-2010

Giải

D-2009

Giải

Trang 19


D-2008

Giải

D-2007

Giải

D-2006

Giải

D-2005

Giải

Trang 20


D-2004

Giải

D-2003

Giải

KHỐI B B-2011

Giải

B-2010

Trang 21


Giải

B-2009

Giải

B-2008

Giải

B-2007

Giải

Trang 22


B-2006

Giải

B-2005

Giải

B-2004

Giải

B-2003

Trang 23


Giải

B-2002

Giải

Cách 2:

Trang 24


KHỐI A A-2011

Giải:

A-2010

Giải:

A-2009

Giải:

Trang 25


A-2008

Giải:

A-2007

Giải:

A-2006

Giải:

A-2005

Trang 26


Giải:

A-2004

Giải:

A-2003

A-2002

Giải:

Education

4.cd tich phan_in