8 phuong trinh nghiem nguyen htq

PT nghiệm nguyên Thầy Hồng Trí Quang

1

Nội dung

Phương pháp chia hết

1. Phương pháp xét số dư

2. Biểu thị một ẩn theo ẩn còn lại

3. Phương trình tích (pt ước số)

4. Phương pháp lùi vô hạn

5. Phương pháp sử dụng tính chia hết

6. Kĩ thuật sử dụng ước chung lớn nhất

7. Tính chất số nguyên tố, số mũ

8. Tính chất số chính phương,

Phương pháp đánh giá

1. Phân tích thành các tổng bình phương, tổng lập phương

2. Nguyên lí kẹp

3. Phương pháp sắp thứ tự các ẩn

Phương pháp sử dụng tam thức bậc hai

1. Sử dụng tam thức bậc hai để phân tích thành nhân tử

2. Sử dụng điều kiện có nghiệm của tam thức bậc hai

3. Sử dụng điều kiện Δ là số chính phương

Một số dạng khác

1. Dạng căn thức

2. Dạng phần nguyên

3. Sử dụng nhị thức Newton

4. Định lí Fermat

I. PHƯƠNG PHÁP XÉT TÍNH CHIA HẾT

1. Phương pháp xét số dư

PP này thường để chứng minh pt vô nghiệm, ví dụ một vế lẻ, vế chẵn thì không thể bằng nhau, đó

là chia hết cho 2. Mở rộng ra với các số khác.

Bổ đề 1. Xét số chính phương 2a khi chia cho một số

+) 2 0;1(mod3)a

+) 2a chia 4 dư 0, 1

+) 2a chia 5 dư 0, 1, 4; +) 4a chia 5 dư 0, 1. +) 3a chia 5 dư?


2

+) 2a chia 8 dư 0, 1, 4. +) 4a chia 8 dư 0, 1.

+) 2a chia 9 dư 0, 1, 4, 7. +) 3 0; 1(mod9)a

Bổ đề 2. Nếu a, b nguyên và 2 2a b chia hết cho 3 thì a và b đều chia hết cho 3

Bổ đề 3. Nếu 1(modb)a 1(modb)na

Bài 1. Giải phương trình nghiệm nguyên 𝑥2 = 2𝑦2 − 8𝑦 + 3

Bài 2. Phương trình 2 2 2 1) 1( ( )z x y n có nghiệm nguyên không nếu?

a) n = 2013 b) n = 2012 c) n = 1984

Bài 3. Giải phương trình nghiệm nguyên 2 2 15 7 9yx .

Bài 4. Giải phương trình nghiệm nguyên 15 15 15 2003 2003 2003 19 7 9x y z .

Bài 5. Giải mỗi phương trình sau với nghiệm tự nhiên:

a) 33 7x y ; b) 2 2 2x y x y ;

c) (2 1)(2 2) 3 307x x y d) 4 yx x

Chia hết với bài toán tìm số

Bài 6. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: |x| 22 5 1 2014 105x y y x x

Tự luyện

Bài 7. Giải phương trình nghiệm nguyên 𝑥5 − 5𝑥3 + 4𝑥 = 24(5𝑦 + 1)

Bài 8. Giải phương trình nghiệm nguyên

𝑎) 7𝑥2 − 5𝑦2 = 3; 𝑏) 2𝑥2 + 𝑦2 = 1007

Bài 9. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 4 7 2014yx


a) 9𝑥3 + 6 = 𝑦3; b) 3 3 3 2003x y z

Bài 11. Chuyên KHTN 2011 V1. Chứng minh rằng không tồn tại các bộ ba số nguyên (x, y, z) thoả

mãn đẳng thức 4 4 4 7 5x y z

Bài 12. Tìm nghiệm tự nhiên của pt 2 1 2 2 2 3 2 4 5 11879x x x x y

Bài 13. Giải mỗi phương trình sau với nghiệm tự nhiên:


3

a) 25 48x y ; b) 23 8x y ; c) 22 1x y

d) 24 5x y ; e) 22 45x y

Bài 14. Giải phương trình nghiệm nguyên 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 2015

Bài 15. Chuyên KHTN V1 2013. Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 2 25 8 20412x y

Bài 16. Giải phương trình nghiệm nguyên 𝑥4 + 𝑦4 + 𝑧4 + 𝑡4 = 2015

Bài 17. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 9𝑥 + 2 = 𝑦2 + 𝑦

Bài 18. Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình 22 3x y

Bài 19. Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên. Biết rằng 𝑓(1). 𝑓(2) = 35. Chứng minh rằng đa

thức f(x) không có nghiệm nguyên.

Bài 20. Giải phương trình nghiệm nguyên: 4 4 4 3996x y x y

Bài 21. Tìm ba số nguyên tố liên tiếp a, b, c biết rằng 2 2 2a b c cũng là một số nguyên tố

2. Biểu thị một ẩn theo ẩn còn lại

Lý thuyết. Nếu a, b nguyên và a

Zb thì |b a

Bài 22.

a) Giải phương trình nghiệm nguyên 2 3v u u v

b) Chuyên KHTN V1 2014. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2( ) 3x y x y x y xy

Bài 23. Giải phương trình nghiệm nguyên 8𝑦2 − 25 = 3𝑥𝑦 + 5𝑥

Bài 24. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) sao cho 3 2 3 2 5 0x x y x y

Tự luyện


𝑎)𝑥𝑦 − 2𝑦 − 3 = 3𝑥 − 𝑥2; 𝑏) 4𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 4𝑥 + 𝑦 + 3 = 0;

3. Phương trình tích

Lý thuyết. Nếu a.b = c thì a|c

Một số dạng tích cơ bản


4

3 3 3 2 2 23 ( )( )a b c abc a b c a b c ab bc ca

Bài 26. Ams 2014. Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 2 22 3 4 0x y xy x x

Từ pt ta suy ra ngay x là ước của 4

Mặt khác: yx( 1) ( 1)(2 1) 5x x x nên x + 1 cũng là ước của 5.

Từ đó x = -2 hoặc x = 4

Pt có nghiệm (x; y) là (-2; -1) hoặc (4; 2)

Bài 27. Chuyên KHTN V2 2015. Tìm số tự nhiên n để n + 5 và n + 30 đều là các số chính phương.

Bài 28. Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình:

a) 38 37x y c) 2 2(2 )(2 2 ) 37x x xy y y , (2; 3)

b) 22 57x y


a) 3 3 3 3;x y xy b) 3 3 8x y xy

Bài 30. Tìm tất cả các số tự nhiên abc có 3 chữ số sao cho :

2

2

1

2

abc n

cba n

với n là số nguyên lớn hơn 2

Bài 31. Tìm hai số tự nhiên liên tiếp, mỗi số có hai chữ số biết rằng nếu viết số lớn hơn trước số

nhỏ hơn thì ta được một số chính phương

Bài 32. Chuyên KHTN 2013

Có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số abcde sao cho (10 )abc d e chia hết cho 101?

Điều kiện 0a ; a; b; c; d; e là các chữ sô

Tự luyện

Bài 33.

a) 2 25 4 9 0x y xy (x + y)(5x – y) = 9; (1; 2), (-1; -2)

b) Chuyên KHTN 2012

Tìm tất cả các cặp số nguyên ;x y thỏa mãn đẳng thức 1 5 2x y xy x y x y

Bài 34. Tìm số nguyên x để biểu thức sau là số chính phương 𝑥2 + 7𝑥 = 𝑦2

Bài 35. Ams 2008. Với mỗi số tự nhiên n đặt 𝑎𝑛 = 3𝑛2 + 6𝑛 + 13


5

1) Chứng minh rằng nếu hai số 𝑎𝑖, 𝑎𝑗 không chia hết cho 5 và có số dư khác nhau thì 𝑎𝑖 + 𝑎𝑗 chia

hết cho 5.

2) Tìm tất cả các số tự nhiên n lẻ sao cho 𝑎𝑛 là số chính phương.


a) 2 22 3 3 0x y xy x y (-8;5), (-6;5), (6;-3), (4;-3)

b) 2 1 7 8x x x x y

Bài 37. Tìm tất cả các cặp (x;n) nguyên dương thỏa mãn 3 3367 2nx

Bài 38. Giải phương trình nghiệm nguyên 𝑥3 + 𝑦3 + 𝑧3 = 3𝑥𝑦𝑧 + 1


a) 3 3 3 1x y xy b) 3 3 21 6x y xy ;

Bài toán tìm số

Bài 40. Tìm các số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng nếu cộng chữ số hàng trăm với n, trừ các chữ

số hàng chục và hàng đơn vị cho n thì được một số gấp n lần số ban đầu với n là số tự nhiên nhỏ

hơn chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị.

Bài 41. Tìm hai số chính phương có bốn chữ số, biết rằng mỗi chữ số của số thứ nhất đều lớn hơn

chữ số cùng hàng của số thứ hai cùng bằng một số

4. Phương pháp cực hạn (xuống thang)

Fermat đã dùng phương pháp xuống thang để chứng minh phương trình 4 4 4x y z . Xuất phát

từ ý tưởng này, ông đã chứng minh được rằng phương trình n n nx y z không tồn tại nghiệm

nguyên khác 0 với n > 2. Ông ghi chú rằng ông đã tìm ra cách chứng minh rất hay, nhưng vì lề

cuốn sổ nhỏ quá không đủ ghi. Tuy nhiên, tính từ lúc ông ghi câu đó thì gần 4 thập kỉ sau, năm

1993 Andrew Wiles mới chứng minh được sau 8 năm ròng nghiên cứu.

Bước 1. Chứng minh rằng trong tất cả các nghiệm, luôn tồn tại giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.

Gọi giá trị đó là M

Bước 2. Xét bài toán trong trường hợp riêng M này. Chỉ ra một giá trị nhỏ hơn (hoặc lớn hơn) M.

Từ đó suy ra mâu thuẫn

Bài 42.

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 2 27x y z


6

b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 2 2 2x y az , trong đó a là số tự nhiên dạng 4k –

1 với k là số tự nhiên.

c) Chứng minh rằng số 7 không viết được thành tổng bình phương của hai số hữu tỉ

Bài 43. ∗ Giải phương trình nghiệm nguyên 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑥2𝑦2

Tự luyện

Bài 44. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

a) 3 3 32 4x y z b) 3 3 33 9x y z


a) 2 2 2 26( )x y z t b) 2 2 2 2x y z xyz

Bài 46. Tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình 2 2 2x y pz , với p là số nguyên tố.

Bài 47. Giải phương trình 2 2 2 2 2 2 2x y z t x y z

a) Nghiệm nguyên dương b) Nghiệm nguyên

5. Tính chất chia hết

Cho a, b, c nguyên

Nếu |ab c mà (a;c) = 1 thì |b c . Đặc biệt nếu |a c mà (a;c) = 1 thì 1a

Nếu |a bvà |b a thì a b

Bài 48. Giải phương trình nghiệm x hữu tỉ, y nguyên 𝑥2 + 7𝑥 = 𝑦2

Bài 49. Chuyên KHTN 2015

Tìm các số nguyên x, y không nhỏ hơn 2 sao cho xy – 1 chia hết cho (x – 1)(y – 1)

Tự luyện

Bài 50.

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 𝑥2 + 𝑥 + 6 = 𝑦2;

b) Tìm các số hữu tỉ x để x2 + x + 6 là số chính phương

5.1.Ước chung lớn nhất


7

Nếu |a bvà |b a thì a = b

Nếu ( ; )a b d mà . '; . 'a d a b d b thì ( '; ') 1a b

Bài 51. Tìm số nguyên x sao cho 3

4 6

x

x

là bình phương của một số hữu tỉ.

Bài 52. * Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương a, b sao cho a > b và

2 2 2 2a b a b

Bài 53. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 𝑥3 + 𝑦3 = (𝑥 + 𝑦)2 + 𝑥𝑦

Tự luyện

Bài 54. Tìm các số nguyên x sao cho 37

43

x

x

là bình phương của một số hữu tỉ.

Đs 38, 47, 55, 82, 101, 199, 398

Bài 55. Tính giá trị biểu thức 2 2x y

Mxy

biết x, y, M đều là các số nguyên dương

Education

8 phuong trinh nghiem nguyen htq