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Slides of the Multivariable Systems Course thought at EPFL (2011)
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Systèmes MultivariablesCoordination de systèmes et de dispositifs dynamiques distribués
Dr. Denis Gillet (IEL)
http://graaasp.epfl.ch/#item=space_851
Support:
Polycopié Systèmes multivariables (2011) de D. Gilletqui est disponible en ligne
http://graaasp.epfl.ch/attachment/385
2
3
Syllabus• Représentation d'état (21 septembre): Introduction. Exemples qualitatifs. Représentation
d'état analogique.• Représentation d'état (28 septembre): Simulation. Représentation d'état discrète.• Etude de cas (5 octobre): Introduction ex catherdra à l'étude de cas et exercices.• Linéarisation (12 octobre): Trajectoires et points de fonctionnement. Commande a priori.
Linéarisation locale. Linéarisation globale.• Discrétisation (19 octobre): Discrétisation de modèles linéaires (prise en compte de
convertisseurs AD & DA). Méthodes de calcul de l'exponentielle de matrice.• Analyse dynamique des systèmes MIMO discrets et Principe de la commande d'état (26
octobre): Solution de l'équation d'état discrète. Matrice de transfert. Stabilité, Formes canoniques. Synthèse constructive du régulateur.
• Commande d'état SISO (2 novembre): Formule d'Ackermann pour le régulateur. Commande à réponse pile.
• Observation d'état (9 novembre): Méthode constructive. Formule d'Ackermann pour l'observateur. Observabilité.
• Etude de cas (16 novembre): Etude de cas au laboratoire - ME A0 392.• Commande d'état optimale (23 novembre): Introduction à la commande d'état MIMO.
Solution du problème optimal par Lagrange.• Commande d'état optimale (30 novembre): Commande optimale linéaire quadratique (LQR)
stationnaire.• Etude de cas (7 décembre): Etude de cas au laboratoire - ME A0 392 (assistant: Alain Bock). 0.5
pts de bonus (sur la base d'un rapport à rendre pour le 7 janvier par email à Alain Bock)!• Estimation d'état optimale (14 décembre).• Fonctions de navigation et révision (21 décembre).
Chap. 1: Introduction sur des exemplesEntraînement électrique
Rétroaction classique
Commande en cascade
4
Chap. 1: Introduction sur des exemplesEntraînement électrique
Commande d’état
5
Chap. 1: Introduction sur des exemplesPendule inversé
Applications
Interactions dynamiques
6
Chap. 1: Introduction sur des exemplesPendule inversé
Commande d’état
7
Chap. 1: Introduction sur des exemplesRobot 2D
8
Chap. 1: Linéarité
Additivité
+ Homogénéité
Principe desuperposition
f(x + y) = f(x) + f(y)f(αx) = αf(x)
f(αx + βy) = αf(x) + βf(y)
Comportement proportionnel
y(t) y(t)
u(t)u(t)
y(t) = f [u(t), t] = au(t) y(t) = f [u(t), t] = au(t) + b
9
10
u1 → y1 = au1
u2 → y2 = au2
u = αu1 + βu2 → y = a(αu1 + βu2) = α(au1) + β(au2) = αy1 + βy2
Chap. 1: Linéarité
u1 → y1 = au1 + bu2 → y2 = au2 + b
u = αu1 + βu2 → y = a(αu1 + βu2) + b = α(au1) + β(au2) + b �= αy1 + βy2
Le principe de superposition s’applique
Le principe de superposition ne s’applique pas
Chap. 1: Signaux discrets
t
w(tk)
t−3 t−2 t−1 t0
t1t2 t3 t4
t5
tk = khh est la période d’échantillonnage
w(tk) = w(kh)→ w(k)
Les techniques avancées de commande n’ont de sensqu’implantées sur ordinateurs, donc numériques
11
Chap. 1: Etat d’un système
Étatce qui est susceptible
d’évoluer
Conditions initiales
Entrées Sorties
• Actions• Causes• Données• Moyens disponibles
pour influencer le système
• Excitation• Grandeurs pouvant
être manipulées
Pert
urba
tions
• Influence de l’environnement sur le système• Grandeurs ne pouvant pas être manipulées
• Réactions• Effets• Résultats• Comportements qui
doivent être observés ou modifiés
• Réponse du système• Observations• Mesures
Le modèle est une représentation mathématique qui décrit les interactions entre les entrées et l’état, et entre l’état et les sorties
u1, u2, . . . , ury1, y2, . . . , yp
x1, x2, . . . , xn
12
13
Chapitre 2
Représentation d’état
Entraînement électriqueElectrical Drive
R
i
u ui
θ
f
J
Partie électrique Partie mécanique
u(t) = Ri(t) + ui(t)
ui(t) = kω(t)
J ω(t) = M(t)− fω(t)
θ(t) = ω(t)
M(t) = ki(t)
14
Entraînement électriqueElectrical Drive
R
i
u ui
θ
f
J
Modèle physique Choix des variables d’état
ω(t) = − 1J
�k2
R + f�
ω(t) + kJRu(t)
ω(t) = θ(t)
x1(t) = x2(t)
x2(t) = − 1J
�k2
R + f�
x2(t) + kJRu(t)
Modèle d’état: équation d’état Modèle d’état: équation de sortie
x1(t) = θ(t)x2(t) = ω(t)y(t) = θ(t)
y(t) = x1(t)
15
Systèmes analogiques non linéairesNonlinear continuous time systems
u (t) =
u1 (t)u2 (t)
...ur (t)
x (t) =
x1 (t)x2 (t)
...xn (t)
x (t) =
x1 (t)x2 (t)
...xn (t)
y (t) =
y1 (t)y2 (t)
...yp (t)
f [x (t) , u (t) , t] =
f1 [x (t) , u (t) , t]f2 [x (t) , u (t) , t]
...fn [x (t) , u (t) , t]
���������
y1 (t) = g1 [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t]y2 (t) = g2 [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t]
...yp (t) = gp [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t]
���������
x1 (t) = f1 [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t]x2 (t) = f2 [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t]
...xn (t) = fn [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t]
16
Systèmes analogiques non linéairesNonlinear continuous time systems
���������
y1 (t) = g1 [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t]y2 (t) = g2 [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t]
...yp (t) = gp [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t]
���������
x1 (t) = f1 [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t]x2 (t) = f2 [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t]
...xn (t) = fn [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t]
x(t) = f [x(t), u(t), t]y(t) = g [x(t), u(t), t]
17
2.1.3: Sélection des variables d’étatSelection of the state variables
aω(t) + sin z(t) = u21(t)
�v(t) + cos z(t) = u2(t)
z(t) = αt
Ne pas prendre en considération les dérivées des entrées
18
Systèmes analogiques linéairesLinear continuous time systems
x(t) = f [x(t), u(t), t]y(t) = g [x(t), u(t), t]
x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)
x(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)
Linéaire
Linéaire etstationnaire
19
Non linéaire
Entraînement électriqueElectrical Drive
R
i
u ui
θ
f
J
Modèle d’état: équation d’état Modèle d’état: équation de sortie
Modèle d’état: équation d’état Modèle d’état: équation de sortie
y(t) = x1(t)x1(t) = x2(t)
x2(t) = − 1J
�k2
R+ f
�
� �� �a
x2(t) +k
JR����b
u(t)
�x1(t)x2(t)
�=
�0 10 a
� �x1(t)x2(t)
�+
�0b
�u(t) y(t) =
�1 0
� �x1(t)x2(t)
�
20
2.3: Méthode de Runge-Kutta
x (kh + h) ≈ x (kh) +16
[a(kh) + 2b (kh) + 2c (kh) + d (kh)]
y (kh) = g [x (kh) , u (kh) , kh]
a (kh) = hf [x (kh) , u (kh) , kh]b (kh) = hf
�x (kh) + a(kh)
2 , u�kh + h
2
�, kh + h
2
�
c (kh) = hf�x (kh) + b(kh)
2 , u�kh + h
2
�, kh + h
2
�
d (kh) = hf [x (kh) + c (kh) , u (kh + h) , kh + h]
x (kh + h) ≈ x (kh) +16
[a(kh) + 2b (kh) + 2c (kh) + d (kh)]
y (kh) = g [x (kh) , u (kh) , kh]
a (kh) = hf [x (kh) , u (kh) , kh]b (kh) = hf
�x (kh) + a(kh)
2 , u�kh + h
2
�, kh + h
2
�
c (kh) = hf�x (kh) + b(kh)
2 , u�kh + h
2
�, kh + h
2
�
d (kh) = hf [x (kh) + c (kh) , u (kh + h) , kh + h]
21
Systèmes discrets non linéairesNonlinear discrete time systems
���������
x1(k + 1) = f1 [x1(k), . . . , xn(k), u1(k), . . . , ur(k), k]x2(k + 1) = f2 [x1(k), . . . , xn(k), u1(k), . . . , ur(k), k]
...xn(k + 1) = fn [x1(k), . . . , xn(k), u1(k), . . . , ur(k), k]
y(k) =
y1(k)y2(k)
...yp(k)
x(k) =
x1(k)x2(k)
...xn(k)
u(k) =
u1(k)u2(k)
...ur(k)
f [x(k), u(k), k] =
f1 [x(k), u(k), k]f2 [x(k), u(k), k]
...fn [x(k), u(k), k]
���������
y1(k) = g1 [x1(k), . . . , xn(k), u1(k), . . . , ur(k), k]y2(k) = g2 [x1(k), . . . , xn(k), u1(k), . . . , ur(k), k]
...yp(k) = gp [x1(k), . . . , xn(k), u1(k), . . . , ur(k), k]
x(k + 1) =
x1(k + 1)x2(k + 1)
...xn(k + 1)
22
Entraînement électriqueElectrical Drive
R
i
u ui
θ
f
J
Modèle analogique
Modèle discret vu au travers de convertisseurs AD & DA
G(s) =θ(s)U(s)
=A
s (1 + sτ)τ = −1
aA = − b
a
H(z) =�1− z
−1�Z
�L−1
�G(s)
s
��
H(z) =θ(z)U(z)
=b1z
−1 + b2z−2
(1− z−1) (1 + αz−1)=
b1z−1 + b2z
−2
1 + (α− 1) z−1 − αz−2
α = −e−h/τ
b1 = A [h− τ (1 + α)]b2 = A [τ (1 + α) + hα]
23
2.5: FT → Modèle d’état
H (z) =Y (z)U (z)
=b0 + b1z
−1 + b2z−2 + . . . + bnz
−n
1 + a1z−1 + a2z
−2 + . . . + anz−n
Y (z) = b0U (z) +(b1 − a1b0) z−1 + (b2 − a2b0) z−2 + . . . + (bn − anb0) z−n
1 + a1z−1 + a2z−2 + . . . + anz−nU (z)
� �� �Y (z)
Y (z)U (z)
=(b1 − a1b0) z−1 + (b2 − a2b0) z−2 + . . . + (bn − anb0) z−n
1 + a1z−1 + a2z−2 + . . . + anz−n
Y (z)(b1 − a1b0) z−1 + (b2 − a2b0) z−2 + . . . + (bn − anb0) z−n
=U (z)
1 + a1z−1 + a2z−2 + . . . + anz−n≡ Q (z)
24
FT → Modèle d’état
H (z) =Y (z)U (z)
=b0 + b1z
−1 + b2z−2 + . . . + bnz
−n
1 + a1z−1 + a2z
−2 + . . . + anz−n
Y (z) = b0U (z) +(b1 − a1b0) z−1 + (b2 − a2b0) z−2 + . . . + (bn − anb0) z−n
1 + a1z−1 + a2z−2 + . . . + anz−nU (z)
� �� �Y (z)
Y (z)U (z)
=(b1 − a1b0) z−1 + (b2 − a2b0) z−2 + . . . + (bn − anb0) z−n
1 + a1z−1 + a2z−2 + . . . + anz−n
Y (z)(b1 − a1b0) z−1 + (b2 − a2b0) z−2 + . . . + (bn − anb0) z−n
=U (z)
1 + a1z−1 + a2z−2 + . . . + anz−n≡ Q (z)
U (z) = Q (z) + a1z−1Q (z) + a2z
−2Q (z) + . . . + anz−nQ (z)
25
FT → Modèle d’état
H (z) =Y (z)U (z)
=b0 + b1z
−1 + b2z−2 + . . . + bnz
−n
1 + a1z−1 + a2z
−2 + . . . + anz−n
Y (z) = (b1 − a1b0) z−1Q (z) + (b2 − a2b0) z−2Q (z) + . . . + (bn − anb0) z−nQ (z)
Y (z) = b0U (z) +(b1 − a1b0) z−1 + (b2 − a2b0) z−2 + . . . + (bn − anb0) z−n
1 + a1z−1 + a2z−2 + . . . + anz−nU (z)
� �� �Y (z)
Y (z)U (z)
=(b1 − a1b0) z−1 + (b2 − a2b0) z−2 + . . . + (bn − anb0) z−n
1 + a1z−1 + a2z−2 + . . . + anz−n
Y (z)(b1 − a1b0) z−1 + (b2 − a2b0) z−2 + . . . + (bn − anb0) z−n
=U (z)
1 + a1z−1 + a2z−2 + . . . + anz−n≡ Q (z)
26
FT → Modèle d’état
Q (z) = −a1z−1Q (z)− a2z
−2Q (z)− . . .− anz−nQ (z) + U (z)
Y (z) = (b1 − a1b0) z−1Q (z) + (b2 − a2b0) z−2Q (z) + . . . + (bn − anb0) z−nQ (z)
���������
W1 (z) = z−1Q (z)W2 (z) = z−2Q (z)
...Wn (z) = z−nQ (z)
���������
zW1 (z) = Q (z) = −a1W1 (z)− a2W2 (z)− . . .− anWn (z) + U (z)zW2 (z) = z−1Q (z) = W1 (z)
...zWn (z) = z−n+1Q (z) = Wn−1 (z)
27
Y (z) = (b1 − a1b0)W1(z) + (b2 − a2b0)W2(z) + . . . + (bn − anb0)Wn(z)
Y (z) = b0U(z) + Y (z)
FT → Modèle d’état
w (k + 1) =
−a1 −a2 . . . −an−1 −an
1 0 . . . 0 0
0 1...
......
. . . 0 00 . . . 0 1 0
� �� �Φw
w (k) +
10...00
� �� �gw
u (k)
y (k) =�
b1 − a1b0 b2 − a2b0 . . . bn − anb0
�� �� �
cTw
w (k) + b0u (k)
28
H (z) =Y (z)U (z)
=b0 + b1z
−1 + b2z−2 + . . . + bnz
−n
1 + a1z−1 + a2z
−2 + . . . + anz−n
Entraînement électriqueElectrical Drive
R
i
u ui
θ
f
J
Modèle discret vu au travers de convertisseurs AD & DA
H(z) =θ(z)U(z)
=b1z
−1 + b2z−2
(1− z−1) (1 + αz−1)=
b1z−1 + b2z
−2
1 + (α− 1) z−1 − αz−2
α = −e−h/τ b1 = A [h− τ (1 + α)] b2 = A [τ (1 + α) + hα]
Modèle d’état discret artificiel correspondant�
w1(k + 1)w2(k + 1)
�=
�− (α− 1) α
1 0
� �w1(k)w2(k)
�+
�10
�u(k)
y(k) = θ(k) =�
b1 b2
� �w1(k)w2(k)
�+ [0]u(k)
29
Modèle d’état/State-space model
Analogique/Continuous Discret/Discrete
No
n l
iné
air
eN
on
lin
ear
Lin
éair
e e
tst
atio
nn
air
eL
ine
ar
an
dti
me
-in
vari
an
t
Lin
éair
eL
ine
ar x (t) = A (t) x (t) + B (t) u (t)
y (t) = C (t) x (t) + D (t) u (t)
x (t) = f [x (t) , u (t) , t]y (t) = g [x (t) , u (t) , t]
x (k + 1) = f [x (k) , u (k) , k]y (k) = g [x (k) , u (k) , k]
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Du (t)
30
x (k + 1) = Φx (k) + Γu (k)y (k) = Cx (k) + Du (k)
x (k + 1) = Φ(k)x (k) + Γ(k)u (k)y (k) = C(k)x (k) + D(k)u (k)