บทที่ 2ความนาจะเปน

( 18 ชั่วโมง )

เนื่องจากความนาจะเปนเปนเรื่องที่จะชวยใหผูเรียนรูจักการแกปญหาที่เกี่ยวของกับการคาดการณบางอยาง ดังนั้น การศึกษาเรื่องนี้จะชวยใหผูเรียนสามารถนําความรูในเรื่องนี้ไปชวยในการตัดสินใจไดอยางมีหลักเกณฑมากขึ้น

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวัง1. หาจํานวนผลลัพธที่อาจเกิดขึ้นของเหตุการณโดยใชกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับและ

แผนภาพตนไมอยางงายได2. อธิบายการทดลองสุม เหตุการณ ความนาจะเปนของเหตุการณ และหาความนาจะเปน

ของเหตุการณที่กําหนดใหได3. นําความรูเกี่ยวกับความนาจะเปนไปใชในการคาดการณและชวยในการตัดสินใจและ

แกปญหาได

ผลการเรียนรูดังกลาวเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูชวงชั้นทางดานความรู ในการเรียนการสอนทุกครั้งผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรียนรูทางดานทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตรที่จําเปนและสอดแทรกกิจกรรมแกปญหา หรือคําถามที่เสริมสรางทักษะกระบวนการเหลานั้นดวย นอกจากนั้นควรปลูกฝงใหผูเรียนทํางานอยางเปนระบบ มีระเบียบวินัยมีความรอบคอบ มีความรับผิดชอบมีวิจารณญาณและมีความเชื่อมั่นในตัวเอง

72

ขอเสนอแนะ1. ในการใชกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับหาคําตอบของโจทยปญหานั้นผูสอน

ควรใหผูเรียนอานโจทยใหเขาใจวาในปญหานั้นกําหนดเงื่อนไขอะไรบาง การพิจารณาเงื่อนไขของปญหาจะชวยใหสามารถกําหนดขั้นตอนในการแกปญหา ซึ่งจะชวยใหสามารถหาคําตอบไดงายขึ้น ดังตัวอยางตอไปนี้

ปญหาที่ 1 จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 จะเขียนจํานวนที่มีสามหลักที่เปนบวก โดยที่เลขโดดในแตละหลักไมซ้ํากันไดทั้งสิ้นกี่จํานวน

วิธีคิด จากโจทยปญหาไดเงื่อนไข 3 ขอ คือ1) ใหใชเลขโดดได 6 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4 และ 52) จํานวนที่ตองการเปนจํานวนบวกที่มีสามหลัก3) เลขโดดในแตละหลักของแตละจํานวนที่ตองการ ตองไมซ้ํากัน

จากเงื่อนไขทั้งสามขอนี้นํามาพิจารณาประกอบการใชกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ เพื่อพิจารณาวาจะเขียนจํานวนที่ตองการไดกี่จํานวน โดยพิจารณาวิธีที่จะเขียนเลขโดดในหลักตาง ๆ คือ หลักหนวย หลักสิบ และหลักรอย เนื่องจากการเขียนจํานวนที่มีสามหลักนั้น หลักรอยตองไมใชเลขโดด 0 สวนหลักอื่น ๆ นั้นจะใชเลขโดดใดก็ไดใน 6 ตัวที่กําหนด การเริ่มแกปญหาจึงควรเริ่มดวยการหาจํานวนวิธีที่จะเขียนเลขโดดในหลักรอยเพราะมีขอจํากัดมากกวาหลักอื่น ๆ ดังนั้น วิธีหาคําตอบปญหาขางตน ผูสอนอาจแนะนําใหผูเรียนหาคําตอบตามขั้นตอนดังนี้

วิธีท่ี 1 (1) ใหผูเรียนหาจํานวนวิธีที่จะเขียนเลขโดดในหลักรอย ซึ่งเทากับ 5 วิธี(2) ใหผูเรียนหาวาในแตละวิธีที่เขียนเลขโดดในหลักรอย จะเขียนเลขโดด ในหลักสิบไดกี่วิธี ซึ่งจะไดคําตอบเทากับ 5 วิธี คือ ใชเลขโดด 5 ตัว ที่เหลือ(3) ใหผูเรียนหาวาในแตละวิธีที่เขียนเลขโดดในหลักรอยและหลักสิบ จะเขียน

เลขโดดในหลักหนวยไดกี่วิธี ซึ่งจะไดคําตอบเทากับ 4 วิธี คือ ใชเลขโดด4 ตัว ที่เหลือ

73

จากนั้นจึงใหผูเรียนใชกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ จะไดวา จํานวนเต็มบวกที่มีสามหลักที่เขียนโดยใชเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 โดยที่เลขโดดในแตละหลักไมซ้ํากันมีทั้งสิ้น 5 × 5 × 4 = 100 จํานวน

วิธีหาคําตอบขางตนเปนเพียงวิธีหนึ่งเทานั้น สําหรับผูเรียนที่มีความสามารถทางคณิตศาสตรผูสอนอาจแนะนําใหลองหาคําตอบโดยวิธีอ่ืน ๆ ก็ได เชน พิจารณาโดยเริ่มจากการเขียนหลักหนวยกอน แตเนื่องจากจะมีปญหาวา เหลือ 0 อยูหรือไม จึงแยกกรณีพิจารณาดังตอไปนี้

วิธีท่ี 2 ถาเริ่มเขียนตัวเลขในหลักหนวยกอน แยกกรณีพิจารณาไดดังนี้(1) หาจํานวนที่มีสามหลักที่เปนบวก และมี 0 อยูในหลักหนวยเขียนเลขโดดใน หลักสิบได 5 วิธี

แตละวิธีที่เขียนเลขโดดในหลักสิบ เขียนเลขโดดในหลักรอยได 4 วิธีดังนั้น จะเขียนจํานวนที่มีสามหลักที่เปนบวก และมี 0 อยูในหลักหนวยและใชเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 โดยที่เลขโดดในแตละหลักไมซ้ํากันได 1 × 5 × 4 = 20 จํานวน

(2) หาจํานวนที่มีสามหลักที่มี 0 อยูในหลักสิบในทํานองเดียวกับขอ (1) จะไดวา จํานวนเต็มบวกที่มีสามหลักในขอนี้มีทั้งหมด 20 จํานวน

(3) หาจํานวนที่มีสามหลักที่เปนบวกและไมมี 0 ปรากฏอยูเลยจะไดวา มีทั้งหมด 5 × 4 × 3 = 60 จํานวน

จาก กรณีที่ (1), (2) และ (3) จะได จํานวนที่แตกตางกันทั้งหมด ดังนั้น จํานวนที่มีสามหลักที่เปนบวก ซึ่งไดจากการใชเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 เขียน โดยเลขโดดในแตละหลักไมซ้ํากัน มีทั้งสิ้น 20 + 20 + 60 = 100 จํานวน

74

ปญหาที่ 2 จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 จะเขียนจํานวนที่มีสามหลักที่เปนบวกและเปนจํานวนคี่ โดยที่เลขโดดในแตละหลักไมซ้ํากัน ไดกี่จํานวนวิธีคิด เงื่อนไขของปญหานี้เหมือนของปญหาที่ 1 แตเพิ่มเงื่อนไขอีกหนึ่งขอ คือ

จํานวนที่ตองการตองเปนจํานวนคี่ เงื่อนไขนี้มีผลตอจํานวนวิธีเขียนเลขโดดในหลักหนวย ถาเริ่มหาคําตอบโดยพิจารณาจํานวนวิธีที่จะเขียนเลขโดดในหลักรอยกอนเชนเดียวกับ ในการแกปญหาที่ 1 จะพบวา เมื่อจะพิจารณาวา เลขโดดในหลักหนวยมีไดกี่วิธีจะมีปญหาเพราะใน 5 วิธีที่เขียนเลขโดดในหลักรอยนั้นมี 3 วิธีที่ใช 1, 3 และ 5 ไปแลว ดังนั้น วิธีหาคําตอบของปญหานี้ จึงควรพิจารณาวิธีเขียนเลขโดดในหลักหนวยกอน แลวจึงพิจารณาจํานวนวิธีการเขียนเลขโดดในหลักรอยจากนั้นจึงไปพิจารณาจํานวนวิธีเขียนเลขโดดในหลักสิบเปนอันดับสุดทายดังนี้

วิธีทํา เขียนเลขโดดในหลักหนวยไดตาง ๆ กัน 3 วิธี (คือเลขโดด 1, 3, 5)ในแตละวิธีที่เขียนเลขโดดในหลักหนวย เขียนเลขโดดในหลักรอยได 4 วิธี(2, 4 และเลขโดดที่เปนจํานวนคี่ที่เหลืออีก 2 ตัว)ในแตละวิธีที่เขียนเลขโดดในหลักหนวยและหลักรอย เขียนเลขโดดในหลักสิบได 4 วิธี (เลขโดดที่เหลือ 4 ตัวจากทั้งหมด 6 ตัว)ดังนั้น การใชเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 เขียนจํานวนเต็มบวกที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคี่ที่มีเลขโดดในแตละหลักไมซ้ํากัน จะเขียนไดทั้งหมด3 × 4 × 4 = 48 จํานวน

ปญหาที่ 3 จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 จะเขียนจํานวนเต็มบวกที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคูและเลขโดดในแตละหลักไมซ้ํากัน ไดกี่จํานวน

วิธีคิด ปญหาที่ 3 นี้ ถาพิจารณาไมรอบคอบอาจจะสรุปวาใชวิธีการในทํานองเดียวกับที่ใชในการหาคําตอบปญหาที่ 2 คือ พิจารณาจํานวนวิธีเขียนเลขโดดในหลักหนวยหลักรอย และหลักสิบ ตามลําดับ แตวิธีดังกลาวมีปญหาเพราะเลขโดดที่อาจใชในหลักหนวยมี 3 ตัว คือ 0, 2 และ 4 การที่เลขโดด 0 อาจถูกใชหรือไมถูกใชในการเขียนเลขโดดในหลักหนวยมีผลตอการพิจารณาจํานวนวิธีเขียนเลขโดดในหลักรอยการหาคําตอบจึงอาจทําไดโดยการแยกกรณีพิจารณา เมื่อใช 0 ในหลักหนวยและเมื่อไมไดใช 0 ในหลักหนวยดังนี้

75

วิธีทํา แยกกรณีและพิจารณาดังนี้1. เมื่อเลขโดดในหลักหนวยเปน 0

เขียนเลขโดดในหลักรอยได 5 วิธีในแตละวิธีที่เขียนเลขโดดในหลักรอย เขียนเลขโดดในหลักสิบได 4 วิธีดังนั้น จํานวนเต็มบวกที่มีสามหลักที่หลักหนวยเปน 0 ที่เขียนโดยใชเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 และเลขโดดในแตละหลักไมซ้ํากันมี1 × 5 × 4 = 20 จํานวน

2. เมื่อเลขโดดในหลักหนวยไมใช 0เขียนเลขโดดในหลักหนวยได 2 วิธี (คือ 2 หรือ 4)ในแตละวิธีที่เขียนเลขโดดในหลักหนวย เขียนเลขโดดในหลักรอยได 4 วิธี(เลขโดดที่เหลือไมใชศูนย)ในแตละวิธีที่เขียนเลขโดดในหลักหนวยและเลขโดดในหลักรอยเขียนเลขโดดในหลักสิบได 4 วิธี (เลขโดดที่ยังไมไดเขียนทั้งหมด)ดังนั้น จํานวนเต็มบวกที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคูที่หลักหนวยไมเปน 0และเขียนโดยใชเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 และเลขโดดในแตละหลักไมซ้ํากันมี 2 × 4 × 4 = 32 จํานวนดังนั้น การใชเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 เขียนจํานวนเต็มบวกที่มีสามหลักที่ เปนจํานวนคูโดยเลขโดดในแตละหลักไมซ้ํากันเขียนไดทั้งหมด20 + 32 = 52 จํานวน

หมายเหตุ ถาปญหาที่ 1, 2 และ 3 เปนปญหาที่ถามตอเนื่องกัน ดังนั้น การหาคําตอบของปญหาที่ 3 อาจใชคําตอบของปญหาที่ 1 และ 2 ชวย โดยใชคําตอบของปญหาที่ 2 ลบออกจากคําตอบของปญหาที่ 1 ก็ได

76

2. ในการแกโจทยปญหาเกี่ยวกับการนับจํานวนวิธี บางกรณีก็ใชเฉพาะการคูณบางกรณีก็ใชการบวกดวย ซึ่งผูสอนควรอธิบายใหผูเรียนเขาใจลักษณะของโจทยที่จะตองใชการคูณหรือการบวก การกระทําใด ๆ ที่ยังไมสิ้นสุดการคํานวณหาจํานวนวิธีสําหรับการกระทํานั้น ๆ เราใชการคูณ แตถาการกระทําใด ๆ สามารถแยกไดเปนหลายกรณีและแตละกรณีสิ้นสุดลงแลว ในการคํานวณหาจํานวนวิธีสําหรับการกระทํานั้นเราใชการบวกจํานวนวิธีในแตละกรณีเขาดวยกัน ดังจะเห็นไดจากตัวอยางขางตนที่ใหหาจํานวนที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคู เราแยกเปนจํานวนคูที่ลงทายดวย 0 ซึ่งมี 20 จํานวน และจํานวนคูที่ไมลงทายดวย 0ซึ่งมี 32 จํานวน เมื่อการคํานวณหาจํานวนวิธีทั้งสองกรณีสิ้นสุดลงแลว เมื่อเราตองการทราบวา จํานวนเต็มบวกที่มีสามหลักที่เปนจํานวนคูมีกี่จํานวน เราจึงนําจํานวนวิธีที่หาไดในแตละกรณีมาบวกกันกลาวคือ มี 20 + 32 = 52 จํานวน ซึ่งจะเห็นวาในการคํานวณหาจํานวนคูดังกลาวในแตละกรณีนั้น แตละขั้นตอนเปนการกระทําที่ตอเนื่องกัน เราจึงใชวิธีคูณดังไดกลาวแลวในกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ

77

กิจกรรมเสนอแนะกิจกรรมที่ 1จุดประสงค เพื่อใหผูเรียนมีความเขาใจในเนื้อหาเรื่องกฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับลักษณะกิจกรรม 1) ผูสอนแบงกลุมผูเรียนใหปฏิบัติในเรื่องเดียวกันโดยกําหนดให

เนื้อหาของแตละกลุมตางกัน 2) ผูสอนและผูเรียนชวยกันสรุปผลจากกิจกรรมของแตละกลุม

อุปกรณ กระดาษตัดเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพ้ืนที่รูปละ 1 ตารางหนวย ตอกันจํานวน 6 รูป ดังรูปที่ (1) และเมื่อพับกระดาษ จะไดลูกบาศกดังรูปที่ (2)

รูปที่ (1) รูปที่ (2)

กิจกรรม ผูสอนใหผูเรียนหาจํานวนวิธีที่จะเขียนตัวเลข 1 , 2 , 3 , 4 , 5 และ 6แตละตัวลงบนดานแตละดานของลูกบาศกเพื่อใหผลบวกของจํานวนที่อยูบนดานตรงขามกันเทากับ 7 ผูสอนอาจใหขอแนะนําโดยใชคําถามดังนี้

ตัวอยางคําถาม 1) มีจํานวน 2 จํานวนใดที่มีผลบวกเทากับ 7 (ผูเรียนควรตอบไดวามี 1 + 6 , 2 + 5 และ 3 + 4)

2) ผูสอนใหผูเรียนพับกระดาษในรูปที่ (1) ใหเปนลูกบาศก ดานใดที่อยูตรงขามกัน ใหกําหนดตําแหนงของดานที่อยูตรงกันขามไวดังรูปตอไปนี้

78

ดานที่อยูตรงขามกันมีทั้งหมด 3 คู ไดแก ดานที่มีรูป ในตําแหนงที่ 1 และ 5 ดานที่มีรูป ในตําแหนงที่ 2 และ 4

และ ดานที่มีรูป ในตําแหนงที่ 3 และ 6

เมื่อทราบวา มีดานใดบางที่อยูตรงขามกันแลว จึงใหผูเรียนเขียนจํานวนลงบนแตละดาน เพื่อใหผลบวกของจํานวนที่อยูบนดานตรงขามกันมีคาเทากับ 7

ตัวอยางวิธีเขียนจํานวนบนรูปที่ (1) เพื่อใหผลบวกของจํานวนที่อยูบนดานตรงขามกันของลูกบาศกมีคาเทากับ 7

หมายเหตุ ผูสอนอาจจะแบงนักเรียนออกเปนกลุม ๆ โดยใหแตละกลุมหาจํานวนวิธีทั้งหมดที่มีจํานวนในตําแหนงใดตําแหนงหนึ่งเปน 1, 2, 3, ... หรือ 6 เชนใหกลุมที่ 1 หาจํานวนวิธีทั้งหมดเมื่อกําหนดให 1 อยูในตําแหนงดังภาพ

จากนั้นผูสอนใชคําถามเพื่อชวยใหผูเรียนสรุปคําตอบไดดังนี้

1

ตําแหนงที่ 2

ตําแหนงที่ 1

ตําแหนงที่ 4

ตําแหนงที่ 5

ตําแหนงที่ 6ตําแหนงที่ 3

1

2

6

43

5

2

3

5

61

4

3

1

4

52

6

79

คําถามที่ 1 ผูสอนถามผูเรียนวา มีวิธีเลือกเขียนจํานวน 1 - 6 ในตําแหนงที่กําหนดใหในภาพไดกี่วิธีจงอธิบาย

คําตอบ 6 วิธีคือ จะเขียนจํานวน 1 , 2 , 3 , 4 , 5 หรือ 6 จํานวนใดก็ได

คําถามที่ 2 เมื่อผูเรียนเลือกจํานวนที่ตองการมาหนึ่งจํานวนและเขียนลงในตําแหนงที่กําหนดใหในภาพ แลวผูเรียนจะเลือกเขียนจํานวนที่อยูในตําแหนงที่อยูในดานตรงกันขามไดกี่วิธี เพราะเหตุใด

คําตอบ 1 วิธี เพราะจะตองเลือกจํานวนที่นําไปบวกกับจํานวนที่เลือกไวแลวใหมีผลบวกเทากับ 7 เชน

คําถามที่ 3 เมื่อเลือกจํานวนไปแลวสองจํานวน ผูเรียนจะเลือกจํานวนมาเขียนในตําแหนงที่สาม และตําแหนงที่หกไดกี่วิธี

คําตอบ จะตองเลือกจํานวนใดจํานวนหนึ่งจากจํานวนที่เหลือ 4 จํานวน หรือเลือกได4 วิธี มาเขียนในตําแหนงที่สาม และเลือกจํานวนที่นํามาบวกกับจํานวนที่อยูในตําแหนงที่สาม แลวมีผลบวกเทากับ 7 มาเขียนในตําแหนงที่หกไดอีก 1 วิธี

1

6

ตําแหนงที่ 1

ตําแหนงที่ 5

1

6

ตําแหนงที่ 3

ตําแหนงที่ 6

80

คําถามที่ 4 จากจํานวนที่เหลือผูเรียนจะเลือกจํานวนมาเขียนในตําแหนงที่สอง และตําแหนงที่สี่ไดกี่วิธี

คําตอบ จะตองเลือกจํานวนใดจํานวนหนึ่งจากจํานวนที่เหลือ 2 จํานวน หรือเลือกได2 วิธี มาเขียนในตําแหนงที่สองและนําจํานวนที่เหลือมาเขียนในตําแหนงที่สี่ไดอีก 1 วิธี ตัวอยางเชน

ถาใหจํานวน 1 อยูในตําแหนงที่หนึ่ง ในตําแหนงที่หา จะตองเลือก 6 ซึ่งเลือกได 1 วิธี

ในตําแหนงที่สามจะเลือก 2 , 3 , 4 หรือ 5 ก็ไดรวม 4 วิธี เชนถาเลือก 2 ในตําแหนงที่สามจะตองเลือก 5 มาเขียนในตําแหนงที่หก

1

6

1265

81

ในตําแหนงที่สองจะมีจํานวนใหเลือก คือ จํานวนที่เหลืออีก 2 จํานวนคือ 3หรือ 4 ซึ่งเขียนไดทั้งหมดสองวิธีดังนี้

หรือ

จากคําตอบที่ไดผูสอนและผูเรียนชวยกันเขียนขอสรุปในตารางดังนี้

ตําแหนงที่ 1 2 3 4 5 6 จํานวนวิธีท่ีเลือก 6 2 4 1 1 1

ผูสอนถามผูเรียนวา จํานวนวิธีที่จะเขียนจํานวน 1 ถึง 6 บนลูกบาศกเพื่อใหผลบวกของจํานวนที่อยูบนดานตรงขามเทากับ 7 มีทั้งหมดเทาใดผูเรียนควรสรุปคําตอบโดยใชคําตอบที่ไดจากการทํากิจกรรมประกอบของแตละกลุม

ซึ่งคําตอบเทากับ 48 หรือ 6 × 2 × 4 วิธี

3 4 4 3

82

ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท

1. เมือง ก. เมือง ข. และเมือง ค. มีถนนเชื่อมระหวางเมืองทั้งสามดังรูป

จงหาจํานวนวิธีที่จะเลือกเสนทางจากเมือง ก. ไปเมือง ค.

2. รานอาหารแหงหนึ่งจัดรายการอาหารไวดังนี้อาหารคาว 8 ชนิดอาหารหวาน 5 ชนิดผลไม 3 ชนิดเครื่องดื่ม 3 ชนิด

ถาตองการจัดรายการอาหารที่มีอาหารคาว อาหารหวาน ผลไม และเครื่องดื่ม อยางละ1 ชนิด จะจัดรายการอาหารที่แตกตางกันไดทั้งหมดกี่วิธี

3. 1) จงเขียนแผนภาพตนไม เพื่อแสดงบุตรชาย หรือหญิงของครอบครัวที่มีบุตรสองคนและ(1) มีบุตรคนแรกเปนชาย(2) มีบุตรคนแรกเปนหญิง

2) จงหาความนาจะเปนที่ครอบครัวหนึ่งจะมีบุตรสามคนโดยที่(1) บุตรทั้งสามเปนบุตรชาย(2) เปนบุตรชายอยางนอย 1 คน(3) ไมมีบุตรชายเลย

••

•ก.

ข.ค.

83

4. หยิบแผนปายสามแผนทีละแผนออกจากกลองโดยไมใสคืน แผนปายสามแผนเขียนอักษรไวดังนี้

แผนที่ 1 เขียนอักษร ชแผนที่ 2 เขียนอักษร นแผนที่ 3 เขียนอักษร ว

จงหาความนาจะเปนที่แผนปายที่หยิบไดครั้งที่ 1, 2 และ 3 จะอานวา “ชวน”

5.

ทอดลูกเตาทรงสี่หนาสองลูกที่มีดานแตละดานเปนรูปสามเหลี่ยมดานเทาและมีตัวเลข1, 2, 3 และ 4 เขียนไวบนหนาลูกเตาหนาละหนึ่งจํานวน1) จงหาจํานวนวิธีทั้งหมดที่ผลบวกของแตมที่อยูบนหนาที่สัมผัสกับพื้นจะเทากับ

2, 3, 4, 5, 6, 7 หรือ 8

ผลบวก 2 3 4 5 6 7 8จํานวนวิธี

2) จงหาความนาจะเปนที่ผลบวกของแตมนอยกวา 43) จงหาความนาจะเปนที่ผลบวกของแตมมีคาไมเกิน 44) จงหาความนาจะเปนที่ผลบวกของแตมไมเทากับ 55) จงหาความนาจะเปนที่ผลบวกของแตมเทากับ 2 หรือ 3

84

เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท

1. ถากําหนดให a, b และ c แทนเสนทางแตละเสนทางจากเมือง ก ไปเมือง ข และx, y แทนเสนทางแตละเสนทางจากเมือง ข ไปเมือง ค จะแสดงการเดินทางจากเมือง กไปเมือง ค ดังภาพ

เมือง ก เมือง ข เมือง ค เสนทาง

สรุปวา จํานวนวิธีที่จะเลือกเสนทางจากเมือง ก ไปเมือง ค มีทั้งหมด 3 × 2 หรือ 6 วิธี

2. มีวิธีจัดอาหารไดทั้งหมด 8 × 5 × 3 × 3 หรือ 360 วิธี

abc

xy

xy

xy

axaybxbycxcy

•

•ก

ขคa

bc

xy

85

3. 1) บุตรคนแรก บุตรคนที่สอง บุตรคนแรก บุตรคนที่สอง

(1) (2)

2) บุตรคนแรก บุตรคนที่สอง บุตรคนที่สาม

ให E1, E2 และ E3 แทนเหตุการณในขอ (1), (2) และ (3)S = {(ช, ช, ช), (ช, ช, ญ), (ช, ญ, ช), (ช, ญ, ญ),

(ญ, ช, ช), (ญ, ช, ญ), (ญ, ญ, ช), (ญ, ญ, ญ)}E1 = {(ช, ช, ช)}E2 = {(ช, ช, ช), (ช, ช, ญ), (ช, ญ, ช), (ช, ญ, ญ), (ญ, ช, ช),

(ญ, ช, ญ), (ญ, ญ, ช)}E3 = {(ญ, ญ, ญ)}

(1) P(E1) = 18

(2) P(E2) = 78

(3) P(E3) = 18

ช

ญช

ช

ญช

ช

ญช

ญ

ช

ญญ

ช

ญช

ญ

ช

ญญ

86

4. จํานวนวิธีที่จะหยิบแผนปายสามแผนทีละแผนมีไดทั้งหมด 3 × 2 × 1 หรือ 6 วิธีจํานวนวิธีที่จะหยิบแผนปายครั้งที่ 1, 2 และ 3 แลวไดอักษร ช, ว และ น มีไดทั้งหมด1 × 1 × 1 หรือ 1 วิธีดังนั้น ความนาจะเปนที่แผนปายที่หยิบไดครั้งที่ 1, 2 และ 3 จะอานไดวา “ชวน”เทากับ 1

6

5. ผลบวกที่จะเกิดจากการทอดลูกเตาสองลูกจะเทากับ 2, 3, 4, 5, 6, 7 หรือ 8จํานวนวิธีทั้งหมดที่จะไดผลบวกของแตมบนหนาลูกเตาทั้งสองลูกเทากับ 4 × 4หรือ 16 วิธี หรือหาจํานวนวิธีที่จะไดผลบวกทั้งหมดโดยใชตารางดังนี้

1 2 3 41 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4)2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4)3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4)4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4)

จากตารางขางตนจะเห็นวาวิธีที่ผลบวกจะเทากับ 2 คือ (1, 1) มี 1 วิธีวิธีที่ผลบวกจะเทากับ 3 คือ (1, 2), (2, 1) มี 2 วิธีวิธีที่ผลบวกจะเทากับ 4 คือ (1, 3), (3, 1), (2, 2) มี 3 วิธีวิธีที่ผลบวกจะเทากับ 5 คือ (1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2) มี 4 วิธีวิธีที่ผลบวกจะเทากับ 6 คือ (2, 4), (4, 2), (3, 3) มี 3 วิธีวิธีที่ผลบวกจะเทากับ 7 คือ (3, 4), (4, 3) มี 2 วิธีวิธีที่ผลบวกจะเทากับ 8 คือ (4, 4) มี 1 วิธี

รวม 16 วิธี

87

ผลบวก 2 3 4 5 6 7 8จํานวนวิธี 1 2 3 4 3 2 1

ให E1, E2, E3 และ E4 เปนเหตุการณในขอ 2), 3), 4) และ 5)

2) P(E1) = 316

3) P(E2) = 616

หรือ 38

4) P(E3) = 1216

หรือ 34

5) P(E4) = 316

เฉลยแบบฝกหัด 2.1

1. เสนทางที่จะขับรถจากกรุงเทพฯ ถึงนครราชสีมาโดยผานลพบุรีที่ตางกันมีทั้งหมด3 × 4 หรือ 12 เสนทางใชแผนภาพตนไมแสดงเสนทางการเดินทางขางตนไดดังนี้ให ล1, ล2 และ ล3 แทนถนนจากกรุงเทพฯ ถึงลพบุรีซึ่งมี 3 สายให น1, น2, น3 และ น4 แทนถนนจากลพบุรีถึงนครราชสีมาซึ่งมี 4 สาย

88

น1

น2

น3

น4

น1

น2

น3

น4

น1

น2

น3

น4

จะเห็นไดวามีวิธีเลือกเสนทางจากกรุงเทพฯ ถึงนครราชสีมาโดยผานลพบุรีไดทั้งหมด12 วิธี คือ (ล1, น1), (ล1, น2), (ล1, น3), (ล1, น4), (ล2, น1), (ล2, น2), (ล2, น3),(ล2, น4), (ล3, น1), (ล3, น2), (ล3, น3), (ล3, น4)

2. ให ห1, ห2 และ ห3 แทนเหรียญที่ 1, 2 และ 3 ข้ึนหัวก1, ก2 และ ก3 แทนเหรียญที่ 1, 2 และ 3 ข้ึนกอย

ผลที่เกิดจากการโยนเหรียญแตละครั้งจะเปนหัวหรือกอย มี 2 วิธีดังนั้น การโยนเหรียญสามเหรียญจะไดผลตางกันทั้งหมด 2 × 2 × 2 = 8 วิธี

ล1

ล2

ล3

กรุงเทพฯ

ห1

ก1

ห2

ก2

ห2

ก2

ห3

ก3

ห3

ก3ห3

ก3

ห3

ก3

89

3. ตองใชเสื้อทั้งหมดเทากับ 4 × 6 × 3 = 72 ตัว

4. คําตอบของขอแรกมีวิธีใหเลือก 2 วิธีในแตละวิธีเลือกคําตอบขอแรกจะมีวิธีเลือกคําตอบขอสอง 2 วิธีในแตละวิธีที่เลือกคําตอบขอแรกและขอสองจะมีวิธีเลือกคําตอบขอสามได 2 วิธีในแตละวิธีที่เลือกคําตอบขอแรกถึงขอสามจะมีวิธีเลือกคําตอบขอสามได 2 วิธี

M Mในแตละวิธีที่เลือกคําตอบขอแรกถึงขอเกาจะมีวิธีเลือกคําตอบขอสิบ 2 วิธีดังนั้น จะมีวิธีตอบขอสอบชุดนี้ไดตาง ๆ กัน 2 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ 2 = 210 = 1024 วิธี

5. หมายเลขโทรศัพทประกอบดวยเลขโดด 9 ตัว ซึ่งไดแก 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9ตําแหนงที่ 1 มีได 1 วิธีคือ เลขโดด 0ตําแหนงที่ 2 มีได 1 วิธีคือ เลขโดด 2ตําแหนงที่ 3 มีได 1 วิธีคือ เลขโดด 3ตําแหนงที่ 4 มีได 1 วิธีคือ เลขโดด 9ตําแหนงที่ 5 มีได 1 วิธีคือ เลขโดด 2ตําแหนงที่ 6, 7, 8 และ 9 แตละตําแหนงอาจเปนเลขโดดตัวใดตัวหนึ่งจาก 0 – 9ซึ่งเปนไปได 10 วิธีดังนั้น หมายเลขโทรศัพทที่หาตัวแรกเปน 02392 มีไดทั้งหมด1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10,000 หมายเลข

6. จํานวนวิธีที่จะเขาสนามกีฬาโดยใชประตูใดประตูหนึ่ง มีได 4 วิธีจํานวนวิธีที่จะออกจากสนามกีฬาโดยใชประตูที่ไมซ้ํากับประตูที่เขามา มีได 3 วิธีดังนั้น จํานวนวิธีเขาและออกจากสนามกีฬาแหงนี้มีไดทั้งหมด 4 × 3 = 12 วิธี

7. 1) ผลที่ไดจากการทอดลูกเตาลูกแรกมี 6 วิธี คือ 1, 2, 3, 4, 5, 6 และในแตละวิธีของผลที่ไดจากการทอดลูกเตาลูกแรก จํานวนวิธีที่แตมที่ไดตรงกันมีได 1 วิธีดังนั้น วิธีที่จะใหจํานวนแตมตรงกันมี 6 × 1 = 6 วิธี

90

2) การที่ผลรวมของแตมบนหนาลูกเตาสองลูกจะเทากับ 10 มี 3 วิธี คือ แตมของลูกเตาลูกแรกเปน 4, 5 หรือ 6 (เพราะแตม 1, 2, 3 ไมมีโอกาสที่จะรวมกับแตมของลูกที่สองแลวเทากับ 10) และในแตละวิธีของการทอดลูกเตาลูกแรกจะไดผลรวมของแตมเทากับ 10 มีเพียง 1 วิธี คือ 4 และ 6, 5 และ 5, 6 และ 4ดังนั้น จํานวนวิธีที่จะไดผลรวมของแตมเทากับสิบมีได 3 วิธี

3) ในแตละครั้งที่ปรากฏผลจากการทอดลูกสองลูกพรอมกัน การที่แตมของลูกเตาลูกที่สองจะตางจากลูกแรกมีได 5 วิธีแตเนื่องจากในการทอดลูกเตาลูกแรกจะปรากฏผลไดทั้งหมด 6 วิธีดังนั้น จํานวนวิธีที่แตมของลูกเตาสองลูกตางกันเทากับ 6 × 5 = 30 วิธี

4) จํานวนวิธีที่เกิดผลลัพธทั้งหมดในการทอดลูกเตา 2 ลูกมี 6 × 6 หรือ 36 วิธีจํานวนวิธีทั้งหมดที่ผลรวมของแตมเทากับสิบมี 3 วิธีคือ 4 + 6, 5 + 5, 6 + 4จํานวนวิธีทั้งหมดที่ผลรวมของแตมเทากับสิบเอ็ดมี 2 วิธี คือ 5 + 6, 6 + 5จํานวนวิธีทั้งหมดที่ผลรวมของแตมเทากับสิบสองมี 1 วิธี คือ 6 + 6จะไดวา จํานวนวิธีทั้งหมดที่จะไดผลลัพธมากกวาหรือเทากับสิบจะเทากับ3 + 2 + 1 หรือ 6 วิธีดังนั้น จํานวนวิธีที่จะไดผลรวมของแตมนอยกวาสิบมี 36 – 6 หรือ 30 วิธี

8. เลขโดดในหลักทั้งสี่ตางเปนสมาชิกของเซต S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}1) ในหลักพันจะมีเลขโดดที่เปนไปได 9 วิธี คือ เปนสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งของเซต S

ก็ได ยกเวน 0ในหลักรอยจะมีเลขโดดที่เปนไปได 10 วิธี คือ เปนสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งของเซต Sในหลักสิบจะมีเลขโดดเปนไปได 10 วิธี คือ เปนสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งของเซต Sในหลักหนวยจะมีเลขโดดที่เปนไปได 10 วิธี คือ เปนสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งของเซต Sดังนั้น จํานวนวิธีที่จะเขียนจํานวนเต็มบวกซึ่งมีสี่หลักมีทั้งหมดเทากับ9 × 10 × 10 × 10 หรือ 9,000 วิธี

91

2) จํานวนคี่ใด ๆ จะตองมีหลักหนวยเปน 1, 3, 5, 7, 9 ซึ่งมีได 5 วิธีดังนั้น จํานวนวิธีที่จะเขียนจํานวนคี่บวกซึ่งเปนจํานวนที่มีสี่หลักมีทั้งหมด9 × 10 × 10 × 5 = 4,500 วิธี

3) จํานวนวิธีที่จะเขียนจํานวนเต็มบวกที่มีสี่หลักและมีหลักหนวยเปน 0มีทั้งหมด 9 × 10 × 10 × 1 = 900 วิธี

9. ทะเบียนรถยนตประกอบดวยพยัญชนะ 1 ตัว และเลขโดดอีก 4 ตัวดังนั้น จํานวนทะเบียนรถที่จะมีไดทั้งหมด 44 × 104 ทะเบียนแตถาคิดวาหมายเลข 0000 ซึ่งมีทั้งหมด 44 รายการ กองทะเบียนจะไมออกทะเบียนให จะมีทะเบียนรถยนตไดทั้งหมด 44(104 – 1) ทะเบียน

ในกรณีที่กองทะเบียนรถยนตเปลี่ยนระบบใหมโดยใชตัวเลข 1 ถึง 9 นําหนาพยัญชนะและตามดวยเลขโดด 4 ตัวดังนั้น ในระบบใหมกองทะเบียนจะออกทะเบียนไดทั้งหมด (9)(44)(104 – 1) ทะเบียนนั่นคือ กองทะเบียนจะออกหมายเลขทะเบียนรถยนตเพิ่มขึ้นจากเดิมได9 × 44(104 – 1) – 44(104 – 1) = 44(104 – 1)(9 – 1)

= 352(104 – 1) ทะเบียน = 3,519,648 ทะเบียน

10. จํานวนทะเบียนที่มีตัวเลข 1 หลัก มีได 9 แบบ (1 – 9)จํานวนทะเบียนที่มีตัวเลข 2 หลัก มีได 90 แบบ (10 – 99)จํานวนทะเบียนที่มีตัวเลข 3 หลัก มีได 900 แบบ (100 – 999)จํานวนทะเบียนที่มีตัวเลข 4 หลัก มีได 9000 แบบ (1000 – 9999)ดังนั้น จํานวนหมายเลขทะเบียนที่แตกตางกันมีไดทั้งหมด 44 × 44 × 9999หรือ 19,358,064 ทะเบียน

11. มีวิธีเขียนจํานวนเต็มบวกที่มีสองหลักจากตัวเลข 1 ถึง 7 ได 7 × 7 = 49

92

12. 1) จํานวนคูจะตองมีหลักหนวยเปน 2, 4, 6, 8เนื่องจากจํานวนคูที่ตองการใหเลือกจากเลขโดด 2 – 9 ซึ่งมีทั้งหมด 8 ตัวดังนั้น การเขียนจํานวนคูซึ่งเปนจํานวนเต็มบวกที่มีสามหลักจากเลขโดดที่กําหนดใหเขียนไดทั้งหมด 8 × 8 × 4 = 256 วิธี

2) จํานวนคี่จะตองมีหลักหนวยเปน 1, 3, 5, 7ดังนั้น การเขียนจํานวนคี่ซึ่งเปนจํานวนเต็มบวกที่มีสี่หลักจากเลขโดดที่กําหนดใหเขียนไดทั้งหมด 8 × 8 × 8 × 4 = 2,048 วิธี

13. จํานวนวิธีทั้งหมดที่เกิดขึ้นจากการทอดลูกเตาสามลูก มีทั้งหมด 6 × 6 × 6หรือ 216 วิธีผลบวกของแตมบนหนาลูกเตาทั้งสามที่นอยกวาหรือเทากับ 4 มีทั้งหมด 4 วิธี ดังนี้

แตมบนหนาลูกเตาลูกที่ 1 ลูกที่ 2 ลูกที่ 3

ผลรวมของแตม

1112

1121

1211

3444

ดังนั้น จํานวนวิธีที่ผลบวกของแตมบนหนาลูกเตาสามลูกมากกวาสี่ เทากับ 216 – 4หรือ 212 วิธี

14. เนื่องจากจํานวนนับที่เปนจํานวนสามหลักที่มากกวา 400 จะตองมีเลขโดดในหลักรอยเปน 4 หรือ 5 การเขียนจํานวนดังกลาวมีได 2 วิธีดังนั้น จํานวนนับที่มีสามหลักที่ตองการจะมีได 2 × 3 × 2 = 12 จํานวนจํานวนนับที่มีสี่หลักมีได 4 × 3 × 2 ×1 = 24 จํานวนนั่นคือ จํานวนนับที่มากกวา 400 และเปนจํานวนไมเกินสี่หลักตามตองการมีทั้งหมด 12 + 24 = 36 จํานวน

93

เฉลยแบบฝกหัด 2.2

1. มีถุงเทา 4 คู เปนถุงเทาสีดํา 2 คู ใหเปน ด1, ด2 และเปนถุงเทาสีขาว 2 คูใหเปน ข1, ข2

ดังนั้น S = {(ด1, ด2), (ด1, ข1), (ด1, ข2), (ด2, ข1), (ด2, ข2), (ข1, ข2)}E เปนเหตุการณที่จะหยิบถุงเทาสองคูใหไดสีเดียวกันนั่นคือ E = {(ด1, ด2), (ข1, ข2)}ดังนั้น P(E) = 2

6 หรือ 1

3

2. มีนักเรียนทั้งหมด 30 คน เปนนักเรียนชาย 18 คน นักเรียนหญิง 12 คน1) ความนาจะเปนที่จะจับสลากใบแรกเปนนักเรียนชายเทากับ 18

30 = 35

2) ความนาจะเปนที่จะจับสลากใบแรกเปนนักเรียนหญิงเทากับ 1230

= 25

3. มีเบี้ย 6 อัน แตละอันเขียนตัวเลข 3, 4, 7, 9, 10, 11 กํากับไว1) เบี้ยที่เขียนเปนจํานวนคูไวมีสองอันคือ 4 และ 10

ดังนั้น โอกาสที่จะไดเบี้ยที่มีตัวเลขที่เปนจํานวนคูเทากับ 26

หรือ 13

2) เบี้ยที่เขียนเปนจํานวนเฉพาะไวมี 3 อัน คือ 3 , 7 และ 11ดังนั้น โอกาสที่จะไดเบี้ยที่มีตัวเลขที่เปนจํานวนเฉพาะเทากับ 3

6 หรือ 1

23) เบี้ยที่เขียนเปนจํานวนที่หารดวย 3 ลงตัว มี 2 อัน คือ 3 และ 9

ดังนั้น โอกาสที่จะไดเบี้ยที่มีตัวเลขที่เปนจํานวนที่หารดวย 3 ลงตัวเทากับ26

หรือ 13

4) เบี้ยที่เขียนตัวเลขที่เปนจํานวนที่เปนกําลังสองสมบูรณมี 2 อันคือ 4 และ 9ดังนั้น โอกาสที่จะไดเบี้ยที่มีตัวเลขที่เปนจํานวนที่เปนกําลังสองสมบูรณเทากับ 2

6 หรือ 1

3

94

4. เหรียญบาท 100 เหรียญ แตละเหรียญเขียนตัวเลขกํากับไวตั้งแต 1 ถึง 1001) ให E1 เปนเหตุการณที่จะสุมเหรียญแลวไดตัวเลขบนเหรียญเปนจํานวนคู

จะได E1 = {2, 4, 6, ..., 98, 100}P(E1) = 50

100 = 1

22) ให E2 เปนเหตุการณที่จะสุมเหรียญแลวไดตัวเลขบนเหรียญเปนจํานวน

ที่มีรากที่สองเปนจํานวนเต็มจะได E2 = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100}

P(E2) = 10100

= 110

3) ให E3 เปนเหตุการณที่จะสุมเหรียญแลวไดตัวเลขบนเหรียญเปนจํานวนที่หารดวย 5 ลงตัวจะได E3 = {5, 10, 15, 20, 25, ...., 90, 95, 100}

P(E3) = 20100

= 15

4) เนื่องจาก 1 ถึง 100 มีจํานวนที่เปนจํานวนคี่อยู 50 จํานวนพิจารณาจํานวนคูที่มีคาตั้งแต 1 ถึง 100 และหารดวย 3 ลงตัว จะพบวาจํานวนดังกลาวเขียนไดในรูปลําดับเลขคณิต 6, 12, 18, 24, ..., 96จาก an = a1 + (n – 1)d เมื่อ a1 = 6 และ d = 6จะได 96 = 6 + (n – 1)6

96 = 6 + 6n – 6 n = 16

ดังนั้น จํานวนคี่หรือจํานวนที่หารดวย 3 ลงตัว ซึ่งมีคาตั้งแต 1 ถึง 100มีทั้งหมด 50 + 16 หรือ 66 จํานวนนั่นคือ ความนาจะเปนที่ตัวเลขที่เขียนกํากับเหรียญที่หยิบไดจะเปนจํานวนคี่หรือจํานวนที่หารดวย 3 ลงตัว เทากับ 66

100 หรือ 33

50

95

5. ในงานปใหมของอําเภอหนึ่ง มีการขายสลากจํานวน 1,000 ใบ1) ถาซื้อสลาก 1 ใบ ความนาจะเปนที่จะถูกรางวัลที่ 1 เปน 1

1,000

2) ถาซื้อสลาก 10 ใบ ความนาจะเปนที่จะถูกรางวัลที่ 1 เปน 101,000

= 1100

6. 1) 720

2) จํานวนนักเรียนที่สวมรองเทาที่เล็กกวาเบอร 8 มี 3 + 12 + 35 หรือ 50 คนความนาจะเปนที่นักเรียนคนหนึ่งจะสวมรองเทาขนาดเล็กกวาเบอร 8 เทากับ50100

หรือ 12

3) จํานวนนักเรียนที่สวมรองเทาเบอร 8 หรือ 9 มี 27 + 16 = 43 คนความนาจะเปนที่นักเรียนคนหนึ่งจะสวมรองเทาขนาดเบอร 8 หรือเบอร 9เทากับ 43

1004) จํานวนนักเรียนที่สวมรองเทาเบอร 5 หรือ 10 มี 3 + 7 หรือ 10 คน

ความนาจะเปนที่นักเรียนคนหนึ่งจะสวมรองเทาขนาดเบอร 5 หรือเบอร 10เทากับ 1

105) จํานวนนักเรียนที่สวมรองเทาใหญกวาเบอร 7 มี 27 + 16 + 7 หรือ 50 คน

ความนาจะเปนที่นักเรียนคนหนึ่งจะสวมรองเทาขนาดเบอร ใหญกวาเบอร 7เทากับ 50

100 หรือ 1

27. ใหหลอดไฟที่ดี 3 หลอด แทนดวย ด1, ด2 และ ด3

หลอดไฟที่เสีย 2 หลอด แทนดวย ส1 และ ส2

ถาหยิบหลอดไฟสองหลอดจะปรากฏผลไดทั้งหมด 10 วิธี ดังนี้ด1 และ ด2 * ด2 และ ส1

ด1 และ ด3 * ด2 และ ส2

ด2 และ ด3 * ด3 และ ส1

* ด1 และ ส1 * ด3 และ ส2

* ด1 และ ส2 ส1 และ ส2

จากผลขางตนจะพบวา ความนาจะเปนที่จะหยิบไดหลอดดีและหลอดเสียอยางละ 1 หลอด เทากับ 6

10 หรือ 3

5

96

8. ถุงใบหนึ่งมีลูกปงปองสีแดง 15 ลูก สีขาว 1 ลูก สีเหลือง 1 ลูก สีเขียว 1 ลูกสีฟา 1 ลูก และสีดํา 1 ลูก รวมทั้งหมด 20 ลูก1) ความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกบอลสีแดงเทากับ 15

20 หรือ 3

4

2) ความนาจะเปนที่จะหยิบไมไดลูกบอลสีดําเทากับ 1920

3) ความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกบอลสีดําหรือสีขาว 220

หรือ 110

9. ความนาจะเปนของเหตุการณที่นักเรียนจะดื่มน้ําผลไมเทากับ 14

หรือ 0.25

ความนาจะเปนของเหตุการณที่นักเรียนจะดื่มนมเทากับ 25

หรือ 0.4

ความนาจะเปนของเหตุการณที่นักเรียนจะดื่มน้ํานมถั่วเหลืองเทากับ 120

หรือ 0.05

ความนาจะเปนของเหตุการณที่นักเรียนจะดื่มน้ําอัดลมเทากับ 310

หรือ 0.31) เนื่องจากความนาจะเปนของเหตุการณที่นักเรียนจะดื่มนมเทากับ 0.4

ซึ่งมีคามากที่สุดดังนั้น นมเปนเครื่องดื่มที่ขายดีที่สุด

2) เนื่องจากความนาจะเปนของเหตุการณที่นักเรียนจะดื่มน้ํานมถั่วเหลืองเทากับ 0.05 ซึ่งมีคานอยที่สุดดังนั้น น้ํานมถั่วเหลืองเปนเครื่องดื่มที่ขายไดนอยที่สุด

3) เมื่อเรียงลําดับคาของความนาจะเปนขางตน จะพบวา ความนิยมของเครื่องดื่มที่ขายดีมากที่สุดไปนอยที่สุดเปนดังนี้นม น้ําอัดลม น้ําผลไม และน้ํานมถั่วเหลือง

10. 1) ความนาจะเปนที่เข็มจะชี้ที่ตัวเลข 1 เทากับ 110

2) ความนาจะเปนที่เข็มจะชี้ที่ตัวเลข 6 เทากับ 210

หรือ 15

3) ความนาจะเปนที่เข็มจะชี้ที่จํานวนคู เทากับ 610

หรือ 35

4) ความนาจะเปนที่เข็มจะชี้ที่จํานวนคี่ เทากับ 410

หรือ 25

5) ความนาจะเปนที่เข็มจะชี้ที่จํานวนเฉพาะเทากับ 510

หรือ 12

6) ความนาจะเปนที่เข็มจะชี้ที่จํานวนที่มีคามากกวา 4 เทากับ 410

หรือ 25