Aula 08 de estatística

Variancia e Desvio PadraoCalculo da Variancia e Desvio Padrao

Interpretacao do Desvio PadraoMedidas de dispersao relativa

Prof. Me. Josivaldo Nascimento dos Passos

MEDIDAS DE DISPERSAO

UNIVERSIADE ESTADUAL DO MARANHAO

17 de outubro de 2016

Estatıtica Basica



Sumario

Variancia e Desvio Padrao

Introducao;

Calculo da Variancia e Desvio Padrao;

1o Caso - DADOS BRUTOS OU ROL

2o Caso - Variavel Discreta

3o Caso - Variavel Contınua

Interpretacao do Desvio Padrao

Medidas de dispersao relativa

Estatıtica Basica



Introducao

Observamos no item anterior que a dificuldade em se operar com oDMS se deve a presenca do modulo, para que as diferencas xi − xpossam ser interpretadas como distancias.Outra forma de se conseguir que as diferencas xi − x se tornemsempre positivas ou nulas e considerar o quadrado destas diferencas,isto e: (xi − x)2.Se substituirmos, nas formulas do DMS a expressao xi − x por(xi − x)2, obteremos nova medida de dispersao chamada variancia.Portanto, variancia e uma media aritmetica calculada a partir dosquadrados dos desvios obtidos entre os elementos da serie e a suamedia.

Estatıtica Basica



Introducao

O desvio padrao e a raiz quadrada positiva da variancia.Em particular, para estas medidas levaremos em consideracao o fatode a sequencia de dados representar toda uma populacao ou apenasuma amostra de uma populacao.No final desta seccao justificaremos esta necessidade.Notacoes: Quando a sequencia de dados representa uma Populacaoa variancia sera denotada por σ2(x) e o desvio padrao correspon-dente por σ(x).Quando a sequencia de dados representa uma amostra, a varianciasera denotada por s2(x) e o desvio padrao correspondente por s(x).

Estatıtica Basica




a) Se a sequencia representa uma Populacao, a variancia e calcu-lada pela formula:

σ2(x) =

∑(xi − x)2

n

Exemplo

Calcule a variancia e o desvio padrao da sequencia: X : 4, 5, 8, 5.

A sequencia contem n = 4 elementos e tem por media:

X =

∑xi

n=

4 + 5 + 8 + 5

4= 5, 5

Estatıtica Basica




Os quadrados das diferencas (xi − x)2 valem:

(xi − x)2 = (4− 5, 5)2 = 2, 25(xi − x)2 = (5− 5, 5)2 = 0, 25(xi − x)2 = (8− 5, 5)2 = 6, 25(xi − x)2 = (5− 5, 5)2 = 0, 25

Somando-se estes valores obtem-se∑

(xi − x)2 = 9.Substituindo esses valores na formula da variancia, teremos:

σ2(x) =

∑(xi − x)2

n=

9

4= 2, 25

Como o desvio padrao e a raiz quadrada positiva da variancia,

σ(x) =√σ2(x) =

√2, 25 = 1, 5 unidades.

Estatıtica Basica




b) Se a sequencia anterior representasse apenas uma amostra, avariancia seria denotada por s2(x) e o desvio padrao por s(x).Neste caso,

s2(x) =

∑(xi − x)2

n − 1e

s(x) =√

s2(x)

Notemos a diferenca entre a formula do slide 5 de σ2(x) (indi-cado para Populacoes) e s2(x) para amostra.Assim,

s2(x) =

∑(xi − x)2

n − 1=

9

3= 3 e o desvio padrao e s(x) =

√3 = 1, 73.

Estatıtica Basica



2o Caso - VARIAVEL DISCRETA

Como ha repeticoes de elementos na serie, definimos a varianciacomo sendo uma media aritmetica ponderada dos quadrados dosdesvios dos elementos da serie para a media da serie.

a) Se a variavel discreta e representativa de uma Populacao, entaoa variancia e dada por:

σ2(x) =

∑[(xi − x)2.fi ]∑

fi

e o desvio padrao e:

σ(x) =√σ2(x)

Estatıtica Basica




b) Se a variavel discreta e representativa de uma amostra, entaoa variancia e dada por:

s2(x) =

∑[(xi − x)2.fi ]∑

fi − 1

e o desvio padrao e:

s(x) =√

s2(x)

Estatıtica Basica




Exemplo

Calcule a variancia e o desvio padrao da serie abaixo, representativade uma populacao.

xi fi2 33 54 85 4

O numero de elemento da serie e n =∑

fi = 20.

A media desta serie e X =

∑xi fi∑fi

Estatıtica Basica




xi fi xi fi2 3 63 5 154 8 325 4 20∑

fi = 20∑

xi fi = 73

A media desta serie e X =

∑xi fi∑fi

=73

20= 3, 65

Como estamos trabalhando com uma Populacao a variancia e dadapor:

σ2(x) =

∑[(xi − x)2.fi ]∑

fi

Desenvolvendo nova coluna para estes calculos, obtem-se:

Estatıtica Basica




xi fi xi fi (xi − x)2fi2 3 6 8,16753 5 15 2,11254 8 32 0,98005 4 20 7,2900∑

fi = 20∑

xi fi = 73∑

[(xi − x)2fi ] = 18, 55

A variancia e:

σ2(x) =

∑[(xi − x)2.fi ]∑

fi=

18, 55

20= 0, 9275

e o desvio padrao correspondente e σ(x) =√

0, 9275 = 0, 963

Estatıtica Basica




Exemplo

Se a variavel discreta fosse representativa de uma amostra, avariancia seria indicada por s2(x) e seria calculada por:

s2(x) =

∑[(xi − x)2.fi ]∑

fi − 1=

18, 55

19= 0, 9763

O desvio padrao seria calculado por s(x) =√

0, 9763 = 0, 988.

Estatıtica Basica



3o Caso - VARIAVEL CONTINUA

Novamente, por desconhecer os particulares valores xi da serie, subs-tituiremos nas formulas anteriores estes valores pelos pontos mediosde classe.A formula da variancia para uma variavel contınua representativa deuma populacao e:

σ2(x) =

∑[(xi − x)2.fi ]∑

fi

onde xi e o ponto medio da classe i .Se a variavel contınua representa uma amostra entao a varianciadenotada por s2(x) e sua formula de calculo e:

s2(x) =

∑[(xi − x)2.fi ]∑

fi − 1

Estatıtica Basica




Exemplo

Calcule a variancia e o desvio padrao para a serie representativa deuma Populacao:

Classe Int. cl. fi1 0 ` 4 12 4 ` 8 33 8 ` 12 54 12 ` 16 1

O numero de elementos da serie e n =∑

fi = 10.

A media da serie e X =

∑xi fi∑fi

onde xi sao os pontos medios de

classe.

Estatıtica Basica




Classe Int. cl. fi xi fi1 0 ` 4 1 22 4 ` 8 3 183 8 ` 12 5 504 12 ` 16 1 14∑

fi = 10∑

xi fi = 84

A media da serie e:

X =

∑xi fi∑fi

=84

10= 8, 4

Como a variavel contınua e representativa de uma populacao,entao a variancia e dada por:

σ2(x) =

∑[(xi − x)2.fi ]∑

fiEstatıtica Basica




Classe Int. cl. fi xi fi (xi − x)2fi1 0 ` 4 1 2 40,962 4 ` 8 3 18 17,283 8 ` 12 5 50 12,804 12 ` 16 1 14 31,36∑

= 10∑

= 84∑

= 102, 4

A variancia e, portanto:

σ2(x) =

∑[(xi − x)2.fi ]∑

fi=

102, 4

10= 10, 24

e o desvio padrao e: σ(x) =√

10, 24 = 3, 2.

Estatıtica Basica




Exemplo

Se a variavel contınua fosse representativa de uma amostra, avariancia seria indicada por s2(x) e sua formula de calculo seria:

s2(x) =

∑[(xi − x)2.fi ]∑

fi − 1

Dessa forma, s2(x) =102, 4

9= 11, 38 e o desvio padrao seria

s(x) =√

11, 38 = 3, 373

Estatıtica Basica




Comentarios:

1. No calculo da variancia, quando elevamos ao quadrado a di-ferenca (xi − x), a unidade de medida da serie fica tambemelevada ao quadrado.Portanto, a variancia e dada sempre no quadrado da unidadede medida da serie.Se os dados sao expressos em metros, a variancia e expressaem metros quadrados.Em algumas situacoes, a unidade de medida da variancia nemfaz sentido.E o caso, por exemplo, em que os dados sao expressos em litros.A variancia sera expressa em litros quadrados.Portanto, o valor da variancia nao pode ser comparado dire-tamente com os dados da serie, ou seja: variancia nao teminterpretacao.

Estatıtica Basica




2. Exatamente para suprir esta deficiencia da variancia e que sedefine o desvio padrao.Como o desvio padrao e a raiz quadrada da variancia, o desviopadrao tera sempre a mesma unidade de medida da serie eportanto admite interprctacao.

Estatıtica Basica




O desvio padrao e, sem duvida, a mais importante das medidas dedispersao.E fundamental que o interessado consiga relacionar o valor obtidodo desvio padrao com os dados da serie.Quando uma curva de frequencia representativa da serie e perfei-tamente simetrica como a curva abaixo, podemos afirmar que ointervalo [x − σ, x + σ] contem aproximadamente 68% dos valoresda serie.

Estatıtica Basica




O intervalo [x − 2σ, x + 2σ] contem aproximadamente 95% dosvalores da serie.

O intervalo [x − 3σ, x + 3σ] contem aproximadamente 99% dosvalores da serie.

Estatıtica Basica




Estes percentuais 68%, 95% e 99% que citamos na interpretacaopoderao mais tarde ser comprovados, com maior precisao, no estudoda distribuicao normal de probabilidades.

Estatıtica Basica




Para uma compreensao inicial do desvio padrao, estas nocoes saosuficientes.Quando a distribuicao nao e perfeitamente simetrica estes percen-tuais apresentam pequenas variacoes para mais ou para menos, se-gundo o caso.De modo que, quando se afirma que uma serie apresenta mediax = 100 e desvio padrao σ(x) = 5, podemos interpretar estes valoresda seguinte forma:

1. Os valores da serie estao concentrados em torno de 100.

Estatıtica Basica




2. O intervalo [95, 105] contem aproximadamente, 68% dos valo-res da serie.O intervalo [90, 110] contem aproximadamente 95% dos valoresda serie.O intervalo [85, 115] contem aproximadamente 99% dos valoresda serie.E importante que se tenha percebido que, ao aumentar o tama-nho do intervalo, aumenta-se o percentual de elementos contidono intervalo.Adiante verificaremos que e possıvel controlar o tamanho dointervalo de modo que contenha exatamente o percentual quequeremos.

Estatıtica Basica




3. As medidas de dispersao vistas ate agora sao medidas absolutase portanto avaliam a dispersao absoluta da serie. Todas elassao diretamente proporcionais a dispersao absoluta.Assim, se a serie X apresenta x = 20 e σ(x) = 3 e se a serie Yapresenta y = 22 e σ(y) = 2, podemos afirmar, comparandoos desvios padrao, que a serie X apresenta maior dispersaoabsoluta.

4. Para justificar que o denominador da variancia amostral deveser n − 1 e nao n, usaremos o seguinte argumento:O modelo matematico que calcula a variancia de uma amostranao pode ser

σ2(x) =

∑(xi − x)2

n,

pois caso isto fosse verdadeiro, este modelo deveria determinara variancia para qualquer tamanho de amostra.

Estatıtica Basica




Suponha uma amostra constituıda de um unico elemento X1.O valor medio da amostra tambem e x1.Calculando a variancia pelo modelo acima, teremos:

σ2(x) =

∑(xi − xi )

2

1= 0.

Serıamos induzidos a afirmar que a dispersao da populacao de ondeprovem a amostra e zero, isto e, a populacao e constituıda em sua to-talidade por elementos identicos. O que e, em geral, uma afirmacaofalsa.Para corrigir o modelo matematico, basta colocar no denominadorn − 1. O modelo e escrito entao:

s2(x) =

∑(xi − x)2

n − 1

Estatıtica Basica




Observe que agora o modelo e coerente. Mesmo quando a amostrativer apenas um elemento x1, o calculo de s2(x) leva-nos a uma

indeterminacao do tipo0

0. O que significa que a variancia existe,

mas nao esta determinada.Significa tambem que amostras de apenas um elemento nao nosfornece informacoes sobre a variancia da serie.

Estatıtica Basica




Se uma serie X apresenta x = 10 e σ(x) = 2 e uma serie Y apresentay = 100 e σ(y) = 5, do ponto de vista da dispersao absoluta, aserie Y apresenta maior dispersao que a serie X .No entanto, se levarmos em consideracao as medias das series, odesvio padrao de Y que e 5 em relacao a 100 e um valor menossignificativo que o desvio padrao de X que e 2 em relacao a 10.Isto nos leva a definir as medidas de dispersao relativas: coeficientede variacao e variancia relativa.O coeficiente de variacao de uma serie X e indicado por CV(x) de-finido por:

CV(x) =σ(x)

x

Estatıtica Basica




A variancia relativa de uma serie X e indicada por V (x) e definidapor:

V (x) =σ2(x)

(x)2

Note que o coeficiente de variacao, como e uma divisao de elementosde mesma unidade, e um numero puro. Portanto, pode ser expressoem percentual.Este fato justifica a utilizacao do denominador (x)2 na definicao deV (x).Deste modo, se calcularmos o coeficiente de variacao da serie Xcitada no inıcio obteremos:

Estatıtica Basica




CV(x) =2

10= 0, 2 ou 20%

Calculando o coeficiente de variacao da serie Y obteremos:

CV(y) =5

100= 0, 05 ou 5%

Comparando os valores destes dois coeficientes concluımos que aserie X admite maior dispersao relativa.Como a medida de dispersao relativa leva em consideracao a me-dida de dispersao absoluta e a media da serie, e uma medida maiscompleta que a medida de dispersao absoluta.

Estatıtica Basica




Portanto, a medida de dispersao relativa prevalece sobre a medidade dispersao absoluta. Podemos afirmar que a serie que tem a maiordisperssao relativa, tem de modo geral a maior dispersao.Concluindo o exemplo anterior:A serie Y apresenta maior dispersao absoluta.A serie X apresenta maior dispersao relativa.Portanto, a serie X apresenta maior dispersao.

Estatıtica Basica



MARTINS, Gilberto de Andrade Martins, Estatıstica Geral eAplicada, 4 ed. Sao Paulo: Editora Atlas S.A., 2011

SILVA, Ermes Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da;GONCALVES, Valter; MUROLO, Afranio Carlos,ESTATISTICA Para os cursos de: Economia, Administracao eCiencias Contabeis 3 ed. Sao Paulo: Editora Atlas S.A., 1999

Estatıtica Basica

Education

Aula 08 de estatística