Aula 07 de estatística

MEDIDAS DE DISPERSAOCalculo da Amplitude Total

Desvio Medio Simples

Prof. Me. Josivaldo Nascimento dos Passos

MEDIDAS DE DISPERSAO

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHAO

17 de outubro de 2016

Estatıtica Basica



Sumario

MEDIDAS DE DISPERSAO

Introducao;

Medidas de Dispersao Absoluta;

Amplitude Total;

Calculo da Amplitude Total;

Desvio Medio Simples;

Calculo do Desvio Medio Simples:

1o Caso - DADOS BRUTOS OU ROL

2o Caso - Variavel Discreta

3o Caso - Variavel Contınua

Estatıtica Basica



Introducao

Uma breve reflexao sobre as medidas de tendencia central permite-nos concluir que elas nao sao suficientes para caracterizar totalmenteuma sequencia numerica.Se observarmos as sequencias:

X : 10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10

Y : 12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13

Z : 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13

concluiremos que todas possuem a mesma media 13.No entanto, sao sequencias completamente distintas do ponto devista da variabilidade de dados.

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Introducao

Na sequencia Z (3) nao ha variabilidade de dados.A media 13 representa bem qualquer valor da serie.Na sequencia Y , a media 13 representa bem a serie, mas existemelementos da serie levemente diferenciados da media 13.Na sequencia X existem muitos elementos bastante diferenciados damedia 13.Concluımos que a media 13 representa otimamente a sequencia Z ,representa bem a sequencia Y , mas nao representa bem a sequenciaX .

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Conceitos

O nosso objetivo e construir medidas que avaliem a representativi-dade da media. Para isto usaremos as medidas de dispersao.Observe que na sequencia Z os dados estao totalmente concentradossobre a media 13.Nao ha dispersao de dados. Na sequencia Y ha forte concentracaodos dados sobre a media 13, mas ha fraca dispersao de dados. Jana serie X ha fraca concentracao de dados em torno da media 13 eforte dispersao de dados em relacao a media 13.

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Medidas de Dispersao Absoluta

As principais medidas de dispersao absolutas sao: amplitude total,desvio medio simples, variancia e desvio padrao.Amplitude Total - E a diferenca entre o maior e o menor valor dasequencia.

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Basta identificar o maior e o menor valor da sequencia e efetuar adiferenca entre estes valores.

Exemplo

Determine a amplitude total da sequencia X : 11, 12, 9, 10, 10, 15.

O maior valor desta sequencia e 15 e o menor valor e 9. Portanto,a amplitude total da sequencia e At = 15− 9 = 6 unidades.

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2o Caso - VARIAVEL DISCRETA

Como os valores ja se apresentam ordenados, a amplitude total e adiferenca entre o ultimo e o primeiro elemento da serie.

Exemplo

Determine a amplitude total da serie.

xi fi2 13 65 107 3

O maior valor da serie e 7 e o menor valor da serie e 2. Portanto, aamplitude total da serie e At = 7− 2 = 5 unidades.

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3o Caso - VARIAVEL CONTINUA

Nesta situacao, por desconhecer o maior e o menor valor da seriedevemos fazer um calculo aproximado da amplitude total da serie.Consideraremos como maior valor da serie o ponto medio da ultimaclasse e como menor valor da serie o ponto medio da primeira classe.A amplitude total e a diferenca entre estes valores.

Exemplo

Determine a amplitude total da serie:

Classe Int. cl. fi1 2 ` 4 52 4 ` 6 103 6 ` 8 204 8 ` 10 75 10 ` 12 2

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3o Caso - VARIAVEL CONTINUA

O ponto medio da ultima classe e 11 e o ponto medio da primeiraclasse e 3. Portanto, At = 11− 3 = 8 unidades.COMENTARIO: Apesar da facilidade de obtencao da amplitudetotal, esta medida apresenta a inconveniencia de depender apenasde dois valores da serie. E possıvel modificar completamente a dis-persao ou a concentracao dos elementos em torno da media, semalterar a amplitude total da serie. E uma medida que tem poucasensibilidade estatıstica.

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O conceito estatıstico de desvio corresponde ao conceito matematicode distancia.A dispersao dos dados em relacao a media de uma sequencia podeser avaliada atraves dos desvios de cada elemento da sequencia emrelacao a media da sequencia.O desvio medio simples que indicaremos por DMS e definido comosendo uma media aritmetica dos desvios de cada elemento da seriepara a media da serie

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Calculamos inicialmente a media da sequencia. Em seguida identi-ficamos a distancia de cada elemento da sequencia para sua media.Finalmente, calculamos a media destas distancias.Se a sequencia for representada por X : x1, x2, . . . , xn, entao o DMSadmite como formula de calculo:

DMS =

∑|xi − x |

n

Exemplo

Calcule o DMS para a sequencia: X : 2, 8, 5, 6.

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Determinamos inicialmente a media da serie:

X =

∑xi

n=

2 + 8 + 5 + 6

4= 5, 25

em seguida determinamos as distancias de cada elemento da seriepara a media da serie:|x1 − x | = |2− 5, 25| = 3, 25|x1 − x | = |8− 5, 25| = 2, 75|x1 − x | = |5− 5, 25| = 0, 25|x1 − x | = |6− 5, 25| = 0, 75O DMS e a media aritmetica simples destes valores.

DMS =3, 25 + 2, 75 + 0, 25 + 0, 75

4=

7

4= 1, 75

Interpretacao: Em media, cada elemento da sequencia esta afastadodo valor 5,25 por 1,75 unidades.

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No caso da apresentacao de uma variavel discreta, lembramos que afrequencia simples de cada elemento representa o numero de vezesque este valor figura na serie. Consequentemente, havera repeticoesde distancias iguais de cada elemento distinto da serie para a mediada serie. Assim, a media indicada para estas distancias e uma mediaaritmetica ponderada.A formula para o calculo do DMS e:

DMS =

∑|xi − x |fi∑

fi

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Exemplo

Determine o DMS para a serie:

xi fi1 23 54 25 1

O numero de elementos da serie e n =∑

fi = 10.A media da serie e:

X =

∑xi fi∑fi

Usaremos a disposicao da tabela, acrescentando novas colunas paraa resolucao dos calculos.

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xi fi xi fi1 2 23 5 154 2 85 1 5∑

fi = 10∑

xi fi = 30

A media da serie e:

X =

∑xi fi∑fi

=30

10= 3

O DMS e dado por:

DMS =

∑|xi − x |fi∑

fi

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Incluiremos outra coluna para efetuar estes calculos:

xi fi xi fi |xi − x |fi1 2 2 43 5 15 04 2 8 25 1 5 2∑

fi = 10∑

xi fi = 30∑|xi − x |fi = 8

O desvio medio simples e:

DMS =

∑|xi − x |fi∑

fi=

8

10= 0, 8 unidades.

Interpretacao: Em media, cada elemento da serie esta afastado dovalor 3 por 0,8 unidade.

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Nesta situacao, por desconhecer os valores individuais dos elementoscomponentes da serie, substituiremos estes valores xi , pelos pontosmedios de classe.Desta forma, o desvio medio simples tem por calculo a formula:

DMS =

∑|xi − x |fi∑

fi

onde xi e o ponto medio da classe i .

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Exemplo

Determine o DMS para a serie.

Classe Int. cl. fi1 2 ` 4 52 4 ` 6 103 6 ` 8 44 8 ` 10 1

O numero de elementos da serie e n =∑

fi = 20. Usaremos adisposicao da tabela acrescentando as colunas necessarias para aresolucao dos calculos.

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Inicialmente acrescentamos a coluna dos pontos medios das classes:

Classe Int. cl. fi xi1 2 ` 4 5 32 4 ` 6 10 53 6 ` 8 4 74 8 ` 10 1 9∑

fi = 20

Em seguida, calculamos a media da serie: X =

∑xi fi∑fi

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Classe Int. cl. fi xi xi fi1 2 ` 4 5 3 152 4 ` 6 10 5 503 6 ` 8 4 7 284 8 ` 10 1 9 9∑

fi = 20∑

xi fi = 102

A media da serie e:

X =

∑xi fi∑fi

=102

20= 5, 1

O DMS e dado por DMS =

∑|xi − x |fi∑

fi

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Classe Int. cl. fi xi xi fi |xi − x |fi1 2 ` 4 5 3 15 10,502 4 ` 6 10 5 50 1,003 6 ` 8 4 7 28 7,604 8 ` 10 1 9 9 3,90∑

= 20∑

= 102∑

= 23

O DMS =

∑|xi − x |fi∑

fi=

23

20= 1, 15 unidades

Interpretacao: Em media, cada elemento da serie esta afastado de5,1 por 1,15 unidades.

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COMENTARIO: O desvio medio simples depende de cada compo-nerte da serie. Se mudarmos o valor de um unico elemento da serie,mudamos tambem o DMS . Portanto, o desvio medio simples temperfeita sensibilidade estatıstica. A maior dificuldade desta medidae envolver modulos, cujas propriedades, em geral nao sao suficien-temente conhecidas pelos estagiarios que normalmente desenvolvemestes calculos.

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MARTINS, Gilberto de Andrade Martins, Estatıstica Geral eAplicada, 4 ed. Sao Paulo: Editora Atlas S.A., 2011

SILVA, Ermes Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da;GONCALVES, Valter; MUROLO, Afranio Carlos,ESTATISTICA Para os cursos de: Economia, Administracao eCiencias Contabeis 3 ed. Sao Paulo: Editora Atlas S.A., 1999

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