Cđ một số dạng toán 3 điểm thẳng hàng

Một số hướng tiếp cận bài toán chứng minh thẳng hàng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Chuyên đềMỘT SỐ HƯỚNG TIẾP CẬN

BÀI TOÁN CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG

---------------------------------

PHẦN I

KHÁI QUÁT CHUNG

Bài toán chứng minh thẳng hàng là một dạng toán khá quen thuộc, nhất là

trong các đề thi học sinh giỏi. Nhưng khi gặp dạng toán này, nhiều học sinh tỏ ra

rất lúng túng. Để loại bỏ sự lúng túng ấy, ở chuyên đề sau đây, tôi đã thống kê một

số hướng cơ bản để giúp học sinh tiếp cận bài toán chứng minh thẳng hàng, kèm

theo là một số ví dụ minh họa. Sự phân loại các phương pháp trong chuyên đề chỉ

mang tính cá nhân.

Một số hướng tiếp cận cơ bản khi gặp bài toán chứng minh thẳng hàng:

1. Hướng 1: Sử dụng góc bù

2. Hướng 2: Sử dụng tính chất của hình bình hành

3. Hướng 3: Sử dụng tiên đề về đường thẳng song song

4. Hướng 4: Sử dụng các tính chất của đường tròn

5. Hướng 5: Sử dụng 2 tia trùng nhau hoặc đối nhau

6. Hướng 6: Thêm điểm

7. Hướng 7: Sử dụng định lý Mê-nê-la-uýt

Đối tượng để dạy bồi dưỡng chuyên đề này là các em học sinh khá, giỏi toán

lớp 9, chủ yếu là các học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi toán 9.

Dự kiến chuyên đề sẽ được bồi dưỡng trong 3 buổi, với thời lượng 9 tiết.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trần Văn Quảng – THCS Lý Tự Trọng – BX – VP

1


PHẦN II

PHƯƠNG PHÁP CỤ THỂ VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

I. Hướng thứ nhất: Sử dụng góc bù+ Nếu có thì 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó.+ Tổng quát: Nếu quay xung quanh điểm A các tia AB1, AB2,..., ABn lần lượt theo thứ tự ấy mà thì 3 điểm B1; A; Bn thẳng hàng.Ví dụ 1

Cho tam giác ABC có các góc B và C nhọn, đường cao AH. Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD, ACE ( BAD = CAE = 900). Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng H, A, M thẳng hàng.

GiảiDựng hình bình hành AEFD M là trung điểm của AF (t/c hình bình hành) và EF = DA = BAMặt khác EA = CA (gt); AEF = CAB (Cùng bù với DAE )EFA = ABC (c-g-c)

1 1A C ( Hai góc tương ứng)

Mà 2 1A C = 900

1 2A A = 900

01 2 3 180A A A

Hay 0180FAH M, A, H thẳng hàng.

Ví dụ 2Cho ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O), điểm M bất kỳ trên cung nhỏ BC.

E, F thứ tự là các điểm đối xứng của M qua AB, AC, gọi H là trực tâm ABC.Chứng minh rằng E, H, F thẳng hàng.

GiảiGọi B’ là giao điểm của BH và AC; A’ là giao điểm của AH và BC-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Trần Văn Quảng – THCS Lý Tự Trọng – BX – VP2

1

1

23

M

F

E

D

HCB

A

Một số hướng tiếp cận bài toán chứng minh thẳng hàng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Tứ giác HA’CB’ nội tiếp

1 ' 'H A CB BCA BMA BEA

(t/c đối xứng trục) Tứ giác AHBE nội tiếp EHB EAB MAB

Tương tự ta có: ' ,A HC ABC CHF MAC

1 'EHB H A HC CHF MAB ACB ABC MAC

= 0180ACB ABC BAC

0180EHF E, H, F thẳng hàng.

* Đường thẳng đi qua 3 điểm E, H, F nói trên có tên là đường thẳng Steiner ứng với điểm M.

* Việc chứng minh các điểm E, H, F nói trên thẳng hàng cũng được đề cập trong đề thi Olympic Japan 1996:

Cho tam giác ABC, M là điểm trên đường tròn (ABC). Gọi K, P, Q lần lượt là các điểm đối xứng của M qua BC, CA, AD. Chứng minh P, K, Q nằm trên một đường

thẳng và luôn đi qua một điểm cố định, không phụ thuộc vào điểm M thay đổi trên đường tròn (ABC). (Olympia Japan 1996).

II. Hướng thứ hai: Sử dụng tính chất của hình bình hành

Có thể sử dụng tính chất : hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Do đó, nếu chứng minh được tứ giác ABCD là hình bình hành và O là trung điểm của AC thì B,O,D thẳng hàng.

Ví dụ 3

Cho ABC có trực tâm H nội tiếp (O) đường kính CM, gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng H, I, M thẳng hàng.

Giải

MB BC, AH BC (suy từ giả thiết)

MB // AH.

Mà MA // BH (cùng vuông góc với AC)


3

O

M

H

B'

C'

A'

F

E CB

A

1

MI H

O

CB

A

Một số hướng tiếp cận bài toán chứng minh thẳng hàng--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- AMBH là hình bình hành.

AB cắt MH tại trung điểm I của AB và MH (t/c hình bình hành)

H, I, M thẳng hàng.

Ví dụ 4

Cho ABC và điểm M bất kỳ trong tam giác. Gọi A1, B1, C1 thứ tự là các điểm đối xứng của M qua các trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Gọi O là giao điểm của BB1 và CC1. Chứng minh các điểm A, O, A1 thẳng hàng.

Giải

Gọi D, E, F thứ tự là trung điểm BC, CA, AB

EF là đường trung bình của ABC và MB1C1 (suy từ giả thiết).

1 11 12 2

EF BC B C và EF // BC // B1C1

BC // B1C1 và BC = B1C1

BCB1C1 là hình bình hành

O là trung điểm của BB1 và CC1

(t/c hình bình hành)

+ Tương tự ta có:

ABA1B1 là hình bình hành.

AA1 cắt BB1 tại O là trung điểm của BB1 và AA1

A, O, A1 thẳng hàng.

III. Hướng thứ ba: Sử dụng tiên đề về đường thẳng song song

Tiên đề Ơclít: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ kẻ được duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Do đó, nếu qua điểm A ta kẻ được AB và AC cùng song song với một đường thẳng d nào đó thì A, B, C thẳng hàng.

Ví dụ 5


4

1

1

O

D

E

M

F

c b

A

CB

A

1


Chứng minh rằng: các trung điểm của hai cạnh bên và hai đường chéo của một hình thang luôn thẳng hàng.

Giải

Với hình thang ABCD (AB // CD)

và M, N, P, Q thứ tự là trung điểm

của AD, BC, BD, AC.

Cần chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng.

Từ (gt) MN, MP, MQ thứ tự là đường trung bình của hình thang ABCD, ABD, ACD.

MN // AB; MP // AB; MQ // CD hay MQ // AB.

M, N, P, Q thẳng hàng (theo tiên đề Ơclít)

Ví dụ 6

Cho ABC nhọn, các đường cao AH, BD và CE. Gọi M, N, P, Q thứ tự là hình chiếu của H trên AB, BD, CE và AC. Chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng.

Giải

+ Từ (gt) MH //CE; NH // AC BM BH BNBE BC BD

(định lý Talét)

MN // ED (1) (định ký Talét đảo)

+ Chứng minh tương tự ta có: PQ // ED (2)

+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông HAC và HAB ta có:

AH2 = AQ . AC = AM . AB

AQ ABAM AC

mà AB ADAC AE

(vì DAB ∽ EAC (g.g))

AQ ADAM AE

hay / /AQ AM MQ EDAD AE

(định lý Talét đảo)

Kết hợp với (1), (2) ta có

M, N, Q thẳng hàng và M, Q, P thẳng hàng (tiên đề Ơclít).-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------


QPNM

D C

BA

Q

P

NM

D

E

CB

A

H

Một số hướng tiếp cận bài toán chứng minh thẳng hàng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Do đó M, N, P, Q thẳng hàng.

IV. Hướng thứ tư: Sử dụng các tính chất của đường tròn

Khi B là tâm của đường tròn đường kính AC, hoặc các đường tròn tâm A và đường tròn tâm C tiếp xúc nhau tại B thì 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó.

Ví dụ 7. Cho (O) đường kính AB. Điểm M chuyển động trên (O), M ≠ A; M ≠ B. Kẻ MH vuông góc với AB. Vẽ đường tròn (O1) đường kính MH cắt đường thẳng MA và MB tại C và D. Chứng minh rằng:

a) C, D, O1 thẳng hàng.

b) ABDC nội tiếp.

Giải

a) Ta có 090AMB (góc nội tiếp chắn nửa (O))

090CM D

CD là đường kính của (O1)

C, D, O1 thẳng hàng.

b) MCHD là hình chữ nhật nội tiếp (O1).

MCD MHD (2 góc nội tiếp cùng chắn MD )

Mà 0180MCD B MCD ACD B ACD

ABDC nội tiếp.

Ví dụ 8

Cho đường tròn (O) và dây cung AB. Lấy I thuộc đoạn AB sao cho IA > IB. Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ AB, DI cắt (O) tại điểm thứ hai C. Tiếp tuyến

với (O) tại C cắt AB tại K. Lấy điểm E sao cho 1 ,2

KE KI IE EC cắt (O) tại F.

Chứng minh rằng D, O, F thẳng hàng.

Giải

Ta có 112

I (sđ BC sđ AD )


6

OC

D

M

BOH

A

1

F

C

O

EK

BI

D

A1

Một số hướng tiếp cận bài toán chứng minh thẳng hàng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Mà AD DB (gt)

112

I (sđ BC sđ DB )12

sđ DBC

1

12

I ICK sđ DBC

KIC cân tại K => KI = KC

mà 12

KI KE IE gt

12

KC IK KE IE CIE vuông tại C.

090DCF DF là đường kính của (O)

D; O; F thẳng hàng.

V. Hướng thứ năm: Sử dụng 2 tia trùng nhau hoặc đối nhau

Nếu 2 tia MA, MB trùng nhau hoặc đối nhau thì 3 điểm M, A, B thẳng hàng.

Ví dụ 9

Cho (O) đường kính AB. Trên (O) lấy điểm D bất kỳ (khác A, B). Lấy điểm C bất kỳ trong đoạn AB, kẻ CH AD H AD . Phân giác của BAD cắt (O) tại E, cắt CH tại F. Đường thẳng DF cắt (O) tại N. Chứng minh N, C, E thẳng hàng.

Giải

(gt) HC // DB (cùng vuông góc với AD)

1 1C B (2 góc đồng vị)

Mà 1 1B N (2 góc nội tiếp chắn AD )

1 1N C

Tứ giác AFCN nội tiếp.

1 2A N (2 góc nội tiếp chắn FC )

Hay 1A FNC mà

1 2A A (gt)

2A FNC mà

2A DNE FNE

(2 góc nội tiếp chắn DE )-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------


1 112

N

FH

D E

COA B

21

Một số hướng tiếp cận bài toán chứng minh thẳng hàng--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- FNC FNE mà NC và NE cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ DN

2 tia NC & NE trùng nhau N, C, E thẳng hàng.

Ví dụ 10

Cho ABC, đường tròn bàng tiếp trong góc A tiếp xúc với tia AB tại N. Kẻ đường kính MN. Trên tia đối của tia AB lấy điểm K sao cho AK = BN. Chứng minh rằng K, C, M thẳng hàng.

Giải

Gọi I, J thứ tự là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A, góc B của ABC.

(I) tiếp xúc với BC và AC thứ tự tại P và H

(J) tiếp xúc với BC và BA thứ tự tại Q và K’

Ta có:

CA + CB – AB

= CA + CP + PB – AB

= CA + CH +NB – AB = AH + NB – AB

= AN + NB – AB = 2NB (t/c tiếp tuyến)

CA + CB – AB – 2NB.

Tương tự ta có: CA + CB – AB = 2AK’

AK = AK’ = BN K’ K.

Mặt khác PIC đồng dạng QJC (g.g)

IC IP IMJC JQ JK

mà CIM CJK (2 góc so le trong của MN // JK)

ICM đồng dạng JCK (c.g.c)

ICM JCK 2 tia CK và CM đối nhau

K, C, M thẳng hàng.

V. Hướng thứ sáu: Thêm điểm-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------


K'K

M

Q

J

IN

PH

CB

A

Một số hướng tiếp cận bài toán chứng minh thẳng hàng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng có thể xác định thêm điểm D khác A, B, C sau đó chứng minh hai trong ba bộ 3 điểm A, B, D; A, C, D; B, C, D thẳng hàng.

Ví dụ 11

Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm 2 đường chéo. Điểm M trên đoạn OB, lấy E đối xứng với A qua M; H là hình chiếu của điểm E trên BC, vẽ hình chữ nhật EHCF. Chứng minh M, H, F thẳng hàng.

Giải

Gọi I là giao điểm của HF và CE

H; I; F thẳng hàng (*) (t/c hình chữ nhật)

Cần chứng minh: M, I, F thẳng hàng.

1 ( )2

MA ME AE gt và 12

OA OC AC

(t/c hình chữ nhật)

OM là đường trung bình của ACE

OM // CE ODC ICF (2 góc đồng vị)

Mà &ODC OCD ICF IFC (vì OCD cân tại O, ICF cân tại I, t/c hình chữ nhật)

/ /OCD IFC IF AC mà IM //AC (do IM là đường trung bình ACE)

M, I, F thẳng hàng (tiên đề Ơclít)

Kết hợp với (*) ta có: M, H, F thẳng hàng.

Ví dụ 12

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đương tròn (O). Gọi E là giao điểm của AB và CD. Gọi F là giao điểm của AC và BD. Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau tại M. Chứng minh rằng E, M, F thẳng hàng.

Giải


9

EO

F

I

H

M

D C

BA

K

F M

EC

B

D

A


Gọi K là giao điểm của đường tròn (B, D, E) và đường tròn (F, D, C), (K không trùng D). Ta chứng minh K, E, M thẳng hàng và K, F, M thẳng hàng.

Tứ giác BKDE và DKFC nội tiếp (suy từ gt)

0180BKC BKD DKC AED DFC (*)

Mặt khác: AED + 12

DFC (sđ AD - sđ BC )+12

(sđ AB +sđ CD )

12

(sđBADC sđ BC ) = BMC

AED DFC BMC kết hợp với (*) ta có: 0180BKC BMC

Tứ giác BKCM nội tiếp BKM BCM (2 góc nội tiếp chắn BM )

Mà BCM BDE (cùng bằng 12

sđ BC ) và BDE BKE (2 góc nội tiếp chắn BE )

BKM BKE 2 tia KE và KM trùng nhau K, E, M thẳng hàng (1)

Tương tự ta có: CKF CKM 2 tia KF và KM trùng nhau.

K, F, M thẳng hàng. Kết hợp với (1) ta có E, M, F thẳng hàng.

VII. Hướng thứ bảy: Sử dụng định lý Mênêlauýt

Định lý Mênêlauýt: Cho ABC và 3 điểm A’,B’, C’ lần lượt nằm trên các đường thẳng BC; CA, AB sao cho chúng đều nằm trên phần kéo dài của cả 3 cạnh của tam giác hoặc chỉ một trong 3 điểm đó nằm trên phần kéo dài của cạnh tương ứng

mà thôi. Điều kiện cần và đủ về A’,B’, C’ thẳng hàng là ' ' '. . 1

' ' 'AB CA BCB C A B C A

.

* Chứng minh điều kiện cần:

Kẻ AD A’B’ ; BE A’B’ ; CF A’B’

AD // BE //CF


10A

B

C

A'

C'

B'

E

F

D

C''


' ;

'AB ADB C CF

' ;

'CA CFA B BE

'

'BC BEC A AD

(Hệ quả của Talét)

' ' '. . . . 1

' ' 'AB CA BC AD CF BEB C A B C A CF BE AD

* Chứng minh điều kiện đủ:

Giả sử ' ' '. . 1


và A’BC;

B’AC; C’AB, ta chứng minh A’, B’ C’ thẳng hàng.

Gọi giao điểm của A’B’ với AB là C’’ .

Theo điều kiện cần ta có: ' ' ''. . 1

' ' ''AB CA BCB C A B C A

Mà ' ' '. . 1


(gt) '' ' '' '

'' 'BC BC C CC A C A

Ví dụ 13

Cho 3 đường tròn có bán kính đôi một khác nhau và ở ngoài nhau. Chứng minh rằng giao điểm của các tiếp tuyến chung ngoài của từng cặp đường tròn cùng thuộc một đường thẳng.

Giải

+ Xét 3 đường tròn (O1; r1); (O2; r2); (O3; r3).

+ Giao điểm 2 tiếp tuyến chung ngoài của (O1; r1) và (O2; r2) là C

Giao điểm 2 tiếp tuyến chung ngoài của (O1; r1) và (O3; r3) là B

Giao điểm 2 tiếp tuyến chung ngoài của (O2; r2) và (O3; r3) là A

Nhận thấy O1, O2, C thẳng hàng (suy từ t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

1 1

2 2

CO rCO r

.

Tương tự ta có: 3 32 2

3 3 1 1

; BO rAO rAO r BO r

3 31 2 1 2

2 3 1 2 3 1

. . . . 1BO rCO AO r rCO AO BO r r r

A, B, C thẳng hàng (định lý Mênêlauýt)


11


Ví dụ 14Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên các cạnh AB, AC thứ tự dựng

các hình vuông ABEF, ACGI nằm ngoài tam giác ABC. Gọi O là giao điểm của BG và AH. Chứng minh rằng C, O, E thẳng hàng.

GiảiGọi D là giao điểm của CO và AB; K là giao điểm của BO và AC; M là giao điểm của EB và GC.Đặt AC = b; AB = c. Ta có:+ ABC ∽HAC (g.g)

AB ACHA HC

AB. HC = AC. HA (1)

+ ABC ∽HBA (g.g)


12

K

H

O

GI

F

E M

C

B

A

1

rr

r r

32

1

o

A

B

C

32

1

o

o


AC ABHA HB

AC. HB = AB. HA (2)

Mặt khác theo định lí Cêva với ABC và BK, AH, CD

Ta có: . . 1 . . 1BD AK CH BD AB CHDA KC HB DA CG HB

( vì AK ABKC CG

do AB // CG)

=> .. 1.

BD AB CHDA AC HB

(vì CG = AC)

Kết hợp với (1) và (2) ta có.. 1.

BD AC HA BD ABDA AB HA DA AC

BD AB

DA BD AC AB

hay

BD cc b c

(*)

Mà . . . . . .BO GC ME BD GC AC AB BD GC b cOG CM EB GC AB AB GC c c

Kết hợp với (*) ta có: 2

.( ). . . 1BO GC ME BD b c c b cOG CM EB c b c c

C, O, E thẳng hàng (Định lí Mênêlauyt trong BMG và 3 điểm C, O, E)


13


PHẦN III MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1:Chứng minh trực tâm của một tam giác luôn nằm trên đường thẳng nối hai

tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ một đỉnh đến đường tròn đường kính là cạnh nối hai đỉnh còn lại của tam giác đó. (Chinese 1996)

GiảiXét ABC có các đường cao AF, BD, CE cắt nhau tại H , kẻ AM và AN là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) đường kính BC(M, N là các tiếp điểm) M,A,N,F,O thuộc đường tròn đường kính AO ANM AFN (*)ADH ~ AFC, AND ~ ANC AH.AF = AD.AC = AN2

AH ANAN AF

ANH ~AFN (c-g-c)

ANH AFN Kết hợp với (*) ta có: ANM ANH AFN H MN + Nếu ABC vuông tại B hoặc C thì HM hoặc HN ta có điều phải chứng minh.

* Việc chứng minh 3 điểm M, H, N thẳng hàng nói trên cũng đã được đề cập đến trong nội dung câu 4.b đề thi HSG cấp tỉnh năm 2012 – 2013 của tỉnh Vĩnh Phúc.Bài 2:

Từ một điểm D nằm ngoài đường tròn (O) đường kính BC, kẻ hai tiếp tuyến DE và DF với (O) (E, F là tiếp điểm). Trên đường thẳng EF lấy điểm A ở phía ngoài (O) kẻ tiếp tuyến AN với (O) ( N là tiếp điểm) .

Chứng minh D, N, H thẳng hàng (H là trực tâm ABC)Giải

Kẻ tiếp tuyến AM ( M (O))Gọi giao điểm của AO và MN là I AN2 = AE.AFMà AN2 = AI.AO ( Hệ thức trong tam giác vuông)


14

O

N

M

H

F

E D

CB

A

O

NM

I

F

ED

CB

A


AE.AF = AI.AO AE AIAO AF

AIE ~ AFO ( cgc) Tứ giác EIOF nội tiếp D,E,I,O,F thuộc đường tròn đường kính OD. 090AIE MIO D,M,N,I, thẳng hàng.Mặt khác M,H,N thẳng hàng (Kết quả bài tập 1) D,N,H thẳng hàng.

Bài 3: (đường thẳng Sim sơn)Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là một điểm tuỳ ý thuộc

đường tròn (O). Gọi A1, B1 C1 thứ tự là hình chiếu của M trên BC, CA, AB.Chứng minh A1, B1, C1 thẳng hàng.

GiảiKhông mất tính tổng quát giả sử M BC .Ta có 0

1 1 90BC M BA M (Suy từ giả thiết)

MA1C1B nội tiếp 1 1 1BAC BMC

(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung 1BC

01 1 90MAC MB C (suy từ giả thiết)

MA1CB1 nội tiếp 1 1 1CA B CMB

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung B1C)Mặt khác 0

1 1 180A BMC B MC

1 1BMC B MC 1 1C MB B MC

Kết hợp với chứng minh trên

1 1 1 1C A B B A B => 01 1 1 1 1 1 1 1 1 180C A B BA B B AC BAC BAC

A1, B1, C1 thẳng hàng

* Đường thẳng chứa ba điểm A1, B1, C1 gọi là đường thẳng Simsơn của tam giác ABC ứng với điểm M.* Nếu M trùng với đỉnh của tam giác ABC thì đường thẳng Simsơn chính là đường cao tương ứng.

Bài 4Cho tam giác ABC nội tiếp (O) với H là trực tâm , M là điểm tuỳ ý thuộc (O).


15

O

A

B

C

A

B C

M

1

1

1

Một số hướng tiếp cận bài toán chứng minh thẳng hàng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Chứng minh đường thẳng Sim sơn ứng với điểm M luôn đi qua trung điểm của MH.

Giải

Đường thẳng Sim son của tam giác ABC ứng với điểm M là đường thẳng qua A1, B1, C1 Lấy điểm B2, C2 đối xứng với M qua AC, AB. Ta có AMB ACB (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)Mà

2AMB AC B ( Tính chất đối xứng trục)Và ACB BHD (Hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)

2BHD AC B Tứ giác AC2BH nội tiếp

2 2C HB C AB ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC2)

Tương tự ta có: 2 2B HC B AC 0

2 2 180B HC BAC BHC

C2; H; B2 thẳng hàng B1C1 là đường trung bình của tam giác MB2C2

B1C1 đi qua trung điểm của MH.


16

D

2B

C2

H

O

A

B

C

A

B C

M

1

1

1


PHẦN IVMỘT SỐ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Hãy lựa chọn phương pháp hợp lí để chứng minh các điểm thẳng hàng trong các bài tập dưới đây

1) Cho ABC nhọn nội tiếp (O), trực tâm H. Gọi I là trung điểm BC và A’

là điểm đối xứng của A qua O. CMR: H, I, A’ thẳng hàng.

2) Cho ABC nội tiếp đường tròn (O), đường tròn (O1) đi qua A và C cắt

BA, BC thứ tự tại các điểm K, N; đường tròn (O2) đi qua B, K và N cắt (O) tại

điểm thứ hai M (khác B). Gọi I, J thứ tự là trung điểm của BO1 , BM.

CMR: I, J, O2 thẳng hàng.

3) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). Vẽ Ax, AD cắt BC tại E, Ay AB, cắt

CD tại F. CMR: E, F, O thẳng hàng.

4) Cho ABC trực tâm H. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn

đường kính BC. CMR: M, H, N thẳng hàng.

5) Cho ABC nội tiếp (O), trực tâm H, M là điểm bất kỳ trên cung BC

không chứa A. Gọi N, E thứ tự là điểm đối xứng của M qua AB và AC.

CMR: N, H, E thẳng hàng.

6) Cho ABC nội tiếp (O). Lấy D thuộc cạnh AC (D ≠ A; D ≠ C). Đường

thẳng BD cắt (O) tại F. Đường thẳng qua A vuông góc với AB và đường thẳng qua

F vuông góc với FC cắt tại P. Hãy CMR: P, D, O thẳng hàng.


17

1

12

1

F E

M

I

P

N

A

B C


PHẦN V MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH THẲNG HÀNG

TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÀ TUYỂN SINH THPT CHUYÊN

Bài 1 (ĐTS THPT chuyên năm 2005)Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường phân giác trong cắt nhau tại I. Các đường thẳng AI, BI, CI cắt (O) thứ tự tại M;N;P

a) Chứng minh tam giác NIC cân tại N.b) Chứng minh I là trực tâm tam giác MNP.c) Gọi E là giao điểm của MN và AC; F là giao điểm của PM và AB. Chứng

minh E,I,F thẳng hàng.d) Gọi K là trung điểm của BC. Giả sử BI IK và BI = 2.IK thì BAC = ?

Giải

a) 12

NIC NCI sđ PAN nên NIC cân tại N

b) Do NIC cân tại N nên NI=NC (1)tương tự MIC cân tại M nên MI=MC (2) từ (1) (2) ta có MN là trung trực của IC MNPC tương tự BNPM, AMPN mà AM,BN,CP cắt nhau tại I Nên I là trực tâm của MNP (đpcm)c) Có (Do I và C đối xứng nhau qua MN) Mà

1 1C B (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN )

Và 1 2B I (I và B đối xứng nhau qua MP)

=> 1 2I I mà 0

2 180I FNI FIE => E, I, F thẳng hàng

Bài 2 (ĐTS THPT chuyên năm 2005)Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Vẽ tia Cx AB. Trên Cx

lấy hai điểm D và E sao cho D nằm trong đoạn CE và 3CE CACB CD

. Đường tròn

(O1) ngoại tiếp tam giác ACD cắt (O2) ngoại tiếp tam giác BEC tại điểm H (H ≠ C)


18

Một số hướng tiếp cận bài toán chứng minh thẳng hàng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------CMR: a) Ba điểm A, H, E thẳng hàng.

b) H thuộc đường tròn đường kính ABc) Đường thẳng đi qua hai điểm H và C luôn đi qua một điểm cố định

khi C di chuyển trên đoạn thẳng AB (C ≠ A; C ≠ B)

Giải

a) 3CE CACB CD

(gt)

Mà 090ECB ACD (suy ra từ giả thiết)CEB ∽ CAD (c.g.c)Gọi giao điểm của BD với AE là H1 Ta phải chứng minh H1 HGọi K là giao điểm của AD và BE.Dễ thấy 090DKE AK BE D là trực tâm ABE

BD AE

01 1 1

01 1 2

90 ( )

90 ( )

DH A H O

BH E H O

H1 là giao của (O1) và (O2) H1 H. Vậy A, H, E thẳng hàng.

b) 090AHB (suy ra từ chứng minh trên) H thuộc đường tròn đường kính AB

c) CBE vuông tại C

0 0160 30CBE E BHC . Gọi F là giao điểm của HC và đường tròn đường kính

AB 030BHF sđ 060BF mà B cố định HC đi qua điểm F (cố định) khi C di chuyển.

Bài 3: ( ĐTS THPT chuyên năm 2008) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và C là điểm chính giữa của cung AB. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng đi qua hai điểm A và K cắt (O) tại M (M≠A). Kẻ CH AM (H AM). Đường thẳng OH cắt đường BC tại N. Đường thẳng MN cắt (O) tại D (D ≠ M). CMR:a) BHCM là hình bình hànhb) OHC = OHMc) B, H, D thẳng hàng

Giải-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------


1

1

A

H

OD

C

K

E

F

21O

B


a) Ta có

)1(//)90(

)(0

BMCHAMBAMBM

gtAMCH

Mặt khác

0( 90 )( ) (2)

( )

CHK BMKCK KB gt CHK BMK CH BM

CKH BKM dd

Từ (1 ), (2) ta có tứ giác BHCM là hình bình hành ( đpcm) b) Ta có CHM vuông tại H có 045CMH nên CHM vuông cân tại H=> CH=HMxét 2 tam giác OHMOCH ; có:

)..()(

)()(

cccOHMOHCchungOH

cmtHMCHbkOMOC

c) Ta sẽ chứng minh BH//CM và BD//CM.Vì tứ giác BHCM là hình bình hành nên BH//CM (3)

Ta lại có

HMCHOMOC

OH là trung trực của CM,mà N thuộc OH nên NC=NM

Nên CNM cân tại N ,nên CMN MCN sđ CD = sđ BM / / (4)MCB CBD BD CM từ (3),(4) ta có D,H,B thẳng hàng (đpcm)

Bài 4 ( ĐTS THPT chuyên năm 2009) -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------


DN

H

MK

C

OA B


Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn (C không trùng với A, B và trung điểm cung AB). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB. Đường tròn (O1) đường kính AH cắt CA tại E, đường tròn (O2) đường kính BH cắt CB tại F.

1) Chứng minh tứ giác AEFB là tứ giác nội tiếp.2) Gọi (O3) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB, D là điểm đối xứng

của C qua O. Chứng minh ba điểm H, O3, D thẳng hàng.3) Gọi S là giao của các đường thẳng EF và AB, K là giao điểm thứ hai của

SC với đường tròn (O). Chứng minh KE vuông góc với KF.

Giải

1) Dễ chứng minh tứ giác CEHF là hình chữ nhật Ta có ( cùng bằng CHE ) nên tứ giác AEFB nội tiếp

2) Kẻ trung trực EF cắt HD tại O3’chứng minh O3’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB.Chứng minh được CD EFTrong tam giác CHD có IO3’ là đường trung bình nên O3’O AB mà OA=OB nên O3’O là trung trực của AB nên O3’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB, tức là O3’trùng với O3

Hay H,O3 ,D thẳng hàng.

3) nên tứ giác BFKS nội tiếp suy ra FKS FBA

mà FBA CEF nên FKS CEF nên tứ giác CEFK nội tiếp Suy ra 090EKF ECF hay FK vuông góc với EK.Bài 5 ( HSG Vĩnh Phúc năm 2010-2011)

Cho tam giác nhọn với trực tâm Đường thẳng vuông góc với tại

cắt đường thẳng ở đường thẳng vuông góc với tại cắt đường thẳng

tại Gọi theo thứ tự là trung điểm của

1. Chứng minh rằng thẳng hàng.


21

1

K

S

O3

I

D

F

E

O2O1 HO

A B

C


2. Đường thẳng cắt trung tuyến của tam giác tại

Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác tiếp xúc với Giải

B1

C1

P

L

H

N

M

E

D

A

B C

1) Gọi là chân các đường cao kẻ từ của tam giác Khi đó do tứ giác nội tiếp, nên (1)Do cách xác định điểm D nên (2)Từ (1) và (2) suy ra các tam giác đồng dạng. Từ đó, do theo thứ tự là trung tuyến của hai tam giác đó, nên Từ đó, do nên (3) Tương tự cũng có (4)Từ (3) và (4) suy ra thẳng hàng. Hơn nữa .2) Do nên tứ giác nội tiếp, suy ra

(do ) và do đó Tương tự cũng có Từ đó suy ra hay

nằm trên đường tròn (Hình vẽ).Khi đó . Suy ra đường tròn tiếp xúc với

PHẦN VIKẾT LUẬN CHUNG


22


Qua quá trình nghiên cứu chuyên đề, trong quá trình trực tiếp giảng dạy bồi

dưỡng học sinh giỏi lớp 9 dự thi học sinh giỏi các cấp, bồi dưỡng học sinh dự thi

vào các trường chuyên lớp chọn, tôi thấy:

Phần chuyên đề: “Một số hướng tiếp cận bài toán chứng minh ba điểm thẳng

hàng” đã phát huy tính sáng tạo của học sinh. Các em đã biết vận dụng kiến thức

cơ bản vào việc giải các đề thi đạt kết quả đồng thời tham gia tích cực vào việc giải

các bài trên hai tạp chí Toán học & tuổi trẻ, Toán tuổi thơ 2.

Nhờ có quá trình thường xuyên tích luỹ kinh nghiệm tự học tự rèn học hỏi

đồng nghiệp tôi thường xuyên bổ sung, hoàn thiện nâng cao chất lượng của chuyên

đề để chuyên đề ngày càng phát huy hiệu quả cao hơn. Chất lượng học sinh giỏi

cấp huyện cấp tỉnh, học sinh thi đỗ vào các trường chuyên tăng cao.

Kết quả đạt được khi áp dụng chuyên đề (đối với năm học 2012 – 2013):

Số lượng HStrong đội tuyển

Số lượng HSGCấp Huyện

Số lượng HSGCấp Tỉnh

Số lượng HS thi đỗ THPT Chuyên Toán

(Chuyên VPhúc)

Số lượng HS thi đỗ THPT Chuyên

(Chuyên khác)

9 97

(trong đó có 01 giải Nhất)

8(trong đó có 01

thủ khoa)4

Bình Xuyên, tháng 02 năm 2014Người viết

Trần Văn Quảng


23

Education

Cđ một số dạng toán 3 điểm thẳng hàng