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Clase 6b analisis de circuitos LKI
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ANÁLISIS DE NODOSClase 6b
21-Octubre-2014
Un nodo se define como la unión de una o mas ramas. Si ahora se define un
nodo de cualquier red como una referencia (es decir, un punto potencial cero o
tierra), los nodos restantes de la red tendrán un potencial fijo con respecto a
esta referencia. Por tanto para una red con nodos, existirán nodos con respecto
con potencial fijo respecto del nodo de referencia asignado. Las ecuaciones que
relacionan estos voltajes nodales pueden escribirse al aplicar la ley de corriente
de Kirchhoff sobre cada uno de los nodos. Para obtener la solución completa de
una red, estos voltajes nodales se evalúan entonces en la misma forma en que
se calcularon las corrientes de lazo en el análisis de mallas.
El método de análisis de nodos se aplica de la siguiente forma:
1. Determine el numero de nodos dentro de la red.
2. Escoja un nodo de referencia, y etiquete cada nodo restante con un valor de voltaje con
subíndice: V1, V2, etcétera.
3. Aplique la ley de corriente de Kirchhoff sobre cada nodo excepto sobre el de referencia.
Asuma que todas las corrientes desconocidas abandonan el nodo por cada aplicación de
la ley de corriente de Kirchhoff. En otras palabras, para que cada nodo se vea influenciado
por la dirección que una corriente desconocida en otro nodo pudiera haber tenido. Cada
nodo se debe tratar como una entidad distinta e independiente de la aplicación de la ley
de corriente de Kirchhoff a los otros nodos.
El método de análisis de nodos se aplica de la siguiente forma:
4. Resuelva las ecuaciones resultante para los voltajes nodales.
PROBLEMAS
Problema 1
Aplique el análisis de nodos de la figura siguiente
PROBLEMAS
Solucion
Paso 1 y 2: La red cuenta con dos nodos, como se muestra en la figura a. El
nodo inferior se define como el nodo de referencia al potencial de tierra
(cero volts), y el otro nodo como , que es el voltaje del nodo 1 a tierra.
Paso 3: En la figura b se establece que abandonan el nodo, y se aplica la
ley de corriente de Kirchhoff de la siguiente forma:
PROBLEMAS FIGURA A
PROBLEMAS FIGURA B
PROBLEMAS
Solucion
La corriente se relaciona con el voltaje nodal mediante la ley
de Ohm:
PROBLEMAS
Solucion
La corriente también esta determinada por la ley de Ohm de
la siguiente forma:
Al sustituir en la ecuación de la ley de corriente de Kirchhoff:
PROBLEMAS
Solucion
Y reagrupando se tiene
PROBLEMAS
Solucion
Al sustituir valores numéricos, se obtiene:
PROBLEMAS
Solucion
Las corrientes pueden determinarse entonces
utilizando las ecuaciones anteriores:
PROBLEMAS
Solucion
El signo negativo indica simplemente que la corriente
tiene una dirección opuesta a la que aparece en la
figura B
PROBLEMAS
Problema 2
Aplique el análisis de nodos de la figura siguiente
PROBLEMAS
Solución
Pasos 1 y 2: La red cuenta con tres nodos, como se define en la figura a,
siendo el no inferior nuevamente definido como el de referencia (como un
potencial de tierra o de cero volts), y los otros nodos como
Paso 3: Para el nodo las corrientes se definen como se muestra en la figura
b y se aplica la ley de corriente de Kirchhoff.
PROBLEMAS FIGURA A
Solución
PROBLEMAS FIGURA B
Solución
PROBLEMAS
Solución
de manera que:
PROBLEMAS FIGURA C
Solución
PROBLEMAS
Solución
Para le nodo las corrientes se definen como se muestra en la
figura C y se aplica la ley de corriente de Kirchhoff:
PROBLEMAS
Solución
Al sustituir valores
Paso 4: El resultado son dos ecuaciones y dos incógnitas:
PROBLEMAS
Solución
Al sustituir valores
Paso 4: El resultado son dos ecuaciones y dos incógnitas:
PROBLEMAS
Solución
Las cuales se convierten en:
PROBLEMAS
Solución
Dado que es mayor que , la corriente fluirá desde tierra hasta
y es igual a:
PROBLEMAS
Solución
El valor positivo de da por resultado una corriente desde el
nodo hasta tierra igual a:
Dado que es mayor que , la corriente fluirá desde hasta y es
PROBLEMAS
Problema 3
Determine los voltajes nodales para la red de la siguiente figura
PROBLEMAS FIGURA A
Solución
Pasos 1 y 2: Como se indica en la figura a
PROBLEMAS FIGURA A
Solución
Paso 3: Incluido en figura A para el nodo . Al aplicar la ley de corriente de
Kirchhoff
Ampliando y volviendo agrupar
PROBLEMAS FIGURA A
Solución
Para el nodo las corrientes están definidas como en la figura B
PROBLEMAS FIGURA A
Solución
Al aplicar la ley de corriente de Kirchhoff
Ampliando y volviendo a agrupar:
PROBLEMAS FIGURA A
Solución
Lo que da por resultado dos ecuaciones y dos incógnitas (numeradas para
referencia posterior):
Lo cual genera:
PROBLEMAS FIGURA A
Solución
PROBLEMAS FIGURA A
Solución
Dado que es mayor que , la corriente a través de pasa de .
Su valor es:
El que sea positivo ocasiona que la corriente hasta tierra sea
igual a:
PROBLEMAS FIGURA A
Solución
Por ultimo, dado que es negativo, la corriente fluye desde
tierra hasta y es igual a:
SUPERNODO
En ocasiones existirán fuentes independientes de voltaje
dentro de la red a la que se aplique el análisis de nodos. En
tales casos es posible convertir la fuente de voltaje a una
fuente de corriente (si se encuentra presente un resistor en
serie) y continuar como antes, o introducir el concepto de un
supernodo y proceder de la siguiente forma.
SUPERNODO
Se comienza como antes y se asigna un voltaje nodal a cada
nodo independiente de la red, incluyendo a cada fuente de
voltaje independiente como si esta fuera un resistor o una
fuente de corriente. Luego, mentalmente se reemplazan las
fuentes de voltaje independientes con equivalentes de corto
circuito, y se aplica la ley de corriente de Kirchhoff a los nodos
definidos de la red.
SUPERNODO
Cualquier nodo que incluya el efecto de elementos ligados solo
a otros nodos se denomina supernodo (dado que tiene un
numero adicional de términos). Por ultimo, se relacionan los
nodos definidos con las fuentes de voltaje independientes de
la red, y se resuelve para los voltajes nodales.
PROBLEMAS
Problema 4
Determine los voltajes nodales de la figura utilizando el
concepto de supernodo.
PROBLEMAS
PROBLEMAS
Solución
Al reemplazar la fuente de voltaje independiente de 12V con un
equivalente de corto circuito se obtendrá la red de la figura A. Aunque se
analizo antes la aplicación mental del equivalente de corto circuito, podría
ser prudente en esta temprana etapa de desarrollo volver a dibujar la red
como se muestra en la figura B.
PROBLEMAS
Solución
PROBLEMAS
Solución
El resultado será un solo supernodo para el cual deberá aplicarse la ley de
corriente de Kirchhoff. Es importante asegurarse de dejar los otros nodos
definidos en su lugar y utilizarlos para definir las corrientes provenientes
de esa región de la red. En particular, observe que la corriente dejara el
supernodo en y entonces ingresar{a al mismo supernodo en . Po tanto
esta corriente deber{a aparecer dos veces al aplicar la ley de corriente de
Kirchhoff, como se muestra a continuación:
PROBLEMAS
Solución
Entonces
Al relacionar los valores los voltajes nodales definidos con la fuente de
voltaje independiente se tiene:
PROBLEMAS
Solución
La cual da por resultado dos ecuaciones y dos incógnitas
Al sustituir
PROBLEMAS
Solución
Al sustituir da como resultado lo siguiente:
De manera que:
Y
PROBLEMAS
Solución
La corriente de la red puede determinarse entonces en la siguiente forma: