Configuraciones numéricas a golpe de vista. Enseñanza Primaria

Abril 2003 • 2003ko Apirila 7

Configuraciones Numéricas en Primaria

CONFIGURACIONES NUMÉRICAS EN PRIMARIA

¡ A golpe de vista !

Santiago Fernández (*)

1. UN POCO DE HISTORIA

Los antiguos griegos hacían una distinción entre las relaciones existentes entre los distintosnúmeros y el cálculo práctico de dichos números. Las primeras relaciones fueron estudiadasen un campo que lo denominaban Aritmética, mientras que el cálculo práctico fue estudiadopor la Logística.

En los siglos V y VI a. C., los Pitagóricos se preocuparon especialmente por el estudio de laAritmética, estudiaron los números, clasificándolos según propiedades bien definidas.

Descubrieron muchos tipos números: amistosos, perfectos, abundantes, deficientes,detenién-dose especialmente en el estudio de los llamados números figurados.

• Dos números son amigos si cada uno es la suma de los divisores propios del otro. Porejemplo: 284 y 220 son números amigos ya que la suma de los divisores propios de284 (1,2,4,71,142) es igual a 220, y la de los divisores propios de 220, que son1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110, es igual a 284.

• Un número es perfecto si la suma de sus divisores propios es igual al número. Porejemplo, los números 6, 28 y496 son perfectos. El número 6 es igual a 1+2+3. Elnúmero 28 es igual a 1+2+4+7+14.

• Un número es abundante si la suma de sus divisores propios es mayor que elnúmero.Por ejemplo el número 12 es abundante ,ya que la suma de 1, 2, 3, 4 y 6 esmayor que el 12.

• Un número es deficiente si la suma de sus divisores propios es menor que el número.Por ejemplo el Número 8 es deficiente ya que la suma de 1, 2 y 4 es menor que el 8.

• Los números figurados, eran concebidos como los números de puntos en ciertas con-figuraciones geométricas, estas representaciones constituyen un nexo de unión entre lageometría y la aritmética.

2. NÚMEROS POLIGONALES Y POLIÉDRICOS

Para los pitagóricos, el estudio de los números fue una de sus grandes pasiones. De acuerdo ala posibilidad de representar los números en el plano o en el espacio, dividían los númerosfigurados en poligonales o poliédricos.

2.1.) Números poligonales

Corresponden a configuraciones numéricas que se pueden representar sobre el plano, a modode ejemplo:

(*) Asesor de matemáticas del Berritzegune de Abando (Bilbao).

TIPO ORDEN

1 2 3 4

Triangulares

1 3 6 10

Cuadrados

1 4 9 16

Pentagonales

1 5 12 22

Hexagonales

1 6 15 28

Heptagonales 1 7 18 34

SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk. 8

Santiago Fernández

NÚMEROS POLIGONALES

2.2.) Números poliédricos

Los Pitagóricos estudiaron no sólo configuraciones planas, sino otras que al representarseespacialmente generaron sucesiones de números aún más complicadas, por ejemplo con baseen configuraciones triangulares generaban figuras piramidales como las pilas de naranjas quea veces uno se encuentra en las fruterías.

Como resumen, podemos decir que los números figurados durante siglos cautivaron la aten-ción de muchos matemáticos, en el siglo XVII el gran matemático francés P.Fermat dedujoalgunas propiedades curiosas de dichos números. La demostración de otras propiedades for-mulados por B.Pascal fueron realizadas por Euler y Lagrange. Un estudio más general lo pode-mos encontrar en las obras del matemático francés A. Cauchy (s. XIX).

Esta manera de jugar con los números, a través de sus representaciones, y tratar de encontrarrelaciones entre ellos cayó con el tiempo en el olvido, en algunas ocasiones su estudio fue unamera curiosidad sin importancia, en otras ha sido aprovechada por Pseudociencias como: Lanumerología,astrología etc.

Estas configuraciones las podemos encontrar en multitud de situaciones:

Números triangulares

Números cuadrados Números piramidales



3. PROPUESTA DIDÁCTICA

El trabajar con este tipo de disposiciones geométricas puede ser muy interesante desde un

punto de vista didáctico. De hecho, es muy recomendable de cara a reforzar el llamado

sentido numérico. Veamos dos ejemplos:

¿Cuántas bolas hay en esta disposición?

a) Una manera de afrontar la cuestión es

contar las bolas una a una, así obtene-

mos: 14 bolas.

b) Otra manera es ver que hay cuatro

filas de tres bolas cada una, lo que

hacen 12 bolas, y dos bolas más;

suman nuevamente 14 bolas.

c) Otra manera es observar que de un

cuadro de 20 bolas ( 4x5) se han qui-

tado 6 bolas ( 2x3) , lo que nueva-

mente suman 14.

¿Cuántas bolas negras hay en esta dispo-

sición?

a) Una manera de afrontar la cuestión es

contar las bolas negras, una a una, así

obtenemos: 18 bolas.

b) Otra, es observar que en cada fila hay

tres bolas negras , como hay 6 filas,

tenemos 18 bolas negras.

c) Podemos también contar todas las

bolas, son 30, y restar las blancas....

Es evidente que la respuesta está condicionada por la edad del alumnado, el tipo de tareas que

realizan en el aula, etc.

A continuación se proponen una serie de situaciones. Se deja en manos del docente el obte-

ner el mayor beneficio ...


Santiago Fernández

Ejemplo 1

Ejemplo 2



¿Cuántas bolitas hay?

¿Cuántas bolas negras hay?

¿Cuántas bolas blancas?

¿Cuántas bolas blancas hay?

¿Cuántas bolas negras?

1)

2)

3)


Santiago Fernández

¿Cuántas bolas hay en total?

¿Cuántas bolas hay?


4)

5)

6)






7)

8)

9)


Santiago Fernández

c)b)a)

A) 8 B) 12 D) 11

Relaciona figura y número

¿Cuántas bolas blancas hay?

b)a)

Si hablamos de 39 bolas. ¿De qué configuración estamos hablando?

10)

11)

12)




¿Cuántas son blancas?





¿Cuántas son negras?

13)

14)

15)


Santiago Fernández




16)

17)

18)






¿Cuántas son negras?

¿Cuántas bolas hay en la siguienteconfiguración?

19)

20)

21)


Santiago Fernández


¿Cuántas cuadrados hay en total?


22)

23)

24)



¿Cuántas cuadrados hay en total?

¿Cuántas rectángulos hay en total?

Nota. los cuadrados son también rectángulos

¿Cuántas triángulos hay en total?

25)

26)

27)


Santiago Fernández

¿Cuántas rectángulos hay en total?

27123

¿Cuál es la siguiente configuración?

1063

¿Cuál es la siguiente configuración?

28)

29)

30)

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