Trang 1

ĐỀ CƯƠNG

HÌNH HOÏC 10 NAÂNG CAO

NĂM HỌC 2014 – 2015

Trang 2

A B

d

A

B

C

D

E

F

a

b

CHƯƠNG I : VECTƠ

BÀI 1 – 2 - 3 : CÁC ĐỊNH NGHĨA – TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI – TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I. Các định nghĩa : 1. Khái niệm về Vectơ : Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu , điểm nào là điểm cuối.

Kí hiệu: AB chỉ có : + Gốc ( điểm đầu ) là A. + Ngọn ( điểm cuối ) là B.

2. Giá của vectơ: Đường thẳng d chứa đoạn thẳng AB là

giác của AB

3. Độ dài của vectơ : Độ dài của đoạn thẳng AB là độ dài của AB

Kí hiệu là : AB . Như vậy ta có : ABAB .

4. Hướng của vectơ : Chiều từ gốc A đến ngọn B là hướng của AB . 5. Vectơ đơn vị : Vectơ có độ dài bằng 1 được gọi là đơn vị. 6. Hai vectơ cùng phương : Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Lưu ý : Hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hay ngược hướng.

Ta có : + EFCDAB ,, cùng phương với nhau.

+ CDAB, cùng hướng với nhau.

+ EFAB, và EFCD, : ngược hướng với nhau

7. Hai vectơ bằng nhau : Hai vectơ bvàa bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.

Kí hiệu : ba . Tính chất :

EFABEFCDvàCDABiii

ABCDCDABii

ABABi

)

)

)

8. Vectơ 0 : Vectơ không là vectơ có gốc và ngọn trùng nhau. Kí hiệu là : 0

Ta có : i) BAAB 0 .

ii) 0... BBAA

Nhận xét : Vectơ 0 có độ dài bằng 0 và có phương bất kỳ ( cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ) 9. Vectơ tự do :

Có rất nhiều vectơ bằng một vectơ AB cho trước. Tập hợp các vectơ này được coi là một vectơ ( Vectơ tự do ). Một vectơ tự do hoàn toàn được xác định nếu biết hướng và độ dài của nó. Vectơ tự do thường được kí

hiệu đơn giản là ,...,,, yxba

10. Xác định một điểm bằng đẳng thức vectơ:

Trang 3

a

b

A

C

B

Cho điểm O có định và vectơ v không đổi. Khi đó tồn tại duy nhất một điểm M sao cho : vOM (1) Ta nói điểm M được xác định bởi đẳng thức (1).

II. Tổng và hiệu của hai : 1. Tổng hai vectơ

a. Ñònh nghóa:

Câo âaã vectơ bvàa . Lấy điểm A bất kỳ , ta vẽ :

AB a

, íaï đó vẽ tiếp BC b

.

Vectơ ACc được xác định như trên được gọi là tổng

của bvàa . Kí hiệu : cba

b. Tính chaát :

* Gãao âoaùè : a b

= b a

* Kegt âôïp: ( a b

) + c

= (a b

+ c

)

* Tíèâ câagt cộng với vectô – åâoâèg: a

+ 0

= a

* Bất đẳng thức tam giác : baba

c. Các qui tắc :

ã. Quy taéc 3 ñieåm : ( Qïã tắc chèn điểm )

Câo A, B ,C tïøy yù. Ta coù : AB

+ BC

= AC

Mở rộng cho n điểm : Cho n điểm nAAAA ,....,,, 321 , ta có :

nnn AAAAAAAA 113221 ...

ãã. Quy taéc hình bình haønh : Negï ABCD laø ârèâ brèâ âaøèâ târ AB

+ AD

= AC

2. Hiệu của hai vectơ

a. Vectơ đối : Cho vectơ a . Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với a được gọi là vectơ đối của

vectơ a . Kí hiệu : a .

Nói cách khác nếu 0 ba thì ta nói a là vectơ đối của b hay b là vectơ đối của a Các tính chất :

i) BAAB

ii) I là trung điểm của AB thì IBIA

iii) ABAB )(

b. Định nghĩa hiệu của hai Vectơ : Câo âaã vectơ bvàa .

Hiệu của bvàa , kí hiệu là ba được định nghĩa bởi : baba

Qui tắc 3 điểm: Câo BC , với điểm O tïøy yù ta coù : CBOCOB .

III. Tích của với một số với một Vectơ:

1. Định nghĩa : Câo vectơ 0a và số thực 0k . Tícâ của số k với vectơ a , kí hiệu å.a , laø một

vectô cùng phương với a thỏa các tính chất :

* 0k : cùng hướng với a .

Trang 4

* 0k : ègược hướng với a .

* Có độ dài : akak .||.

Quy ước : 0.00. ak

Tính chaát :

a) å(m a ) = (åm) a

b) (å + m) a = å a + m a

c) å( a + b ) = å a + å b

d) aaaa ).1(;.1

e) å a = 0

å = 0 âoaqc a = 0

2. Hai vectơ cùng phương: b

cïøèg pâö ôèg a

( a

0

) khi vaø chæ khi coù íog å tâoûa b

= å a

.

3. Ba điểm thẳng hàng : A , B , C tâaúèg âaøèg khi và chỉ khi tồn tại íog tâực 0k íao câo

AB

= å AC

.

4. Biểu diễn một vectơ qua hai vectơ không cùng phương:

Câo b

åâoâèg cïøègpâö ôèg a

, x

lïoâè ñö ôïc bãeåï dãeãè x

= m a

+ èb

( m, è dïy èâagt ).

IV. Một số tính chất quan trọng cần nhớ 1. Tính chất trung điểm : Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB , ta có :

i) 0 IBIA .

ii) )(2

1MBMAMI , với M bất kỳ .

2. Tính chất trọng tâm tam giác : Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có :

i) 0 GCGBGA .

ii) )(3

1MCMBMAMG , với M bất kỳ.

3. Tính chất đường trung tuyến:

Nếu AM là một trung tuyến của tam giác ABC thì AMACAB 2 . 4. Điều kiện cần và đủ để ba điểm thẳng hàng :

A , B , C tâaúèg âaøèg khi và chỉ khi thỏa mãn một trong các điều kiện sau :

a. tồn tại íog tâực 0k íao câo AB

= å AC

.

b. Câo một điểm I bất kỳ khi đó tồn tại một số thực t sao cho : ICtIBtIA 1 .

5. Công thức chia điểm : Cho đoạn thẳng AB và số thực k khác 0 và 1. Ta nói điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số

k nếu : MBkMA . .

Khi đó với điểm C bất kỳ , ta có : CBk

kCA

kCM

11

1 ( Công thức điểm chia )

Trang 5

B. PHƯƠNG PHÁP TOÁN

VẤN ĐỀ 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ

PHƯƠNG PHÁP CHUNG : Sử dụng các định nghĩa, tính chất và phép toán của vectơ và các tính chất hình học đã học ở các lớp dưới.

Bài 1. Cho hai vectơ bất kì ba, . Chứng minh rằng :

a) baabba

b) baabba

Bài 2. Gọi C là trung điểm đoạn AB. Các khẳng định sau đây đúng hay sai?

a) BCvàAC cùng hướng. b) ABvàAC cùng hướng.

c) BCvàAB cùng hướng. d) BCAB

e) BCAC f) BCAB .2

Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC và N là trung điểm của AB.

a) Đẳng thức ACAB đúng hay sai? b) Các vectơ nào cùng hướng với AC ?

c) Các vectơ nào ngược hướng với BC d) Các vectơ nào bằng nhau? Bài 4. Cho ba điểm A, B, C . Có nhận xét gì về ba điểm đó nếu :

a) BCAB

b) ACAB

c) ACAB và ACAB, cùng phương.

Bài 5. Cho ba điểm A, B, C. Mệnh đề nào sau đây đúng?

a) BAAB 0 b) DBvàCACDAB .

c) Nếu ACAB thì CB d) Nếu CABA thì CB

Bài 6. Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Kết luận gì về ba điểm A, B, C nếu :

a) BCvàAB cùng phương. b) ABvàAC cùng hướng.

Bài 7. Cho hình bình hành ABCD. Hãy chỉ ra các véctơ 0

có điểm đầu và điểm cuối là một trong

bốn điểm ABCD. Trong số các véctơ trên, hãy chỉ ra

a) Các véctơ cùng phương. b) Các cặp véctơ cùng phương nhưng ngược hướng. c) Các cặp véctơ bằng nhau.

Bài 8. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O.

a) Tìm các véctơ khác các véctơ không 0

và cùng phương với AO

.

b) Tìm các véctơ bằng với các véctơ AB

và CD

.

c) Hãy vẽ các véctơ bằng với véctơ AB

và có điểm đầu là O, D, C.

d) Hãy vẽ các véctơ bằng với véctơ AB

và có điểm gốc là O, D, C.

Bài 9. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.

Trang 6

a) Tìm các véctơ bằng với véctơ AB

.

b) Tìm các véctơ bằng với véctơ OA

.

c) Vẽ các véctơ bằng với OA

và có điểm ngọn là A, B, C, D.

Bài 10. Cho 3 điểm A, B, C phân biệt. Có bao nhiêu véctơ khác véctơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đó ?

Bài 11. Cho 5 điểm A, B, C, D, E phân biệt. Có bao nhiêu véctơ khác véctơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đó ?

Bài 12. Cho véctơ AB

và một điểm C. Hãy dựng điểm D sao cho AB CD

.

Bài 13. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Nếu cba thì cba .

b) Nếu I là trung điểm của MN thì 0 NIMI .

c) Nếu CDAB thì BDAC

d) Nếu ABvàAC là hai đối nhau thì CA .

e) ba là vectơ đối của ba

Bài 14. Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý . Các khẳng định sau đây đúng hay sai?

a) BAMBMA b) MCABCMBA

c) BCMCBAMA d) CBCAMBMA Bài 15. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Các khẳng định sau đây đúng hay sai?

a) BDADAB b) BCBDAB

c) ODOCOBOA d) BCADACBD Bài 16. Cho 4 điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Có 5 hệ thức véctơ và 5 mệnh đề được đặt ở hai cột tương ứng, hãy nối chúng lại với nhau để tạo thành một suy luận đúng ?

Cột I Cột II

1/ AD DB

A : "ABCD là hình bình hành"

2/ AB 3AC

B: "ABDC là hình bình hành"

3/ AB CD

C: "ACBD là hình bình hành"

4/ DC DA DB

D: "D là trung điểm AB"

5/ AD BC

E: "C AB "

Bài 17. Cho hình ngũ giác đều ABCDE tâm O. Chứng minh :

a) Hai vectơ OBOA và OEOC cùng phương với OD .

Trang 7

b) Hai vectơ ECvàAB cùng phương.

Bài 19. Cho tam giác ABC . Chứng minh điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi

0 GCGBGA Bài 20. Các tam giác ABC và A’B’C’ có trọng tâm lần lượt là G và G’. Chứng minh rằng :

'''3

1' CCBBAAGG

Bài 21. Cho ABC có A', B', C' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.

a) Chứng minh: BC' C'A A'B'

. b) Tìm các véctơ bằng với B'C ', C 'A '

.

Bài 22. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AD. Dựng

MK =

CP và

KL =

BN

a) CMR :

KP =

PN b) Hình tính tứ giác AKBN c) CMR :

AL = 0

Bài 23. Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi H là trực tâm của ∆ABC, B' là điểm đối xứng với B qua

O. Chứng minh rằng AH B'C

.

Bài 24. Cho ∆ABC. Vẽ D đối xứng với A qua B, E đối xứng với B qua C và F đối xứng với C qua A. Gọi G là giao điểm giữa trung tuyến AM của ∆ABC với trung tuyến DN của ∆DEF. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của GA và GD. Chứng minh:

a) NCAM b) MK NI

.

Bài 25. Cho ∆ABC và M là một điểm không thuộc các cạnh của tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Vẽ điểm P đối xứng với M qua D, điểm Q đối xứng với P qua E, điểm N đối xứng với Q

qua F. Chứng minh rằng MA NA

.

Bài 26. Cho hai ∆ABC và ∆AEF có cùng trọng tâm G. Chứng minh: BE FC

. Bài 27. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD, BC.

Chứng minh: MP QN, MQ PN

.

Bài 28. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh:

a) AC BA AD, AB AD AC

.

b) BAOBCO , OCODDBDA

c) 0 DCDBDA

d) Nếu AB AD CB CD

thì ABCD là hình chữ nhật.

Bài 29. Cho hình bình hành ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. AN và CM lần lượt cắt BD tại E và F. Chứng minh :

a) FBEFDE . b) BE FD

Bài 30. Cho hình bình hành ABCD. Dựng BCPQDCNPDAMNBAAM ,,, .Chứng minh :

0AQ

Bài 31. Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng : MDMBMCMA .

Bài 32. Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH BD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DH và BC. Kẻ

Trang 8

BK AM và cắt AH tại E. Chứng minh rằng: MN EB

Bài 33. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB = 2CD. Từ C vẽ

CI =

DA . CMR :

a) I là trung điểm AB và

DI =

CB b)

AI =

IB =

DC

Bài 34. Chứng minh các khẳng định sau :

a) Nếu ba, cùng hướng thì baba

b) Nếu ba, ngược hướng và ab thì abba .

c) baba . Khi nào dấu đẳng thức sảy ra?

Bài 35.

1. Cho a b 0

. So sánh về độ dài, phương và hướng của hai véctơ a

và b

.

2. Cho hai véctơ a

và b

là hai véctơ khác véctơ không. Khi nào có đẳng thức xảy ra ?

a) a b a b

. b) a b a b

.

Bài 36. : Câo tam gãaùc ABC , troïèg taâm laø G. Pâaùt bãeåï èaøo laø ñïùèg

a) AB + BC

= AC

b) GA+GB +GC = 0

c) AB + BC = AC d) GA + GB + GC = 0

Bài 37. Tìm tính chaát tam giaùc ABC, bãegt raèèg : CA

+ CB

= CA

- CB

Bài 38. Tứ giác ABCD là hình gì nếu có ADABvàDCAB .

Bài 39. Cho tam giác ABC vuông tại A biết AC = a và AB = 2a. Tính độ dài của các vectơ :

ACABACAB ,

Bài 40. Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = a, góc C = 600.

a) Xác định và tính độ dài AD AB AC

.

b) Gọi M là trung điểm BC. Vẽ tính AE AB AM

. Chứng minh ED BM

Bài 41. Cho ABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. Tính

ACAB

Bài 42. Cho ∆ABC đều có cạnh là a. Tính độ dài các véctơ AB BC, AB BC

.

Bài 43. Cho ABC đều cạnh a, trực tâm H. Tính độ dài của các HA, HB, HC

.

Bài 44. Cho tam giác ABC đều cạnh a.

a) Xác định và tính độ dài các ACABu ; BACAv .

b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC. Xác định và tính độ dài vectơ BNAM Bài 45. Cho ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.

a) Tính

ACAB b) Tính

BA

BI

Bài 46. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Hãy biểu diễn các véctơ AB, BC, CD, DA

theo hai véctơ

AO, BO

.

Trang 9

Bài 47. Cho hình thoi ABCD có tâm O, AB = a và góc 060ABC .

Xác định và tính độ dài các vectơ : ADABADAB ; .

Bài 48. Cho hình thoi ABCD có BAD =600 và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.

Tính | |;| |;| |AB AD BA BC OB DC

Bài 49. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2a; AD = a. Hãy xác định và tính độ dài các vectơ sau:

a) DAAC b) ACAD c) BDBABC Bài 50. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.

a) Tính

AD

AB b) Dựng u

=

CA

AB . Tính u

Bài 51. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài của các

AB AD, AB AC, AB AD

, OCOA , BCOB

Bài 52. Cho hình vuông ABCD cạnh là a. Tính AB AC AD

.

VẤN ĐỀ 2. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ PHƯƠNG PHÁP CHUNG : Để thực hiện phép biến đổi tương đương cho đẳng thức cần chứng minh khi đó ta lựa chọn một trong các biến đổi sau: 1. Biến đổi một vế thành vế còn lại. - Xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực hiện việc đơn giản biểu thức. - Xuất phát từ vế đơn giản ta cần phân tích. 2. Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về đẳng thức đã biết là đúng 3. Biến đổi một đẳng thức đã biết là đúng thành đẳng thức cần chứng minh. 4. Tạo dựng các hình phụ. 5. Thường áp dụng các qui tắc sau :

- Quy tắc 3 điểm: BCCABA

BCCABA

- Quy tắc hình bình hành: với hình bình hành ABCD ta luôn có: CABADA

.

- Qïy tắc trung điểm : Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB , ta có :

i) 0 IBIA .

ii) )(2

1MBMAMI , với M bất kỳ.

- Quy tắc trọng tâm : Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có :

i) 0 GCGBGA

ii) )(3

1MCMBMAMG , với M bất kỳ.

Bài 1. Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng:

a) BCDADCBA

b) AC BD AD BC

. c) AB CD AC BD

. Bài 2. Cho 5 điểm A, B, C, D, E tùy ý. Chứng minh rằng:

Trang 10

a) AB CD EA CB ED

.

b) CD EA CA ED

.

c) ABCBCEDCDEAC

Bài 3. Cho 6 điểm: A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng:

a) AB CD AC DB

.

b) AD BE CF AE BF CD

.

c) Nếu AC BD

thì AB CD

.

Bài 4. Cho 7 điểm A, B, C, D, E, F, G. Chứng minh rằng:

a) AB CD EA CB ED

.

b) AB CD EF GA CB ED GF

.

c) AB AF CD CB EF ED 0

. Bài 5. Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H

Chứng minh rằng: AC BF GD HE AD BE GC HF

.

Bài 6. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm là O. Chứng minh rằng: với M là điểm tùy ý thì ta luôn có:

a) OA OB OC OD OE OF 0

.

b) OA OC OE 0

.

c) AB AO AF AD

.

d) MA MC ME MB MD MF

.

e) 0 CBEDAF

Bài 7. Cho ∆ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:

a) AB BC CA 0

. b) MN NP PM 0

.

c) AN CM PB 0

. d) AP BM MP 0

.

e) 1

AP BM AC2

. f) 1AM AB AC

2

.

g) AM BN CP 0

. h) AP BM AN BP PC

.

Bài 8. Cho ΔABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là điểm bất kỳ.

Câứèg mãèâ rằèg : AM BN CP 0

và OA OB OC OM ON OP

.

Bài 9. Cho ΔABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC 2NA .

Gọi K, D lần lượt là trung điểm của MN và BC. Chứng minh rằng:

Trang 11

a) 1 1

AK AB AC4 6

. b) 1 1

KD AB AC4 3

.

Bài 10. Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến. I là trun g điểm của AM.

a) Chứng minh: IA IB IC2 0

.

b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: OA OB OC OI2 4

.

Bài 11. Cho tam giác ABC. Gọi E là trung điểm đoạn BC. Các điểm M, N theo thứ tự đó nằm trên cạnh BC

sao cho E là trung điểm đoạn MN. Chứng minh rằng: AB AC AM AN

.

Bài 12. Cho tam giác ABC. Gọi A’, B’, C’ là trung điểm của BC, CA, AB và O là điểm bất kỳ . Chứng minh rằng :

a) ''' OCOBOAOCOBOA b) 0''' CCBBAA Bài 13. Cho ΔABC, các đường cao AA', BB', CC'.

Chứng minh rằng nếu AA' BB' CC' 0

thì ΔABC là tam giác đều.

Bài 14. Cho ABC . Gọi M là một điểm trên đoạn BC sao cho MB=2MC.

CMR: ACABAM3

2

3

1

Bài 15 . Cho ΔABC. Gọi A' là điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng của C qua B, C' là điểm đối xứng của A qua C.

Chứng minh rằng: OA OB OC OA' OB' OC'

(với O là điểm bất kỳ).

Bài 16. Cho ΔABC, vẽ bên ngoài các hình bình hành ABIF; BCPQ; CARS.

Chứng minh rằng: RF IQ PS 0

.

Bài 17. Cho ΔABC. Trên cạnh BC lấy các điểm D, E, F sao cho: BD DE EF FC .

Chứng minh rằng: AB AD AE AF AC 5AE

.

Bài 18. Cho đều ΔABC có tâm là O. Gọi M là điểm thuộc miền trong của tam giác và D, E, F lần lượt là

hình chiếu của M lên 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: 3

MD ME MF MO2

.

Bài 19. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các đoạn AB, CD.Chứng minh rằng:

a) CBDADBCANM

2 .

b) Gọi O là điểm trên đoạn MN và OM = 2ON. Chứng minh rằng: 2 2 0OA OB OC OD

Bài 20. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của đoạn thẳng BC, CD.

Câứèg mãèâ rằèg: 3

AB AM NA DA .DB2

Bài 21. Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng: AB CD

AB và CD có cùng trung điểm.

Bài 22. Cho 4 điểm A, B, C, D bất kỳ. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD. O là trung điểm của EF. Chứng minh rằng:

Trang 12

a) )(2

1BDACEF

b) 0 ODOCOBOA

c) MOMDMCMBMA 4 Bài 23. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA và M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng:

a) AF BG CH DE 0

.

b) AOAFAGADACAB 4)(22 ( O là trung điểm cua GF )

c) MA MB MC MD ME MF MG MH

.

Bài 24. Cho tứ giác ABCD có AB không song song với CD. Gọi M, N, P, Q lần lượt theo thứ từ là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BC, AC, DB.

a) Chứng minh rằng: 1MN AB DC

2

và 1

PQ AB DC2

.

b) Chứng minh các điểm M, N, P, Q là 4 đỉnh của một hình bình hành.

c) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MN và O là điểm bất kỳ.

Chứng minh rằng: IA IB IC ID 0

và OA OB OC OD 4OI

.

Bài 25. Cho hình bình hành ABCD có tâm O và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng

a) DO AO AB

. b) CO OB BA

.

c) AB BC DB

. d) DA DB OD OC

.

e) DA DB DC 0

f) OA OB OC OD 0

.

g) ) MA MC MB MD 2MO

Bài 26. Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, DC.

Chứng minh rằng:

a) OA OM ON 0

.

b) 1AM AD 2AB

2

.

c) 3

AM AN AC2

.

Bài 27. Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm của AD. Chứng minh rằng:

EA EB 2EC 3AB

.

Bài 28. Cho hình thang OABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng:

a) 1

AM OB OA2

.

Trang 13

b) 1

BN OC OB2

.

c) 1MN OC OB

2

.

Bài 29. Cho ABC . Chứng minh rằng:

a) G là trọng tâm ABC khi và chỉ khi 0 GCGBGA

b) G là trọng tâm ABC khi và chỉ khi MGMCMBMA 3 ( Với M là điểm bất kỳ ).

Bài 30. Cho ABC và ''' CBA có trọng tâm lần lượt là G và

'G .Chứng minh rằng:

'3''' GGCCBBAA . Từ đó, suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm. Bài 31. Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD,DE, EF, FA. Chứng minh rằng:

a) CDBFAECFBEAD b) Hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm. c) Giả sử ABCDEF là hình lục giác đều tâm O. Chứng minh :

i) 0 EFCDAB .

ii) OFODOBOEOCOA . Bài 32. Cho tam giác ABC có D, E, F là ba điểm lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho :

1.,.,. kFBkFAEAkECDCkDB . Chứng minh rằng :

a) 0 CFBEAD

b) Hai tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm.

Bài 33. 1. Cho hai tam giác ABC và ΔA'B'C' có cùng trọng tâm là G. Gọi G1, G2, G3 theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác: ΔBCA' , ΔCAB', ΔABC'. Chứng minh rằng G cũng là trọng tâm của ΔG1G2G3. 2. Cho ΔABC, M là một điểm trong tam giác. Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của M trên các cạnh BC, CA, AB.Chứng minh rằng M là trọng tâm của ΔABC khi và chỉ khi:

2 2 2a .MH b .MI c .MK 0

với a, b, c là độ dài 3 cạnh BC, AC, AB. 3. Cho ΔABC. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB.

CMR ΔABC và ΔMNP có cùng trọng tâm khi và chỉ khi: BM CN AP

MC NA PB .

4. Cho hình bình hành ABCD và một điểm E thuộc miền trong của hình bình hành. Chứng minh rằng hai ΔACE và ΔBDE có cùng trọng tâm. Điều đó còn đúng khi E nằm ở ngoài hình bình hành không ? Bài 34. Cho ΔABC. Gọi A', B', C' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB. Chứng minh

rằng hai tam giác ΔABC và ΔA'B'C' có chung trọng tâm.

Bài 35. Cho ΔABC và D là điểm bất kỳ. DA, DB, DC theo thứ tự cắt BC, CA, AB tại A', B', C'.

Trang 14

Chứng minh rằng nếu ta có: BA' A 'C CB' B'A AC' C'B 0

thì D là trọng tâm

ΔABC.

Bài 36. Cho ΔABC có trọng tâm G. Gọi M thuộc cạnh BC sao cho MB 2MC . Chứng minh rằng:

a/ AB 2AC 3AM

. b/ MA MB MC 3MG

.

Bài 37. Cho ΔABC có G là trọng tâm tam giác và I là điểm đối xứng của B qua G. M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:

a) 2AC AB 3AI

.

b) 2AB 3AC 6IC

.

c) AC 5AB 6MI

.

Bài 38. Cho tam giác .ABC G là trọng tâm tam giác. 1G đối xứng B qua G .

a) CMR : 1

2 1

3 3AG AC AB

b) CMR : 1

15

6MG AC AB

.

Bài 39. Cho tam giác ABC, gọi G là trọng tâm, H là điểm đối xứng của B qua G và M là trung điểm

của BC. Chứng minh rằng: 516 6

MH AC AB

Bài 40. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại

tiếp , AA’ là đường kính của đường tròn ( O ).

a) Chứng minh : CABH ' .

b) Chứng minh : OMAH 2 .

c) Chứng minh : HOHAHA 2'

d) Chứng minh : HOHCHBHA 2

Bài 41. Cho ΔABC nội tiếp trong đường tròn tâm O có trực tâm H, kẻ đường kính AD.

a) Chứng mình rằng: HB HC HD

.

b) Gọi H' là điểm đối xứng của H qua O. Chứng minh rằng: HA HB HC HH'

.

Bài 42. Cho ΔABC có 3 góc nhọn. Gọi H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. D là điểm đối xứng với A qua O.

a) Chứng minh rằng BHCD là hình bình hành. Từ đó hãy tính tổng HB HC

.

b) Chứng minh rằng: HA HB HC 2HO

và OA OB OC OH

.

c) Có nhận xét gì về 3 điểm O, G, H ?

Bài 43. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. I là trung điểm của BC và H là điểm đối xứng của C qua G. Chứng minh:

a) ACABAH3

1

3

2

b) ACABBH 3

1

Trang 15

c) ACABIH6

5

6

1

Bài 44. Cho ΔABC. Gọi H là trực tâm của tam giác.

Chứng minh rằng: A B Ctan .HA tan .HB tan .HC 0

.

Bài 45. Cho ΔABC. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

Chứng minh rằng: A B Csin .IA sin .IB sin .IC 0

.

Bài 46. Cho ΔABC. Lấy điểm M tùy ý thuộc miền trong tam giác.

Chứng minh rằng: MBC MAC MAB

S .MA S .MB S .MC 0

.

Kết quả trên còn đúng khi M ở ngoài tam giác không ?

HD: Gọi A' là giao điểm của đường thẳng MA với BC. Ta có: A'C A'B

MA' .MB .MCBC BC

.

Va ̀ MA'C MAC

MA'B MAB

S SA'C

BC S S

, MA'B MA'C MA'B MA'C

MAB MAC MAB MAC

S S S SMA'

MA S S S S

.

Bài 47. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt thuộc các đoạn AD và BC sao cho: MA NB m

MD NC n .

Chứng minh rằng: n.AB m.DC

MNm n

.

Bài 48. Cho đoạn AB. Trên đoạn AB lấy điểm C sao cho CA m

CB n và S là điểm bất kì.

Chứng minh rằng: n n

SC .SA .SBm n m n

.

Bài 49. Cho ∆ABC với M là điểm tùy ý.

a) Chứng minh rằng a MA 2MB MC

không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

b) Dựng điểm D sao cho CD a

. CD cắt AB tại K. Chứng minh: KA KB 0

và

CD 3CK

.

Bài 50. Cho tam giác đều ABC. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.CMR:

0...

CIcBIbAIa ( a,b,c R ) Bài 51. Cho đường tròn tâm I nội tiếp trong ∆ABC, tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại M, N,

P. Gọi a, b, c lần lượt theo thứ tự là độ dài của các cạnh BC, CA, AB của ∆ABC.

Chứng minh: a.IM b.IN c.IP 0

.

Bài 52. Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, CD, EF.

a) Chứng minh: 1IM IN IP IA IB IC ID IE IF

2

với I bất kì.

b) Hãy tìm điểm G sao cho GA GB GC GD GE GF 0

.

c) Gọi 1 2 3 4 5 6

G ,G ,G ,G ,G ,G tương ứng là trọng tâm của ∆ABC, ∆DEF, ∆BCD, ∆EFA, ∆CDE,

Trang 16

∆FAB. Chứng minh rằng: 1 2 3 4 5 6

G G , G G , G G cùng đồng qui tại một điểm.

Bài 53. Chứng minh rằng: Nếu hai hình bình hành 1 1 1 1,ABCD A B C D cùng tâm thì

1 1 1 1 0AA BB CC DD

.

Bài 54. Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P.

Chứng minh rằng : 0.. IPcINbIMa

Bài 55. Cho tam giác ABC và một điểm M bất kì trong tam giác. Đặt ;;; cMABbMCAaMBC SSSSSS

Chứng minh rằng : 0.. MCSMBSMAS cba

Trang 17

VẤN ĐỀ 3: XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MỘT VECTƠ CHO TRƯỚC

PHƯƠNG PHÁP CHUNG :

Xác định điểm M thỏa một đẳng thức véctơ cho trước ?

Bước 1. Ta biến đổi đẳng thức đã cho ( bằng xen điểm, hiệu 2 véctơ cùng gốc, qui tắc hình bình hành, tính

chất trung điểm, trọng tâm, … ) về dạng: OM v

. Trong đó điểm O đã biết trước và véctơ v

đã biết.

Bước 2. Nếu muốn dựng điểm M, ta lấy điểm O làm gốc, dựng 1 véctơ bằng 1 véctơ v

, khi đó điểm ngọn của véctơ này chính là điểm M.

Lưu ý

1. Thông thường, biểu thức OM v

là những biểu thức đặc biệt (trung điểm, trọng tâm, điểm chia

đoạn theo tỉ lệ a k.b

, hình bình hành,… Ta dựa vào biểu thức này để dựng hình. 2. Một số cách chứng minh thường dùng

i. Để chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta cần chứng minh 1 trong các hệ thức:

IA BI

.

IA IB 0

.

2IA AB

.

2OI OA OB

(O bất kỳ). ii. Để chứng minh điểm G là trọng tâm của ΔABC, ta cần chứng minh 1 trong các hệ thức:

GA GB GC 0

.

Với I là trung điểm của cạnh BC thì 2

AG AI3

.

Với O là điểm bất kì trong mặt phẳng thì: 3OG OA OB OC

.

iii. Để chứng minh ABCD là hình bình hành AB DC

AD BC

iv. Để chứng minh hai điểm A1 và A2 trùng nhau ta có thể chứng minh 1 trong các hệ thức:

1 2

A A 0

.

1 2

OA OA

với O là điểm bất kỳ.

v. Điều I kiện cần và đủ để ∆ABC và ∆A'B'C' có cùng trọng tâm là: AA' BB' CC' 0

.

vi. Nếu MB k.MC k 1

thì AB k.AC

AM1 k

(hay điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k k 1 .

Trang 18

Bài 1. Cho trước hai điểm A, B và hai số , sao cho 0 .

a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa : 0 IBAI

b) Suy ra với mọi điểm M bất kỳ , ta có : MIMBMA (1)

Bài 2. Cho trước ba điểm A, B,C và ba số ,, sao cho 0 .

a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa : 0 ICIBAI

b) Suy ra với mọi điểm M bất kỳ , ta có : MIMCMBMA (2)

Lưu ý : Công thức (1), (2) thường dùng để rút gọn một tổng

Bài 3. Cho n điểm ,,...,, 21 nAAA và n số 0...:,...,, 2121 nn xxxchosaoxxx .

a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa : 0...2211 nn IAxIAxIAx .

b) Suy ra rằng với mọi điểm M bất kỳ, ta có : MIxxxAxMAxMAx nnn ...... 212211 .

( Điểm I ở trên được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm ,,...,, 21 nAAA với bộ số nxxx ,...,, 21 )

Bài 4.

1. Cho hai điểm A, B. Xác định điểm M, biết: 032 MBMA (1)

2. Cho đoạn thẳng AB và điểm I sao cho 2 3 2 0AI BI AB

.

a) Tìm số k sao cho IB k AB

.

b) CMR với mọi điểm M ,ta có 5 2 3 2 0MI MA MB AB

.

Bài 5. Cho 2 điểm A, B và một v . Xác định điểm M biết: vMBMA Bai 6. Cho hai điểm A và B.

a) Dựng các điểm E, F sao cho 2 3

AE AB , AF AB5 5

.

b) Chứng minh hai đoạn thẳng AB và EF có cùng trung điểm. Bài 7. Cho ΔABC. Hãy dựng hình và

a) Tìm điểm I sao cho: IA 2IB 0

.

b) Tìm điểm K sao cho: KA 2KB CB

.

c) Tìm điểm M sao cho:MA MB 2MC 0

.

d) Tìm điểm N sao cho: NA 2NB 0

.

e) Tìm điểm P sao cho: PA PB 2PC 0

.

f) Tìm điểm Q sao cho: QA QB QC BC

.

g) Tìm điểm L sao cho: 2LA LB 3LC AB AC

.

h) Tìm điểm H sao cho: 2HA 3HB 3BC

.

i) Tìm điểm R sao cho: 2RA RB 2BC CA

.

j) Tìm điểm S sao cho: SA SB SC BC

.

k) Tìm điểm T sao cho: TA TB TC AB AC

.

Trang 19

l) Tìm điểm U sao cho: 3UA UB UC 0

.

m) Tìm điểm X sao cho: 3XA 2.XB XC 0

.

Bài 8. Cho ABC . Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện:

a) 0MA MB

b) MA MB MC 0

. c) 2 0MA MB

d) 3 2 0MA MB

e) 2 0MA MB MC

f) 2 0MA MB MC

Bài 9. Cho ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:

a) IB IC2 3 0

b) JA JC JB CA2

c) KA KB KC BC2

d) LA LB LC3 2 0

.

Bài 10. Cho ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:

a) IA IB BC2 3 3

b) JA JB JC2 0

c) KA KB KC BC

d) LA LC AB AC2 2

.

Bài 11.Cho ABC . Gọi M là trung điểm của AB. N là một điểm trên cạnh AC sao cho NANC 2 .

a) Xác định điểm K sao cho: 3 0122 AKACAB

b) Xác định điểm D sao cho: 01243 KDACAB Bài 12. Cho ΔABC.

a) Xác định các điểm D và E sao cho: AD AB AC

và BE BA BC

.

b) Chứng minh C là trung điểm của đoạn thẳng ED.

Bài 13. Cho ΔABC, hai điểm D và E.

1/ Chứng minh rằng nếu OA OB OC 0

thì O là trọng tâm ΔABC.

2/ Xác định điểm M thỏa: (+ dựng hình)

a) MA 2MB 0

. b) MA MB 2MC 0

.

c) MA MB MD MD ME

. d) 2MA 3MB MC 0

3/ Xác định điểm N thỏa: (+ dựng hình)

a) NA 3NB 0

. b) NA NB NC AB AC

.

c) 2NA 3NB 4NC 0

. d) NA NB NC 3 ND NE 0

.

4/ Gọi P là điểm xác định bởi 5PA 7PB PI 0

và G là trọng tâm của ΔABC.

a) Câứèg mãèâ: GP 2AB

.

b) Vớã AP BG Q . Hãy tính tỉ số QA

QP.

5/ Gọi A' là điểm đối xứng của A qua B, B' là điểm đối xứng của B qua C và C' là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh rằng hai tam giác ΔABC và ΔA'B'C' có cùng trọng tâm J.

Trang 20

Bài 14. Cho ΔABC.

a) Chứng minh rằng với mọi điểm M , ta luôn có: MA 2MB 3MC CA 2CB

.

b) Hãy dựng điểm D sao cho: DA 2DB 3DC CA 2CB

.

Bài 15. Cho ΔABC.

a) Dựng điểm P sao cho 3PA 2PB PC 0

.

b) Chứng minh rằng véctơ v 3MA 5MB 2MC

không phụ thuộc vào vị trí điểm M.

Bài 16. Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý.

a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MD MC AB

, ME MA BC

, MF MB CA

.

Chứng minh D, E, F không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

b) So sánh 2 véc tơ àMA MB MC v MD ME MF

.

Bài 17. Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Xác định vị trí của G biết 2AG GD

.

Bài 18. Cho tứ giác ABCD.

a) Hãy xác định vị trí của điểm G sao cho: GA GB GC GD 0

b) Chứng minh rằng với điểm O tuỳ ý, ta có: OG OA OB OC OD1

4

.

Bài 19. Cho O, A, B, C là 4 điểm bất kỳ trong mặt phẳng. Đặt OA u , OB v , OC w

.

a) Hãy dựng các điểm D, E, F sao cho: , OD u v w , OE u v w OF u v w

.

b) Chứng minh rằng A là trung điểm của đoạn thẳng DE và C là trung điểm của đoạn FD.

c) Chứng minh hệ thức: OD OE OF OA OB OC

.

Bài 20. Cho tứ giác ABCD , M là điểm tùy ý. Trong mỗi trường hợp hãy tìm số k và điểm cố định I, J, K sao cho các đẳng thức sau thỏa mãn với mỗi điểm M.

a) MIkMBMA 2

b) MJkMCMBMA 2

c) MKkMDMCMBMA 3 Bài 21. Cho tứ giác ABCD.

1/ Tìm điểm cố định I để các hệ thức sau thỏa mãn.

. a) 2MA 3MB MD k.MI

.

b) MA MB 2MC k.MI

.

c) MA 2MB 3MC 4MD k.MI

.

2/ Nếu tồn tại OA OB OC OD 0

. Chứng minh O xác định duy nhất.

3/ Nếu ABCD là hình bình hành. Với mọi M, hãy tìm k và điểm cố định I thỏa:

a) MA MB MC 3MD k.MI

.

Trang 21

b) MA 2MB k.MI

.

c) 2MA MB MC k.MI

.

4/ Xác định điểm S để: SA SB SC SD 0

. Bài 22. Cho hình bình hành ABCD.

a) Chứng minh rằng: AB AC AD AC2

.

b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: AM AB AC AD3

. Bài 23. Cho hình bình hành ABCD và ACEF.

a) Dựng các điểm M, N sao cho EM BD

, FN BD

.

b) Chứng minh CD MN

.

Bài 24. Cho hình bình ABCD.

a) Hãy xác định các điểm M, P sao cho AM DB , MP AB

.

b) Chứng minh rằng P là trung điểm của đoạn thẳng DP.

Bài 26. Cho ΔABC, điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn đẳng thức: MN MA 5MB MC

.

a) Chứng minh rằng: MN luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi. b) Gọi P là trung điểm của CN. Chứng minh: MP luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.

HD: a/ MN 1 5 1 MI

. b/ 1MP MA 5MB 3MJ

2

.

Bài 27. Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c. Tìm điểm I sao cho : 0... ICcIBbIAa .

VẤN ĐỀ 4: BIỂU DIỄN VECTƠ QUA HAI VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP CHUNG :

1. Định lý: Cho trước hai a và b khác 0 và không cùng phương .

Với mọi c bao giờ cũng tìm được một cặp số thực , duy nhất ,sao cho:

c = a + b

2. Để biểu diễn một vec tơ qua hai vec tơ không cùng phương, ta sử dụng các cách sau : i. Từ giả thiết xác định được tính chất hình học, rồi từ đó khai triển cần biễu diễn bằng phương

pháp xen điểm hoặc hiệu của hai cùng gốc. ii. Từ giả thiết thiết lập được mối liên hệ giữa các đối tượng , rồi từ đó khai triển biểu thức

này bằng phương pháp xen điểm hoặc hiệu của hai cùng gốc. Lưu ý: Trong một vài trường hợp cần sử dụng cơ sở trung gian.

Bài 1. Cho ABC có trọng tâm G.

a) Tính AG theo ACAB,

b) Gọi E, F là hai điểm xác định bởi biểu thức : 023,2 FCFAEBEA . Tính EF theo ACAB, .

Bài 2. Cho ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho ICBI 2 . Tính vecto ACvàABtheoAI .

Bài 3. Cho ABC. Gọi J là điểm trên cạnh AC sao cho JCJA3

2 . Hãy tính vecto BCvàBAtheoBJ .

Trang 22

Bài 4. Cho ABC. Gọi M là điểm thỏa mãn : 02 MCMB . Tính ACvàABtheoAM

Bài 5. Cho ABC. Gọi M trên cạnh BC sao cho MCMB3

2 . Tính ACvàABtheoAM

Bài 6. Cho ABC. Gọi K là điểm trên tia đối của AB sao cho KAKB 4 . Hãy tính vecto

BCvàBAtheoCK .

Bài 7.Cho ABC , gọi G là trọng tâm tam giác và B1 là điểm đối xứng của B qua G. Hãy biểu diễn

111 ,, MBABCB theo AB và AC , với M là trung điểm của BC.

Bài 8. Cho ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho ICIB 3 .

a) Tính AI theo ACAB, .

b) Gọi J, K lần lượt là các điểm thuộc cạnh AC, AB sao cho KAKBICJA 3,2 .

Tính ACvàABtheoJK .

c) Tính JKvàAItheoBC .

Bài 9. Cho ABC , I thuộc đoạn BC , sao cho 2CI = 3BI, J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB=2JC

a) Tính AJAI , theo ACAB,

b) Gọi G là trọng tâm ABC.Tính AG theo AJAI ,

Bài 10. Cho ABC có trọng tâm G

a) Tính AG theo ACAB,

b) Gọi E là điểm trên cạnh AB thỏa BEAE2

1 . F là điểm trên cạnh AC thỏa CFAF 2 . Tính AG

theo AFAE, .

c) AG cắt EF tại I.Xác định I và tính AG

AI.

d) Cọi P là trung điểm của EF. Tính AP theo ACAB, .AP cắt BC tại K. Tính AK

AP.

Bài 11. Cho ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng:

a) AB CM BN2 4

3 3

c) AC CM BN

4 2

3 3

c) MN BN CM

1 1

3 3

.

Bài 12. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G.

a) Chứng minh: AH AC AB2 1

3 3

và CH AB AC

1

3

.

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: MH AC AB1 5

6 6

.

Bài 13. Cho ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho

MB MC NA CN PA PB3 , 3 , 0

.

a ) Tính PM PN,

theo AB AC,

b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng.

Bài 14. Cho ABC. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.

a) Chứng minh: AA BB CC1 1 1 0

Trang 23

b) Đặt BB u CC v1 1,

. Tính BC CA AB, ,

theo àu v v

.

Bài 16. Cho ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Gọi F là điểm trên cạnh BC kéo dài sao

cho 5FB = 2FC.

a) Tính , àAI AF theo AB v AC

.

b) Gọi G là trọng tâm ABC. Tính àAG theo AI v AF

.

Bài 17. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của G qua B.

a) Chứng minh: HA HB HC5 0

.

b) Đặt AG a AH b,

. Tính AB AC,

theo àa v b

.

Bài 18. Cho ABC .Đặt ACvABu , . Gọi P là điểm đối xứng của B qua C. Tình AP theo vu, . Gọi Q,

R là hai điểm xác định bởi biểu thức : ABARACAQ3

1,

2

1 . Tính RQRP, theo vu, .

Bài 19. Cho ABC. Gọi N, P lần lượt là trung điểm của CA, AB.Đặt CPbvàBNa .

Tính các vecto ACAB, theo các vecto ba, .

Bài 20. Cho ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là điểm thỏa :

NANC 2 . Gọi K là trung điểm của MN.

a) Chứng minh rằng : ACABAK6

1

4

1

b) Gọi D là trung điểm của BC . Chứng minh rằng : ACABKD3

1

4

1 .

Bài 21.

1. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Đặt ObAOa B , . Hãy biểu diễn các vecto

DACDBCAB ,,, theo ba,

2. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. D là điểm đối xứng với G qua C.

Đặt ADvAGu , . Tính BCACAB ,, theo vu, .

3. Cho hình lục giác đều ABCDEF tâm O.

i) Đặt AFvABu , . Biểu diễn ,,,,,,,, CDBFBEBDBCAEADAC

EFDFDECFCE ,,,, tâeo vu, .

ii) Đặt OBbOAa , . Tính các vecto trên theo ba, .

Bài 22. Cho hình bình hành ABCD , M là một điểm trên AB, N là một điểm trên CD sao cho

DCDNABAM2

1,

3

1

a) Tính ACvàABtheoAN .

b) Gọi I, J lần lượt là các điểm định bởi AIAJvàBCBI . Tính vàACABtheoAJAI ,,, .

c) Định , để J là trọng tâm tam giác BMN.

Bài 23. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD . Hãy tính các vecto

AJAIAC ,, theo các vecto ADvàAB .

Trang 24

Bài 24. Cho hình bình hành ABCD, đặt AB a AD b,

. Gọi I là trung điểm của CD, G là trọng tâm của

tam giác BCI. Phân tích các BI AG,

theo a b,

.

Bài 25. Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích AM

theo các

OA OB OC, ,

.

Bài 26. Cho hình thang OABC. M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng:

a) AM OB OA1

2

b) BN OC OB

1

2

c) MN OC OB

1

2

.

VẤN ĐỀ 5 : - CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG. - CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM

PHƯƠNG PHÁP CHUNG : 1. Muốn chứng minh 3 điểm A,B,C thẳng hàng, ta đi chứng minh:

ACkAB . ;(kR) (1) Để nhận được (1) ta lựa chọn một trong hai hướng

- Hướng 1: Sử dụng các qui tắc biến đổi đã biết

- Hướng 2: Xác định ACAB, thông qua một tổ hợp trung gian.

2. đĐể chứng minh đường thẳng d luôn đi qua điểm I, ta lấy hai điểm thích hợp A, B trên d và chứng minh ba điểm A, B, I thẳng hàng

Tính chất : Cho ba điểm A, B, C cố định và 0:,, chosao . Nếu : 0 ICIBIA

( I cố định ) thì MIMCMBMAMN . Khi đó, đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố

định I. Bài 1. 1. Cho điểm O cố định và đường thẳng d đi qua hai điểm A, B cố định. CMR điểm M thuộc

đường thẳng d khi và chỉ khi có số sao cho : OBOAOM 1 . Với điều kiện nào của thì

M thuộc đoạn AB.

2. Cho ba điểm A, B, C và điểm O tùy ý. CMR : A, B, C thẳng hàng 11

k

k

OBkOAOC

Bài 2. Cho tam giác ABC

a) Gọi P,Q là hai điểm lần lượt thỏa 02 PCPB (1) và 025 QCQBQA (2)

CMR: P, Q, A thẳng hàng. b) Gọi I là điểm đối xừng với B qua C, J là trung điểm của A, C, K là điểm trên AB sao cho AB = 3AK . CMR: I, J, K thẳng hàng Bài 3.

1. Cho tam giác ABC, lấy điểm I, J thỏa: )2(023)1(02 JCJAvàIBIA

CMR: IJ đi qua trọng tâm cua tam giác ABC.

2. Cho ABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của ABC. Chứng minh rằng: O, G, H thẳng hàng.

Trang 25

Bài 4.Cho ABC, trọng tâm G. Lấy điểm I, J sao cho:

)2(0352)1(032 JCJBJAvàICIA

a) CMR: M, N, J thẳng hàng, với M,N lần lượt là trung điểm của AB và BC. b) CMR: J là trung điểm của BI

Bài 5. Cho ABC. Lấy M, N, P thỏa mãn biểu thức : ,02,2 NCNAMCMB 0 PBPA

a) Tính ACABtheoANAMAP ,,, .

b) Chứng minh rằng : M, N, P thẳng hàng.

Bài 6. Cho ABC. Lấy M, N, P thỏa mãn biểu thức: PAPCMBMA 6;02 ; 03 NCNB

a) Tính ACABtheoANAMAP ,,, .

b) Chứng minh rằng : M, N, P thẳng hàng.

Bài 7. Cho ABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi: IB IC2

, JC JA1

2

, KA KB

.

a) Vẽ hình và tính , và ACIJ IK theo AB

.

b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng .

Bài 8. Cho ABC. Hai điểm I, J được xác định bởi: IA IC3 0

, JA JB JC2 3 0

. Chứng minh 3 điểm

I, J, B thẳng hàng.

Bài 9. Cho ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi: MA MB3 4 0

, NB NC3 0

. Chứng minh 3 điểm

M, G, N thẳng hàng, với G là trọng tâm của ABC.

Bài 10. Cho ABC có trọng tâm G, I là trung điểm của cạnh BC. Gọi M, N thỏa 3 0MA MB

,

2 3 0NB NC

.

a) Chứng minh 1

6IG AB AC

b) Chứng minh G, M, N thẳng hàng.

Bài 11. Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho

MB MC3

, NA CN3

, PA PB 0

.

a) Tính PM PN,

theo AB AC,

.

b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Bài 12. Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho BD DE EC

.

a) Chứng minh AB AC AD AE

.

b) Tính AS AB AD AC AE theo AI

. Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng.

Bài 13. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N được xác định bởi các hệ thức BM BC AB2

,

CN x AC BC

.

a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng.

Trang 26

b) Xác định x để đường thẳng MN đi trung điểm I của BC. Tính IM

IN.

Bài 14. Cho tam giác ABC .Lấy các điểm ,M N sao cho :2 3 0,2 3 0MA MB NA NC

.G là

trọng tâm tam giác.

a) Biết AG xAM y AN

.Xác định ,x y .

b) E là điểm thuộc BC thoả mãn 3

2BC BE

.Hỏi M,N,E có thẳng hàng hay không?vì sao?

Bài 15. Cho tam giác .ABC Cho các điểm , ,M N P sao cho

3 0, 3 0,2 0MB CM NA MC PA AB

.

a) Biểu diễn MP

theo ,AB AC

b) Biểu diễn NP

theo ,AB AC

c) CMR: 3 điểm , ,M N P thẳng hàng.

Bài 16. Cho tam giác ABC . M là điểm thoả mãn 2 0MA MB

.G là trọng tâm tam giác ACM .

a) CMR : 3 2 4 0GA GB GC

.

b) Gọi I là điểm thoả mãn .IA k IB

.Biểu diễn GI

theo các véc tơ ,GA GB

.Tìm k để 3 điểm , ,C I G

thẳng hàng. Bài 17. Cho tứ giác ABCD

a) Chứng minh CBADCDAB .

b) Gọi M, N là các điểm được xác định bởi 032,02 NANCMBMA . Gọi G là trọng tâm tam giác

ABC. Chứng minh G, M, N thẳng hàng.

Bài 18. Cho hình bình hành ABCD, M là trung điểm của BD, P là điểm thỏa 02 PDPA . Q là điểm đối xứng với A qua B.

a) Tính QPQM , theo ACvàAB

b) Chứng minh rằng 3 điểm M, P, Q thẳng hàng

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác AQC. CMR : QPQDAB 3 .

Bài 19. Cho hình bình hành ABCD tâm O. lấy các điểm I, J sao cho : )1(0223 IDICIA ,

)2(022 JCJBJA . CMR: I, J, O thẳng hàng.

Bài 20. Cho hình bình hành ABCD . I là điểm thoả mãn 2 0IA AB

. M là điểm thoả mãn

3 0IC MI

. Chứng minh rằng :

a) 1 2

3 3BM AD BI

; b) , ,B M D thẳng hàng.

Bài 21. Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho : OA OB OC2 3 0

. Chứng tỏ rằng A, B, C thẳng hàng.

Bài 22. Cho hình bình hành ABCD. Trên các tia AD, AB lần lượt lấy các điểm F, E sao cho AD = 1

2AF,

AB = 1

2AE. Chứng minh:

a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng.

Trang 27

b) Các tứ giác BDCF, DBEC là hình bình hành.

Bài 23. Cho hình chữ nhật ABCD và các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD sao cho :

3

1

CD

CP

BC

BN

AB

AM. Trên đường thẳng AN lấy điểm Q sao cho : ANkAQ .

a) Tính MPAN , theo ACAB, .

b) Định k để M, P, Q thẳng hàng.

Bài 24. Cho ABC. Gọi A, B, C là các điểm định bởi: A B A C2 3 0

, B C B A2 3 0

,

C A C B2 3 0

. Chứng minh các tam giác ABC và ABC có cùng trọng tâm.

Bài 25. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Các điểm M, N thoả mãn: MA MB3 4 0

, CN BC1

2

.

Chứng minh đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của ABC.

Bài 26. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thoả mãn MN MA MB MC2 3

.

a) Tìm điểm I thoả mãn IA IB IC2 3 0

.

b) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 27. Tìm điểm C trên đoạn AB sao cho : 02 CBCA . Cho điểm M bất kỳ trong mặt phẳng và gọi

MN là vectơ định bởi : MBMAMN 2 . Chứng tỏ đường thẳng MN qua một điểm cố định.

Bài 28. Cho tứ giác lồi ABCD, điểm M trong mặt phẳng thỏa: MN MA 2MB 3MC 4MD

.

a) Chứng minh: MN luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.

b) Gọi P là trọng tâm ΔABN. Chứng minh: MP luôn đi qua điểm cố định khi M thay đổi. Bài 29. Cho hình bình hành ABCD có các điểm M, I, N lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD sao cho

CDCNBCkBIABAM2

1;.;

3

1 . Gọi G là trọng tâm tam giác BMN . Định k để đường thẳng AI

qua G. Bài 30. Cho hình bình hành ABCD tâm O.

a) M, N là hai điểm lưu động sao cho : MDMCMBMAMN . Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định.

b) E, F là các điểm thỏa : 043,032 FCFBEBEA .I, J, K lần lượt là các điểm thỏa

ICIBIKIBIAIJ 43;32 . Câứng minh ba điểm E, I, J thẳng hàng; F, I, K thẳng hàng.

Bài 31. Cho tam giác ABC, lấy các điểm P, Q sao cho : 023,2 QCQAPBPA

a) Biểu thị AQAP, theo ACAB, .

b) Chứng minh PQ đi qua trọng tâm tam giác ABC. Bài 32. Trên các cạnh của tam giác ABC lấy các điểm M, N, P sao cho :

0263 PAPCNCNBMBMA .

Hãy biểu thị APvàAMquaAN , từ đó suy ra M, N, P thẳng hàng.

Bài 33. Cho tam giác ABC. Điểm M, N, P là các điểm thỏa mãn :

).1,0,,(;; PBPANANCMCMB

Chứng minh rằng M, N, P thằng hàng khi và chỉ khi : 1

Trang 28

VẤN ĐỀ 6: TÌM TẬP ĐIỂM THỎA MÃN HỆ THỨC

PHƯƠNG PHÁP CHUNG : Để tìm tập hợp ( quỹ tích ) điểm M thỏa mãn điều kiện K, ta quy về một trong các dạng sau :

1. Nếu MBMA với A, B cố định thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB.

2. vMA với A cố định , 0v và có độ dài không đổi thì M thuộc đường tròn tâm A, bán kính bằng v .

3. Nếu vkMA . với điểm A cố định, v cho trước thì tập hợp điểm M là đường thẳng qua A và cùng

phương với v .

Bài 1. 1. Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a) MA MB MA MB

.

b) 2MA MB MA 2MB

.

2. Cho đoạn thẳng AB = 3a. Tìm tập hợp điểm M sao cho 32 MBMA .

3. Cho hai điểm A, B và đường thẳng d. Với mỗi điểm N trên d ta dựng điểm M thỏa

NBNANM 32 . Tìm tập hợp các điểm M khi N thay đổi trên d.

4. Cho hai điểm A, B và đường tròn ( O; R). Với mỗi điểm N trên (O; R) ta dựng điểm M thỏa

NBNANM 32 . Tìm tập hợp các điểm M khi N thay đổi trên (O; R). Bài 2. Cho ABC tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn:

0 MCkMBkMA (1)

Bài 3. Cho ABC và điểm D nằm trên cạnh BC sao cho DCDB 2

a) Tính AD theo AB và AC .

b) M là một điểm di động thỏa mãn điều kiện : 0)2)(( MCMBMBMA .

Chứng minh M luôn thuộc một đường tròn cố định mà ta phải xác định tâm và bán kính. Bài 4. Cho ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a) 3

MA MB MC MB MC2

. b) MA BC MA MB

.

c) 2MA MB 4MB MC

d) 4MA MB MC 2MA MB MC

.

e) 3 MCMBMA f) 1232 MCMBMA

Bài 5. Cho ABC.

a) Xác định điểm I sao cho: 3IA 2IB IC 0

. b) Chứng minh rằng đường thẳng nối 2 điểm M, N xác định bởi hệ

thức:MN 2MA 2MB MC

luôn đi qua một điểm cố định.

Trang 29

c) Tìm tập hợp các điểm H sao cho: 3HA 2HB HC HA HB

.

d) Tìm tập hợp các điểm K sao cho: 2 KA KB KC 3 KB KC

.

Bài 6. Cho ABC.

a) Xác định điểm I sao cho: IA 3IB 2IC 0

.

b) Xác định điểm D sao cho: 3DB 2DC 0

. c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng.

d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MA 3MB 2MC 2MA MB MC

.

Bài 7. Cho ΔABC, M là điểm tùy ý trong mặt phẳng.

a) Chứng minh: v 3MA 5MB 2MC

không đổi.

b) Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn: 3MA 2MB 2MC MB MC

.

HD: a/ Chứng minh: v 3BA 2BC

. b/ M thuộc đường tròn tâm I, bán kính 1BC

3.

Bài 8. Cho ΔABC, tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn:

a) kMA MB kMC, k

. b) MA 1 k MB kMC 0

.

HD: a/ Đường thẳng qua B, // AC. b/ Đường trung bình // AC.

Bài 9. Cho ΔABC. Lấy hai điểm M, N di động trên các tia AB và AC sao cho AM CN

AB CA . Dựng hình bình

MNCP. Tìm tập hợp những điểm P.

Bài 10. Cho ΔABC, các điểm M, N, P di động trên các tia BC, CA và AB sao cho MB NC PA

MC NA PB .

Dựng hình bình hành MNPQ. Tìm tập hợp điểm Q.

Bài 11. Cho tam giác ABC.

a) Xác định điểm D thỏa : 03 DBDA

b) Tìm tập hợp điểm M thỏa : 83 MBMA

Bài 12. Cho hình bình hành ABCD. Tìm tập hợp điểm M thỏa : ABMDMCMBMA 4

Bài 13. Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M tùy ý .

a) CMR : MDMBMCMA

b) Tìm quỹ tích các điểm M sao cho : MDMAMCMA

Bài 14. Cho tứ giác ABCD .

a) Xác định điểm O sao cho : ODOCOB 24

b) Tìm tập hợp điểm M thỏa hệ thức :

Trang 30

Bài 15. Cho hình chöõ nhaät ABCD taâm O , ñãeåm M laø 1 ñãeåm bagt åyø :

a) Tíèâ MS

= MA

+ MB

+ MC

+ MD

tâeo MO

Tö ø ñoù íïy ra ñö ôøèg tâaúèg MS qïay qïaèâ 1 ñãeåm cog ñxèâ

b) Trm taäp âôïp ñãeåm M tâoûa MA

+ MB

+ MC

+ MD

= a ( a > 0 câo trö ôùc )

c) Trm taäp âôïp ñãeåm N tâoûa NA

+ NB

= NC

+ ND

Bài 16. Cho tam giác ABC, tìm tập hợp điểm M sao cho:

a) RkMCkMBkMA .

b) RkMCkMBkMA 011

c) RkMCkMBkMA 01

Bài 17. Cho tứ giác ABCD. Tìm tập hợp điểm M sao cho :

MCMBMAMDMCMBMA 2

Bài 18. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp điểm M sao cho vectơ MCMBMAv 2 cùng phương với BC

VẤN ĐỀ 7: MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ

Bài 1. Cho lục giác EFABCD đều .Tìm tập hợp các điểm M sao cho

MA MD ME MB MC MF

nhỏ nhất.

Bài 2. Cho ∆ABC và đường thẳng d cố định. Tìm điểm M trên d sao cho

a) u 2MA MB MC

có độ dài nhỏ nhất.

b) v MA 3MB 2MC

có độ dài nhỏ nhất.

c) x MA MB MC

có độ dài nhỏ nhất.

d) y 5MA 2MB MC

có độ dài nhỏ nhất

Bài 3. Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm trên d điểm M sao cho : MCMBMA 3 nhỏ nhất.

Bài 4. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Tìm điểm M thuộc (O) sao cho MCMBMA

nhỏ nhất , lớn nhất

Trang 31

BÀI 4 : HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Trục tọa độ và độ dài đại số trên trục : a. Định nghĩa : Trïïc tọa độ ( gọi tắt là trục) laø ñö ôøèg tâaúèg treâè ñoù xaùc ñxèâ ñãeåm O cố định vaø 1 vectô

đơn vị i coù ñoä daøã baèèg 1.

+ Kyù âãeäï trïïc (O; i

) hoặc x’Ox

+ Điểm O được gọi là gốc tọa độ + Hướng của vectơ đơn vị là hướng của trục

b. Tọa độ điểm : Cho điểm tùy ý M nằm trên trục iO; . Khi đó có duy nhất số k xác định để : ikOM . .

Số k được gọi là tọa độ của điểm M đối với trục iO; .

Kí âãệu : M = ( k ) hoặc M( k )

c. Tọa độ vectơ : Cho vectơ a nằm trên trục iO; . Khi đó có duy nhất số t xác định để : ita . .

Số t được gọi là tọa độ của vectơ a đối với trục iO; .

Kí âãệu : ta hoặc ta

Nhận xét : Vậy ta có tọa độ của điểm M cũng chính là tọa độ của vectơ OM

Tính chất : Cho '; xbxa . Khi đó:

i) 'xxba .

ii) '.... xxba , R , .

d. Độ dài đại số của vectơ : Cho hai điểm A, B nằm trên trục Ox. Khi đó có duy nhất số t sao cho itAB . .

Ta gọi số t đó là độ dài đại số của vectơ AB đối với trục đã cho. Kí hiệu AB .

Nâư vậy : iABAB .

Nhận xét :

i) Nếu AB cùng hướng với vectơ i

târ ABAB .

ii) Nếu AB ngược hướng với vectơ i

târ ABAB .

Tính chất : Cho A(a ) , B( b). Khi đó :

ã) abAB

ãã) BAAB

ããã) OAOBAB

ãv) ACBCAB ( Hệ thức Sa – lơ ), với A, B, C bất kỳ trên trục Ox

v) CDABCDAB

2. Hệ trục tọa độ :

x

y

i

j

O'x

'y

,x O x i M

Trang 32

a. Định nghĩa : Hệ trục tọa độ jiO ,; gồm hai trục iO; và jO;

vuông góc với nhau. Trong đó :

iO; : trïïc âoaøèâ , åí âãệu là Ox

jO; : trïïc tïèg , åí âãệu là Oy

O : gogc toaï ñoä

,i j : veùc tô ñôè vx (

1 vaø i j i j )

Hệ trục tọa độ jiO ,; còn được gọi là Oxy.

Chú ý : Mặt phẳng mà trên đó đã chọn một hệ trục tọa độ Oxy được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy ( hay mặt phẳng Oxy)

b. Toaï ñoä cuûa moät ñieåm vaø cuûa moät veùc tô:

i . Ñònh nghóa 1 : Câo ( )M mp Oxy . Kâã ñoù veùc tô OM

ñö ôïc bãeåï dãeåè moät caùcâ

dïy èâagt tâeo ,i j bôûã âeä tâö ùc coù daïèg :

vôùã x,yOM xi y j .

Caqp íog (x;y) troèg âeä tâö ùc treâè ñö ôïc goïã laø toaï ñoä cïûa ñãeåm M.

Kyù hieäu: M(x ; y) âay M = (x; y )

( x: âoaøèâ ñoä cïûa ñãeåm M; y: tïèg ñoä cïûa ñãeåm M )

YÙ nghóa hình hoïc: Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của M lên trục Ox,

Oy târ : /

( ; ) ñ n

M x y OM xi y j = OQOP

Mà : jOQOQiOPOP .;.

Sïy r a: vaø y=OQx OP

ii. Ñònh nghóa 2: Câo ( )a mp Oxy

. Kâã ñoù veùc tô a

ñö ôïc bãeåï dãeåè moät caùcâ dïy

èâagt tâeo ,i j bôûã âeä tâö ùc coù daïèg :

1 2 1 2 vôùã a ,aa a i a j .

Caqp íog (a1; a2) troèg âeä tâö ùc treâè ñö ôïc goïã laø toaï ñoä cïûa veùc tô a

.

Kyù hieäu: 1 2( ; )a a a

âay 21; aaa

/

1 2 1 2 = (a ;a ) ñ n

a a a i a j

YÙ nghóa hình hoïc: 1 1 1 2 2 2 vaø a =Aa A B B

iii. Caùc coâng thöùc vaø ñònh lyù veà toaï ñoä ñieåm vaø toaï ñoä veùc tô :

Ñònh lyù 1 : Negï B( ; ) vaø B(x ; )A A BA x y y târ

( ; )B A B AAB x x y y

Ñònh lyù 2 : Negï 1 2 1 2( ; ) vaø ( ; )a a a b b b

târ

'x x

y

i

j

O

'y

MQ

P

x

y

O'x

'y

MQ

Px

y

x

y

1e

2e

O'x

'y

P

a

x

y

O'x

'y

1A 1B

2A

2B

A

BK

H

);( AA yxA

);( BB yxB

a

b

Trang 33

* 1 1

2 2

a

ba b

a b

* 1 1 2 2( ; )a b a b a b

* 1 1 2 2( ; )a b a b a b

* 1 2. ( ; )k a ka ka

( )k

Định lý 3 : a cùng phương với vectơ 0bb

21

21:kbb

kaaRk

Định lý 4 : Cho hai điểm B( ; ) vaø B(x ; )A A BA x y y . Trïèg đđiểm I của đoạn AB có tọa độ là :

2

2

BAI

BAI

yyy

xxx

Định lý 5 : Cho ba điểm );();();;( CCBBAA yxCvàyxByxA . Khi đó trọng tâm G của tam giác ABC

có tọa độ là :

3

3

CBAG

CBAG

yyyy

xxxx

Định lý 6 : Điểm chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k

Định nghĩa : “Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k khi và chỉ khi MBkMA ”.

Khi đó, tọa độ điểm M được xác định như sau : )1(

1

.

1

.

k

k

ykyy

k

xkxx

BAM

BAM

Nếu M là trung điểm của đoạn AB (ứng với k=-1).Khi đó , tọa độ điểm M được xác định như sau:

2

.

2

.

BAM

BAM

yyy

xxx

B. PHƯƠNG PHÁP TOÁN

VẤN ĐỀ 1: TÌM TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM HAY MỘT VECTƠ .

PHƯƠNG PHÁP CHUNG : 1. Sử dụng công thức về tọa độ điểm – vectơ 2. Sử dụng điều kiện của hai vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng, …

Bài 1. Viết tọa độ của các sau:

a) 1

2 3 ; 5 ; 3 ; 23

a i j b i j c i d j

.

Trang 34

b) 1 3

3 ; ; ; 4 ; 32 2

a i j b i j c i j d j e i

.

Bài 2. Viết dưới dạng u xi yj

khi biết toạ độ của u

là:

a) (2; 3); ( 1;4); (2;0); (0; 1) u u u u

.

b) (1;3); (4; 1); (1;0); (0;0) u u u u

.

Bài 3. Cho a b(1; 2), (0;3)

. Tìm toạ độ của các sau:

a) ; ; 2 3 x a b y a b z a b

. b) 3 2 ; 2 ; 4 3 u a b v b w a b

.

Bài 4. Cho 0 0;A x y . Tìm điểm đối xứng của A lần lượt qua các trục tọa độ.

Bài 5. Cho hai điểm A B(3; 5), (1;0) .

a) Tìm toạ độ điểm C sao cho: OC AB3

.

b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C.

c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3.

d) Tìm điểm C để tam giác ABC nhận O là trọng tâm.

Bài 6. Cho ba điểm A(1; 2), B(0; 4), C(3; 2).

a) Tìm toạ độ các AB AC BC, ,

. b) Tìm tọa độ điểm M sao cho: CM AB AC2 3

.

c) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB. d) Tìm N sao cho: AN BN CN2 4 0

.

Bài 7. Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2).

a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng của A qua C.

b) Tìm toạ độ điểm E là đỉnh thứ tư của hình bình hành có 3 đỉnh là A, B, C.

c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Bài 8. Cho ABC có A(4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2).

a) Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.

b) Tìm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Tìm tọa độ O là giao điểm của AC và BD.

Bài 9 .Cho A(2; 3), B(1; 1), C(6; 0).

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.

c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABDC là hình bình hành.

d) Tìm tọa độ điểm E đối xứng với C qua B

Bài 10. Cho A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1). Tìm toạ độ các điểm M, N, P sao cho:

a) Tam giác ABC nhận các điểm M, N, P làm trung điểm của các cạnh.

b) Tam giác MNP nhận các điểm A, B, C làm trung điểm của các cạnh.

Bài 11. Cho tam giác ABC có trung điểm các cạnh BC, AC, AB lần lượt là M( -1; 1) , N( 1; 9) , P ( 9; 1) .

Trang 35

Tìm tọa độ A, B, C.

VẤN ĐỀ 2: CHỨNG MINH HAI CÙNG PHƯƠNG.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG: 1. Sử dụng điều kiện hai vectơ cùng phương:

Ta có a cùng phương với vectơ 0bb

0.

:

22

2

1

2

1

21

21

bab

b

a

a

kbb

kaaRk

2. Sử dụng điều kiện 3 điểm thẳng hàng:

Ba điểm A, B, C thẳng hàng AB , AC cùng phương tồn tại số thực k 0 sao cho: ACkAB .

Lưu ý : Để chứng minh 3 điểm A, B, C lập thành tam giác , ta chứng minh AB , AC không cùng phương

Bài 1. Các cặp vectơ sau đây có cùng phương không?

a) 4;6,2;3 ba b) 1;5,0,8;4 bc

c) 0;6,0;2013 vu d) 3;5,5;3 nm

Bài 2. Cho 5;61;3;2;1 cvàba . Tìm m để vectơ bam cùng phương với c .

Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy cho : 1;01;2;23;12 Avàbxxa .

a) Tìm x để a cùng phương với b .

b) Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục hoành để AM cùng phương với b .

Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy cho : 1;01;2 Avàb .Tìm tọa độ của M để AM cùng phương với b và

có độ dài bằng 5 .

Bài 5. Cho (1; 4) , ( 3;2) à (2 1;3 4 )A B v u m m

. Tìm m để àAB v u

cùng phương.

Bài 6. Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0). Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Bài 7. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm 5;9,1;1,4;3 CBA .

a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng. b) Tìm tọa độ điểm D sao cho A là trung điểm của BD. c) Tìm tọa độ điểm E trên trục Ox, sao cho A, B, E thẳng hàng.

Bài 8. Cho ba điểm 7;4,2;1,5;2 CBA .

a) Tìm tọa độ điểm M sao cho : iBCABAM .532 .

b) Tìm điểm N trên trục Ox sao cho A, B, N thẳng hàng.

Bài 9. Trong mặt phẳng Oxy cho 2;4,1;1,4;1 CBA .

a) Chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác . b) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là 1 hình bình hành. c) Tìm tọa độ điểm )6;(xE sao cho A, B, E thẳng hàng.

Bài 10. Trong mặt phẳng Oxy cho 2;2,4;2,1;4 CBA .

Trang 36

a) Chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác . b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. c) Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm của tam giác ABC. d) Tìm tọa độ điểm E trên trục Ox sao cho A, B, E thẳng hàng. e) Tìm tọa độ điểm F sao cho ABCF là hình bình hành.

VẤN ĐỀ 3: PHÂN TÍCH MỘT VECTƠ THEO HAI KHÔNG CÙNG PHƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP CHUNG :

Để phân tích vec tơ 21; uuu theo hai vec tơ không cùng phương 21; aaa và 21; bbb , ta

thực hiện các bước sau:

1. Giả sử byaxu . Khi đó ta có hệ phương trình :

222

111

ybxau

ybxau

2. Giải hệ phương trình này ta tìm được x, y.

3. Kết luận : byaxu

Bài 1. Cho a b c1

(2;0), 1; , (4; 6)2

.

a) Tìm toạ độ của d a b c2 3 5

.

b) Tìm 2 số m, n sao cho: ma b nc 0

.

c) Biểu diễn c a btâeo ,

.

d) Tìm m để ( 1;2)e m

cùng phương với b

Bài 2. Cho hai vectơ 5;4,2;3 ba .

a) Hãy biểu thị các vectơ ba, qua hai vectơ ji, .

b) Tìm tọa độ các vectơ baubadbac 4;2

12; . Biểu thị vectơ u qua hai vectơ dc, .

Bài 3. Cho hai vectơ 0;2,3;1,4;3 cba .

a) Tìm tọa độ các vectơ bbaba 23;2 .

b) Xác định k, l sao cho : 0 cblak .

c) Xác định k, l sao cho vectơ c cùng phương với vectơ blakv và 5v .

Trang 37

y

x

M(x; y)

O

x

y

1

1 -1

-1

CHƯƠNG 2 :TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG BÀI 1. TÍCH VOÂ HÖÔÙNG HAI VECTÔ

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

I. Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ ( từ 00 đến 0180 )

Với mỗi góc 00 1800 ta xác định

một điểm M trên nữa đường tròn đơn vị sao

cho MOx . Gọi yx; là tọa độ của điểm

M , ta có : - tung độ y của M là sin của góc , kí hiệu là sin - hoành độ x của M là cos của góc , kí hiệu là cos

- tỉ số 0xx

y là tang của góc , kí hiệu là

tan .

- tỉ số 0yy

x là cotang của góc 0x

x

y,

kí hiệu là cot . Các số sin , cos , tan , cot được gọi là giá trị lượng giác của góc . Ta có các tính chất sau:

cot180cot;tan180tan

cos180cos;sin180sin00

00

BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT SỐ GÓC ĐẶC BIỆT:

Trang 38

2. Góc giữa hai vectơ:

Cho hai vectơ bvàa đều khác vectơ 0 . Từ một điểm O bất kỳ ,

vẽ các vectơ bOBaOA ; . Góc AOB

( với 00 1800 ) là góc của bvàa . Ta kí hiệu : ba, .

Chú ý :

i) Nếu 0a hoặc 0b târ ta xem góc của bvàa là

tùy ý từ 00 đến 0180 .

ii) 00 bvàa cùng hướng.

iii) 0180 bvàa ngược hướng.

3. Tích vô hướng của hai vectơ:

a. Định nghĩa : Cho hai vectơ bvàa đều khác vectơ 0 . Tích vô hướng của hai vecto bvàa

là một số ,

kí hiệu là ba

. , được xác định bởi công thức: ),cos(... bababa

.

Từ định nghĩa ta có : AOBOBOAOBOA cos...

Nhận xét :

i) 222

. aaaaa

ãã) 22

ABAB

ããã) aaa ,00..0

ãv) babababa

..0, 0

v) babababa

..180, 0

vi) 0.90, 0 baba

vii) 0.90, 0 baba

viii) 0.90, 0 bababa

( điều kiện vuông góc )

O

B

A

a

b

a

b

O A

B

Trang 39

ix )

00

)00(000.

bakhiba

bababa

b. Tính chất : với mọi vectơ mvàcba ,,,

i) abba .. ( Tính chất giao hoán )

ii) cabacba ... ( Tính chất phân phối đối với phép cộng, phép trừ )

iii) abmbambam ...... ( Tính chất kết hợp)

c. Các hằng đẳng thức đáng nhớ :

i) 222

..2 bbaaba

ii) bababa 22

d. Định lý về hình chiếu vectơ :

Gọi C’, D’ là hình chiếu của C, D lên đường thẳng chứa đoạn thẳng AB, ta có : ''.. DCABCDAB

4. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

a) Biểu thức giải tích của tích vô hướng

Cho hai vecto );();;( 2121 bbbaaa

, ta có: 2211. bababa

b) Độ dài của vecto : Cho vecto );( 21 aaa

, ta có : 2

2

2

1221122

... aaaaaaaaaa

Do đó, độ dài của vecto a

được xác định bởi công thức : 2

2

2

1 aaa

c) Khoảng cách giữa hai điểm :

Cho hai điểm );();;( BBAA yxByxA , ta có: );( ABAB yyxxAB .

Do đó, khoảng cách giữa hai điểm A, B bằng độ dài vecto AB .

22 )()( ABAB yyxxABAB

d) Góc giữa hai vecto

Cho hai vecto );();;( 2121 bbbaaa

, ta có :

2

2

2

1

2

2

2

1

2211

..

.),cos(),cos(...

bbaa

baba

ba

bababababa

Đặc biệt : 02211 bababa

A B

C

C’ D

’

A B

D

C

D’ C’

Trang 40

5. Một số công thức nâng cao :

1. Cho ABC với );();;( 2121 bbACaaAB , ta có :

1221

21

21

2

1

2

1,

2

1baba

bb

aaACABS ABC

2. Diện tích ABC tính công thức : 222

).(.2

1ACABACABS ABC

3. . 0

H laø trö ïc taâm tam gãaùc ABC . 0

AH BC AH BC

BH AC BH AC

4. '

'

' laø câaâè ñö ôøèg cao åeû tö ø A

cïøèg pâö ôèg

AA BCA

BA BC

5. IA=IB

I laø taâm ñö ôøèg troøè ègoaïã tãegp tam gãaùc ABC IA=IC

6. D là chân đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC

DCAC

ABDB .

7. D’ là chân đường phân giác ngoài của góc A của tam giác ABC

CDAC

ABBD '.'

8. J laø taâm ñö ôøèg troøè èoäã tãegp ABC .AB

JA JDBD

B. PHƯƠNG PHÁP TOÁN . VẤN ĐỀ 1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

PHƯƠNG PHÁP CHUNG:

1. Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác.

2. Sử dụng mối quan hệ giữa hai góc phụ nhau, bù nhau.

3. Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản

Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau:

A'B

A

C

I

A

B C

B

A

C

D

J

B

A

C

D

H

A

BC

Trang 41

a) 0 0 0íãè 0 coí0 íãè 90 a b c b) 0 0 0coí90 íãè90 íãè180 a b c

c) 2 0 2 0 2 0íãè90 coí90 coí180 a b c d) 2 0 2 0 2 03 íãè 90 2coí 60 3taè 45

e) 2 2 0 0 2 0 24 íãè 45 3( taè45 ) (2 coí45 ) a a a

Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) x xíãè coí khi x bằng 00; 450; 600. b) x x2íãè coí2 khi x bằng 450; 300.

Bài 3. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lượng giác còn lại:

a) 1

íãè4

, nhọn. b) 1

coí3

c) xtaè 2 2

Bài 4. Biết 0 6 2íãè15

4

. Tinh 0 0 0coí15 , taè15 , cot15 .

Bài 5. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị của một biểu thức:

a) x x0 01íãè , 90 180

3 . Tính

x xA

x x

taè 3cot 1

taè cot

.

b) taè 2 . Tính B3 3

íãè coí

íãè 3coí 2íãè

c) 1

tan4

a . Tính sin 2cos

3sin cos

x xC

x

Bài 6. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) 2(íãè coí ) 1 2íãè .coí x x x x b) 4 4 2 2íãè coí 1 2íãè .coí x x x x

c) 2 2 2 2taè íãè taè .íãè x x x x d) 6 6 2 2íãè coí 1 3íãè .coí x x x x

e) íãè .coí (1 taè )(1 cot ) 1 2íãè .coí x x x x x x

Bài 7. Đơn giản các biểu thức sau:

a) coí íãè .taèy y y b) 1 coí . 1 coí b b c) 2íãè 1 taèa a

d) 21 coí

taè .cot21 íãè

xx x

x e)

2 21 4íãè .coí2(íãè coí )

x x

x x

f) 0 0 2 2 2íãè(90 ) coí(180 ) íãè (1 taè ) taè x x x x x

Bài 8. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) 2 0 2 0 2 0 2 0coí 12 coí 78 coí 1 coí 89

b) 2 0 2 0 2 0 2 0íãè 3 íãè 15 íãè 75 íãè 87

VẤN ĐỀ 2: TÍNH TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ, GÓC CỦA HAI VECTƠ, ĐỘ DÀI VECTƠ.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG: 1. Để tính tích vô hướng của hai vectơ , ta có thể sử dụng :

Trang 42

+ Định nghĩa, tính chất của tích vô hướng. + Định lý hình chiếu

+ Công thức : 22222

..2; bbaabaaa

2. Để tính góc của hai vectơ , ta sử dụng công thức :

2

2

2

1

2

2

2

1

2211

..

.),cos(

bbaa

baba

ba

baba

00 bvàa

3. Áp dụng quy tắc sau : 222 ABACBCBC ( chuyển phép tính độ dài đoạn thẳng thành phép tính

tích vô hướng )

Áp dụng công thức tọa độ : 22 )()( ABAB yyxxABAB ( nếu bài toán có liên quan đến tọa độ)

Bài 1. Tính tích vô hướng hai vecto bvàa

:

a) 060),(5;8 bavàba

b) 0135),(1 bavàba

c) 045),(2;3 bavàba

d) 0150),(3;5 bavàba

Bài 2. Tính 22 )(;)(;. bababa

biết :

a) 0150),(6; bavàba

b) 0120),(3 bavàba

Bài 3. Tính )2).(2();).(( babababa

biết :

a) 3;5 ba

b) 12;13 ba

Bài 4. a) ...6;5 baTínhbavàba

b) ...7;1 baTínhbavàba

Bài 5. Cho 0, ba

. Tính góc của hai vectơ ba

, . Biết :

a) baba

.. b) baba

..

c) baba

.2

1. d) 1;32 baba

Bài 6.a) babaTínhbavàba

;.60),(4;3 0

b) baTínhbavàba

.2419;13 .

c) baTínhbavàba

.13;2

d) baTínhbabavàbaba

,.324.2

Bài 7. Cho tam giác ABC đều cạnh a có G là trọng tâm của tam giác. Tính các tích vô hướng sau :

a) BCACBCABACAB .;.;.

b) BCGAABGAGBGA .;.;.

c) ACABAB 32

Bài 8. Cho tam giác đều ABC cạnh a, đường cao AH. Tính các tích vô hướng sau :

a) ;.ACAH

b) ABACACACABAB .;.

Trang 43

c) ABACACAB .

d) ACABAB 52

Bài 9. Cho tam giác ABC , trực tâm H, độ dài BC = a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính tích vô

hướng sau : MAMH .

Bài 10. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính các tích vô hương sau :

a) ..;. BDABACAB

b) .2.;. ABADABACBCBDADAB

c) ..;. BABDBCACABDCDBDAADACAB

d) ABOA. với O là tâm hình vuông.

Bài 11. Cho tam giác ABC .

a) CMR : ACABACABBC ..2222 .

b) Biết AB = 5 ; AC = 8 ; BC = 7 . Tính BCAB. và ACAB. . Từ đó suy ra góc A.

c) Lấy D thuộc cạnh AC sao cho CD = 3. Tính CBCD. .

d) Gọi M là trung điểm BC . CMR : 22. MBMAACAB . Bài 12. Cho tam giác ABC biết AB = 3; BC = 6; AC = 8.

a) Tính ABCACABCBCAB ... .

b) Gọi D là điểm cố định xác định bởi biểu thức : DACD 32 . Tíèâ ADAB. . Tíèâ BD. Bài 13. Cho tam giác ABC biết AB = 6; BC = 11; AC = 8.

a) Tính ACAB. .Sïy ra góc A tù.

b) Trên AB lấy điểm M sao cho AM = 2. Gọi N là trung điểm cạnh AC. Tính ANAM . . Tíèâ MN. Bài 5. Cho tam giác ABC có AB=3; AC=5; BC=7.

a) Tính ACAB. và tính cos A.

b) Tính BABC. và tính cos B. c) Tính cosC

Bài 5. Cho tam giác ABC có AB=5; AC=3; 0120ˆ A .Tính BC; độ dài trung tuyến BM và CN của tam

giác ABC. Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH; HB=3 và HC =5.

a) Tính BCABvàCBCA ..

b) Tính ACHAvàAHAB ..

Bài 7. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Biết BC =6

a) Tính CBCAvàBCBA .. .

b) Cho 060ˆ B . Tính AHBA. Bài 8. Cho tam giác ABC có BC =5; CA=6; AB=8.

a) Tính BCBA. rồi suy ra giá trị của góc B.

b) Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD=3. Tính ACAD. . Bài 9. Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3.

a) Tính AB AC.

, rồi suy ra cosA.

b) Gọi G là trọng tâm của ABC. Tính AG BC.

.

c) Tính giá trị biểu thức S = GA GB GB GC GC GA. . .

.

Trang 44

d) Gọi AD là phân giác trong của góc BAC (D BC). Tính AD

theo AB AC,

, suy ra AD.

HD: a) 3.

2 AB AC

, 1

coí4

A b) 5.

3AG BC

c) 29

6 S

d) Sử dụng tính chất đường phân giác ABDB DC

AC.

AD AB AC

3 2

5 5

, AD

54

5

Bài 10. Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 600. M là trung điểm của BC.

a) Tính BC, AM.

b) Tính IJ, trong đó I, J được xác định bởi: IA IB JB JC2 0, 2

.

Bài 11. Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, CA = 9

a) Tính cosA, cosB, cosC b) Tính trung tuyến BM, CN.

Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 3a , M là trung điểm BC. Biết 2

.2

aAM BC

. Tính AB, AC

Bài 13. Cho hình bình hành ABCD có AB = 13, AD = 19, AC = 24. Tính độ dài BD.

Bài 14. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 5, BC = 4. Gọi M , N là trung điểm BC, CD.

a) Tính AM

theo AB và AD b)

AM AN

Bài 15. Cho hình bình hành ABCD với 0301;3 BADvàADAB .

a) Tính ABAD. ; BCBA.

b) Tíèâ đđộ dài hai đường chéo AC và BD.

c) Tính BDAC,cos

Bài 16. Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB = a, AD = 3a, 2

a9BC

a) Tính các tích vô hướng sau : BDACgócrasuyBDACADACABAC ,.;.;. .

b) Gọi M là trung điểm của AC . Tính BDBM . . Suy ra cosMBD.

Bài 17. Cho hình thang vuông ABCD , có đường cao AB, cạnh đáy AD = a; BC = 2a . Hãy tính độ dài đoạn

AB trong các trường hợp sau :

a) 2. aABAC

b) 2. aBDAC

c) 2. aIDIC ( I là trung điểm của AB ) Bài 18. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 4) , B(3; -2) . Một điểm M di động trên Ox . Tim giá trị

nhỏ nhất của độ dài MBMA .

Bài 19. Cho ba điểm A( 1; 2) , B(-2; 3) , C(2; -1) . Tìm m sao cho độ dài ACmAB .

VẤN ĐỀ 3: CHỨNG MINH SỰ VUÔNG GÓC CỦA HAI VECTƠ – HAI ĐƯỜNG THẰNG

Trang 45

PHƯƠNG PHÁP CHUNG :

1. Để chứng minh hai vectơ CDvàAB vuông gốc với nhau, ta chứng minh : 0. CDAB

2. Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta tìm trên hai đường thẳng đó hai vectơ khác vectơ không có tích vô hướng bằng không.

3. Dùng biểu thức tọa độ ( nếu đề bài có liên quan đến tọa độ ) : cho hai vectơ 2211 ;; babvàbaa . Khi

đó : 0.. 2121 bbaaba

Bài 1. Cho tam giác ABC với A( 10; 5) , B(3; 2) , C( 6; -5) .Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại B. Bài 2. Cho tam giác ABC có A(5; 3) , B(2; -1), C(-1; 5) . Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác. Bài 3. Trên mặt phẳng Oxy cho điểm A(-2; 1). Gọi B là điểm đối xứng với điểm A qua góc tọa độ O. Tìm

tọa độ điểm C có tung độ bằng 2 sao cho tam giác ABC vuông ở C.

Bài 4. Chứng minh rằng : DBACDACDBCAB ..22222 với A, B, C, D là 4 điểm bất kỳ. Từ đó suy ra điều kiện để hai đường chéo trong tứ giác vuông góc với nhau.

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M, N, P là các điểm thỏa :

;3

1ABAM . ;

3

1CACN BCBP

3

1 . Chứng minh : APMN

Bài 6. Cho tam giác ABC có AB = 3;AC = 4. D, E là hai điểm thỏa : 034;034 ECEBDCDB

a) Biểu diễn AEAD, theo ACAB, .

b) Chứng minh AEAD Bài 7. Cho hình thoi ABCD. Gọi I là trung điểm của CD; J là trung điểm của BC. Chứng minh rằng nếu :

DJAI thì ABCD là hình vuông. Bài 8. Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Gọi H là trung điểm của BC và D là hình chiếu của H lên AC. Gọi M

là trung điểm của HD. Chứng minh BDAM . Bài 9. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC.

Chứng minh rằng : 2

4

1. BCMAMH

Bài 10. Cho tứ giác ABCD có AC và BD cắt nhau tại O. Gọi H, J là trực tâm của tam giác ABO và CDO. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC.

Chứng minh IJHK

Bài 11. Cho tam giác ABC có AB =2a; AC =a ; 0120ˆ A . a) Tính độ dài BC và trung tuyến AM

b) Gọi N trên BC sao cho BN = x .Biểu diễn AN theo ACAB, .

Từ đó suy ra giá trị x để BMAN .

Bài 12. Cho vecto ba, thỏa 1|||| ba và )2( ba )45( ba . Tính ba, .

Bài 13. Cho 0, ba , thỏa điều kiện : )53( ba )2( ba và )4( ba )( ba . Tính ba,cos .

Bài 14. a) Cho ba và 2||,1|| ba . CMR : baba 2 .

b) Cho 0, ba thỏa baCMRbaba :.||||

Bài 15. Cho tam giác ABC có đường cao AH. Chứng minh tam giác vuông tại A nếu

a) 2 .AB BH BC

b) 2 .AH BH HC

Bài 16. Chứng minh 2 24OMA MB M AB với O là trung điểm của AB.

Trang 46

Bài 17. Cho tam giác cân ABC tại A. H là chân đường cao hạ từ A, điểm D là hình chiếu của H lên AC.

Gọi M là trung điểm của HD. Chứng minh AM BD

HD: 2 . . . .AM BD AH AD BH HD AH HD AD BH AH HD AD HC

, AD AH HD

Bài 18. Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N là trung điểm của BC, CD. Chứng minh AM BN

Bài 19. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = a 2 . Gọi M là trung điểm của AD. CM: BM AC

Bài 20. Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, AC = b. Gọi BM và CN là hai trung tuyến.

Chứng minh 2 2 25 BM CN b c a

Bài 21. Cho tam giác ABC có AB = a, AC = 2a. Gọi D là trung điểm của AC, M là điểm thỏa mãn hệ thức

BCBM3

1 . CMR : AMBD .

Bài 22. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông tại A là 2. ABBCBA .

Bài 23. Cho hai đường thẳng vuông góc tại S lần lượt cắt đường tròn (O) tại A, B và C, D. Chứng minh

trung tuyến kẻ từ S của tam giác SAC vuông góc với BD.

Bài 24. Cho đường tròn (O; R) . Chứng minh điều kiện cần và đủ để AM là tiếp tuyến của đường tròn tại M

là : 2. ROMOA

Bài 25. Cho hình thang vuông ABCD đường cao AB = h, cạnh đáy AD = a,BC = b.Tìm điều kiện a, b, h để :

a) AC và BD vuông góc.

b) Góc 090AIB với I là trung điểm của CD.

Bài 26. Cho tam giác ABC có I là trung điểm của BC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp, H là điểm xác định

bởi hệ thức : OCOBOAOH

a) Tính BCAH . . Suy ra H là trực tâm của tam giác ABC.

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa độ dài a, b, c của ba cạnh BC, AC, AB sao cho OH vuông góc với AI.

Bài 27. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Trên ba cạnh BA, BC, CA lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho

ACAPBCBNBABM8

5;

3

1;

2

1 .

a) Tính ACAB.

b) Phân tích ACABtheoANACABtheoMP ,;, .

c) Chứng minh : MP vuông góc với AN.

Bà 28. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC =a và các điểm I, J, K sao cho ABAI3

1 ;

BCBJ3

1 ; CAkCK . Tìm k để IKAJ .

Trang 47

VẤN ĐỀ 4. CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG- ĐẲNG THỨC VỀ ĐỘ DÀI.

PHƯƠNG PHÁP : Áp dụng các tính chất của tích vô hướng, định nghĩa, định lý hình chiếu, các qui tắc : ba điểm, trung điểm,

hình bình hành, trọng tâm và lưu ý 2

2 ABAB

Bài 1. Cho tam giác ABC. M là trung điểm của BC. CMR : 22. MBAMACAB . Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD . M là điểm bất kỳ CMR:

a) MDMBMCMA

b) MDMBMCMA ..

c) 2222 MDMBMCMA

Bài 3. Cho hai vecto AB và CD . Gọi A’, B’ là hình chiếu của A, B lên đường thẳng CD. Chứng minh :

CDBACDAB .''. . Bài 4. Cho tam giác ABC có 3 đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm.

a) Chứng minh : '..;'.. HBHBHBHAHAHAHBHA .

b) Chứng minh : '.'.'. HCHCHBHBHAHA

Bài 5. Cho tam giác ABC với 3 trung tuyến AD, BE, CF.

CMR : 0... CFABBECAADBC Bài 6. Cho 4 điểm A, B, C, D bất kỳ .

a) CMR : 0... DCABDBCAADBC b) Từ đó chứng minh định lý :” Ba đường cao trong tam giác thì đồng quy”

Bài 7. Cho tam giác ABC và điểm H thuộc BC.

CMR : 2222 ACABHCHBBCAH

Bài 8. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, M là điểm tùy ý. CMR : 4

.2

2 ABMOMBMA

Bài 9. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC.CMR :

a) 2

.222 BCACAB

ACAB

b) ACAB

BCACABA

.2ˆcos

222

c) 4

22 2222 BCACAB

AM

Bài 10. Cho tam giác ABC có 3 đường trung tuyến AD, BE, CF . CMR :

)(4

3 222222 ACABBCCFBEAD

Bài 11. Cho tứ giác ABCD .Gọi I, J là trung điểm của AC và BD.Chứng minh :

2222222 4IJBDACDACDBCAB Bài 12. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và M là điểm bất kỳ.

a) Chứng minh : 2222222 3 CGGBGAMGMCMBMA . b) Cho M chạy trên đường thẳng cố định d. Tìm vị trí M để :

222 MCMBMA đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 13. Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì. Chứng minh:

a) MA MC MB MD2 2 2 2 b) MA MC MB MD. .

Trang 48

c) MA MB MD MA MO2 . 2 .

(O là tâm của hình chữ nhật).

Bài 14. Cho hai điểm M, N nắm trên đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao điểm của hai đường

thẳng AM và BN.

a) Chứng minh: AM AI AB AI BN BI BA BI. . , . .

.

b) Tính AM AI BN BI. .

theo R.

Bài 15. Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. Chứng minh: MH MA BC 21.

4

.

Bài 16. Cho AA’ là một dây cung của đường tròn ( O ) và M là một điểm nằm trên dây cung đó. Chứng

minh rằng : '..2 MAMAMAMOMA .

Bài 17. Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng nằm

trên đường tròn khi và chỉ khi : MDMCMBMA .. .

Bài 18. Cho tam giác ABC và hai điểm M, M’ bất kỳ . Gọi I và I’, H và H’, K và K’ theo thứ tự là hình

chiếu của M và M’ lên BC, CA, AB. Chứng minh : 0'.'.'. KKABHHCAIIBC .

Bài 19. Cho hình bình hành ABCD . Chứng minh rằng : )(2 2222 ADABBDAC

Bài 20. Cho đường tròn ( O ) với dây cung BC và đường kính AD vuông góc với BC. Trên đường thẳng BC

lấy điểm M , đường thẳng AM cắt đường tròn ( O ) tại M’ . CMR :

a) ABADAMAD .. b) 2'. ABAMAM

Bài 21. Trên mp Oxy cho hai điểm A(1 ; 3), B( 4 ; 2 ).

a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên Ox sao cho DA = DB.

b) Tính chu vi tam giác OAB.

c) Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB.

d) Tìm tọa độ của vectơ đơn vị cùng phương với AB .

Bài 22. Trong mặt phẳng tọa độ cho bốn điểm A(2; 3), B (-1; -1) , C(6; 0) và D(x; -3) .

a) Chứng minhtam giác ABC vuông cân.

b) Tìm x để A, B, D thẳng hàng.

c) Tìm M thuộc Oy sao cho tam giac ABM vuông tại M.

d) Tìm điểm N(3; y – 1) sao cho N cách đều A và B.

Trang 49

VẤN ĐỀ 5 : TÌM TẬP HỢP ĐIỂM THỎA MỘT ĐẲNG THỨC VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG HAY ĐỘ DÀI.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG :

LOẠI 1. kvMA . ( A cố định , v là vectơ cố định )

Nếu k = 0 : Tập hợp điểm M là đường thẳng qua A và vuông góc với v .

Nếu k 0 : Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, M lên đường thẳng chứa vectơ v .

Ta có : kvHKkvMA .. . Do H, A, v cố định nên K cố định . Suy ra tập hợp điểm M là

đường thẳng qua K và vuông góc với v .

LOẠI 2. kMBMA . ( A, B là hai điểm cố định cho trước, k là số thực cho trước ).

Nếu k = 0 : Tập hợp điểm M là đường tròn đường kính AB. Nếu k 0 : Gọi I là trung điểm của đoạn AB.

Ta có : kIAMIkIAMIkMBMA 2222. .

Như vậy tập hợp các điểm M là :

i) Nếu 02 kIA : Tập hợp M là đường tròn tâm I có bán kính kIAR 2

ãã) Nếu 02 kIA : IM

ããã) Nếu 02 kIA : M

LOẠI 3. kMCMBMA 222 ( 0 ; A, B, C là các điểm cố định; k là số thực cho trước ).

Gọi I là điểm thỏa hệ thức : 0 ICIBIA , I là điểm xác định duy nhất.

Ta có :

mICIBIAk

MI

ICIBIAkMIkMCMBMA

222

2

2222222

Như vậy tập hợp các điểm M là :

i) Nếu 0m : Tập hợp M là đường tròn tâm I có bán kính mR

ãã) Nếu 0m : IM

ããã) Nếu 0m : M Bài 1. Cho tam giác ABC . Tìm quỹ tích những điểm M thỏa :

a) ABACABAM ..

Trang 50

b) 0)( MCMAMBMA

Bài 2. Cho đoạn thẳng AB. Tìm quỹ tích điểm M thỏa : MBMAMA ..22 . Bài 3. Cho tam giác ABC. Tìm quỹ tích điểm M thỏa :

a) 0)2( MCMBMBMA

b) 0)( MCMBMBMA

c) MCMAMBMAMA ...2 2 Bài 4. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tìm quỹ tích điểm M thỏa :

a) 2.. aMDMBMCMA

b) 25.. aMDMCMBMA

c) 2222 3MDMCMBMA

d) 23)( aMBMCMCMBMA

Bài 5. Cho tam giác ABC. tìm tập hợp những điểm M sao cho:

a) MA MA MB2 2 .

b) MA MB MB MC( )(2 ) 0

c) MA MB MB MC( )( ) 0

d) MA MA MB MA MC22 . .

Bài 6. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:

a) MA MC MB MD a2. .

b) MA MB MC MD a2. . 5

c) MA MB MC MD2 2 2 23 d) MA MB MC MC MB a2( )( ) 3

Bài 7. Cho ABC và đường thẳng d . Tìm M trên d để 2u MA MB MC

có độ dài nhỏ nhất.

BÀI 2. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông Cho tam giác vuông ABC tại A, gọi b’, c’ là hình chiếu vuông góc của cạnh AB, AC lên cạnh BC. Ta có : i. Công thức liên quan đến hình chiếu.

abb '.2

acc '.2

2

2

'

'

c

b

c

b

ii. Định lý Pitago

222 cba iii. Công thức liên quan đến đường cao

''.2 cbh

222

111

bah

iv. Công thức liên hệ giữa cạnh và góc. anCcBcCaBab cottancossin anBbCbBaCac cottancossin

Trang 51

2. Các hệ thức lượng trong tam giác : Cho tam giác ABC . Ta kí hiệu :

Đặt BC = a, CA = b; AB = c.

cba hhh ,, là độ dài các đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB .

cba mmm ,, là độ dài các đường trung tuyến lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB .

cba lll ,, là độ dài các đường phân giác trong lần lượt

tương ứng với các góc A, góc B, góc C . R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC

2

cbap

là nữa chu vi tam giác ABC.

S là diện tích tam giác ABC.

2.1. Định lí cosin: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c ta luôn có :

a2 = b2 +c2 -2bc. cosA b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB

c2 = a2 + b2 -2ab.cosC

Hệ quả: ( Tính các góc của tam giác khi biết chiều dài 3 cạnh )

bc

acbA

2cos

222 ;

ac

bcaB

2cos

222 ;

ab

cbaC

2cos

222

2.2. Định lí sin: Với mọi tam giác ABC , ta có :

RC

c

B

b

A

a2

sinsinsin

Trong đó:R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

2.3. Định lý đường trung tuyến:

Cho tam giác ABC . cba mmm ,, là độ dài các đường trung tuyến lần lượt tương ứng với các cạnh

BC = a, CA = b, AB = c . Ta có :

4

22 2222 acb

m a

;

4

22 2222 bca

m b

;

4

22 2222 cba

m c

3. Công thức tính diện tích tam giác

A

B C H D M

b

a

am al ah

c

Trang 52

Ta có các công thức diện tích như sau :

i) cba hchbhaS .2

1.

2

1.

2

1

ii) BcaAbcCabS sin2

1sin

2

1sin

2

1

iii) R

abcS

4

iv) rpS .

v) ))()(( cpbpappS ( Công thức Hê – rông )

4. Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp, bàng tiếp tam giác

2tan;

2tan;

2tan

2tan

2tan

2tan

Bpr

Bpr

Apr

Ccp

Bbp

Aapr

cba

5. Công thức tính chiều dài đường phân giác trong của tam giác

cpp

ba

abl

bppca

acl

appcb

bcl

c

b

a

2

2

2

2

2

2

4

4

4

B. PHƯƠNG PHÁP TOÁN VẤN ĐỀ 1 : TÍNH TOÁN CÁC YẾU TỐ TRONG MỘT TAM GIÁC

PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Tùy theo giả thuyết bài toán, để tìm các yếu tố trong một tam giác ta có thể : 1. Áp dụng trực tiếp các định lý hàm cosin, định lý hàm sin, công thức trung tuyến , công thức diện tích,… 2. Chọn một hệ thức thích hợp cho phép tìm một số yếu tố trung gian cần thiết, từ đó ta tìm được yếu tố cần tìm.

Bài 1. Cho tam giác ABC có b = 5, c = 7, cosA =5

3. Tính a, S, R, r.

Bài 2. Trong tam giác ABC , Tính A, B, C , R và am trong các trường hợp sau :

a) 5,8,60ˆ 0 cbA . b) a = 21, b = 17, c = 10.

c) 31,2,6 bca . d) 6,22,32 cba .

Bài 3. Cho tam giác ABC có 2,1,120ˆ 0 ACABA .

a) Tính AC và cosC. b) Trên AC kéo dài lấy điểm D sao cho BD = 2. Tính AD.

Bài 4. Cho tam giác ABC . Tính độ dài mỗi cạnh trong các trường hợp sau :

a) 060ˆ,2,3 CBCAB .

Trang 53

b) 15,13,120ˆ 0 ACABBCA .

Bài 5. Cho tam giác ABC có AB = 8, AC = 9, BC = 10.Một điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB = 7. Tính độ dài đoạn thẳng AM.

Bài 6. Cho tam giác ABC có BC = 12, AC = 13, trung tuyến AM = 8. a) Tính diện tích tam giác ABC. b) Tính góc B.

Bài 7. Cho tam giác ABC có )()( 2222 cacabb .Tính góc A.

Bài 8. Cho tam giác ABC . Tính góc A trong mỗi trường hợp sau :

a) 2333

acba

acb

b) abc

bacacbbaB

2

))()((cos

.

Bài 9. Cho tam giác ABC đều cạnh a, trên BC lấy D sao cho BD = 2DC.Trung trực đoạn AD cắt AC tại E. Tính CE và BE.

Bài 10. Cho tam giác ABC có 00 75ˆ,45ˆ CB và phân giác trong AD = 4. Tính các cạnh của tam giác và

bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Bài 11. Cho tam giác ABC có 3,2,4 amm cb . Tính độ dài cạnh AB, AC.

Bài 12: Tam giác ABC có <B=60o ; <C= 450 ; BC= a a ) Tính độ dài hai cạnh AB, AC

b ) Chứng minh: cos 750 = 4

26

Bài 13. Tam giác ABC có BC =12, CA=13, trung tuyến AM =8 a ) Tính diện tích tam giác ABC b ) Tính góc B Bài 14. Cho ta giác ABC có độ dài 3 đường trung tuyến bắng 15; 18 ;27 a ) Tính diện tích tam giác. b ) Tính độ dài các cạnh của tam giác.

VẤN ĐỀ 2 : CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC LIÊN QUAN ĐẾN CÁC YẾU TỐ CỦA MỘT TAM GIÁC.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG : Để chứng minh một hệ thức liên quan đến các yếu tố tam giác , ta thường sử dụng một trong các cách sau; 1. Áp dụng các công thức đã có để biến đổi vế này thành vế kia. 2. Chứng minh cả hai vế cùng bằng một biểu thức nào đó. 3. Chứng minh hệ thức cần chứng minh tương đương với một hệ thức đúng đã biết. 4. Ta thường dùng hàm cosin, hàm sin để chuyển các yếu tố từ cạnh về góc và ngược lại.

Bài 1. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng :

a. )coscos(22 BcCbacb .

b. )coscos(cos22 BbCcaAcb

c. .cossincossinsin BCCBA d. )sin(sinsin)( CBaAcb

e. AcbCBa sin)()sin(sin

f. .sinsin2 CBRha

g. rhhh cba

1111

h. CBARS sinsinsin2 2 .

Trang 54

i. )sinsin(sin CBARrS .

j. )2sin2sin(4

1 22 AbBaS

k. 222

222

tan

tan

acb

bca

B

A

l. abc

cbaRCBA

)(cotcotcot

222 .

m. S

cbaCBA

4cotcotcot

222 .

n. cpcbpbapaCBAabc 222coscoscos

o. 02

cot2

cot2

cot C

baB

acA

cb

p. 2

sin2

sin2

sin4CBA

Rr

q. Nếu ACBthìacb sin2sinsin2 .

r. Nếu ACBthìabc 22 sinsin.sin .

s. Nếu 22 . acb hhhthìabc

t. Nếu cba hhh

thìacb112

2

u. Nếu CABthìbca cotcotcot22 222 .

v. Nếu CBAthìm

m

b

c

c

b cotcotcot21

w. Nếu 32

3pmmmthìam cbaa

x. Nếu cbacaab

thìA

311

6000

Bài 2. Cho tam giác ABC .

a) Trên cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm M, N . Chứng minh : AC

AN

AB

AM

S

S

ABC

AMN .

b) Gọi I là giao điểm của các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại B và C. Gọi N là giao điểm của IA và BC. Gọi P là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC. CMR :

2

PC

PB

NC

NB

Bài 3. Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c. Gọi cba mmm ,, là độ dài ba đường trung tuyến và G là trọng

tâm. Chứng minh :

a) )(4

3 222222 cbammm cba .

b) )(3

1 222222 cbaGCGBGA

Bài 4. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Biết : 222 5acb .Chứng minh tam giác BCG vuông tại G. Bài 5. CMR diện tích hình bình hành bằng tích hai cạnh liên tiếp với sin của góc xen giữa chúng. Bài 6. Cho tứ giác lồi ABCD có góc tạo bởi hai đường chéo là .

a) Chứng minh rằng diện tích tứ giác ABCD sin..2

1BDAC

Trang 55

b) Xét trường hợp AC vuông góc BD. c) Giả sử ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC, có BD = a, CAB , CAD . Tính

AC và diện tích tứ giác ABCD theo ,,a .

Bài 7. Cho tứ giác lồi ABCD . Dựng hình bình hành ABDC’ . CMR diện tích tứ giác ABCD và tam giác ACC’ bằng nhau.

Bài 8. Chứng minh rằng trong mỗi tam giác , khoảng cách từ tâm đường tròn nội tiếp đến tâm đường tròn

ngoại tiếp thõa hệ thức : RrRd 222 . Bài 9*. CMR khoảng cách d từ trọng tâm của tam giác ABC đến tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó

thõa hệ thức : 9

22222 cba

dR

Bài 10. Chứng minh rằng hai đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B và C của tam giác ABC vuông góc với nhau

khi và chỉ khi CBA cotcot2cot .

Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c; AC = b.

CMR độ dài đường phân giác trong của góc A là : cb

bcla

2.

Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c; AC = b. M là trung điểm cạnh BC. Đặt BAM .

CMR : sin.cos. cb

bcAM

Bài 13. Cho tứ giác ABCD có I, J là trung điểm của AC, BD.

a) CMR : 2222222 4IJBDACDACDBCAB . b) Tìm điều kiện cần và đủ để ABCD là hình bình hành. Bài 14. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Kẻ ba đường cao AA’, BB’, CC’. a) CMR : AARCB cossin2'' . b) Lấy A1, A2 lần lượt là điểm đối xứng của A’ qua AB, AC.Tính chu vi tam giác A’B’C’ bằng độ

dài đoạn A1A2 c) CMR : CBACCBBAA sin.sin.sin2cossincossincossin . Bài 15. Cho tứ giác ABCD có AB = a, ';;'; CBDDBADACCAB . Tính độ dài CD.

Bài 16. Cho tứ giác ABCD nội tiếp được và có các cạnh a, b, c, d. Chứng minh diện tích tứ giác ABCD là :

dpcpbpapS ( p : nữa chu vi tứ giác )

Bài 17. Cho tam giác ABC có I là trung điểm của cạnh BC, G là trọng tâm của tam giác . Kéo dài AI một đoạn ID = IG. M là điểm bất kỳ. CMR :

a) 222222 22 IGIBMDMGMCMB .

b) 22222222 3 GCGBGAMGMDMCMBMA Bài 18**. ( Nhận diện tam giác ) a) Chứng minh rằng nếu CBA cossin2sin thì tam giác ABC cân.

b) CMR nếu

2333

cos2

acba

cba

Cba

thì tam giác ABC đều.

c) CMR nếu ))((4

1cbacbaS thì tam giác ABC vuông.

d) CMR nếu: 2

cos2

cos2

cossinsinsinCBA

CBA thì tam giác ABC đều

e) CMR nếu : C

B

C

B

tan

tan

sin

sin2

2

thì tam giác ABC cân.

f) CMR nếu: 2coscoscos aCabBacAbc thì tam giác ABC vuông.

Trang 56

. g) CMR nếu: Rabc

cbaCBA

222

cotcotcot

thì tam giác ABC đều.

h) CMR nếu : CB

a

C

c

B

a

sin.sincoscos thì tam giác ABC vuông

k) CMR nếu 222

5 acb mmm thì tam giác ABC vuông tại A.

Bài 19**. Cho tam giác ABC, chứng minh:

a) 4

))((2c

bpap

b) 8

))()((abc

cpbpap

c) rR 2

d)

2tan

2tan

2tan

CotCcotcotA

2223222

CBA

cba

B

cba

e) Rmmm cba2

9

f) Smmm cba 33222

g) cbaabcmmm cba

4

3222

VẤN ĐỀ 3: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM

PHƯƠNG PHÁP CHUNG : Để tìm tập hợp điểm M thỏa mãn một đẳng thức cho trước, ta thường biến đổi đẳng thức đã cho tương đương với đơn giản có dạng sau ; 1. kAM : với A cố định, k không đổi . Ta có tập hợp điểm M là đường tròn tâm A , bán kính R = k.

2. kAM ' :với A cố định nằm trên đường thẳng d, k không đổi và M’ là hình chiếu của M lên đường thẳng d. Khi đó M’ cố định, suy ra tập hợp điểm M là đường thẳng qua M và vuông góc với d.

3. 222 kMBMA với k cho trước; A, B cố định.

Ta có : 22

2222

22 k

ABMIkMBMA ( I là trung điểm AB )

22

1 222 AB

kMI

+ Nếu 02

22

ABk : Không có điểm M nào thỏa hệ thức . Suy ra M .

+ Nếu 02

22

ABk : IM .

+ Nếu 02

22

ABk : M tâïộc đường tròn tâm I bán kính

2

22 AB

kR .

4. kMBMA 22 : với k cho trước; A, B cố định. Gọi I là trung điểm AB; H là hình chiếu của M lên AB.

Ta có : AB

kIHkIHABkMBMA

.2..222 .

Trang 57

Tập hợp điểm M là đường thẳng d vuông góc với AB tại H định bởi : AB

kIH

.2

Bài 1. Cho hai điểm A, B cố định . Tìm tập hợp điểm M thỏa : 222 kMBMA a) AB = 2 và k = 4. b) AB = 4 và k = 2.

c) AB = 22 và k = 2.

Bài 2. Cho hai điểm A, B cố định . Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn : )2(422 ABMBMA .

Bài 3. Tìm tập hợp điểm M có tổng bình phương các khoảng cách đến bốn đỉnh của một tứ giác bằng k2 không đổi. Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm tập hợp các điểm M thỏa :

a) 2222 2 BCMAMCMB

b) 2222 2 BCMAMCMB . Bài 5. Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M thỏa :

a) 222 2MAMCMB

b) 222 2BCMCMB Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 2AC = 2a.. Tìm tập hợp điểm M thỏa :

a) 2222 122 aMCMBMA .

b) 222 2aMAMB

c) 222 8aMBMA Bài 7. Cho hình chử nhật ABCD. Tìm tập hợp điểm M thỏa :

a) 22222 2ACMDMCMBMA .

b) 222 2MCMBMA VẤN ĐỀ 4: GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG : Giải tam giác là tìm các yếu tố còn lại của tam giác khi biết các yếu tố xác định của tam giác đó. Các yếu tố xác định của tam giác đó là : c-c-c ; c-g-c ; g-c-g . Để giải một tam giác ta thường áp dụng các định lý hàm sin định lý hàm cosin, các công thức tính diện tích.

Bài 1. Cho tam giác ABC có c = 3, b = 5 và 062A . Tính cạnh a, diện tích, góc B và góc C của tam giác. Bài 2. Cho tam giác ABC có a = 2, b = 5 và c = 6. Tính các góc của tam giác.

Bài 3. Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và 060A . Tính BC , bán kính đường ngoại tiếp R và diện tích tam giác ABC.

Bài 4. Cho tam giác ABC biết 0120,62,6 Acmbcma . Tính góc B và bán kình đường tròn ngoại

tiếp R của tam giác ABC.

-------------------------HẾT------------------------

Trang 58

Trên bước đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng !