Mecanica de Fluidos Ecuacion de Bernoulli Modo de Compatibilidad

7/28/2019 Mecanica de Fluidos Ecuacion de Bernoulli Modo de Compatibilidad

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MECANICA DE FLUIDOS I

Departamento de Metalurgia

Universidad de Atacama


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FLUIDOSECUACIN DE BERNOULLI


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Ra idez de flu o de fluidoLa cantidad de flujo que fluye en un sistema por unidad detiem o se uede ex resar de las si uientes maneras:

Rapidez de flujo de volumen (Q):s e vo umen e u o e u o que pasa por una secc n

por unidad de tiempo (ms conocida como CAUDAL).

AvQ =

v: velocidad promedio del flujoA: rea de la seccin transversal


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Ra idez de flu o de fluidoRa idez de flu o de eso (W):

Es el peso de fluido que fluye por una seccin por unidadde tiempo.

QW =: eso es ecfico del fluido

Q: rapidez de flujo de volumen o caudal


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Ra idez de flu o de fluidoRa idez de flu o de masa (M):

Es la masa de fluido que fluye por una seccin por unidadde tiempo.

QM =: densidad del fluido

Q: rapidez de flujo de volumen o caudal


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Unidades de la rapidez de flujo deu o

SI

S. Ingls

flujo de

volumen

flujo de

peso

==vA

s f s

ap ez eflujo demasa

==vA

g s s ug s


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:1,0 L/min = 16,67 10 -6 m3/s

1,0 m3/s = 60.000 L/min

1,0 galn/min = 3,785 L/min

1,0 galn/min = 6,30910 -5 m3/s

1,0 pie3/s = 449 galones/min


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La ecuacin de continuidadLa ecuacin eneral de conservacin de una ro iedad

(Masa, momento, energa, carga elctrica) est dada por:

=+

tiempodeunidadpor

controldevolumenelensequePropiedad

tiempodeunidadpor

controldevolumendelquePropiedad

tiempodeunidadpor

controldevolumenelensequePropiedad

tiempodeunidadpor

controldevolumenalquePropiedad acumulageneraingresa sale


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La ecuacin de continuidadSi un fluido fluye desde la seccin 1 hacia la seccin 2 conrapidez constante, es decir, si la cantidad de fluido quepasa por cualquier seccin en un cierto tiempo dado esconstante, entonces la masa de fluido que pasa por lasecci n en un tiempo a o e e ser a misma que a que

fluye por la seccin 1 , en el mismo tiempo. Entre lassecciones 1 y 2 no hay ni generacin ni acumulacin demasa por unidad de tiempo, esto es:

21 MM =

omo = v , en onces:

222111 AvAv =

Si el fluido que circula entre lassecciones 1 y 2 es incompresible

2211 vv =1 2 ,

se expresa por: 21 =


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Balance global de masaSi se considera un flujo a rgimen permanente y homogneo atravs de una porcin de tubera, se cumple:

dAvdQ

:serdQ,ovolumtriccaudaleli)

:ldiferenciaelementoelena)

>


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Balance global de masaAplicando la ecuacin general de conservacin de materia:

=

+

tiempodeunidadpor

controldevolumenelen

tiempodeunidadpor

controldevolumendel

tiempodeunidadpor

controldevolumenelen

tiempodeunidadpor

controldevolumenal

y considerando que no hay generacin de masa en el volumen decontrol, tenemos:

{ } { } { }dt

dMv0v 222111

=>


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Conservacin de la energacuac n e ernou

creada ni destruida, solo se transforma de un tipo en otro.uan o se ana zan pro emas e u o en con uctos, es necesar o

considerar tres formas de energa:

nerg a e u o ama a am n nerg a e pres n o ra a o eflujo):

Representa la cantidad de trabajo necesario para mover el

presin p. pwEF=

Donde: w = peso del fluido, p = presin y = peso especfico del fluido.


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Debido a su elevacin, la energa potencial delelemento de fluido con respecto a algn nivel de referencia est dadaor:

zwEP =nerg a n ca:

Debido a su velocidad la energa cintica del elementode fluido es:

vwE2

=g


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suma de las tres energas anteriores:

EEEE KPF ++=

vwpw 2

g2


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Considere un elemento de fluido que pasa por las secciones 1 y 2 (talcomo se muestra en la figura):

La energa total en la seccin 1 es:

g2

vwzw

pwE

21

11

1

++

=

La energa total en la seccin 2 es:

2vw

zwpw

E2

22

22

++

=


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Si entre las secciones 1 y 2 no se agrega ni se pierde energa, entoncesel principio de conservacin de la energa establece que:

E1 = E2

g2

vwzw

pw

g2

vwzw

pw 222

22

1

1

1

++

=

++

Simplificando el peso w del elemento de fluido, se obtiene laEcuacin de Bernoulli

vpvp 2222

11 = Ecuacin de Bernoullig2g2


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Ecuacin de BernoulliEcuacin de BernoulliLa Ecuacin de Bernoulli se deriva del Principio.

vp 2 =g2

a eza e re n=

a eza p ezom r ca=

2

z= Cabeza de elevacin2

Cabeza total=++ g2z

2g= Cabeza e ve oci a


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Restricciones de la ecuacin de

Es vlida solamente para fluidos incompresibles, puestoque e peso espec co e u o se om como e m smoen las dos secciones de inters.

No puede haber dispositivos mecnicos entre las dossecciones de inters que pudieran agregar o eliminar

energa del sistema, ya que la ecuacin establece que la.

No puede haber transferencia de calor hacia adentro o

a uera e s s ema.No uede haber rdidas de ener a debidas a lafriccin.


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Teorema de TorricelliLa velocidad de vaciado ( o de llenado) de un estanque depende solamente de la

diferencia de elevacin entre la superficie libre del fluido y la salida donde seencuentra ubicado el orificio de descarga. As, entre los puntos 1 y 2:

g2

v

zp

g2

v

zp 2

2

21

1

1

++=++

Z1 = h, Z2 = O, que eldepsito es grande (v1 = 0) y

que las presiones1 2

cero (ya que en ambos puntosel fluido est en contactocon la atmsfera, se obtiene

dedujo en 1643:

gv = eorema e orr ce


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Teorema de TorricelliDe acuer o a Teorema e Torrice i, a ve oci a con que

un fluido se vaca desde un recipiente abierto a travs deun orificio lateral, el proporcional a la raz cuadrada de laa tura e ui o sobre e ori icio.

A mayor profundidad, mayor ser la velocidad de salida

del fluido a travs del orificio

Un comportamiento similar se observa en los flujos de

, , .


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El frasco de MariotteDe acuerdo con el teorema de Torricelli, la velocidad de salida de un lquidopor un orificio practicado en su fondo es la misma que la que adquiere uncuerpo que cayese libremente en el vaco desde una altura h, siendo hla

Si Ses la seccin del orificio, el gasto Sv, o volumen de fluido que sale porel orificio en la unidad de tiempo no es constante. Si queremos producir un

g=v

.

Consiste en un frasco lleno de fluido hasta una altura h0, que est cerrado

por un tapn atravesado por un tubo cuyo extremo inferior est sumergido.del recipiente. En el extremo B la presin es la atmosfrica ya que estentrando aire por el tubo, a medida que sale el lquido por el orificio. Si hesla distancia entre el extremo del tubo y el orificio, la velocidad de salida delfluido corres onder no a la altura h0desde el orificio a la su erficie libre

e ui o en e rasco, sino a a a tura a extremo e tu o.Dado que hpermanece constante en tanto que el nivel de lquido est porencima de B, la velocidad del fluido y por tanto, el gasto se mantendrnconstantes. Cuando la altura de fluido en el frasco h0es menor que h, lave oc a e sa a v e u o e a e ser cons an eLa velocidad de salida vpuede modificarse introduciendo ms o menos el

tubo AB en frasco.


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i


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Presin esttica, de estancamiento,

Si la ecuacin de Bernoulli se multiplica por el peso especfico , seene:

tetanconsv1zp 2 =++

Las presiones de estancamientoy dinmica se producen cuando seconvierte la ener a cintica en un fluido ue circula en un aumento depresin a medida que el fluido llega al reposo.

, ,termodinmica real del fluido a medida que ste fluye. Para medirla unespectador tendra que desplazarse junto el fluido, es decir quedaresttico con respecto al fluido en movimiento, razn por la cual dicho

.


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Otra forma de medir la presin esttica sera perforando unorificio en una superficie plana y ajustando un piezmetro mediante

la ubicacin en el unto 3 tal como se muestra en la i ura:La presin en (1) del fluido enmovimiento es p1=p3+h3->1, es lam sma que s e u o estuv era

esttico. o ->

Por lo tanto p1 = h

El trmino z se llama presin hidrostticay representa el cambio de

pres n pos e e o a var ac ones e energ a po enc a e u ocomo resultado de cambios de elevacin.

2 figura en el punto (2)


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El punto (2), en el cual v2=0, se llama punto de estancamiento.

Si se aplica la ecuacin de Bernoulli entre los puntos (1) y (2) se tieneque:

2

112v

2pp +=

,presin esttica p1, por una cantidad v12/2, la presin dinmica.

Sobre todo cuerpo estacionario colocado en un fluido en movimientoexiste un punto de estancamiento. Algunos fluidos circulan sobre yalgunos circulan bajo el objeto. La lnea divisorias de denomina lneade corriente de estancamiento termina en el unto de

estancamiento sobre el cuerpo.


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Si se ignoran los efectos de elevacin, la presin de estancamiento,p+v2/2, es la mayor presin obtenible a lo largo de una lnea de

.cntica en un aumento de presin.

La suma de la presin esttica, la presin hidrosttica y la presinn m ca se enom na res n o a , pT.

La Ecuacin de Bernoulli es una afirmacin de que la presin totalpermanece constante a o argo e una nea e corr ente. sto es:

1 22

=

Si se conoce la presin esttica y de estancamiento de un fluido, sepuede calcular su velocidad (Principio en el cual se basa el Tubo dePitot)


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El tubo de Pitotenr o , a com enzos e , puso a pun o una son a que, r g a en esentido del flujo, permite medir la presin esttica en un fluido (esta sonda

fue modificada a mediados de 1800 por el cientfico francs Henry Darcy)

spos vo es per ora o con peque os or c os a era es su c en emen e

alejados del punto de parada o estancamiento (punto del flujo donde se anulala velocidad) para que las lneas de corriente sean paralelas a la pared.

Esta sonda, combinada con unasonda de presin de impacto

er endicular a la direccin deflujo), forma una sonda depresin cintica llamada tubo dePitot.


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Tal como se muestra en la figura, dos tubos concntricos estnconectados a dos manmetros o a un manmetro diferencial, de

- 3 4.

El tubo central mide la presinde estancamiento en su untaabierta.

Si los cambios de elevacin soninsignificantes,2

3 v2pp +=

on e y v son as pres n yvelocidad del fluido corrientearriba del punto (2)

u o ex er or ene var os or c os eque os a una s anc aapropiada de la punta, de modo que mide la presin esttica. Si ladiferencia de elevacin entre (1) y (4) es insignificante, entoncesp4=p1=p. Al reemplazarla en la ecuacin anterior y ordenando, seo ene:

/)pp(2v 43 =


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Este dispositivo se emplea a menudo en aeronutica: situado en unlugar de poca turbulencia, permite medir la velocidad de avance de un

.

directamente v2/2g.


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Medicin del caudalrestriccin en el interior de la tubera y medir la diferencia de presin entre la

seccin (1) corriente arriba (de baja velocidad y alta presin) y la seccin (2)corriente abajo (de alta velocidad y baja presin.

se supone que e u o es or zon a ,

estable, no viscoso e incompresible entrelos puntos (1) y (2), la ecuacin deBernoulli se convierte en:

222

211 v2

1pv21p +=+

Si los erfiles de velocidad son uniformesentre las secciones (1) y (2), la ecuacin decontinuidad puede escribirse como :

Q = A1v1=A2v2

Combinando estas dos ecuaciones seobtiene el caudal terico:

21 )pp(2

=

2

1

22

)AA(1


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El Efecto VenturiTal como lo predice la Ecuacin de Continuidad, la velocidad de unfluido aumenta porque el rea del conducto se reduce y, segn laecuacin de Bernoulli, una aumento de velocidad producir una

El efecto Venturi consiste en que la corriente de un fluido dentrode un conducto cerrado dis inu e la resin del luido al au entar

sm nuc n e a pres n.

la velocidad cuando pasa por una zona de seccin menor. Si en estepunto del conducto se introduce el extremo de otro conducto, se

produce una aspiracin del fluido contenido en este segundoconducto. Este efecto recibe su nombre del fsico italiano GiovanniBattista Venturi (1746-1822) .


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Aplicaciones del Efecto VenturiMotor: el carburador aspira el carburante por efecto Venturi,mezclndolo con el aire (fluido del conducto principal), al pasar por un

.

Hogar: En los equipos ozonificadores de agua, se utiliza un pequeotubo Venturi ara e ectuar una succin del ozono ue se roduce en undepsito de vidrio, y as mezclarlo con el flujo de agua que va saliendodel equipo con la idea de destruir las posibles bacterias patgenas y de

desactivar los virus y otros microorganismos que no son sensibles a ladesinfeccin con cloro.

Tubos de Venturi: Medida de velocidad de fluidos en conducciones y

ace eraci n e ui os.


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Algunas otras aplicaciones del Efecto Venturi son:

En los capilares del sistema circulatorio humano.

En dispositivos que mezclan el aire con un gas inflamable (ej: QuemadorBunsen)

Atomizadores que dispersan el perfume o en pistola spray para pintar.

Boquilla de los extinguidores (para apagar con espuma el fuego)

,mejor tono.

Venturi Scrubbers usados para limpiar emisiones de flujo de gases.

Injectores que se usan para agregar gas cloro en los sistemas de

tratamiento de agua por cloracin.


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Ejercicio 1) A travs de la contraccin de la tubera que se muestra en lafigura fluye agua. Para la diferencia dada de 0,2 m en el nivel delmanmetro determinar el caudal en funcin del dimetro de la tuberapequea, D.

Respuesta:s

mD56,1Q3

2=

Ej i i 2) A d l i d l b l


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Respuesta: sm

D)1,0(D0156,0Q

3

44

2

=

Ej i i 3) A t d l t i d l t b t l


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Respuesta: .Dcualquierparas

m0156,0Q3

=


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Ejercicio 4) En la figura se muestra un sistema de tubos que llevaagua. La velocidad en el plano 1 es de 4 [m/s] y el dimetro es de 25

cm. n e p ano e metro es e cm. ncuentre e cau a y avelocidad de la seccin 2.

v1,A1,1 v2,A2,2


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Ejercicio 5) Se descarga metal lquido desde un recipiente cilndrico atravs de un orificio situado en el fondo.

a u es a a ura e es anque espu s e m nu os e vac a ob) Cul es la velocidad de bajada del nivel del estanque despus de 10minutos?

D

cm7,5

m3

orificio

=

=D

h

s

m9,81

mg107,1

2

33

metal

=

=

g

m3,5=h

metal


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Ejercicio 6) Hacia dentro de un estanque cilndrico fluye agua a travs deun tubo con una velocidad de 20 pies/s y sale a travs de los tubos 2 y 3

con ve oc a es e y p es s respect vamente. n a parte super or ayuna vlvula abierta a la atmsfera. Suponiendo que el flujo esincompresible, cul es la velocidad promedio del flujo de aire a travsori icio .

D4 = 2

h

D1 = 3

D3 = 2,5

D2 = 2


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Ejercicio 7) De un depsito fluye aire en forma estable a travs de unamanguera de dimetro D=0,03 m y sale a la atmsfera por un boquilla de

metro = , m. a pres n en e ep s to permanece constante en amanomtrica. Las condiciones atmosfricas del aire son 15 C y 1 tmsfera(101 kN/m2) de presin. Determine el caudal y la presin en la manguera.

,

3 Nm22 ms

, ==


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Ejercicio 8) Del grifo que est en el primer piso del edificio fluye aguacon una velocidad mxima de 20 pies/s. Para flujo estable no viscoso,

eterm ne a ve oc a m x ma e agua es e e gr o e s tano y es eel grifo en el segundo piso (suponer que cada piso mide 12 pies de alto)

(3)

s/pies2,34=v2

El a ua no lle a al se undo iso!!!posibleIm

373=v3

(2)


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Ejercicio 9) Para el estanque que se muestra en la figura, calcule el tiemporequerido para vaciarlo desde un nivel de 3,0 m hasta 0,5 m. El tanque tiene

un metro e , m y a oqu a un metro e mm.

Respuesta: 6 min y 57 s.


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Ejercicio 10) Para cortar varios materiales se pueden usar chorros lquidosde dimetro pequeo y alta presin. Si se ignoran los efectos viscosos,

ca cu ar a pres n para pro uc r un c orro e agua e , mm e metrocon una velocidad de 700 m/s. Determinar el caudal.

Respuesta: 2,45 105 kN/m2 , 5,50 10-6 m3/s

E 11) P l d l f l l l d


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Ejercicio 11) Para el sistema mostrado en la figura, calcule la presin deaire requerida por encima del agua para hacer que el chorro suba 40 pies

es e a oqu a. a pro un a es e , p es.

Respuesta: 14,73 psig

Ej i i 12) U d l ti d b bid ti


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Ejercicio 12) Un envase de plstico de una bebida gaseosa contiene agua,que fluye a travs de tres orificios, tal como se muestra en la figura. El

metro e ca a or c o es e , pu ga as y a stanc a entre e os esde 2 pulgadas. Si se desprecia los efectos viscosos y se considera unacondicin cuasi-estacionaria, determine el tiempo que el orificio superiorde a de drenar. Asuma ue la su er icie del a ua se encuentra a 2 ul adassobre el orificio superior cuando t = 0.

Respuesta: 10,7 segundos

Ej i i 13) U t d ti d it fl t


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Ejercicio 13) Un estanque grande contiene una capa de aceite que flotasobre agua. Si el flujo es estacionario y no viscoso, calcule:

(a) la altura h que alcanzar el chorro de agua(b) la velocidad del agua en la tubera(c) la presin en la tubera horizontal

Respuesta: (a) 2,80 m (b) 1,85 m/s (c) 35,5 kPa

Ejercicio 14) En un tnel de viento se usa aire para probar automviles


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Ejercicio 14) En un tnel de viento se usa aire para probar automviles.(a) Determine la lectura h del manmetro cuando en la zona de rueba la

velocidad es de 60 millas/hora. Note que en el manmetro existe unacolumna de 1 pulg de aceite sobre el agua.

(b) Determine la diferencia entre la presin de estancamiento frente alve cu o y a res n en a zona on e se rea za a rue a.

aire = 0,00238 slug/pie3agua = 62,4 lb/pie

3

Respuesta: (a) h = 0,223 pies (b) 9,22 lb/pie2

Ejercicio 15) Qu presin p se requiere para obtener un gasto de 0 09


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Ejercicio 15) Qu presin p1 se requiere para obtener un gasto de 0,09pies3/s del depsito que se muestra en la figura? gasolina = 42,5 lb/pie3

Respuesta: p1 = 5,18 psi

Ejercicio 16) Para vaciar una piscina de poca profundidad se usa una


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Ejercicio 16) Para vaciar una piscina de poca profundidad se usa unamanguera que mide 10 m de largo y 15 mm de dimetro interior. Si se

gnoran os e ectos v scosos, cu es e cau a que sa e e a p sc na?

Respuesta: Q = 9,11 10-4 m3/s

Ejercicio 17) Aceite de gravedad especfica 0 83 fluye a travs de una


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Ejercicio 17) Aceite de gravedad especfica 0,83 fluye a travs de unatubera. Si se desprecian los efectos viscosos, determine el caudal.

Respuesta: Q = 0,183 pies3/s

Ejercicio 18) A travs de los grandes depsitos que se muestran en la figura


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Ejercicio 18) A travs de los grandes depsitos que se muestran en la figurafluye agua de manera estable. Determinar la profundidad del agua, hA.

Respuesta: (a) hA = 15,4 m

Ejercicio 19) De un gran depsito fluye agua a travs de un gran tubo que


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Ejercicio 19) De un gran depsito fluye agua a travs de un gran tubo quese divide en dos tubos ms pequeos, tal como se muestra en la figura. Si

se gnoran os e ectos v scosos, eterm nar e cau a que sa e e ep s toy la presin en el punto (1).

Respuesta: Q = 9,10 10-3 m3/s, p1 = 57,9 kPa

Ejercicio 20) La densidad relativa del fluido en el manmetro que se


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Ej ) L f m m qmuestra en la figura es 1,07. Determine el caudal, Q, si el fluido es no

v scoso e ncompres e y e u o que c rcu a es:(a) Agua, = 9,80 kN/m3

(b) Gasolina, = 6,67 kN/m3

c Aire en con iciones norma es, = 12 10- N m .

Respuesta: (a) 1,06 10-3 m3/s, (b) 3,02 10-3 m3/s, (c) 0,118 m3/s

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