Exercícios de trigonometria

Exercícios de Trigonometria

PROF.: LIMA

1. A semi-circunferência de centro O tem raio 2 cm e AÔF = 40º

F

C

B

A ED O

Determine a área do triângulo [ABC] arredondadoao cm2 (em cálculos intermédios usa 2 c.d.)

2. Prove que:

a) 1 + tg2x = x2cos

1

b) 1 –

sensen

1

cos2

c)

cos

2

cos

1

1

cos

sen

sen

d)

xtgx

xx 22cos

cos1cos1

3. Sem recorrer à calculadora, indique o valor de:

a) sen π + sen 2

3 b) sen

4

+ cos

4

c) tg 4

+ tg

3

4

d) sen

3

. cos

6

4. Sabendo-se que sen 3 1

2 3x

e x , 2 , calcule o valor exato de

cos 2cos2

x x

5. Resolva em |R, as equações:

a) sen (2x) = 1 b) cos 3

t

= 0 c) 4 + 8sen 2

x

= 0

d) cos 1

22

a = 0 e)

1 1

3 3tg x f)

2

1 3

1 4tg x

g) sen x - 1 = 0 h) sen1

x= 0 i) cos x + cos2 x = 0

j) 5 – 10 cos 3

t

= 0 k) sen x + cos x = 0 l) cos (2x) = sen 3

4x

m) 3 cos = 2 sen2 n) 2cos 2 2sen

6. Resolva a condição 2 sen x + 1 > 0 no intervalo:

a) 0, 2 b) ,


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7. Resolva a condição | sen x | < 1

2no intervalo:

a) 0, 2 b) ,

8. Em um intervalo, sabe-se que a tangente é negativa e o co-seno é crescente. Nesse intervalo:

(A) O seno e o co-seno são negativos

(B) O co-seno é negativo e o seno é crescente

(C) O seno é negativo e crescente

(D) O seno é positivo e o co-seno é negativo

9. Sabendo-se que sen α = -1

3, qual das afirmações é necessariamente verdadeira?

a) cos α = -8

3

b) sen = -1

3

c) sen = -1

3

d) cos 2

= -1

3

10. Prove que a equação x = sen x tem, pelo menos, uma solução em [-1, 1]

11. Prove que existe pelo menos um número real x tal que sen x = x – 2

12. Relativamente à função f(x) = cos2x, prove que: f(x + π) = f(x), x �

13. A partir do gráfico da função f(x) = sen x, determine o gráfico da função g(x) = -3 + f(x – )


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Soluções:

1. 8 cm2

3. a) -1; b) 2 ; c) 0; d)3

4

4. 1 2 8

3

5. a) x = ,4

k k � ; b) t = - ,

6k k

� ; c) x = -5

4 4 ,3 3

k x k k � ;

d) a = 3 5

2 2 ,4 4

k a k k � ; e) x = ,

3k k

� ;

f) x = 5

,6 6

k x k k � ; g)

1 52 2 ,

6 6k x k k � ;

h) x = 1, \ 0k

k� i) x = 2 ,

2k x k k

� ;

j) t = 1 + 6k 1 6 ,t k k � ; k) x = 3

,4

k k � ;

l) x = 2

2 ,12 3 4

kx k k

� ; m) 2 ,3

k k � ; n) 2 ,

2k k

�

6. a) x 7 11

0, , 26 6

; b) x

5, ,

6 6

7. a) x 5 7 11

0, , , 26 6 6 6

; b) x

5 5, , ,

6 6 6 6

8. C

9. C

10.

Sen x – x = 0

Sen (-1) < 0

Sen (1) > 0

Como a função é continua e o produto das imagens de -1 e 1 é inferior a zero; podemos aplicar o

corolário do Teorema de Bolzano e provar que existe pelo menos uma solução no intervalo pretendido.


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11.Como se vê na imagem é possível que sen x seja igual a x – 2.

Mas se fizermos sen x – x + 2 = 0 e provarmos que existe uma imagem negativa e outra positiva; podemos aplicar o corolário do Teorema de Bolzano e sabendo que se trata de uma função contínua por se tratar de operações entre funções contínuas (trigonométrica e polinomial); Assim:

2lim xxsenx

2lim xxsenx

Como o produto das imagens é negativo, prova-se que é verdadeiro.

12.F(x + Π) = cos2 (x + Π) = cos2 x, porque como x + Π é um ângulo do 3º quadrante e nesse quadrante o cosseno é negativo, mas como a função está ao quadrado fica positiva.

13.

4

2

-2

-4

-6

-5 5

s x = -3+sin x-

r x = sin x-

q x = sin x

4

2

-2

-4

-5 5

h x = x-2

g x = sin x

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