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Un par ordenado (x,y) de números reales tiene a x como primer elemento y a y co-mo segundo elemento. El primer elemento se llama abscisa y el segundo elemento ordenado. Ejemplo: Graficar los siguientes pares ordenados
y
La distancia entre los puntos y del plano cartesiano:
Los puntos , y determinan un triángulo rectángulo en el cual las longitudes de sus catetos
están dados por y . Así aplicando el teorema de Pitágoras se tiene Ejemplo:
Calcular la distancia entre los siguientes pares ordenados y
Por tanto, reemplazando se obtiene:
11, yx 22 , yx
11, yx 22 , yx 12 , yx
121 xxd 122 yyd 212
2
12 yyxxd
212
2
12 yyxxd
2. Distancia entre dos puntos
1.
3. Punto medio
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Ejemplo Calcular el punto medio entre los siguientes pares ordenados
y
Por tanto, reemplazando se obtiene:
2,
2
2121 yyxxM
La fórmula del punto medio M de un segmento recto en el plano, es análoga a la fórmula obtenida para el punto medio de un intervalo (a,b).
2,
2
2121 yyxxM
4. Pendiente de la recta
La pendiente de una recta es el cociente entre las unidades de cambio vertical y las unidades de cambio horizontal de dos puntos cualesquiera.
La pendiente m de una recta que pasa por los puntos y es: 11, yx 22 , yx
12
12
12 , xxxx
yy
x
ym
La inclinación de la recta depende de su pendiente, así:
a) Una recta con pendiente , sube de izquierda a derecha
b) Una recta con pendiente , baja de izquierda a derecha.
c) Una recta con pendiente , es horizontal d) Una recta con pendiente indefinida, es vertical. Ejemplo
Calcular la pendiente de la recta que pasa entre los siguientes pares ordenados y
Por tanto, reemplazando se obtiene:
0m
0m
0m
12
12
12 , xxxx
yy
x
ym
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La ecuación punto pendiente es de la forma con pen-
diente m y pasa por el punto . Ejemplo: Calcular la ecuación de la recta que pasa entre el par
ordenado y que tiene por pendiente
De la información tenemos que: , ,
Por tanto al reemplazar la ecuación tenemos que;
La ecuación de la recta es
11 xxmyy
11, yx
11 xxmyy
5. Ecuación punto– intercepto
6. Ecuación pendiente– intercepto
La ecuación pendiente-intercepto es de la forma con pendiente m e intersección con el eje y en el punto (0,b).
bmxy
La pendiente de una recta nos permite saber cuándo dos rectas son paralelas. Dos rectas no verticales son paralelas si y sólo si sus pen-dientes son iguales.
21 mm
7. Rectas paralelas
La pendiente de una recta también nos permite saber cuándo dos rectas son perpendiculares.
Dos rectas no verticales son perpendiculares si y sólo si sus pendientes cumplen la relación.
2
1
1
mm
8. Rectas perpendiculares
