1

Modul I

1.2 Kajian Mendalam Tentang Limit

1. Objek Pembelajaran

1.1 Kompetensi Dasar

1.1.1 Memahami Definisi Limit secara mendalam

1.1.2 Memahami Definisi Limit secara formal

1.2 Tujuan Pembelajaran

1.2.1 Mahasiswa memahami definisi limit secara mendalam

1.2.2 Mahasiswa mampu membuktikan limit fungsi secara formal.

2. Materi

Pada bagian 1.1 anda telah mengkaji pengertian limit secara intuitif dan memahami

definisi limit secara informal. Di bagian 1.2 ini anda akan memulai mengkaji definisi limit

sedikit lebih baik dan mendalam meskipun masih secara informal juga, dengan

memparafrasekan definisi limit secara intuitif yang telah di pelajari di bagian 1.1.

Berdasarkan definisi limit secara intuitif:

Definisi tersebut mempunyai arti bahwa f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L yang

dimana x sangat dekat namun tidak sama dengan c.

Untuk mengilustrasikan paraphrase definisi tersebut, coba anda cermati contoh berikut ini.

Perhatikan gambar grafik fungsi

𝑦 = 3𝑥2 di samping ini, selanjutnya

anda diminta untuk menentukan

seberapa dekat x ke 2 agar menjamin

f(x) berada dekat 0,05 ke 12.

Untuk membuat f(x) dekat 0,05 ke 12, maka anda harus memiliki nilai f(x) pada interval

12 − 0,05 < 𝑓 𝑥 < 12 + 0,05, seperti pada gambar di bawah ini.

𝐔𝐧𝐭𝐮𝐤 𝐦𝐞𝐧𝐠𝐚𝐭𝐚𝐤𝐚n bahwa 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄 𝒇 𝒙 = 𝑳 berarti pada saat 𝒙 mendekati namun

tidak sama dengan 𝒄 maka 𝒇(𝒙) mendekati 𝑳.

2

Jika anda menyelesaikan bentuk 𝑦 = 3𝑥2 untuk mendapatkan 𝑥, maka akan didapatkan

𝑥 = 𝑦

3 .

Dengan demikian nilai x dan f(x) yang berpadanan dapat dicari dengan hubungan

𝑓 11,95

3 = 11,95 dan 𝑓

12,05,95

3 = 12,05, yang secara ilustrasi dapat dilihat pada

gambar di bawah ini.

Gambar di atas mengindikasikan jika 11,95

3< 𝑥 <

12,05

3 maka f(x) memenuhi syarat

berada dalam interval 11,95 < 𝑓(𝑥) < 12,05.

Interval nilai untuk x aproksimasinya adalah 1,99583 < 𝑥 < 2,00416. Dari dua titik ujung

interval, batas atas 2,00416 paling dekat ke 2 dan dalam jarak 0,00416 ke 2. Dengan

demikian jika x dekat ke 2 dalam jarak 0,00416 ke 2 maka f(x) dalam jarak 0,05 ke 12.

3

Dengan menggunakan cara yang sama, coba anda tentukan batasan nilai x yang bersesuaian

untuk nilai f(x) yang berada dalam jarak 0,01 ke 12 serta untuk nilai f(x) yang berada dalam

jarak 0,001 ke 12.

Selanjutnya dari apa yang anda kerjakan coba tarik kesimpulan tentang hubungan antara

batasan nilai x dan nilai f(x) dalam jarak terdekat ke 12.

Dari contoh di atas, sangat jelas bahwa seberapa dekatpun f(x) ke 12 yang anda inginkan,

maka aka nada batasan nilai x yang bersesuaian untuk hal tersebut.

Jika anda sudah paham dengan uraian contoh di atas, maka anda bersiap-siap untuk

melanjutkan membuat definisi limit secara akurat.

Membuat Definisi Limit Secara Akurat

Menurut tradisi Yunani dalam penggunaan lambang, 휀 (epsilon) dan 𝛿 (delta) digunakan

untuk melambangkan suatu bilangan positip yang biasanya sangat kecil.

Langkah I:

Untuk mengatakan bahwa f(x) berada dalam jarak 휀 terhadap L, itu berarti 𝐿 − 휀 < 𝑓 𝑥 <

𝐿 + 휀, yang ekivalen dengan bentuk 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀 . Hal tersebut menyatkan bahwa f(x)

terletak dalam interval terbuka (𝐿 − 휀, 𝐿 + 휀) , seperti diiliustrasikan oleh gambar berikut.

Langkah II:

Selanjutnya untuk mengatakan bahwa x cukup dekat namun tidak sama dengan c, dalam jarak

𝛿, berarti x berada dalam interval terbuka (𝑐 − 𝛿, 𝑐 + 𝛿) dengan c tidak termasuk

didalamnya. Dan bentuk yang lebih tepat untuk hal tersebut adalah 0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿, seperti

yang digambarkan berikut ini.

4

Jika anda sudah tidak bermasalah dengan dua langkah dasar di atas, berarti anda siap untuk

menyajikan suatu definisi limit yang akurat.

Definisi Limit Secara Akurat

Jika anda masih mengalami kesulitan untuk mencerna definisi limit tersebut, coba perhatikan

ilustrasi gambar dibawah ini.

Untuk setiap 휀 > 0

yang diberikan

Terdapat 𝛿 > 0,

sedemikian hingga 0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 → 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀

Anda harus mencermati bahwa dari ilustrasi gambar di atas menegaskan bahwa bilangan real

휀 harus yang diberikan pertama kali, selanjutnya dihasilkan bilangan real 𝛿 yang bersesuaian.

Jika anda sudah memahami definisi serta ilustrasi gambar limit secara akurat tersebut, berarti

anda sudah siap menerima tantangan teman anda untuk mencari nilai 𝛿 yang bersesuaian

dengan nilai sebarang 휀 yang diberikan teman anda untuk suatu nilai limit fungsi tertentu.

0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 → 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀

Untuk mengatakan lim𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 = 𝐿, berarti untuk setiap 휀 > 0 yang diberikan

(berapapun kecilnya) akan terdapat 𝛿 > 0 yang bersesuaian, sedemikian hingga

𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀 yang dipenuhi oleh 0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿; yaitu

5

Silahkan anda mencoba menerima tantangan dari teman anda untuk menentukan nilai 𝛿 yang

bersesuaian dengan setiap nilai 휀 yang diberikan teman anda untuk nilai dari

lim𝑥→3(2𝑥 + 1).

Adapun langkah-langkah yang perlu anda perhatikan sebagai berikut:

1. Anda harus mencari nilai limit dari fungsi yang dimaksud, dalam hal ini anda boleh

berasumsi bahwa lim𝑥→3(2𝑥 + 1) = 7.

2. Selanjutnya anda harus meminta teman anda untuk memberikan suatu bilangan real

positip yang sangat kecil nilainya (휀 > 0), misalkan teman anda mengajukan nilai

휀 = 0,1

3. Kemudian anda harus mencari 𝛿 yang bersesuaian dengan 2𝑥 + 1 − 7 < 휀 = 0,1

pada saat 0 < 𝑥 − 3 < 𝛿

4. Gunakan kemampuan anda dalam manipulasi bentuk aljabar pada bagian

2𝑥 + 1 − 7 < 휀 = 0,1.

5. Dengan manipulasi aljabar bentuk 2𝑥 + 1 − 7 < 휀 = 0,1 ↔ 2𝑥 − 6 < 0,1 ↔

2 𝑥 − 3 < 0,1 ↔ 𝑥 − 3 <0,1

2

6. Dari bentuk sederhana terakhir yaitu 𝑥 − 3 <0,1

2 , anda dapat menjawab tantangan

teman anda dengan memberikan padanan 𝛿 =0,1

2 atau bahkan yang lebih kecil dari

itu.

7. Dengan padanan 𝛿 =0,1

2 atau bahkan yang lebih kecil dari itu anda dapat menjamin

bahwa fungsi 𝑦 = 2𝑥 + 1 berada dalam jarak 0,1 dari 7 pada saat 𝑥 berada dalam

jarak 0,1

2 dari 3.

Dengan cara yang sama seperti langkah-langkah di atas, coba anda layani tantangan teman

anda dimana nilai-nilai yang diberikannya adalah 휀 = 0,002 dan 휀 = 0,00004.

Namun yang perlu anda catat adalah apa yang anda lakukan dengan menjawab setiap

tantangan tersebut, hal itu belum dapat dikatakan sebagai bukti bahwa lim𝑥→3 2𝑥 + 1 = 7

karena definisi mensyaratkan untuk setiap 휀 > 0 bukan untuk beberapa 휀 > 0.

Oleh karena itu anda harus menggunakan asumsi secara umum untuk sebarang 휀 > 0 terdapat

𝛿 > 0 sedemikian hinggga 2𝑥 + 1 − 7 < 휀 untuk 0 < 𝑥 − 3 < 𝛿.

Dengan memanipulasi bentuk 2𝑥 + 1 − 7 < 휀 ↔ 2𝑥 − 6 < 휀 ↔ 2 𝑥 − 3 < 휀 ↔

𝑥 − 3 <휀

2 , anda dapat memilih 𝛿 =

휀

2 sebagai padanan dari setiap 휀 > 0 yang diberikan.

Dengan kata lain anda telah menjamin 𝑦 = 2𝑥 + 1 berada dalam jarak 휀 > 0 dari 7 untuk 𝑥

yang berada dalam jarak 휀

2 dari 3, yang memenuhi syarat dari definisi limit dan menjadi bukti

bahwa lim𝑥→3 2𝑥 + 1 = 7 .

6

3. Sumber Pembelajaran

Modul Online dari MoDELss, Buku Calculus Purcell, Materi terkait yang didapat dari

internet.