HIPERBOLAINTEGRANTES:Adriana Borja Angie Gamero

Andrea De la Rosa

LA HIPERBOLA • Es el lugar geométrico de los puntos del plano

tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos.

ELEMENTOS DE LA HIÉRBOLA • se considera una hipérbola centrada en el

origen de coordenadas y cuyos ejes se encuentran sobre los ejes de coordenadas.

• LOS FOCOS: Son dos puntos fijos del plano.

• EL EJE FOCAL: es la recta que pasa por los focos.

• Los focos y el eje focal siempre están juntos en el mismo eje

• LOS VERTICES: son los puntos en los cuales la hipérbola corta el eje focal

• EL EJE TRANSVERSO: es el segmento que tiene por extremos los vértices de la hipérbola.

• EL CENTRO: es el punto medio del eje transverso también puede estar dentro del origen y fuera del origen. Siempre esta en medio de los vértices y los focos

• EL EJE NORMAL: es la recta que pasa por el centro y es perpendicular al eje focal.

• EL EJE CONJUGADO: es el segmento perpendicular al eje transverso, en el centro. El eje conjugado esta contenido en el eje normal.

• LAS ASINTOTAS: Son dos rectas a las cuales se aproximan las ramas de la hipérbola, al extenderse infinitivamente.

ECUACION CANONICA DE LA HIPERBOLA CON CENTRO EN(0,0)

Y EJE FOCAL SOBRE EL EJE X • La hipérbola con centro (0,0)y focos en

f1 (-c,0) y f2 (c,0) tal que la diferencia de las distancia de un punto p (x,y)de la hipérbola a los focos es 2ª, tienen por ecuación canónica, la expresión:

• - = 1Donde a,b,c > o,c> a y =- • - = 1Donde a,b,c >o c >a y = -

• Ejemplo:Encuentra cada uno de los elementos de la siguiente hipérbola y grafícala:

Es una hipérbola con centro en el origen y como el primer término contiene a , ésta es una hipérbola con eje focal sobre el eje x, entonces se trata de una ecuación del tipo .

Coordenadas del centro

Semidistancia focal

y

Coordenadas de los focos y y

Coordenadas de los

vértices y

y

Coordenadas de los

extremos del eje conjugado y

y

Semieje transverso

Semieje conjugado

ECUACION CANONICA DE LA HIPERBOLA CON CENTRO EN(0,0) Y EJE FOCAL SOBRE EL EJE Y

• EJEMPLO:Los focos y los vértices de una hipérbola son los puntos: , , y , respectivamente. Determina la ecuación de la hipérbola.SOLUCION:Podemos notar que el centro de la hipérbola es el origen y además el eje focal es paralelo al eje y, ya que las abscisas de cada uno de los puntos son las mismas.

• La ecuación de la hipérbola con centro en el origen y eje focal paralelo al eje y es Busquemos los datos que no conocemos.

Como y entoncesA=1

Además, como y entoncesc=3El único dato que nos falta es para calcularlo utilizamos la expresión , ya que tenemos los valores de c=3 y a =1

Para determinar la ecuación, sustituimos los valores a=1 y en entonces

ECUACION CANONICA DE LA HIPERBOLA CON CENTRO EN(h,k)

Y EJE FOCAL AL EJE X • La hipérbola con centro en (h,k), focos

f1(h-c,k) y f2 (h+c,k)tal que la diferencia de las distancias de cualquier punto P(x,y) de la hipérbola, a los focos es 2a, tiene por ecuación canónica:

- =1, con c > a y =-

• Los elementos de la hipérbola con centro fuera del origen (h,k) y eje focal al eje x

• Focos: (h-c,k) (h+c,k)• Vértices: (h-a,k) (h+a,k)• Longitud del eje transverso: 2a• Longitud del eje conjugado: 2b • Eje normal: paralelo al eje y • Asíntotas: y-k=(x-h) y-k=-(x-h)

• Ejemplo:Encuentra cada uno de los elementos de la siguiente hipérbola y grafícala:

Solucion:Es una hipérbola con centro fuera del origen y como el primer término contiene a , ésta es una elipse con eje focal paralelo al eje x, entonces se trata de una ecuación del tipo

Coordenad

as del centro

y

Semidistan

cia focal

y

Coordenad

as de los

focos

y

y

Coordenad

as de

los vérti

ces

y

y

Coordenad

as de los

extremos del

eje

conjugado

y

y

Semieje

transverso

Semieje

conjugado

COMPROMISO:

1.Encuentra cada uno de los elementos de la siguiente hipérbola y grafícala:

2.Determina la ecuación de la hipérbola usando los siguientes datos: el centro está en el origen, vértice en y el extremo del eje conjugado es .