Matemática Básica (Ing.) 1

Sesión 14.1

Cónicas: Hipérbola

Matemática Básica (Ing.) 2

Las hipérbolas y las señales de radio son la basedel sistema LORAN (Long Range Navigation – Navegación de Largo Alcance).

Es un sistema de ayuda a lanavegación electrónicohiperbólico que utilizael tiempo transcurridoentre la recepción de señalesde radio transmitidas desdetres o más transmisores paradeterminar la posición del receptor.En la actualidad se usa el GPS (Sistema de Posicionamiento Global)

Consideraciones previas

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La hipérbolaEs el conjunto de puntos en el plano, cuya diferenciade sus distancias a dos puntos fijos del plano (focos),es constante.

La recta que pasa por los focos es el eje focal.El punto medio entre los focos es el centro.Los puntos donde la hipérbola se interseca con sueje focal son los vértices.

FocoFoco

VérticeVértice

Centro

Eje focal

xF1(-c,0) F2(-c,0)

P(x,y)x = -a x = a

o

y

d(P; F1) – d(P; F2) = ± 2a

Matemática Básica (Ing.) 4

Elementos de la hipérbolax

ab

y xab

y

Longitud del eje conjugado: 2b

F1

-c V1

-a

V2

a F2

c

x

y

b

-b

a

bc

Del triángulo:

c2 = a2 + b2

Longitud del eje transversal o focal: 2a

12

2

2

2

by

ax

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Ecuación de la hipérbola

12

2

2

2

by

ax

x

xab

y xab

y

F1 F2V1 V2

-c -a a c

y

b

-b

Eje focal

xba

y xba

y

F1

F2

V1

V2

c

-b b

-c

x

y

a

-a

Eje

foca

l

12

2

2

2

bx

ay

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Ejercicios1. Determine los vértices y los focos de la hipérbola

9x2 – 16y2 = 144

2. Determine la ecuación de la hipérbola con focos(0; -3) y (0; 3) y cuya longitud del eje conjugadoes 4.

3. Determine los vértices, los focos y las ecuaciones de las asíntotas. Trace la gráfica

2 2

22

2 2

) 19 16

) 12

) 4 0

y xa

xb y

c x y

Matemática Básica (Ing.) 7

Hipérbolas con centro (0;0)

Ecuación estándar

Eje focal

Focos

Vértices

Semieje transversal

Semieje conjugado

Relación pitagórica

Asíntotas

Eje x

(c; 0)

(a; 0)

a

b

12

2

2

2

by

ax

222 bac

Eje y

(0; c)

(0; a)

a

b

12

2

2

2

bx

ay

222 bac

xab

y xba

y

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Traslación de hipérbolas

1)()(

2

2

2

2

bky

ahx

1)()(

2

2

2

2

bhx

aky

khxab

y )(khxab

y )(

(h – c, k)

(h - a, k)

(h + c, k)

x

ya

Eje focal y = k

(h, k)

bc

(h + a, k)

khxba

y )(khxba

y )(

(h, k + c)

a

x

y

(h, k – a)

Eje

foca

l x =

h

(h, k)

cb

(h, k - c)

(h, k + a)

Matemática Básica (Ing.) 9

Hipérbolas con centro (h, k)

Ecuación estándar

Eje focal

Focos

Vértices

Semieje transversal

Semieje conjugado

Relación pitagórica

Asíntotas

y = k

(h c; k)

(h a; k)

a

b

1)()(

2

2

2

2

bky

ahx

222 bac

x = h

(h; k c)

(h; k a)

a

b

222 bac

khxab

y )( khxba

y )(

1)()(

2

2

2

2

bhx

aky

Matemática Básica (Ing.) 10

Ejercicios

4. Determine la ecuación de la hipérbola cuyo eje transversal tiene sus puntos finales en (-2; -1) y (-8; -1), y cuya longitud del eje conjugado es 8.

5. Determine el centro, los vértices y los focos de la hipérbola. Grafique

149

)5(9

)2( 22

yx

6. Dada la ecuación Halle el centro, los vértices y las ecuaciones de las asíntotas. Con la información obtenida grafique la curva .

.163216729 22 yyxx

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Modelación

Las hipérbolas y las señales de radio son la basedel sistema LORAN (Long Range Navigation – Navegación de Largo Alcance).

Se conoce que las señales de radio viajan a 980 piespor microsegundo, donde un microsegundo (1s)es 10-6 s.

P

La posición P se logra conla intersección de lashipérbolas, respecto a unorigen arbitrario (A, B o C).

A, B y Cson los focos delas respectivashipérbolas.

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Modelación

Simultáneamente se envían señales de radio deunos transmisores A, B y C. C está a 100 millas alnorte de A y B está a 80 millas al este de A.

El receptor LORAN del barco Laureate Inc., recibela señal desde A 323,27s después de recibir laseñal desde C y 258,61s después de recibirla desdeB.

¿Cuál es la dirección y la distancia en millas del barco con respecto a A?

Nota: considere la posición de A = (0; 0) una milla = 5280 pies

Matemática Básica (Ing.) 13

Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía.

Ejercicios: 12, 14, 16, 36,38 y 50 de la páginas 663 y664.

Sobre la tarea,

está publicada en el AV Moodle.

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