UNIVERSITETI “ALEKSANDËR XHUVANI”FAKULTETI I SHKENCAVE TE NATYRËS DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS 

PROGRAMI MASTER I SHKENCAVE (M.Sc .)

TEMË DIPLOME

PËRDORIMI I NUMRAVE KOMPLEKS DHE NUMRAVE IMAGJINARË NË GJEOMETRI

Punoi : Udheheqës shkencor:

Marjeta Tabaku Pr. Mehmet Ballkoçi

ELBASAN.2013

Në gjeometrinë euklidjane janë provuar e vërtetuar shumë teorema e ushtrime.Për veprimet numerike në to janë përdorur numrat realë... Shtrohet pyetja: A mund të vërtetojmë teorema dhe të zgjidhim ushtrime në gjeometri duke pëdorur numrat kompleks dhe imagjinarë?

Ky punim përmban: në kapitullin e parë disa zbatime të njohurive për numrat kompleks dhe

disa teorema të vërteuara, nëpërmjet numrave kompleks e imagjinarë . Në kapitullin e dytë, sqarohen zbatime të numrit kompleks për rrethin dhe

tufat e rrathëve dhe konceptet polareve ndaj nje vije ose pike. Dhe kapitulli i tretë, trajton transformimet pikësore të shprehura me

numra kompleks në planin kompleks dhe zbatime të tyre…

ABSTRAKTI

Numrat kompleks janë përgjithsim i numrit real të formuar me ndihmën e një numri special i cili shënohet me i dhe quhet njësi imagjinare i cili sipas përkufizimit e plotëson kushtin : i2= -1

Bashkësia e numrave kompleks shënohet me C dhe përfshin të gjithë numrat e trajtës:

1. z= a + bi ku zakonisht shënojmë 2. a =Re(z) pjesën reale dhe 3. b= Im(z) pjesën imagjinare

Çdo numër real mund të shkruhet si numër kompleks i cili pjesën imagjinare e ka të barabartë me 0.

1. Kështu, numrat realë janë : a+ 0i=a , dhe2. numrat imagjinarë janë: 0+bi=bi

Zbatimi i numrit kompleks në gjeometri e fusha të tjera të matematikës është shumë i rëndësishëm.

Numrat kompleks

a)Trajta algjebrike e numrit kompleks është z= a+bi

I konjuguari i tij është: z =a-bi dhe z z=a∙ 2+b2

b)Paraqitja gjeometrike e z=x+yi.

Moduli numrit kompleks r=

Argumenti i numrit kompleks

Njohuri themelore

*Kështu numri kompleks z paraqitet si një vektor gjatësia e të cilit është sa moduli i numrit kompleks z.

*Në këtë mënyrë realizohet një bijeksion për numrin kompleks dhe planin P ,Shënohet me M(x;y) afiksi i numrit kompleks z=x+yi. *I anasjellti i numrit kompleks është z -1=1/z dhe plotëson kushtin z.z -1= 1

-z=-x-iy

* Teoremë :Numri kompleks ,i konjuguari i tij dhe i kundërti i tij kanë të njëjtin modul.Vërtetim:

Nga OR=OM dhe ON =OM marrim z = z dhe -z = z ,pra z = -z = z

x

y

M(x:y)

R(x;-y)N (-x;-y)

O

Për secilin numër kompleks kemi : a= r cos z= r(cos + isin )=a+bi

b r

O

Atëherë trajta trigonometrike shkruhet : z= r(cos + isin )Shprehja me koordinata polare të koordinatave karteziane: dhe i shënojmë M(r; ) :ku r –moduli dhe -argumenti i numrit kompleks z

Trajta trigonometrike dhe trajta polare e numrit kompleks.

x

y

z

a

; b=r sin

Dhe trajta polare ose eksponenciale që quhet formula e Eulerit: = ( + ) dhe z= r *Formula e De Moivre për fuqizimin e numrit kompleks: *Nxjerrja e rrënjës së numrit kompleks del nga zgjidhja e ekuacionit të

formës zn= . Dhe të gjitha zgjidhjet shkruhen ne trajtën e meposhtme:

k=0,1,2,3….n-1

Këto zgjidhje janë n numra që në planin kompleks i përkasin kulmeve të një n-këndëshi të rregullt të brendashkruar në rrethin me rreze r dhe qendër pikën z=(0:o).

Shembulli: Zbatim për rrënjën e numrit kompleks

a) Gjeni të gjitha rrënjët me tregues 4 të numrit 16. Zgjidhje Shënojmë < => z4 =16 <=> z4=16(cos 0 + i sin 0).Zbatojmë formulën:

Atëherë kemi:

Ekuacioni z4 =16 ka 4 rrënjë, për k=0; k=1; k=2 dhe k=3.Gjeometrikisht ato janë kulme të katrorit të brendashkruar rrethit merreze 2 njësi ,me qendër në O(0,0)

z3

zo

z1

z2

y

x

Veprime me nr kompleksë Veprimet me numrat kompleks interpretohen njësoj si veprimet me vektorë Shembull1.1 *Mbledhja dhe zbritja e numrave kompleks Në figurë ato jepen si shuma dhe diferenca e dy vektorëve që janë diagonalet e

paralelogramit të formuar nga z1 e z 2. Y

Kështu :

x Shuma e numrave kompleks z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i Diferenca e numrave kompleks z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i• Shumzimi : z1•z2 = (a 1a2 - b1b2 ) + (a 1b2 + b1a2) i• Pjestimi

numrat kompleksë jane çifte të renditura (a,b) e (c,d) të cilat gëzojnë vetitë: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b)·(c, d) = (a·c − b·d, b·c + a·d)

z1+z2

z2 z1- z2 z1

O

Shembull:1.3 Të tregohet se nëse afikset e tre numrave kompleksë z 1 ,z 2 , z 3,shtrihen në

një drejtëz , atëhere raporti = r është numër real.

z1 z2

x

Zgjidhje:

Vektori = - = z2 -z1

Vektori = - = z3 –z2 .Vektorët MIM2 dhe M2M3 janë bashkëvijorë numrat kompleks përkatës do të kenë të njëjtin argument pra:

z2 -z1 = r1 ( + ) z3 – z2 = r2 ( + )

Nëse r=1 kemi që z2 mes i segmentit (z 1 , z 3) :dhe në përgjithësi

*

M1 M2

M3

y

O

=

=

z3

Shembull:1.4

Të vërtetohet se mesoret e një trekëndëshi priten në një pikë.

Zgjidhje:

Le të jenë (a, b, c) kulmet e një trekëndëshi dhe (a,m) mesorja që del nga kulmi a dhe skajin tjetër në pikën m.Pika z ndan mesoren në raportin k : kemi

Ky relacion tregon që a ,m ,z ndodhen ne një drejtëz

për mesoren (b ,m1) kemi:

Që të kemi z=z1 duhet dhe mjafton që: ose

m – m1 = Por, m= , m1 =

m – m1= , pra k=2, atëherë

dhe

Meqë ky barazim paraqet z që është simetrike ndaj a, b, c,të tri mesoret e trekëndëshit janë konkurente në pikën z të caktuar në këtë mënyrë,pra ato priten në një pikë pikërisht në pikën z.

x

y

a

b

c

mn

z

m1

Ekuacioni i drejtëzës në koordinata polare: Në drejtëzën d ndodhen vetëm ato pika që plotësojnë vetinë:projeksioni i OM mbi drejtëzën l është i barabartë me p ON =p. (shih figurën )Ku M pikë e d ,dhe (r, Ѳ ) kordinatat polare të saj, OP boshti polar,.p-largësia e drejtëzës nga poli O, ON=p dhe l pingul me d. d

raste të veçanta d II OP atëherë : sepse

d pingul me OP : sepse

1.5 Zbatime të numrit kompleks në trajtën polare

M(r,

N

PO

r

l

p

Shembull 1.5Për katrorin ABCD me brinjë a ,duke marrë kulmin A si pol dhe AB si bosht polar përcaktoni;A)kordinatat polare të kulmeve e të qendrës E.B)Ekuacinet e brinjëve e të diagonaleve.

ZgjidhjeKoordinatat polare të cdo pike janë:A=(r, = (o;o)B=(r, =(a ;o) C=(r, =(a , п/4 )D=(r, =(a; п/2 ) E=(r, = ( a /2; п/4 )

B)Ekuacionet e brinjëve dhe diagonaleve : meqë kemi:AB : =0 ,sepse AB është paralel me boshtin polar, , p=0

AD: , sepse AD është pingul me boshtin polar , p=0.

BC: , sepse p=a dheBC pingul me boshtin polar .

DC: , sepse p=a dhe DC është paralel me boshtin polar.

AC: , sepse p=0 dhe a = 0 DB: ) =

A B

CD

Ea

a

Në qoftë se pikat A B C D janë kulmet e renditura të një katërkëndëshi ciklik atëherë është i vërtetë barazimi:Vërtetim:Nqs numrat kompleks z1,z2 ,z3 ,z4 përfaqsojnë kulmet e renditura A B C D atëherë kemi : ( z1:z2 :z3 :z4 ) = , =r , ku r është një numër real negativ. Ky barazim mund të shkruhet:( )( ) = r ( )( ) ku r<0

*Rrethi i Eulerit Rrethi me qendër mesin e segmentit me skaje prerjen e lartësive të trekëndëshit dhe qendrën e rrethit të jashtëshkruar ,kalon nga 9 pika : meset e brinjëve ,këmbët e lartësive dhe meset e segmenteve me skaje kulmet e trekëndëshit dhe prerjen e lartësive të tij.

1.6 Teorema e Ptolemeut

Marrim ortoqendrën O të trekëndëshit të dhënë si origjinë të planit kompleks.Le të jenë z1 z2 z3 kulmet e trekëndëshit të përfaqsuara nga numrat kompleksë z1, z2 ,z3 .

Kemi: = rDiagonalet e rombit janë pingule me nj- tj:

Rrethi i Eulerit i 9 pikave

P1m

z1

z2z3

Nga përkufizimi i qendrës : G: =

Ortoqendra jepet nga : H :=

OG:OH = 1 : 3 Vija OGH quhet vija e Eulerit. kemi :

P1= ; P2 = ; P3 =

o G NH

P1

P2P3

W3

.

1. Le të jenë dy drejtëza konkurente ox dhe ox1 ;a ,b dy pika në ox dhe a1,b1 dy pika në ox1

.kushti që aa1 dhe bb1 të kenë të njëjtin drejtim është:

Vërtetim:

Supozojmë se:

Kushti i kolinearitetit të dy vektorëve shkruhet:

Teorema e Talesit

x

a

b

O a1 b1 x1

=

Barazimi merr formën: )Nga hipoteza b dhe b1, janë të ndryshme,dhe barazimi I mësipërm mund të shkruhet vetëm kur K =k = k1,

Barazimi përfundimtar:

Ekuacioni i rrethit me qendër zo dhe rreze R jepet me formulën: z=zo +Reit ose - Z - +d2-R2=0

Kur qendra e rrethit është në origjinë ekuacioni i rrethit shkruhet : R2 Fuqia e një pike ndaj një rrethi gjendet duke zëvendësuar në anën e majtë të ekuacionit të

rrethit z-në me a. Shprehja merr formën - z- +d2-R2=0 Shprehja më poshtë quhet fuqi e pikës a ndaj rrethit pra kemi: f(a)= F(a)(o)= d2-R2

Boshti radikal i dy rrathëve(O,R) dhe (O’R') gjendet duke barazuar anët e majta të ekuacioneve të tyre,por dhe formulat e fuqive të tyre .Ky ekuacion përfaqson një drejtëz pingule mbi vijën e qendrave dhe ka formën

KAPITULLI 22.1 Rrethi dhe numrat kompleks

Nga një pikë a e planit të një rrethi O R heqim një sekante arbitrare azz1. Të vërtetohet se az.az1 është kostante e barabartë me d2- R2 , ku d është largësia e pikës a nga qendra o.

Zgjidhje

Nëse marrim për origjinë të imagjinarëve pikën a dhe për bosht real ax drejtëzën az (të orientuar) ekuacioni i rrethit me qendër o do të jetë :

Ekuacioni i drejtëzës az do të jetë :

z=x ;

Pikat e përbashkëta të rrethit e te drejtëzës në fjalë jepen nga ekuacioni: x2-x(zo+zo)+ d2-R2=0

x2-2xxo+ d2-R2=0 Barazimi I fundit paraqet një ekuacion

të fuqisë së dytë me një ndryshore,nga formula e Vietës ne mund të gjejmë që prodhimi i rrënjëve të këtij ekuacioni është:

= d2-R2

Pra az . az1= d2-R2 e cila është një madhesi kostante

SHEMBULLI 2.1

z z1 a

z- +d2-R2=0-

Polarja e një pike ndaj një rrethi

Dy pika P,Q quhen të konjuguara ndaj një rrethi (O,R) në qoftë se rrethi me diametër PQ është pingul me rrethin (O,R).

Përkufizim:Le të marrim për origjinë të numrave kompleksë qendrën O të rrethit ,dhe le të jetë p një pikë e dhënë dhe z një e konjuguar e saj e çfarëdoshme .Quhet polare e pikës p ndaj rrethit (O,R),vendi gjeometrik i pikës z .

Ekuacioni i rrethit ( O,R) është: - = 0 Dhe fuqia e qendrës së rrethit me diametër pz është:

R

Q

P

Nëse marrim polaren e një pike p ndaj rrethit(O,R) ekuacioni i polares shkruhet: (1)

Për një vijë k`që përshkruhet nga p,drejtëza (1) e mbështjell këtë vijë .Duke zbatuar njohuritë për polaren gjendet ekuacioni parametrik i vijës k që është vija reciproke e vijës k`p=p(t) (t parametër real) dhe jepet me ekuacionin (2) ,ku p`=dp\dt.

(2)

2.3 Polarja reciproke

2.4

TUFË

RRATHËSH

Nëse marrim parasysh një reper ortonormal xoy dhe bashkësinë e rrathëve që jepet nga formula (1):

Ku p = kostante ,reale .Qendra reale e rrathëve është x dhe rrezja R.Kemi që:

Bashkësia (1) e varur nga një parametër quhet një tufë rrathësh me bazë ox dhe bosht oy.Të gjithë këta rrathë të marrë dy nga dy kanë për bosht radikal oy , mbasi o,ndaj secilit rreth ka të njejtën fuqi,që është kostantja p.

DiskutimShohim një rast të tillë.1. Kur p<0 .Fuqia e pikës o ndaj rrethit (1) duke qënë më e vogël se se 0 ,pika o i përket

(1), pra ky rreth pret oy në dy pika A ,A` të barabarta me rrënjët e ekuacionit: p=0 Pikat A, A`quhen pika kryesore të tufës dhe i kanë kordinatat A(0; dhe A`(0; - Të gjithë rrathët e tufës kalojnë nga pikat A, A`;themi që tufa formohet prej rrathësh

sekantë ose prerës.2. Kur p=0 rrathët e tufës janë tangentë 3. Kur p>0 ata nuk janë sekantë

x

yA

A`xo

*Teoremë :2.1 (për tufat e rrathëve)Nga çdo pikë e planit kalon përgjithësisht një rreth i tufës dhe vetëm një . Vërtetim:Le të marrim një pike a . Që një rreth i tufës (1) të kalojë tek pika a ,duhet dhe mjafton që :

Duke patur kështu qendrën të rrethit të kërkuar ,rrezja e tij do të përcaktohet nga lidhja:

* Teoremë 2.2 Një pikë limite ka të njëjtën polare ndaj çdo rrethi të tufës Vërtetim Nisemi nga ekuacioni i polares së një pike p ndaj një rrethi (zo,R)

Polarja e një pike limite b= ndaj një rrethi arbitrar të tufës F:

Ky ekuacion nuk varet nga rrethi (2) dhe vëmë re se kjo polare është pingulja e hequr nga pika tjetër limite b`= mbi bazën ox.

3.1Formulat e transformimeve pikësore

1.Translacioni paraqitet me barazimin : Z`=Z + V,ku v është afiksi i një vektori të dhënë dhe shënohet me simbolin ose v. 2. Rrotullimi me qendër zo dhe kënd jepet nga barazimi; z`=z +p; p zo( 1- ) ose z`=z + zo( 1- )3.Homotetiame qendër z0 dhe me raport k ,real jepet nga barazimi: z`=k z + p, p s(1-k) 4. Inversioni me qendër zo dhe me fuqi k,reale paraqitet me relacionin:,5.Formula e ndërrimit të rreperit ortonormal:

3.TRANSFORMIMET PIKËSORE MENR KOMPLEKSË

•Përkufizim .3 .5Çdo zhendosje kalon pikën në pikë ,drejtëzën në drejtëz dhe ruan incidencën e pikës me drejtëzën ,domethënë një pikë e një drejtëze transformohet në një pikë të drejtëzës së transformuar.

*Zbatim 3.1Të gjendet natyra e prodhimit të tri transformineve që vijojnë edhe elementët karakteristike të tij. 1)translacion v : 2)rrotullim (zo, )

3)një translacion –v. Zgjidhje

Marrim si origjinë të numrave kompleksë qendrën zo ,dhe le të marrim z një pikë arbitrare të planit .Shënojmë me: z` pikën shëmbëllim në transformimin 1)z``shëmbëllimin e z` në transformimin 2)z```shëmbëllimin e z`` në transformimin 3) ,kështu kemi që : z`= z +v (1) ; z``= z` (z0, ) (2); z```= z``- v = z +v( - 1) (3)Relacioni (3) tregon formulën e transformimit përfundimtar .Ky relacion tregon një rrotullim me kënd dhe qendër të tillë që : ) = V( - 1 ) ose = -V.Pra , prodhimi i të tri transformimeve të dhëna është një rrotullim me kënd dhe qendër –v.

3.2 Zbatime të transformimeve pikësore

Xox

z`

z

z ``

z```

FUND!!!Ju Faleminderit!!!