Ângulos

Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf

Sumário Página

O ângulo e seus elementos.............................................................................................. 1

Medida de um ângulo...................................................................................................... 3

Ângulos congruentes ................................................................................................ 6

Ângulo raso e ângulo nulo........................................................................................ 7

Operações com medidas de ângulos ............................................................................. 13

Transformação de unidades.................................................................................... 14

Simplificando os resultados ................................................................................... 15

Adição .................................................................................................................... 16

Subtração ................................................................................................................ 16

Multiplicação por um número natural .................................................................... 18

Divisão por um número natural.............................................................................. 19

Ângulos consecutivos e ângulos adjacentes ................................................................. 21

Bissetriz de um ângulo.................................................................................................. 24

Construção da bissetriz........................................................................................... 25

Ângulo reto, ângulo agudo e ângulo obtuso ................................................................. 28

Retas perpendiculares............................................................................................. 29

Ângulos complementares e ângulos suplementares...................................................... 30

Ângulos opostos pelo vértice........................................................................................ 34

Uma propriedade importante dos ângulos o.p.v.......................................................................35

Referências bibliográficas............................................................................................. 38

1

Ângulos

O ângulo e seus elementos

Veremos como representar matematicamente um ângulo e destacar suas partes principais, utilizando os modelos abaixo:

Nos modelos matemáticos de figuras que surgem a idéia de ângulo, podemos destacar duas semi-retas de mesma origem e não-opostas, que dividem o plano em duas regiões: uma convexa e outra não-convexa.

Denominamos ângulo a região formada por duas semi-retas não-opostas que têm a mesma origem.

2

No ângulo da figura abaixo, podemos destacar os seguintes elementos:

� O é o vértice do ângulo

� As semi-retas OA e OB são denominadas lados do ângulo

Para identificar esse ângulo utilizamos a notaçãoAÔB ou BÔA :

(Lê-se “ângulo AOB”) A letra que corresponde ao vértice deve ficar no meio

OBS.: Quando não houver dúvidas quanto ao ângulo a que nos referimos, podemos utilizar uma notação que indica apenas o seu vértice.

Ângulo Ô ou AÔB Ângulo P ou NPM Neste caso, há três ângulos com vértices em O: AÔB, BÔC e AÔC

3

Medida de um ângulo

A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura, e a unidade padrão utilizada é o grau, que se representa pelo símbolo º após o número.

Vamos ver o que representa o grau.

As primeiras noções de ângulo foram desenvolvidas na Grécia antiga. Deve-se a Hiparco de Nicéia (século II a.C.), considerado pelos gregos como o pai da Astronomia, a primeira divisão do círculo em 360 partes iguais, com o objetivo de medir ângulos.

A cada um desses 360 arcos em que a circunferência foi dividida associamos um ângulo cuja medida chamaremos de 1 grau.

O grau é uma unidade de medida de ângulo; 1 grau corresponde à medida do

ângulo (com vértice no centro da circunferência) associado a um arco de 3601

da

circunferência.

4

Exemplos:

Assim, para medir um ângulo, comparamos sua medida à medida de um ângulo de 1º. Ná prática, utilizamos um instrumento de medida chamado transferidor. O transferidor já vem graduado com divisões de 1º em 1º.

Para medir um ângulo:

• coloque o transferidor sobre o ângulo, fazendo com que seu centro coincida com o vértice do ângulo

• coloque a escala correspondente ao zero no transferidor sobre um dos lados do ângulo

• identifique na escala do transferidor o número interceptado pelo outro lado do ângulo

5

Exemplos:

a) A medida do ângulo AÔB é 45º, e indicamos med (AÔB) = 45º.

b) A medida do ângulo AÔC é 160º, e indicamos med (AÔC) = 160º.

6

Ângulos congruentes

Consideremos os ângulos AÔB e QPM abaixo:

Se transportarmos um ângulo sobre o outro, podemos notar que os vértices e os lados dos dois ângulos coincidem:

Assim, AÔB e QPM possuem a mesma abertura e, portanto, a mesma medida.

Dois ângulos que têm a mesma medida são chamados ângulos congruentes, e utilizamos o símbolo ≅ para relacioná-los.

Q)P(Mmed(AÔB)med =

usamos o símbolo = quando comparamos

medidas

QPMAÔB ≅

congruente

usamos o símbolo ≅ quando comparamos

ângulos

7

Na prática, utilizamos o transferidor para determinar se dois ângulos são ou não congruentes.

med C)B(A = 56º med (DÊF)= 56º

DÊFAÔB ≅

Ângulo raso e ângulo nulo

• Quando duas semi-retas são opostas, dizemos que formam um ângulo raso ou de meia-volta.

BÂC é um ângulo raso ou de meia-volta

8

• Quando duas semi-retas coincidem, obtemos dois ângulos: o ângulo nulo e o ângulo de uma volta.

ângulo nulo ângulo de uma volta

Usando um transferidor, podemos determinar as medidas, em graus, dos ângulos abaixo:

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EXERCÍCIOS A

(1) Considere o ângulo da figura abaixo e responda:

a) Qual é o vértice desse ângulo?

b) Quais são os lados desse ângulo?

c) Qual é o nome desse ângulo?

(2) Na figura abaixo, identifique todos os ângulos e nomei os mesmos.

10

(3) Na figura seguinte, dê as medidas dos ângulos indicados:

(4) Usando um transferidor, dê a medida de cada ângulo:

a)

b)

11

c)

d)

e)

f)

(5) No exercício anterior, identifique os pares de ângulos congruêntes.

12

(6) Construa, com a ajuda do transferidor, um ângulo de:

a) 42º

b) 90º

c) 125º

d) 180º

13

Operações com medidas de ângulos

Como vimos, o transferidor mede ângulos com intervalos de 1 em 1 grau. Mas há ângulos que não possuem como medida um número inteiro de graus. Como não é costume utilizar decimais em medidas de ângulos, utilizamos os submúltiplos do grau.

O grau tem dois submúltiplos: o minuto e o segundo. Para escrever a medida de um ângulo utilizando o minuto e o segundo, utilizamos a base 60 de numeração.

• minuto →→→→ :símbolo ′

• segundo →→→→ :símbolo ′′

Portanto:

Por exemplo, o ângulo de medida 18,5º pode ser escrito assim:

0318º0318ºº50º18º518 ′=′+=+= ,,

14

Transformação de unidades

Vejamos como fazer transformações de unidades de ângulos observando os exemplos:

1) Quantos minutos tem 32º?

Resposta: 32º tem 0192 ′ .

2) Expresse 037º2 ′′′ em segundos.

Resposta: 037º2 ′′′ tem 0765 ′′ .

3) Escreva 0568 ′′ em graus, minutos e segundos.

Resposta: 0568 ′′ tem 0443º1 ′′′ .

15

Simplificando os resultados

Em algumas situações, principalmente nas operações com medidas de ângulos, precisamos simplificar os resultados obtidos. Vejamos como fazer isso, observando os exemplos.

1) Simplificar 06º54 ′ .

º55º1º5406º54 =+=′

Resposta: 06º54 ′ escrito na forma simplificada é 55º.

2) Simplificar 612º18 ′ .

6º206º206º2º186012º18612º18 ′=′+=′++=′+′+=′

Resposta: 612º18 ′ escrito na forma simplificada é 6º20 ′ .

3) Simplificar 0857º27 ′′′ .

0261º280857º27

0261º1º270857º27

026106º270857º27

0267º270857º27

02157º270857º27

020657º270857º27

0857º270857º27

′′+′+=′′′′′+′++=′′′

′′+′+′+=′′′′′+′+=′′′

′′+′+′+=′′′′′+′′+′+=′′′

′′+′+=′′′

Resposta: 0857º27 ′′′ escrito na forma simplificada é 0261º28 ′′+′+ .

16

Adição

1) Quanto é a soma de 3553º76 ′′′ com 8345º47 ′′′ ?

Expressamos o resultado sempre na forma simplificada. Então:

Resposta: A soma é 1303º124 ′′′ .

Subtração

1) Calcule a diferença 9261º387345º68 ′′′−′′′ .

Resposta: A diferença é 883º30 ′′′ .

17

2) Qual é o valor de 0384º67623º105 ′′′−′′′ ?

Agora calculamos a diferença:

Resposta: O valor de 0384º67623º105 ′′′−′′′ é 6331º37 ′′′ .

18

Multiplicação por um número natural

1) Qual é o produto de 0381º17 ′′′ por 6?

Expressamos o resultado sempre na forma simplificada. Então:

Resposta: O produto de 0381º17 ′′′ por 6 é 15º103 ′ .

19

Divisão por um número natural

1) Calcule o quociente ( 0413º82 ′′′ ) : 4.

Resposta: O quociente é 5573º20 ′′′ .

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EXERCÍCIOS B

(1) Efetue as operações indicadas:

a) 0201º4121º13 ′′′+′

c) 3:)3363º27( ′′′

b) 0351º1002º35 ′′′−′

d) )5442º10(4 ′′′⋅

(2) Determine, na forma mais simplificada possível, o valor das expressões:

a) 0315º1381º275321º15 ′′′+′+′′′

b) 5:)02º15º50( ′−

21

(3) Na figura abaixo, AÔC é um ângulo de meia-volta. Qual o valor de x?

Ângulos consecutivos e ângulos adjacentes

Observe a figura:

Nela identificamos os ângulos AÔC, CÔB e AÔB.

Verifique em cada uma das figuras seguintes que:

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Os ângulos AÔC e CÔB possuem:

Vértice comum: O

Lado comum: OC

Os ângulos AÔC e AÔB possuem:

Vértice comum: O

Lado comum: OA

Os ângulos CÔB e AÔB possuem:

Vértice comum: O

Lado comum: OB

Os pares de ângulos AÔC e CÔB, AÔC e AÔB, CÔB e AÔB são denominados ângulos consecutivos.

Assim:

Dois ângulos que possuem o mesmo o mesmo vértice têm um lado comum são denominados ângulos consecutivos.

23

Observe os exemplos de ângulos consecutivos vistos anteriormente e verifique que:

Os ângulos AÔC e CÔB não possuem pontos internos comuns

Os ângulos AÔC e AÔB possuem pontos internos comuns.

Os ângulos CÔB e AÔB possuem pontos internos comuns.

Verifique que os ângulos AÔC e CÔB são consecutivos e não possuem pontos internos comuns. Por isso eles são denominados ângulos adjacentes.

Assim:

Dois ângulos consecutivos que não possuem ponto interno comum são denominados ângulos adjacentes.

24

Bissetriz de um ângulo

Observe a figura abaixo:

med (AÔP) = med (PÔB) = 25º

Verifique que a semi-reta OP divide o ângulo AÔB em dois ângulos (AÔP e PÔB) congruentes.

Nesse caso, a semi-reta OP é denominada bissetriz do ângulo AÔB.

Assim:

Bissetriz de um ângulo é a semi-reta de origem no vértice desse ângulo que determina, com seus lados, dois ângulos adjacentes congruentes.

25

Construção da bissetriz

Com o compasso e a régua, podemos facilmente traçar a bissetriz de um ângulo dado, como veremos a seguir.

Traçar a bissetriz de um ângulo AÔB

Com o centro no vértice O, traçamos um arco com abertura qualquer e determinamos os pontos C e B.

Com centro nos pontos C e D traçamos dois arcos de mesma abertura, que se encontram no ponto E.

A semi-reta é a bissetriz do ângulo AÔB.

26

EXERCÍCIOS C

(1) Em cada figura, escreva os pares de ângulos adjacentes:

a)

b)

c)

(2) Com o transferidor, desenhe os ângulos abaixo, traçando em seguida a bissetriz de cada um utilizando o compasso.

a) 60º

27

b) 110º

c) 90º

d) 77º

28

Ângulo reto, ângulo agudo e ângulo obtuso

Podemos classificar um ângulo em agudo, obtuso ou reto.

Ângulo reto é o ângulo cuja medida é 90º.

Ângulo agudo é o ângulo cuja medida é menor que 90º.

Ângulo obtuso é o ângulo cuja medida é maior que 90º.

29

Retas perpendiculares

Se traçarmos duas retas num plano, tais que sejam concorrentes (possuam um ponto em comum), é possível obter 4 ângulos congruentes, ou seja, de mesma medida.

É fácil verificar que cada um desses ângulos mede 90º.

a = b = c = d

Quando duas retas concorrentes formam entre si quatro ângulos retos, dizemos que as retas são perpendiculares e utilizamos o símbolo ⊥ para representar esse

perpendicularismo.

Na figura ao lado, r e s formam entre si quatro ângulos retos; então sr ⊥ .

Símbolo: ⊥ (perpendicular a)

30

Ângulos complementares e ângulos suplementares

Observe os ângulos BOA e COB na figura abaixo:

Verifique que:

med ( BOA ) + med ( COB ) = 90º

Nesse caso, dizemos que os ângulos BOA e COB são complementares.

Assim:

Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º.

Para calcular a medida do complemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 90º e a medida do ângulo agudo dado.

Medida do ângulo Complemento

x 90º − x

31

Observe os ângulos BOA e COB na figura abaixo:

Verifique que:

med ( BOA ) + med ( COB ) = 180º

Nesse caso, dizemos que os ângulos BOA e COB são suplementares.

Assim:

Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º.

Para calcular a medida do suplemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 180º e a medida do ângulo agudo dado.

Medida do ângulo Suplemento

x 180º − x

32

Exemplos:

a) Determinar a medida do complemento e do suplemento do ângulo de 46º.

Complemento: º44º46º90 =−

Suplemento: º134º46º180 =−

Resposta: O complemento do ângulo de 46º mede 44º e o suplemento 134º.

b) Na figura abaixo, determinar o valor de x.

Como os ângulos são adjacentes complementares:

º35x2

70ºx

70º2x

º2090ºx2

º90º202x

º90º10xº30x

=

=

=−==+

=−++

Resposta: O valor de x é 35º.

c) Na figura abaixo, determinar as medidas CBA e DBC .

Como os ângulos são adjacentes suplementares:

º42x4

168ºx

º6814x

º120º81x4

º180º124x

º180º12x3x

=

=

=−=

=+=++

Resposta: CBA mede 126º e DBC mede 54º.

33

EXERCÍCIOS D

(1) Nas figuras abaixo, determine x:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

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Ângulos opostos pelo vértice

Observe os ângulos AÔB e CÔD na figura abaixo:

Verifique que:

OA e OC são semi-retas opostas

OB e OD são semi-retas opostas

Portanto, as semi-retas OA e OB que formam os lados do ângulo AÔB são opostas, respectivamente, às semi-retas OC e OD que formam os lados do ângulo CÔD.

Neste caso, podemos também afirmar que os lados do ângulo AÔB são formados pelos prolongamentos dos lados do ângulo CÔD, e vice-versa.

A esses dois ângulos damos o nome de ângulos opostos pelo vértice.

Dois ângulos são chamados opostos pelo vértice (abreviamos o.p.v.) quando os lados de um forem prolongamentos dos lados do outro e vice-versa.

35

Uma propriedade importante dos ângulos o.p.v.

Na figura ao lado, os ângulos AÔD e BÔC são opostos pelo vértice. Indicamos por:

x = med ( COB )

y = med ( DOA )

m = med ( BOA )

Como BOA e DOA são adjacentes suplementares:

º180ym =+ (I)

Como BOA e COB são adjacentes suplementares:

º180xm =+ (II) Comparando (I) e (II) , temos:

º180xm

º180ym

=+=+

⇒ xy

xmym

=+=+

Podemos enunciar a seguinte propriedade:

Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, têm a mesma medida.

36

Exemplo:

► Determinar os valores de x e y na figura abaixo.

o.p.v. ângulos 30ºx →=

ressuplementa adjacetes ângulos 180º30ºy →=+

150ºy

30º180ºy

=−=

Resposta: O valor de x é 30º e de y é 150º.

EXERCÍCIOS E

(1) Nas figuras seguintes, calcule as medidas de x, y, a e b:

a)

37

b)

c)

d)

38

Referências bibliográficas

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39

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