MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME. 4 ESOUn móvil se desplaza con MCU cuando su trayectoria es un círculo y su velocidad (en módulo) es constante. En el movimiento circular la dirección del vector velocidad cambia constantemente (ver figura).

Dado que la posición en un MCU se repite periódicamente, es posible estudia dicho movimiento en función de magnitudes periódicas.

Período (T)El período (T) es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa. Se mide en segundos en el S.I.

La frecuencia (f)La frecuencia (f) es el número de vueltas por unidad de tiempo. Su unidad en el S.I. será 1/s y se denomina herzio (Hz). El período es la inversa de la frecuencia: T = 1/fPor ejemplo, si el periodo vale 0,5 s, la frecuencia vale 1/0,5 = 2 Hz. Esto quiere decir que el móvil tarda medio segundo en dar una vuelta completa (T = 0,5 s) y que, por tanto, da dos vueltas completas cada segundo (f = 2 Hz)

Velocidad angular ()Llamamos velocidad angular () al ángulo girado () por el radio en que se sitúa el móvil en un intervalo de tiempo:

Podemos decir que un MCU es aquel cuya trayectoria es una circunferencia y que transcurre con velocidad angular constante. La unidad de la velocidad angular es radianes por segundo (rad/s). La relación entre grados y radianes es: 360º= 2 radianes.Por ejemplo, un objeto que describe un MCU con una velocidad angular de rad/s da media vuelta cada segundo ( rad = 180º, media vuelta)Si consideramos que el ángulo descrito en una vuelta completa es 2 y que el tiempo que tarda en describirla es el período T, obtenemos la siguiente relación:

Otra unidad muy utilizada para la frecuencia es la revolución por minuto (rpm) Una revolución por minuto es una vuelta completa, 2, en un minuto.

La frecuencia en Hz es el número de vueltas por segundo, es decir, el número de revoluciones por segundo (rps)

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Una partícula se desplaza de A a B, recorriendo una distancia ∆S en un tiempo ∆t y siendo ∆ la variación del ángulo descrito por el radio en que se sitúa el móvil.

Si el ángulo se mide en radianes, el espacio recorrido se calcula con la expresión: ∆S = ∆ · R .Dividiendo por el tiempo ∆t:

Esta expresión relaciona la velocidad lineal del móvil (v) con la velocidad angular () del radio en que se sitúa el móvil.

La ecuación del MCU se deduce de la definición de velocidad angular:

Obsérvese la analogía entre esta ecuación y al del MRU: s = s0 ± v.(t - t0)

Aceleración normal o centrípeta:

Un cuerpo sólo puede moverse siguiendo una trayectoria circular si hay una aceleración que le obliga cambiar constantemente la dirección del vector velocidad. Este cambio de la dirección de la velocidad se mide mediante la aceleración centrípeta o aceleración normal, Ac= an, cuyo valor se puede calcular con la expresión:

an= v2/R

Siendo v el módulo del vector velocidad y R el radio de la trayectoria circular.El vector aceleración centrípeta es perpendicular al vector velocidad en cada punto y apunta al centro de la trayectoria circular.

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EJERCICIOS

1.Completa la siguiente tabla

2.Una piedra atada al extremo de una cuerda de 80 cm describe un MCU y da 2 vueltas por segundo. Calcula: a) periodo y frecuencia, b) velocidad angular y c) velocidad. a) 0,5 s; 2 Hz; b) 4 rad/s o 12,56 rad/s; c) 3,2 m/s o 10 m/s.

3.Un móvil que describe un MCU de 4 metros de radio da 4 vueltas por segundo. Calcula: a) El periodo y la frecuencia; b) La velocidad angular en rad/s; c) La velocidad en m/s. a) 0,25 s, 4 Hz. b) 8 rad/s. c) 32 m/s.

4.Un móvil que describe un MCU de 2,5 metros de radio da 45 vueltas por minuto. Calcula: a) El periodo y la frecuencia; b) La velocidad angular en rad/s; b) La velocidad en m/s. a) 1,3 s, 0,75 Hz. b) 1,5 rad/s; 3,75 m/s.

5.Una rueda de 0,4 m de radio describe una vuelta completa en 0,2 segundos. Calcula: a) la distancia recorrida por un punto de la periferia en este tiempo; b) velocidad y aceleración de dicho punto. a) 0,8 m; b) 0,4 m/s; c) 0,4 2 m/s2.

6.Un objeto tiene un movimiento circular uniforme de 2 metros de radio y una frecuencia de 0,5 Hz. a) Calcula la aceleración del objeto; b) Calcula el espacio recorrido en 20 s. a) 2 2 m/s2; b) 40 m.

7.Un ciclista da vueltas en un velódromo circular de 55 m de radio con una velocidad constante de 22 km /h. Calcula: a) La velocidad angular en rad/s; b) La aceleración centrípeta que actúa sobre la bicicleta; c) El tiempo que tarda en dar 4 vueltas. a) 0,11 rad/s; b) 0,68 m/s2. c) 226,2 s.

8.La ecuación de un movimiento circular de 2 metros de radio es: ·= + t/2 Calcula: a) El ángulo a los 6 segundos; b) La velocidad del móvil; c) La aceleración. a) 4 rad; b) rad/s, 2 m/s. c) 2 2 m/s2

9.Razona la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) En un movimiento circular uniforme la aceleración es cero, b) En un movimiento circular uniforme se recorren espacios iguales en tiempos iguales y c) el ángulo girado es proporcional a la velocidad angular. a) F; b) V; c) V

10. Un objeto tiene un movimiento circular uniforme de 4 metros de radio y una frecuencia de 0,25 Hz. Suponiendo que en el instante inicial el ángulo vale 3. a) Escribe la ecuación del movimiento; b) Expresa la velocidad angular en rps y rpm; b) Calcula la velocidad y la aceleración del objeto; c) Calcula el espacio recorrido en 4 segundos. a) ·=3+/2t; b) 0,25 rps y 15 rpm; c) v= 2 m/s y a=2 m/s2; d) e= 8 m

11. Un objeto tiene un movimiento circular uniforme de 0,5 metros de radio y una frecuencia de 0,5 Hz. Suponiendo que en el instante inicial el ángulo vale π/4. a) Escribe la ecuación del movimiento; b) Expresa la velocidad angular en rps y rpm; b) Calcula la velocidad y la aceleración del objeto; c) Calcula el espacio recorrido en 20 segundos. a) ·=π/4+t; b) 0,5rps y 30rpm; c) v=/2 m/s y a= 2/2 m/s2 ; d) e = 10 m;

12. Un ciclista da vueltas en un velódromo circular de 80 m de radio con una velocidad constante de 30 km /h. Calcula: a) La velocidad angular en rad/s, rps y rpm; b) La aceleración centrípeta que actúa sobre la bicicleta; c) El espacio recorrido en 20 minutos. a) 0,104 rad/s, 0,016 rps y 1 rpm; b) 0,87 m/s2; c) 9996 m;

13. Dos niños están montados en un tiovivo a 3 y 4 metros de distancia del centro. El tiovivo va dando vueltas a 12 rpm. a) ¿Qué velocidad angular lleva cada uno

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de los niños?; b) ¿Qué velocidad lineal lleva cada unos de los niños?; c) ¿Qué aceleración lleva cada uno de los niños? a) = 1,25rad/s; b) v=3,75 m/s y v= 5 m/s; c) a=4,69 m/s2 y a =6,25 m/s2

14. La Luna se mueve a 384000 Km de la Tierra y tarda 27,32 días en dar una vuelta completa. a) La frecuencia de la Luna; b) La velocidad lineal de la Luna; c) El espacio recorrido en una hora. a) f=4,24.10-7 Hz; b) v = 1022,15 m/s; c) e = 3680 km;

15. La Tierra se mueve a 149 millones de Km del Sol a) El período de la Tierra; b) La velocidad lineal en Km/h; c) El espacio recorrido en un minuto. a) Un año; b) v =106871,5 km/h; c) 1781,2 Km;

16. La ecuación de un movimiento circular de 8 metros de radio es: · = + t/4 a) Calcula el ángulo a los 2 segundos; b) Calcula la velocidad lineal; c) Calcula la aceleración. a) =3/2 rad; b) v=6,28 m/s; c) a=4,9m/s2;

17. La ecuación de un movimiento circular de 6 metros de radio es: · = 3 + t/2 a) Calcula el ángulo a los 2 segundos; b) Calcula la velocidad lineal; c) Calcula la aceleración. a) ·=4 ; b) v=9,42 m/s; c) a= 14,8 m/s2

18. La ecuación de un movimiento circular de 25 cm de radio es: · = /3 + 2t a) Calcula la frecuencia del movimiento; b) Calcula la velocidad lineal; c) Calcula la aceleración. a) f = 1 Hz; b) v = 1,57 m/s; c) a = 9,87 m/s2

EJERCICIOS MOVIMIENTO CIRCULAR BACHILLERATO

1.Una piedra atada al extremo de una cuerda gira uniformemente 3 vueltas por segundo con un radio de 1m. Calcula:

a) La velocidad angular de la piedra en rpm y en rad /s. b) El ángulo girado en una décima de segundo. c) La velocidad lineal de la piedra. d) El arco que recorre cada décima de segundo.SOL: a) ω = 180 rpm = 18,8 rad/s; b) 1,88 rad; c) 18,8 m/s; d) 1,88 m

2.Un automóvil recorre una pista circular de 100 m de diámetro con una velocidad constante de 36 km /h. Calcula:

a) La frecuencia del movimiento.b) El período. c) El ángulo subtendido cada segundo.d) El tiempo necesario para recorrer un arco de 200 m.SOL: a) 0,032 HZ; b) T = 31,2 s; c) 0,2 rad; d) 20 s

3.Un automóvil recorre una pista circular de 200 m de diámetro con una velocidad constante de 54 km/h. Calcula:

a) La velocidad angular del automóvil en rpm y en rad /s. b) El ángulo girado en un minuto.c) La distancia que recorre cada minuto.SOL: a) ω = 0,15 rad/s = 1 ,43 rpm; b) 9 rad; c) 900 m

4.Un motorista alcanza la velocidad de 60 km/h en 20s, acelerando uniformemente desde el reposo en una pista circular de 80 m de diámetro. Calcula:

a) La aceleración tangencial. b) El espacio recorrido en los primeros 20 s. c) La aceleración normal en el instante t = 20 s.SOL: a)0,83m/s2 ; b)166m; c)7m/s2

5.Un ciclista da vueltas en un velódromo circular de 100 m de diámetro con una velocidad constante de 36 km /h. Calcula la aceleración centrípeta que actúa

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sobre la bicicleta. SOL: 2 m/s2

6.Una rueda de 20 centímetros de radio, inicialmente en reposo, gira con movimiento uniformemente acelerado y alcanza una velocidad de 120 rpm al cabo de 30 s. Calcula:

a) La velocidad lineal de un punto de la periferia de la rueda en el instante t = 30 s. b) El módulo de la aceleración normal en ese momento. SOL: a) 2,52 m/s ; b) 31,8 m/s2

7.Dos personas se encuentran sobre una plataforma circular horizontal que gira sobre su eje con una velocidad angular constante de 20 rpm La primera se encuentra situada a 1 m del eje de giro y la segunda, a 3 m. Calcula:

a) La velocidad lineal de cada persona.b) La aceleración a la que está sometida cada una.SOL: a)v1 =2,1 m/s y v2 =6,3 m/s; b) a1 =4,41m/s2 y a2 =13,2m/s2

8.La distancia entre la Tierra y la Luna s 385000 Km. La Luna tarda 28 días en dar la vuelta a la Tierra. Con estos datos, calcula:

a) La velocidad angular de la Luna.b) Su velocidad lineal.c) Su aceleración. d) Su período y su frecuencia.SOL: a) 2,6·10-6 rad/s; b) 1001 m/s; c) 0,0026 m/s2; d) T = 2419200 s y f = 4,1·10-7 Hz

DINAMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR. 4 ESO

Un cuerpo solo puede moverse siguiendo una trayectoria circular si hay una fuerza que le obligue a cambiar constantemente la dirección del vector velocidad. Esta fuerza que le obliga a girar recibe el nombre de fuerza centrípeta.La fuerza centrípeta es la fuerza responsable de que un cuerpo se mueva siguiendo una trayectoria circular. Se representa mediante un vector perpendicular al vector velocidad, dirigido hacia el centro de la trayectoria circular.El valor de la fuerza centrípeta se deduce de la segunda ley de Newton y de la expresión de la aceleración centrípeta (ac = v2/R):

Fc = m.v2/R

1. Un cuerpo de 250 gramos gira en un plano horizontal a la velocidad constante de 4 m/s. Si el radio de giro mide 80 cm, calcula: a) periodo, b) aceleración centrípeta y c) fuerza centrípeta. a) 1,25 s; b) 20m/s2; c) 5N.

2. Un cuerpo de 700 gramos gira en un plano horizontal con un radio de 90 cm. El cuerpo da 45 vueltas por minuto. Calcular: a) velocidad y b) fuerza centrípeta. a) 4,24 m/s; b) 14 N

3. Un objeto de 5 Kg tiene un movimiento circular uniforme de 9 metros de radio y da 40 vuelta cada 10 minutos. Calcula el espacio recorrido en 2 horas y la fuerza centrípeta. 27,1 Km; 789, 57 N.

4. Un coche pesa en conjunto 2300 Kg. ¿Qué fuerza centrípeta actúa sobre el coche al describir un circuito circular de 110 metros de radio a 45 Km/h?. 3267 N.

5. Un autobús que circula a una velocidad de 50 km/h toma una curva de 45 metros

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de radio. Un niño de 45 kg viaja apoyado en una de las ventanas del autobús. Calcula: a) la aceleración del niño, b) la fuerza que el autobús ejerce sobre el niño. a) 4,3 m/s2; b) 192,9 N

6. Se coloca una piedra de 300 gramos en una honda de 55 cm y se le hace girar con una velocidad de 5 m/s. Calcula: a) aceleración, b) fuerza centrípeta, c) periodo y frecuencia. a) 45,4 m/s2; b) 13,6 N; c) 0,7 s; 1,4 Hz.

7. Un objeto de 4 Kg tiene un movimiento circular uniforme de 2 metros de radio y una frecuencia de 0,5 Hz. a) Calcula la velocidad y la aceleración del objeto; b) Calcula la fuerza centrípeta. a) V = 6,28 m/s; a = 19,74 m/s2; b) F = 78,96 N

8. Un objeto de 50 Kg tiene un movimiento circular uniforme de 12 metros de radio y da una vuelta cada 10 minutos. a) Calcula el espacio recorrido en 1 hora; b) Calcula la fuerza centrípeta. a) e = 452,4 m; b) F = 0,066 N;

9. Un coche y su conductor pesan en conjunto 650 Kg. a) ¿Qué fuerza centrípeta actúa sobre el coche al describir un circuito circular de 180 metros de radio a 60 Km/h?; b) ¿Cuántas vuelta da la circuito en una hora?; c) ¿Cuáles son su período y su frecuencia? a) 1003,1 N; b) 53,05; c) f = 0,015 Hz; T = 67,86 s.

10. Un objeto de 4 Kg tiene un movimiento circular uniforme de 2 metros de radio y una frecuencia de 0,5 Hz. a) Calcula la velocidad y la aceleración del objeto. b) Calcula la fuerza centrípeta a) V=6,28m/s; a=19,74 m/s2; b) F=78,96N

11. Un objeto de 50 Kg tiene un movimiento circular uniforme de 12 metros de radio y da una vuelta cada 10 minutos. a) Calcula el espacio recorrido en 1 hora b) Calcula la fuerza centrípeta a) e = 452,4 m; b) F = 0,066 N

12. Un coche y su conductor pesan en conjunto 650 Kg. a) ¿Qué fuerza centrípeta actúa sobre el coche al describir un circuito circular de 180 metros de radio a 60 Km/h? b) ¿Cuántas vuelta da la circuito en una hora? c) ¿Cuáles son su período y su frecuencia?a) 1003,1 N; b) 53,05; c) f = 0,015 Hz; T = 67,86 s

El peso de los cuerposEs un hecho experimental conocido que los cuerpos caen atraídos por la Tierra. Llamamos peso, P, a la fuerza atractiva ejercida por la Tierra sobre cualquier cuerpo por el hecho de tener masa. Su valor se puede calcular con la fórmula: P = m.g, siendo “m” la masa del cuerpo y “g” la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra (9,8 m/s2)Como puede verse por la formula, el peso de un cuerpo es directamente proporcional a su masa. Por eso, los cuerpos que tienen más masa también pesan más, es decir, son atraídos por la Tierra con mayor fuerza.

13. Una maceta de 4,5 kg cae desde una altura de 22 metros. Calcula: a) el peso de la maceta, b) la velocidad cuando llega al suelo. a) 44,1 N; b) 20,7 m/s.

14. En la superficie de la Luna la gravedad vale, aproximadamente, 2 m/s2. ¿Qué pesa un astronauta de 72 kg en la superficie de la Luna? Compara el resultado con su peso en la superficie de la Tierra. 144 N en la luna; 705,6 N en la Tierra. Casi 5 veces mayor en la Tierra con respecto a la Luna

15. Calcula la gravedad en la superficie de Marte sabiendo que una persona que

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pesa 803,6 N en la superficie de la Tierra pesaría 33 N en la superficie de Marte. 0,4 m/s2.

DINAMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR BACHILLERATO

16. Un vehículo de 900 kg toma una rotonda de 60 m de radio a una velocidad de 35 km/h. Suponiendo que no hay peralte, indicar la fuerza de rozamiento de las ruedas sobre el asfalto para mantener el movimiento circular en la rotonda. ¿Qué coeficiente de rozamiento existe entre ambas superficies?. 1411,35 N; 0,16

17. Una bola de 300 g, sujeta a una cuerda de 1,3 m de longitud, se mueve a una velocidad de 4 m/s sobre un plano horizontal. Suponiendo rozamiento nulo, calcula la aceleración normal y la tensión de la cuerda. an =12,3 m/s2 y T=3,7N

18. Una bola de 0,2 kg, sujeta a una cuerda de 0,6 m de longitud, se mueve a una velocidad de 5 m/s sobre un plano vertical. Suponiendo rozamiento nulo, calcula la aceleración tangencial y la tensión de la cuerda en el punto señalado. at =0 m/s2;T=6,37N

19. Una bola de 4 kg, sujeta a una cuerda de 1,2 m de longitud, se mueve a una velocidad de 1 m/s sobre un plano vertical. Suponiendo rozamiento nulo, calcula la aceleración tangencial y la tensión de la cuerda en el punto señalado. at =9,8m/s2 ;T=3,33N

20. Una bola de 3 kg, sujeta a una cuerda de 1,6 m de longitud, se mueve a una velocidad de 2 m/s sobre un plano vertical. Suponiendo rozamiento nulo, calcula la aceleración tangencial y la tensión de la cuerda en el punto señalado. at =0 m/s2;T=36,9N

21. Un camión de 13 toneladas toma una curva de 200 m de radio a una velocidad de 50 km/h. Suponiendo que no hay peralte, indicar la fuerza de rozamiento de las ruedas sobre el asfalto para mantener el movimiento circular.¿Qué valor tendrá la aceleración normal? 12538,58 N ; 0,96 m/s2

22. Calcula el peso de un objeto de masa 85 Kg situado en la atmósfera terrestre a una altura igual a 20000 m sobre la superficie terrestre. ¿Cuánto vale la aceleración de la gravedad a esa altura? Datos: G = 6,67.10-11 N.m2/Kg2; MT = 6.1024 Kg; RT = 6370 Km. g=9,7 m/s2 y P=828N

23. Calcula con qué aceleración caería un cuerpo situado a una altura sobre la superficie terrestre igual a 1700 Km. Datos: G = 6,67.10-11 N.m2/Kg2; MT = 6.1024 Kg; RT = 6370 Km. 6,1 m/s2

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