NLU/RG , pt. 7

Константин Соколов

Mathlingvo, СПбГУ, i-Free

http://nlu-rg.ru

Санкт-Петербург, 2013

План

• Плунгян, модальность и эвиденциальность• Крипке, реляционная семантика

1

Плунгян, модальность и эвиденциальность (1)

Модальность выражает:

• оценку, т.е. отношение говорящего к ситуации• ирреальность, т.е. статус ситуации относительно реального

мира

2

Плунгян, модальность и эвиденциальность (2)

Оценка:

• по степени интенсивности выраженности признака илиотклонения от нормы

• элатив (бледнейший)• аттенуатив (бледноватый)• компаратив (побелее)

• этическая• эпистемическая

• эпистемическая гипотеза (вряд ли, может быть, скореевсего)

• соответствие эпистемическуму ожиданию (всё ещё, так ине)

3

Плунгян, модальность и эвиденциальность (3)

Ирреальность:

• необходимость• внутренняя: мне нужно выспаться• внешняя: чтобы не опоздать, мне нужно встать пораньше

• возможность• внутренняя: может (умеет) играть на гитаре• внешняя: можете сесть

• обусловленность (импликативная модальность)

4

Плунгян, модальность и эвиденциальность (4)

Эвиденциальность выражает указание на источникинформации о ситуации.

• Прямой личный доступ• партиципантные/эндофорические (говорящий - участник

ситуации)• визуальные (говорящий видел ситуацию)• сенсорные (не-визуальные) (говорящий слышал, но не

видел)• Непрямой личный доступ

• инферентивные (говорящий пришел к выводу)• презумптивные (говорящий предположил, исходя из общих

соображений)• Непрямой неличный доступ

• репортативные (говорящему сообщили)

5

Системы модальной логики (пример)

S4 - пропозициональная логика с (единственным) модальнымоператором 2.

Аксиомы (только для 2):• K: 2(p ⊃ q) ⊃ (2p ⊃ 2q)• T: 2p ⊃ p• S4: 2p ⊃ 22p

6

Семантические таблицы (1)

Табличный метод - это

• формальная процедура• процедура доказательства (синтаксический аспект)• процедура поиска контрмодели (семантический аспект)

• процедура состоит в формировании таблицы с помощью• расширения исходной таблицы путем выписывания

подформул по правилам• перехода к подтаблицам для рассмотрения случаев

• процесс завершается• получением закрытой таблицы, демонстрирующей

противоречие (исходная формула выводима)• получением открытой таблицы (исходная формула

невыводима)• или не завершается

7

Семантические таблицы (2)

Правила (для пропозициональной логики):

TX FX

T ∼XFX

F ∼XTX

T(X ⊃ Y )

FX | TY

F(X ⊃ Y )

TXFY

8

Семантические таблицы (3)

Доказательство закона де Моргана:

• F ∼ (p ∧ q) ⊃ (∼ p ∨ ∼ q)• T ∼ (p ∧ q)• F ∼ p ∨ ∼ q• F ∼ p• F ∼ q• Tp• Tq• Fp ∧ q• Fp / Fq

9

Семантические таблицы (4)

Табличный метод для модальной логики:

• Предполагаем, что A1,A2, ...,An ⊃ B ложно, т.е.

T FA1 BA2...

An

• Аналогично, предполагаем, что A ложно, т.е.

T FA

10

Семантические таблицы (5)

Правила пострения таблиц (для связок):

• ∼A → ∼A A

• ∼A → A ∼A

• и т. п.

11

Семантические таблицы (6)

Правила пострения таблиц (для кванторов):

• ∀x .A(x) → ∀x .A(x)A(a)

где a - уже встречавшаяся свободная переменная

• ∀x .A(x) → ∀x .A(x)A(a)

где a - новая переменная

12

Семантические таблицы (7)

Правила пострения таблиц (для модального оператора):

• 2A → 2AA

для всех таблиц множества альтернатив

• 2A → 2A + A

т.е. добавляется новая вспомогательная таблица

13

Семантические таблицы (8)

• таблица замкнута, еслиT F...

...A A

• множество альтернатив замкнуто, если одна из таблицэтого множества замкнута

• вся конструкция замкнута, если в ней появляетсязамкнутая система альтернатив

14

Крипке, реляционная семантика (1)

Шкала Крипке (Kripke frame) позволяет охарактеризоватьмножество таблиц с т.з. отношений между ними.

F = (W ,R), где W - непустое множество, R ⊆W ×W .

• wi ∈W - миры, состояния, точки отнесенности• R - отношение достижимости• если wRv , то говорят, что v возможен относительно w

Легко заметить, что шкала Крипке - это граф.

15

Крипке, реляционная семантика (2)

Модель Крипке M = (F ,V ), где

• F - шкала Крипке• V : P → 2W - функция оценивания, т.е. отображение из

атомарных выражений в подмножества множества миров

Важный технический результат: конструкция для A замкнутатогда и только тогда, когда A общезначима.

Иными словами, таблицы эквивалентны моделям.

16

Крипке, реляционная семантика (3)

ПустьM = (F ,V ), w ∈W , φ - формула, p ∈ P

Истинность φ в моделиM в точке w определяется рекурсивно

• M,w |= p ⇐⇒ w ∈ V (p)• M,w |= ¬φ ⇐⇒ M,w 6|= φ

• M,w |= φ ∨ ψ ⇐⇒ M,w |= φ илиM,w |= ψ

• M,w |= 2φ ⇐⇒ ∀v ∈W . (wRv →M, v |= φ)

• M,w 6|=⊥

ЕслиM,w |= φ, говорят, что φ логически следует изM,w

17

Крипке, реляционная семантика (4)

Функция оценивания V : P → 2W может быть преобразованаразными способами:

• V ′ : P ×W → 2 задает множество V ′ ⊆ P ×W , элементыкоторого - пары вида (p,w), для которых w ∈ V (p)

• V ′′ : W × P → 2, тогда V : W → 2P задаетмножество V истинных утверждений о мире w

18

Крипке, реляционная семантика (5)

Отношение между различными модальными системами:

Логика Ограничения на отношение достижимости АксиомаKD отношение порядка 2φ ⊃ 3φT рефлексивное 2φ ⊃ φS4 рефлексивное, транзитивное 2φ ⊃ 22φB рефлексивное, симметричное φ ⊃ 22φS5 рефлексивное, симметричное, транзитивное

(т.е. эквивалентность)3φ ⊃ 23φ

19

Спасибо!