Топологическая семантика для S4часть первая

Константин Соколов

Mathlingvo, СПбГУ, i-Free

http://nlu-rg.ru

Санкт-Петербург, 2014

План

• Предварительные замечания• Модальная логика S4• Начала общей топологии• Топологическая семантика для S4• Пучок Крипке• Начала теории пучков

1

Предварительные замечания

2

Предварительные замечания (1)

Модальная логика в основе лингвистических формализмов:

• Typed Feature Structures (TFS)• (Copestake, 2001)

• логика Каспера-Раундса LKR

• (Kasper, Rounds, 1986)• гибридная логика HL(@, ↓)

• (Blackburn, 2000)• Hybrid Logic Dependency Semantics (HLDS)

• (Baldridge et al., 2007)

3

Предварительные замечания (2)

Топологическая семантика в лингвистике:

• Окрестностная грамматика• Шрейдер, Борщёв, Хомяков, Лапшин

• Формальная герменевтика• Прозоров

• Теория тропов• (Mormann, 1995)• F. Moltmann (разные работы)

• Композициональные дистрибутивные семантическиемодели (CDSM)• Oxford Quantum Group (Abramsky, Grefenstette et al.)

4

Предварительные замечания (3)

[Awoday and Kishida, 2008] будем разбирать по частям:

• сегодня:

• топологическая семантика для S4• обобщение реляционной семантики (пучок Крипке)

• в следующий раз:

• семантика для логики первого порядка• семантика для S4 с кванторами

5

Предварительные замечания (4)

6

Модальная логика S4

7

S4 (1)

S4 - пропозициональная логика с модальным оператором 2

• 2φ ` φ

• 2φ ` 22φ

• 2φ ∧2ψ ` 2(φ ∧ ψ)• > ` 2>

• φ ` ψ

2φ ` 2ψ

8

S4 (2)

Шкала Крипке:

• F = (W ,R)

• множество возможных миров W• отношение достижимости R ⊆W ×W• для S4 отношение R рефлексивно и транзитивно

9

Начала общей топологии

10

Начала общей топологии (1)

Разные топологии:

• Топология как раздел математики• общая топология (general topology, point-set topology)• алгебраическая топология• дифференциальная геометрия и топология

• Н. Бурбаки, “Основания математики”• топологические структуры• алгебраические структуры• структуры порядка

11

Начала общей топологии (2)

Общая топология:

• Получила развитие в первой половине XX в.• обоснование анализа с помощью теоретико-

множественных понятий• определение непрерывности без метрических понятий

• Начальные главы (хороших) учебников анализа• избавление от ε-δ формализма• упрощение перехода к многомерному анализу

12

Начала общей топологии (3)

Дано множество X . Система подмножеств O ⊆ 2X называетсятопологической структурой (или топологией) на X , если:

• ∅,X ∈ O• объединение

⋃Ui произвольного числа подмножеств

Ui ∈ O принадлежит O• пересечение

⋂Ui конечного числа подмножеств Ui ∈ O

принадлежит O

Пара (X ,O(X )) называется топологическим пространством.

13

Начала общей топологии (4)

• подмножества U ∈ O(X ) называются открытыми• дополнения открытых множеств называются замкнутыми• ∅ и X - одновременно открыты и замкнуты• если x ∈ U, U - открытое множество, то U называется

окрестностью x

14

Топологическая семантика для S4

15

Топологическая семантика для S4 (1)

Оператор взятия внутренности:

int(A) =⋃

U⊆AU∈O(X )

U

• int(A) - наибольшее открытое множество,содержащееся в A

• если U - открытое множество, то int(U) = U

16

Топологическая семантика для S4 (2)

Свойства int(·) соответствуют аксиомам S4:

• int(A) ⊆ A• int(A) ⊆ int(int(A))• int(A) ∩ int(B) ⊆ int(A ∩ B)

• X ⊆ int(X )

• A ⊆ B =⇒ int(A) ⊆ int(B)

A и B соотвествуют предложениям (напр., φ, ψ)X , ∩, ⊆, int(·) соответствуют >, ∧, `, 2

17

Топологическая семантика для S4 (3)

Функция интерпретации [[·]]

• [[p]] ⊆ X• [[¬φ]] = X \ [[φ]]• [[φ ∧ ψ]] = [[φ]] ∩ [[ψ]]

• [[φ ∨ ψ]] = [[φ]] ∪ [[ψ]]

• [[>]] = X• [[⊥]] = ∅• [[2φ]] = int([[φ]])

18

Пучок Крипке

19

Пучок Крипке (1)

Шкала Крипке для S4 похожа на категорию:

20

Пучок Крипке (2)

Очевидная идея:

• сопоставить точкам отнесенности множества со структурой• стрелкам - гомоморфизмы структур• т.о. определить модель с помощью категории

21

Пучок Крипке (3)

Рисунки на доске

22

Начала теории пучков

23

Предпучки и пучки (1)

• Топологическое пространство (X ,O(X ))

• Каждому открытому множеству U ⊂ O(X ) сопоставляетсямножество со структурой F(U) (сечение)

• Для любых двух открытых множеств U,V ⊂ O(X ), т. ч.V ⊆ U, определим гомоморфизм ρU

V : F(U)→ F(V )(ограничение)

• Если U = V , то ρUV = ρV

U = 1U

• Если U ⊂ V ⊂W , то ρVW ◦ ρU

V = ρUW

F - предпучок над топологическим пространством (X ,O(X )).

24

Предпучки и пучки (2)

• Аксиома локальности

• Если U =⋃

Ui , то для любых Ui ,Uj ⊂ U определеныморфизмы ρU

Uiи ρU

Uj

• Тогда, если ρUUi(x) = ρU

Uj(y), то x = y

• Аксиома склейки

• Если U =⋃

Ui , то для любых Ui ,Uj ⊂ U, т.ч. Ui ∩ Uj 6= ∅,определены морфизмы ρU

Ui, ρU

Ujи ρU

Ui∩Uj

• Тогда, если x ∈ F(U), то(ρ

UjUi∩Uj

◦ ρUUj)(x) = (ρUi

Ui∩Uj◦ ρU

Ui)(x)

Если эти условия выполнены, то F называется пучком.

25

Предпучки и пучки (3)

Рисунки на доске

26

Что дальше

• дочитать [Awoday and Kishida, 2008]• семантика для логики первого порядка• семантика для S4 с кванторами

• каждый пучок изоморфен пучку непрерывных сеченийнекоторого накрытия

• категория предпучков SetCop

27

Спасибо!