Persamaan Garis Lurus Lingkaran

GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DALAM DAN LUAR LINGKARAN

ARVIN EFRIANIMAGISTER PENDIDIKAN

MATEMATIKA

CONTOH SOAL

4MATERI

PRASYARAT

2

KD & TUJUAN1

MENU

MATERI3

LATIHAN5

PENULIS

6

Menjelaskan garis singgung persekutuan luar dan persekutuan dalam dua lingkaran serta cara melukisnya

KD dan TUJUAN

KOMPETENSI DASAR

- Siswa dapat menjelaskan garis singgung persekutuan luar dan persekutuan dalam dua lingkaran dengan benar- Siswa dapat menjelaskan cara melukis garis singgung persekutuan luar dan persekutuan dalam dua lingkaran dengan tepat

TUJUAN PEMBELAJARAN

MATERI PRASYARAT

TEOREMA PYTHAGORAS LINGKARAN

TEOREMA PYTHAGORAS

a c

b

“Untuk setiap segitiga siku-siku berlaku kuadrat panjang sisi miring (Hipotenusa) sama dengan jumlah

kuadrat panjang sisi siku-sikunya.”

c2 = a2+b2

LINGKARAN

GARIS SINGGUNG

LINGKARANUNSUR-UNSUR

LINGKARAN

UNSUR-UNSUR LINGKARAN

O Perhatikan gambar disamping,

titik O merupakan titik pusat lingkaran.

Untuk membuat lingkaran dan menentukan titik pusat lingkaran harus menggunakan jangka

Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak di tengah-tengah lingkaran

Titik Pusat

A

O


Misal ada titik A di lengkungan lingkaran

Hubungkan titik O dan titik A dengan sebuah garis lurus

Garis lurus yang menghubungkan titik O dan A tersebut disebut Jari-jari lingkaran dan ditulis OA

Jari-jari lingkaran adalah garis dari titik pusat lingkaran ke lengkungan lingkaran

Jari-Jari

C

B

A

O


Diameter adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran dan melalui titik pusat.

Diameter Misal ada titik B di lengkungan

lingkaran Buat garis dari titik B melalui titik O

sampai pada lengkungan lingkaran, misal di titik C

Garis BC tersebut disebut diameter dan garis OB dan OC disebut Jari-jari

Perhatikan, BC = OB + OC. Dengan kata lain Diameter adalah 2 jari-jari

C

B

A

OBusur lingkaran dibagi menjadi 2,

yaitu Busur Kecil dan Busur Besar Pada gambar di samping, garis lengkung AC merupakan busur Busur AC yg berwarna kuning disebut busur kecil, sedangkan busur AC yang berwarna hitam disebut busur besar.


Busur lingkaran adalah garis lengkung yang terletak pada lengkungan lingkaran dan menghubungkan dua titik sebarang di

lengkungan tersebut

Diameter

C

B

A

O

Pada gambar di samping, tarik garis lurus dari titik A ke titik C

Apakah garis lurus BC juga merupakan tali busur???

Jawabnya YA, BC merupakan tali busur sekaligus diameter lingkaran karena garis BC menghubungkan titik B dan C pada lengkung lingkaran dan melalui titik pusat lingkaran

Garis lurus AC tersebut disebut tali busur


Tali busur lingkaran adalah garis lurus dalam lingkaran yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran

Tali Busur

C

B

A

O Seperti pada Busur lingkaran, Tembereng

juga dibagi menjadi 2, yaitu Tembereng Kecil dan Tembereng Besar

Pada gambar di samping, daerah yang berwarna kuning disebut Tembereng kecil


Tembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur

Tembereng

C

B

A

O Juring lingkaran juga dibagi menjadi 2,

yaitu Juring Kecil dan Juring Besar Pada gambar di samping, daerah AOB

disebut Juring kecil


Juring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari lingkaran dan sebuah busur

yang diapit oleh kedua jari-jari lingkaran tersebut

Juring

C

B

AD

O Dari titik pusat O, buat garis yang

tegak lurus dengan tali busur AB misal di titik D

Garis OD ini yang disebut Apotema


Apotema adalah garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran. Garis tersebut tegak

lurus dengan tali busur.

Apotema

POSISI GARIS TERHADAP LINGKARANPerhatikan gambar berikut ini!

a. Garis f memotong lingkaran di 2 titik yaitu A dan B dan tegak lurus garis i.

b. Garis g memotong lingkaran di 1 titik yaitu titik C dan tegak lurus garis i. Garis g ini dikatakan menyinggung lingkaran di titik C.

c. Garis h tidak memotong lingkaran

O

hf g

A

B

Ci

Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran di satu titik dan berpotongan tegak lurus dengan jari-jari di titik singgungnya.

GARIS SINGGUNG LINGKARAN

Melukis Garis Singgung Melalui Suatu Titik Pada Lingkaran

Perhatikan lingkaran di samping!

O AUntuk menggambar garis singgung lingkaran yang melalui titik A, caranya sebagai berikut.


Melukis Garis Singgung Melalui Suatu Titik Pada Lingkaran

a. Lukis garis OA dan perpanjangannya

b. Lukis busur lingkaran yang berpusat di titik A sehingga memotong garis OA, misal di titik B dan C

c. Lukis busur lingkaran yang berpusat di titik B dan C sehingga saling berpotongan di titik D dan E

d. Hubungkan titik D dan E. Garis DE merupakan garis singgung lingkaran di titik A.

O A CB

D

E

Melalui satu titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu garis singgung pada lingkaran tersebut


Perhatikan lingkaran di atas! Titik A di luar lingkaran

O A

Untuk melukis garis singgung lingkaran yang melalui titik A, caranya sebagai berikut.

Melukis Garis Singgung Melalui Suatu Titik Di Luar Lingkaran


a. Hubungkan titik O dan titik A

b. Lukis busur lingkaran yang berpusat di titik O dan A sehingga saling berpotongan di titik B dan C

O A

C

B



c. Hubungkan BC sehingga memotong OA, misal di titik D

d. Lukis lingkaran berpusat di titik D dan berjari-jari OD = DA sehingga memotong lingkaran pertama di dua titik. Misal di titik E dan F.

O A

C

BE

F

D



e. Hubungkan titik A dengan titik E dan titik A dengan titik F. Garis AE dan EF merupakan dua garis singgung lingkaran melalui titik A di luar lingkaran.

O A

C

BE

F

D

Melalui satu titik di luar lingkaran dapat dibuat dua garis singgung pada lingkaran tersebut



O A

B

Ca. Dua garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran dan dua

jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut membentuk bangun layangl-ayang.

b. Layang-layang yang terbentuk dari dua garis singgung lingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut disebut layang-layang garis singgung.

Panjang Garis Singgung Melalui Suatu Titik Di Luar Lingkaran


KEDUDUKAN DUA LINGKARAN

Jika terdapat dua lingkaran masing-masing lingkaran L1 berpusat di P dengan jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat di Q dengan jari-jari r di mana R > r maka kedudukan lingkaran tersebut dapat dibedakan sebagai berikut:

RL1 L

2r

P,Q

L2 terletak di dalam L1 dengan P dan Q berimpit, sehingga panjang PQ = 0. Dalam hal ini dikatakan L2 terletak di dalam L1 dan konsentris (setitik pusat).


L1 L

2 P

L2 terletak di dalam L1 dan PQ < r < R. Dalam hal ini dikatakan L2 terletak di dalam L1 dan tidak konsentris.

Q



L1 L

2P

L2 terletak di dalam L1 dan PQ = r = ½ R, sehingga L1 dan L2 bersinggungan di dalam.

Q



L1

L2

P

L1 berpotongan dengan L2 dan r < PQ < R.

Q



L1

L2

P

L1 berpotongan dengan L2 dan r < PQ < R + r.

Q



L1

L2

P Q


L1 terletak di luar L2 dan PQ = R + r, sehingga L1 dan L2 bersinggungan di luar.


L1

L2

P Q


L1 terletak di luar L2 dan PQ > R + r, sehingga L1 dan L2 saling terpisah.

GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN

Garis singgung persekutuan adalah garis yang menyinggung dua buah lingkaran sekaligus.

Kedua lingkaran di atas tidak memiliki garis singgung



Kedua lingkaran di atas memiliki satu garis singgung



Kedua lingkaran di atas memiliki dua garis singgung



Kedua lingkaran di atas memiliki tiga garis singgung



Kedua lingkaran di atas memiliki empat garis singgung

Pernahkah kalian melihat

gambar ini sebelumnya?

Bagaimana dengan gambar di bawah ini?

Apa yang dilakukannya?

Dapatkah kalian menentukan

panjang tali yang menyinggung tiap katrol tersebut?

Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam

Lukis lingkaran L1 berpusat di titik P dengan jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat di titik Q dengan jari-jari r (R > r). Hubungkan titik P dan Q.

L1 L

2P QR r



Lukis busur lingkaran berpusat di titik P dan Q sehingga saling berpotongan di titik R dan S.

L1 L

2P QR r

R

S



Hubungkan titik R dengan titik S sehingga memotong garis PQ di titik T.

L1 L

2P QR r

R

S

T



Lukis busur lingkaran berpusat di titik T dan berjari-jari PT.

L1 L

2P QR r

R

S

T



Lukis busur lingkaran pusat di titik P, jari-jari R + r sehingga memotong lingkaran berpusat titik T di titik U dan V.

L1 L

2P QR r

R

S

T

V

U



Hubungkan titik P dan U sehingga memotong lingkaran L1 di titik A. Hubungkan pula titik P dan V sehingga memotong lingkaran L1 di titik C.

L1 L

2P QR r

R

S

T

V

U

A

C



Lukis busur lingkaran pusat di titik A, jari-jari UQ sehingga memotong lingkaran L2 di titik B. Lukis pula busur lingkaran pusat di titik C jari-jari VQ sehingga memotong lingkaran L2 di titik D.

L1 L

2P QR r

R

S

T

V

U

A

C

B

D



Hubungkan titik A dengan titik B dan titik C dengan titik D. Garis AB dan CD merupakan garis singgung persekutuan dalam lingkaran L1 dan L2.

L1 L

2P QR r

R

S

T

V

U

A

C

D

B



Jika garis CD digeser sejajar ke atas sejauh BQ maka diperoleh garis VQ

L1 L

2P QR r

R

S

T

V

U

A

C

D

B



Garis VQ sejajar dengan garis CD sehingga sudut PCD = sudut PVQ =90˚

L1 L

2P QR r

R

S

T

V

U

A

C

D

B



Perhatikan segi tiga PQV siku-siku di v

L1 L

2P QR rT

V

C

D

B


Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam

P QR r

c

D

V

a

d


Menggunakan teorema phytagoras :

CD2 = PQ2 +PV2

CD2 = PQ2 +(PC+DQ)2

d2= a2 + (R+r)2


P QR r

c

D

V

a

d


Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar

Lukis lingkaran L1 dengan pusat di P berjari-jari R dan lingkaran L2 pusat di Q berjari-jari r (R > r). Hubungkan titik P dan Q.

L1

P QR rL2



Lukis busur lingkaran berpusat di titik P dan Q sehingga saling berpotongan di titik R dan S.

L1

P QR r

R

S

L2



Hubungkan titik R dengan titik S sehingga memotong garis PQ di titik T.

L1

P QR r

R

S

TL2



Lukis busur lingkaran berpusat di titik T dan berjari-jari PT.

L1

P QR r

R

S

TL2



Lukis busur lingkaran dengan pusat di P, berjari-jari R – r sehingga memotong lingkaran berpusat T di U dan V.

L1

P QR r

R

S

T

U

V

L2



Hubungkan P dan U, perpanjang sehingga memotong lingkaran L1 di titik A. Hubungkan pula P dan V, perpanjang sehingga memotong lingkaran L1 di titik C.

L1

P QR r

R

S

T

U

V

A

C

L2



Lukis busur lingkaran dengan pusat di A, jari-jari UQ sehingga memotong lingkaran L2 di titik B. Lukis pula busur lingkaran pusat di C, jari-jari VQ sehingga memotong lingkaran L2 di titik D

L1

P QR r

R

S

T

U

V

B

C

D

A

L2



Hubungkan titik A dengan titik B dan titik C dengan titik D. Garis AB dan CD merupakan garis singgung persekutuan luar lingkaran L1 dan L2.

L1

L2P QR r

R

S

T

U

V

A

C

B

D



L1

L2P QR r

R

T

U

V

A

C

B

D


Jika garis CD digeser sejajar ke atas sejauh QD maka diperoleh garis VQ


L1

L2P QR r

R

T

U

V

A

C

B

D


Garis VQ sejajar dengan garis CD sehingga sudut PCD = sudut PVQ =90˚


L1

L2P QR r

R

T

U

V

A

C

B

D


Perhatikan segi tiga PQV siku-siku di v


L1

L2P QR r

R

T

U

V

A

C

B

D


Menggunakan teorema phytagoras :

VQ2 = PQ2 +PV2

CD2 = PQ2 +(PC-DQ)2

d2= a2 + (R-r)2


L1

L2P Q

Rr

C

Dd

a


CONTOH SOAL

1. Panjang jari-jari dua lingkaran adalah 11 cm dan 2 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan luarnya 12 cm maka tentukan jarak kedua pusat lingkaran

CONTOH SOAL

Diketahui: Jawab :• d = 12 cm d = √(p2 – (R - r)2) atau• R = 11 cm d2 = p2 – (R - r)2

• r = 2 cm 122 = p2 – (11 - 2)2

144 = p2 – 81Ditanyakan p = ? p2 = 225

p = √225 p = 15 cm

Jadi, jarak kedua pusat lingkaran adalah 15 cm

CONTOH SOAL

2. Dua lingkaran masing-masing berjari- jari 15 cm dan 8 cm. Jarak terdekat kedua sisi lingkaran adalah 2cm . Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran tersebut.

CONTOH SOAL

Diketahui: Jawab:• s = 2 cm p = s + R + r• R = 15 cm p = 2 cm + 15 cm + 8 cm• r = 8 cm p = 25 cm

Ditanyakan: d = ? d = √(p2 – (R - r)2)d = √(252 – (15 - 8)2)d = √(625 –49)d = √(576)d = 24 cm

Jadi, panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah 24 cm

CONTOH SOAL

3. Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah 12 cm dan jarak kedua

pusatnya 13 cm. Panjang salah satu jari-jari lingkaran 8 cm. Hitunglah panjang jari-jari yang

lainnya!

CONTOH SOAL

Diketahui: Jawab:• d = 12 cm d = √(p2 – (R - r)2) atau• R = 8 cm d2 = p2 – (R - r)2

• p = 13 cm 122 = 132 – (8 - r)2

144 = 169 – (8 - r)2

• Ditanyakan: r = ? (8 - r)2 = 169 –144(8 - r)2 = 25 (8 - r) = √25(8 - r) = 5r = 8 - 5r = 3 cmJadi, panjang jari-jari yang lainnya adalah 3 cm

CONTOH SOAL

4. Panjang jari-jari dua lingkaran adalah 29 cm dan 14 cm. Panjang garis singgung persekutuan luarnya 36 cm. Hitung jarak pusat kedua lingkarannya!

CONTOH SOAL

Diketahui: Jawab :• d = 36 cm d = √(p2 – (R - r)2) atau• R = 29 cm d2 = p2 – (R + r)2

• r = 14 cm 362 = p2 – (29 - 14)2

1296 = p2 – 225Ditanyakan p = ? p2 = 1296 + 225

p2 = 1521p = √1521p = 39 cmJadi, jarak pusat kedua lingkarannya adalah 39 cm

LATIHAN

SIAPKAH ANDA MENCOBA LATIHAN ???

YA TIDAK

LATIHAN

1. Jika panjang garis dari pusat lingkaran A ke titik B adalah 45 cm dan panjang garis singgung BC adalah 36 cm, maka panjang jari-jari lingkarannya AC adalah….

27 47 37 57

A

B D

C

LATIHAN

2. Dua buah lingkaran dengan panjang jari-jari 20 cm dan 2 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran 24 cm, maka jarak titik pusat kedua lingkaran tersebut adalah…….

10 cm 15 cm 20 cm 30 cm

A

B D

C

LATIHAN

3. Panjang jari-jari lingkaran A = 36 cm dan B = 19 cm. Jika jarak pusat dua lingkaran AB = 73 cm.maka panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah……..

78 cm 68 cm58 cm 48 cm

A

B D

C

LATIHAN

4. Tentukan urutan melukis garis singgung persekutuan dalam lingkaran a. Hubungkan titik K dengan titik M dan titik L dengan titik N. b. Lukislah lingkaran dengan pusat di titik T dengan jari-jari TP. c. Lukislah busur lingkaran dengan pusat di titik K dengan panjang jari-

jarinya sama dengan UQ dan juga lukis busur lingkaran dengan pusat L dengan panjang jari-jarinya sama dengan VQ

d. Lukislah lingkaran dengan pusat di titik P yang panjang jari-jarinya r1 + r2 sedemikian sehingga memotong lingkaran yang berpusat di titik T di titik-titik U dan V

e. Lukislah busur lingkaran dengan pusat di titik P dan Q sehingga berpotongan di titik-titik R dan S.

f. Lukislah dua lingkaran yang masing-masing berpusat di titik P dan titik Q f-e-b-d-c-a f-b-e-c-d-a a-b-f-d-c-e b-a-c-f-d-e

A B DC

CEK SKOR

PENULIS

Nama : Arvin EfrianiTTL : Palembag, 19 April 1994E-mail : [email protected] : arvinefriani

mailto:[email protected]

Education

Persamaan Garis Lurus Lingkaran