Upload
gordana-divic
View
1.605
Download
18
Embed Size (px)
Citation preview
POVIJEST
MATEMATIKE
SREDNJA ŠKOLA NOVSKA
ŠKOLSKA GODINA 2014./2015.
eTwinning projekt „History of Math“
voditelj: Gordana Divić, prof. mentor
1
SADRŽAJ
UVOD ............................................................................................................................................................... 2
SUMERSKA I BABILONSKA MATEMATIKA ........................................................................................................ 3
EGIPATSKA MATEMATIKA ............................................................................................................................... 6
GRČKA MATEMATIKA .................................................................................................................................... 12
KINESKA, INDIJSKA I ARAPSKA MATEMATIKA ............................................................................................... 16
TALES ............................................................................................................................................................. 27
PITAGORA ...................................................................................................................................................... 31
PLATON ......................................................................................................................................................... 36
EUKLID ........................................................................................................................................................... 41
ARHIMED ....................................................................................................................................................... 44
DIOFANT ........................................................................................................................................................ 47
AL HVARIZMI ................................................................................................................................................. 51
FIBONACCI ..................................................................................................................................................... 54
VIÈTE ............................................................................................................................................................. 58
JOHN NAPIER ................................................................................................................................................. 62
HENRY BRIGGS .............................................................................................................................................. 65
RENÉ DESCARTES........................................................................................................................................... 67
CAVALIERI ...................................................................................................................................................... 71
BLAISE PASCAL .............................................................................................................................................. 75
LEIBNIZ & NEWTON ....................................................................................................................................... 78
DE MOIVRE .................................................................................................................................................... 81
EULER ............................................................................................................................................................ 83
GAUSS ........................................................................................................................................................... 88
CAUCHY ......................................................................................................................................................... 93
JOHN NASH ................................................................................................................................................... 96
ZAKLJUČAK .................................................................................................................................................... 99
LITERATURA ................................................................................................................................................. 100
2
UVOD
Povijest matematike djelo (knjiga) je nastalo kroz eTwinning projekt History of Math koji je
Srednja škola Novska iz Hrvatske provela u suradnji sa srednjom školom 2ο ΓΕΛ Έδεσσας iz
Grčke tijekom 2014./2015. školske godine. Naslovna slika je logo projekta za koji smo se
većinskim glasanjem odlučili.
U projektu su sudjelovali učenici u dobi od 16 do 19 godina čiji je zadatak bio istražiti dijelove
prošlosti u kojima se rađala matematika te pojedine matematičare (koje spominjemo u
kurikulu matematike) i njihove doprinose razvoju matematike. Surađivali su i dogovarali se
oko svojih zadataka međusobno i sa svojim grčkim kolegama.
Učenici Srednje škole Novska koji su sudjelovali u projektu:
1. Antonio Jakubek
2. Ella Cink
3. Doroteja Lukić
4. Ariana Gobac
5. Kornelija Čidić
6. Petra Kalanja
7. Marija Kožarić
8. Stella Moguš
9. Kristina Komljenović
10. Dominik Domitrović
11. Marko Crnojević
12. Barbara Mašunjac
13. Karolina Marenić
14. Laura Iličić
15. Patricia Kujundžić
16. Andrea Pupilo
17. Ivan Jurić
18. Antonio Horaček
19. Stjepan Marijan
20. Iva Ciprijanović
21. Tomislav Cikojević
22. Marta Ćurić
23. Ivan Brtan
24. Lana Matičević
i napisali 24 poglavlja ili priče ove knjige.
Projekt su zajedničkim snagama vodili nastavnici iz Grčke:
1. Elleni Stogiannou (osnivač)
2. Apostolos Tintinidis
te iz Hrvatske:
3. Gordana Divić (osnivač)
4. Tamara Tomić
Osim što su sudjelovali u pisanju ovoga djela, učenici su napravili i PowerPoint prezentacije
pomoću kojih su projekt predstavili nastavnicima matematike Sisačko-moslavačke županije za
koje su priredili i izložbu plakata te također nastavnicima i učenicima Srednje škole Novska
povodom Dana eTwinninga.
Svi zajedno uređivali su i stranicu projekta: http://twinspace.etwinning.net/490/home.
3
SUMERSKA I BABILONSKA MATEMATIKA
Antonio Jakubek, 4.g
Naše prvo znanje o matematici dolazi od Egipćana i Babilonaca. Obje su civilizacije razvile
matematiku koja je slična po opsegu, ali različita u pojedinostima. Babilonska matematika je
datirana za 4000 g. prije Krista sa Sumeranima u Mezopotamiji. Ipak, malo se zna o
Sumeranima. Sumer je prvi put naseljen između 4500 i 4000 godina prije Krista od strane ne
semitskih ljudi koji ne govore sumerski jezik. Danas se ti ljudi zovu Ubaidiansi, od sela Al-Ubaid
gdje su otkriveni njihovi posmrtni ostatci. Još je manje poznato o njihovoj matematici.
Sumerani su naselili Mezopotamijsku dolinu gdje su izgradili domove i hramove te ih ukrasili
umjetničkim posudama i mozaicima geometrijskih oblika. Raniji Sumerani su imali brojeve, ali
zbog nedostatka sredstava su se morali prilagoditi sveprisutnoj glini i razvoju pisma na
glinenim pločicama. Ostali narodi poput Babilonaca, Asiraca i Hitija naslijedili su Sumerski
zakon i književnost i, što je još važnije, njihov stil pisanja. Mezopotamska civilizacija često se
naziva Babilonska, ali to nije točno. Babilon nije bio prvi veliki grad, ali cijela civilizacija se
naziva Babilonska. Čak ni tijekom svog postojanja nije bio centar mezopotamske kulture.
Babilonska kultura se razvila oko 2000 godina prije Krista propašću sumerske civilizacije u
Mezopotamiji, području koje danas dijelom pripada Iraku. Babilonci su od Sumerana naslijedili
ideje za heksagezimalni brojevni sustav i klinasto pismo kojim su pisali po glinenim pločicama.
Babilonci su koristili brojevni sustav s bazom 60 koji su Sumerani razvili 2500. godine prije
Krista. Mnogi kao razlog navode velik broj djelitelja broja 60 (koji je najmanji prirodni broj
djeljiv sa 1, 2, 3, 4 i 5). Ono što smo zadržali do danas od Sumerana je podjela tjedna na 7 dana,
dana na 24 sata, sata na 60 minuta i minute na 60 sekundi.
Slika 1. Znamenke u babilonskom brojevnom sustavu
Babilonci su za prikaz brojeva koristili samo dva osnovna oblika; koristili su simbol za broj 10
(slika 1) i simbol za broj 1 ili 60 (slika 2).
Slika 2. Babilonski simbol za broj 10 Slika 3. Babilonski simbol za broj 1 ili 60
4
Babilonci nisu imali simbol za nulu niti simbol za decimalnu točku te se sve moralo prosuđivati
iz konteksta, što je vrlo kompliciralo tumačenje nalaza iz tog doba.
Slika 4. Plimpton 322
Pločica Plimpton 322 veličine je današnjeg džepnog računala te sadrži jedan redak čistog teksta
i tablicu brojeva s 4 stupca i 15 redaka. Pločica je djelomična u lijevom gornjem kutu, pa
nedostaje dobar dio prvog stupca, dok su drugi, treći i četvrti stupac potpuno vidljivi. U
početku se smatralo kako je Plimpton 322 samo još jedan primjer babilonskog zapisa, no,
početkom 40-ih godina prošlog stoljeća su povjesničari Otto Neugebauer i Abraham Sachs
primijetili kako reci na pločici zadovoljavaju zanimljivo svojstvo, usko vezano uz takozvane
Pitagorine trojke. To su uređene trojke prirodnih brojeva (a, b, c) koje zadovoljavaju jednakost
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2. Brojevi u srednja dva stupca su upravo duljine kraće stranice b i hipotenuze c
pravokutnog trokuta (gdje je b>a). Autor ove pločice je načinio i nekoliko pogrešaka. Pogrešku
u drugom retku možemo lako provjeriti jer pravokutni trokut duljine hipotenuze 11521 i jedne
katete 3367 nema drugu katetu cjelobrojne duljine. To ipak ne umanjuje činjenicu kako je
Plimpton 322 dokaz da su Pitagorine trojke bile poznate i tisućama godina prije pojave
matematičara antičke Grčke.
Slika 5. Nalizište u Nipuru
Nalazište u Nipuru blizu hrama u obliku stepenaste piramide (tzv. zigurat) je primjer izrazitog
matematičkog znanja Babilonaca. Na tom je mjestu nađeno oko 50 000 glinenih tablica koje
svjedoče znatnom matematičkom znanju.
5
Slika 6. i 7. Trokutasti, kvadratni i piramidalni nizovi brojeva
Babilonci su izgrađivali nizove koji uključuju trokutaste brojeve (1, 3, 6, 10, 15 itd.), kvadratne
brojeve (1, 4, 9, 16, 25 itd.) i piramidalne brojeve (1, 5, 14, 30, 50 itd.).
Primjer korištenja niza piramidalnih brojeva je slagalište municije u Calcutti sredinom 19. st.
Slagali su topovske kugle u piramide da što bolje iskoriste prostor (druga hrpa sa desne strane).
Poznavanje piramidalnih brojeva omogućavalo ja lako izračunavanje broja đuladi (topovske
kugle).
Slika 8. municija u Calcutti
6
EGIPATSKA MATEMATIKA
Ella Cink, 4.g
Jedna od najranijih velikih civilizacija bila je staroegipatska, stoga kod njih i nalazimo neke od
prvih matematičkih ideja. Najstarija egipatska bilješka o broju potječe otprilike oko 3300.
godine prije Krista. Staroegipatska matematika jedna je od najranijih epoha te znanosti. Jedna
od prvih grana matematike bila je geometrija. O staroegipatskoj matematici najviše
doznajemo iz papirusa, a dva najvažnija su Ahmesovo ili Rhindovo i Moskovsko.
Moskovski papirus pisan je na hijeratskom pismu,
te se temelji na podatcima iz 1800. godine pr.Kr.
Autor ovog papirusa nije poznat, a papirus sadrži 25
zadataka. U njemu nalazimo zadatke vezane uz
količinu radnika i posla, računanje plovidbe i stvari
vezanih za računanje količine hrane. Jedan dio
posvećen je geometriji, posebno trokutu,
površinama i volumenima piramida. U Moskovskom
papirusu nalaze se i najveća dostignuća egipatske
geometrije. Dužine je oko pola metra i širine malo
manje od 8 centimetara. Moskovski papirus otkrio je 1893. godine V. S. Golenichev. Čuva se u
Moskovskom muzeju.
Ahmesov ili Rhindov papirus je 1858. otkrio škotski egiptolog
Henry Rhind u Luxoru. Napisao ga je pisar Ahmes oko 1650.
godine pr.Kr. Ovaj svitak duljine 6 m i širine 30 cm danas se čuva
u British Museumu u Londonu. U samom papirusu piše da je to
"studija o svim stvarima, pogled u unutrašnjost svega što
postoji, saznanje o tamnim tajnama". Ahmesov papirus je
zbirka tablica i vježbi sa 87 matematičkih problema. Papirus
sadrži vježbe iz aritmetike, algebre, geometrije i raznih
mjerenja. Poseban dio posvećen je razlomcima. U njemu se
nalazi i najstariji poznati i sačuvani zapis broja π.
Stari Egipćani imali su oznake za svoje brojeve i razvijeni decimalni sustav. Koristili su brojevni
sustav s bazom 10, a jedna od glavnih razlika između hijeratskih brojeva i našeg brojevnog
sustava je taj da hijeratski brojevi nisu bili pisani u sustavu mjesnih vrijednosti. Znamenke se
mogu pisati bilo kojim redoslijedom. Hijeratski je sustav adicijski sustav.
7
Pisali su po kamenu, hijeroglifskim znacima s lijeva na desno, ali i obrnuto. Ponekad su pisali
odozgo prema dolje. Egipatski način pisanja nije pozicijski. Princip pisanja brojeva je
jednostavan, npr. broj 7 je 7 crtica --->
Manji znakovi grupiraju se po dva dok duguljasti stoje sami.
Broj 13
Broj 456
Broj 1339
8
Egipatski brojevni sustav nije bio pogodan za računanje, a trgovina je zahtijevala zbrajanje,
oduzimanje, množenje, dijeljenje i rad s razlomcima.
Kod zbrajanja koristio se ovaj znak koji bi se okrenuo kada se oduzimalo.
Zbrajalo se skupljanjem istih simbola zajedno i pretvaranjem njih 10 u jedan simbol sljedeće
razine.
Oduzimalo se tako što odmicao određeni broj istih simbola.
Egipćani su brojeve množili tako što su posjedovali tablice množenja s 2, npr. množenje 35 s
5 34 – 1
68 – 2
136 – 4
Na desnoj strani moramo naći pribrojnike koji će zajedno zbrojeni dati drugi pribrojnik 5 (to
su 1 i 4). Ti reci se podebljaju i zbrojimo ono što je s lijeve strane (34 + 136=170).
9
Brojevi su se analogno i dijelili, npr. 54 sa 7. Počnemo pisati s djeliteljem 7, a s druge strane
krenemo s 1 i udvostručavamo. 7 – 1
14 – 2
28 – 4
Od djeljenika oduzimamo lijevu stranu dok više ne možemo oduzimati 54 – 28 = 26, 26 – 14
= 12, 12 – 7 = 5. Tako smo dobili i ostatak (5), zatim brojeve koje smo dijelili zacrnimo i
zbrojimo desnu stranu. Konačno rješenje je 54 : 7 = 7 cijelih i 5 ostatka
RAZLOMCI
Egipćani su razlomke označavali na način koji nema sličnosti niti s jednom drugom kulturom.
Svaki razlomak pisali su s jediničnim brojnikom, a kada to nije bilo moguće, prikazivali su ga
kao zbroj takvih. Poznavali su samo jedinične razlomke, tj. razlomke s brojnikom 1. Iznimka u
tome je bio razlomak 2
3. Razlomci su zapisivani tako da je iznad nazivnika stavljen hijeroglif koji
je označavao "otvorena usta".
oko boga Horusa
Stari Egipćani vjerovali su da ih simbol „Rx“ štiti od zla. U matematiku su ugradili simboliku pa
su razvili i brojevni sustav koji se koristio za prepisivanje lijekova, podjelu zemlje ili sjemenja.
Razlomke su tvorili tako što su kombinirali pojedine dijelove simbola oka boga Horusa. Svaki
dio imao je različitu vrijednost, cjelokupni simbol oka ima vrijednost 1, a cijeli sustav temelji
se na podjeli na polovice.
10
GEOMETRIJA
Za izgradnju piramida i hramova Egipćani su morali imati dobro razvijenu geometriju i
stereometriju. Znali su računati nagib i obujam piramide, te obujam krnje piramide. Računali
su površinu trokuta kao 1
2 umnoška dviju kraćih stranica, također su znali izračunati i površinu
pravokutnika kao umnožak duljina njegovih stranica. U Ahmesovom papirusu pronađeno je
kako su računali površinu kruga. Suvremenim matematičkim jezikom ta formula glasila bi
𝑃 = (8
9 ∙ 𝑑𝑖𝑗𝑎𝑚𝑒𝑡𝑎𝑟)
2
, a kada bi ju usporedili s točnom formulom površine kruga 𝑃 = 𝑟2𝜋
što znači da su stari Egipćani prije stvarnog otkrića broja π znali njegovu približnu vrijednost (π
≈ 3.1605).
11
ALGEBRA
Staroegipatska algebra bila je retorička, problemi i rješenja dani su riječima. Rješavali su
jednadžbe prvog stupnja tako da su obavezno provodili analizu i sintezu pri rješavanju. Svako
rješenje su uvrštavali u početni problem da se uvjere da je dobro riješen. Stari Egipćani nisu
poznavali oznake za množenje, dijeljenje, jednakost, drugi korijen, decimalnu točku, nisu znali
ni za obični razlomak. Koristili su se sedmeroznamenkastim brojevima, u svojim računima imali
su mješavinu jednostavnosti i kompliciranosti, a taj se koncept prikazuje kao jedinstvena i
zatvorena cjelina. Zbog toga se može reći da je egipatska matematika jedini sačuvani
primjerak računske tehnike koja je bila vrlo razvijena. U cijelom svom razvoju nije doživjela
nikakav diskontinuitet te se u potpunosti temelji na osnovi računanja (brojenju i pojmu
razlomka).
12
GRČKA MATEMATIKA
Doroteja Lukić, 3.g
Izraz „grčka matematika“, koristimo kada govorimo o matematici koja je temeljena na
starogrčkim tekstovima te razvijena od 7. stoljeća prije Krista do 4. stoljeća poslije Krista duž
istočnih obala Mediterana. Poveznice između grčkih matematičara koji su živjeli u različitim
gradovima duž cijelog istočnog Mediterana, od Italije pa sve do Sjeverne Afrike, bili su upravo
zajednička kultura i jezik. Također, sam izraz „matematika“ potječe upravo od grčke riječi
mathema što znači – znanost. Glavna razlika između grčke matematike i matematika razvijenih
u prethodnim civilizacijama je u proučavanju matematike zbog samog proučavanja i korištenju
općih matematičkih dokaza i teorija.
Kako je grčko carstvo počelo širiti svoju sferu utjecaja na Malu Aziju, Mezopotamiju pa i dalje,
Grci su bili dovoljno pametni kako bi prisvojili i preradili korisne elemente naroda koje su
pokorili. Ovo se najviše vidi na njihovoj matematici, prisvojili su elemente matematike ne samo
od Babilonaca već i od Egipćana. Uskoro su počeli donositi važan doprinos te po prvi put
možemo razaznati doprinos pojedinaca. Do Helenističkog vremena, Grci su predsjedali
najdramatičnijom i najvažnijom revolucijom u matematici ikad.
U početku su se Grci bavili matematikom imajući jedan osnovni cilj – shvaćanje čovjekovog
mjesta u svemiru. O vremenu stvaranja grčke matematike možemo zaključiti na osnovi manjih
sastavnica, koje se nalaze u kasnijim radovima, kao i na osnovi zapažanja filozofa i drugih
13
znanstvenika koji nisu bili samo matematičari. Ona je u usporedbi sa ostalim znanostima
dostigla najviši nivo teorijskog razvitka.
U vrijeme pojave prvih zapisa o grčkoj matematici su grčki trgovci već bili naučili od svojih
egipatskih kupaca kako je za pisanje korisno upotrebljavati papirus jer se lakše prenosi i čuva
nego glinene pločice.
Vrijeme tijekom kojega su grčke mediteranske zajednice dale trajan doprinos razvoju
matematike može se podijeliti u tri velike faze: prva, koja nije ostavila nikakvih pisanih tragova,
proteže se od Talesa i Pitagore do Demokrita, od 600. do 400. godine prije Krista; druga, čiju
osnovu predstavlja Platonovo učenje, dolazi do vrhunca u Euklidovom sustavu; za treću ili
aleksandrijsku fazu karakteristično je odstupanje od formalizama i jak osjećaj za praktičnu
primjenu matematike.
Grčka tradicija ističe Talesa kao osnivača grčke matematike. Iako o tome nema
dokumentiranih dokaza ranijih od jednog stoljeća nakon Talesove smrti, jer rukopisi koji su se
sačuvali pripadaju vremenu Kršćanstva i Islama i samo veoma malo dopunjuju bilješke u
egipatskim papirusima, koji su nešto starijeg datuma, klasična filozofija je pomogla da se
rekonstruiraju tekstovi iz 4. stoljeća pr. Kr., kao i tekstovi iz bližeg perioda. Zahvaljujući tome
imamo solidna izdanja Euklida, Arhimeda, Apolonija i drugih velikih antičkih matematičara.
Međutim, ti tekstovi sadrže već potpuno izgrađenu matematičku znanost pa je teško, čak i
pomoću kasnijih komentara, pratiti tijek povijesnog razvoja. Prema tome, o razdoblju
formiranja grčke matematike možemo zaključivati samo na osnovi manjih sastavnica, koje se
nalaze u kasnijim radovima, kao i na osnovi zapažanja filozofa i drugih autora, koji nisu bili
samo matematičari. Veoma mnogo pažnje i truda bilo je posvećeno kritici tekstova i na osnovu
toga je osvijetljen veliki broj tamnih mjesta iz tog ranog perioda. Radovi raznih istraživača
omogućili su nam da steknemo dosta povezanu, iako samo hipotetsku sliku grčke matematike
u razdoblju njenog formiranja.
Drevni grčki brojevni sustav u potpunosti je razvijen oko 450. godine pr. Kr., a u redovnoj
upotrebi vjerojatno već u 7. stoljeću prije Krista. To je sustav sa bazom 10, sličan ranijem
egipatskog sustavu (pa čak i sličniji kasnijem rimskom sustavu), sa simbolima za 1, 5, 10, 50,
100, 500 i 1.000 ponavljanim onoliko puta koliko je potrebno za dobivanje željenog broja.
14
Većina Grčke matematike zapravo se temelji na geometriji. Tales se smatra prvim
matematičarem koji je postavio smjernice za apstraktni razvoj geometrije, iako se ono što
danas znamo o njegovom radu čini poprilično osnovnim. Tales je uspostavio, ono što je
danas poznato kao Talesov poučak. On govori da ako je trokut ucrtan u krug s dužom stranom
kao promjerom kruga, onda će suprotni kut uvijek biti pravi kut. On je također zaslužan
za drugi teorem, također poznat kao Talesov poučak, koji kaže da su kod jednakokračnih
trokuta kutovi uz osnovicu jednaki te da ako se jednake prave crte povuku dalje, kutovi pod
osnovicom bit će jednaki.
Legendarni matematičar iz 6. stoljeća pr.Kr., Pitagora, postao je sinonim rađanja grčke
matematike. Vjeruje se da je on izmislio obje riječi, „filozofija“ (ljubav spram mudrosti“) i
„matematika“ (ono što se nauči). Pitagora je vjerojatno prvi shvatio da cijeli sustav
matematike može biti izgrađen, gdje bi geometrijski elementi predstavljali brojeve. Pitagorin
poučak je jedan od najpoznatijih matematičkih poučaka. On postaje kontroverzna figura, ali
grčka matematika nipošto nije ograničena na jednog čovjeka.
Međutim, sigurno je istina da je Pitagora značajno utjecao na one koji su došli poslije njega,
uključujući i Platona, koji je osnovao svoju poznatu Akademiju u Ateni 387. godine prije Krista
te njegova štićenika Aristotela, čiji se rad na logici smatrao definitivnim više od dvije tisuće
15
godina. Platon je najpoznatiji po svom opisu pet Platonovih krutih tijela, ali vrijednost
njegovog rada kao učitelja i popularizatora matematike ne može biti precijenjena.
Možda je najvažniji pojedinačni doprinos Grka ideja dokaza i deduktivna metoda korištenja
logičkih koraka za dokazivanje ili opovrgavanje teorija. Starije kulture, poput Egipćana i
Babilonaca, oslonile su se na induktivno zaključivanje, koje koristi ponavljano promatranje
kako bi se ustvrdila pravila. Upravo je ovaj koncept dokazivanja, ono sto je dalo matematici
svoju snagu i osigurava da su dokazane teorije istinite i danas kao što su bile i prije dvije tisuće
godina te je postavilo temelje za sustavni pristup matematici Euklidu i onima koji su došli
poslije njega.
Matematika je doprinijela DA SE UVEDE RED, DA SE IDEJE POVEŽU U LOGIČNE NIZOVE TE
DA SE OTKRIJU OSNOVNI PRINCIPI.
16
KINESKA, INDIJSKA I ARAPSKA MATEMATIKA
Ariana Gobac, 3.g
KINA
Matematičari ove zemlje pisali su kineskim znakovljem te je kao takva bila izdvojena od drugih
civilizacija koje nisu bile upoznate s tim znakovljem. Kina je ostatku svijeta postala poznata tek
zahvaljujući Marku Polu, te raznim drugim misionarima (Isusovcima) koji su putujući svijetom
i trgujući došli u kontakt s kineskom civilizacijom i matematikom.
Zbog oskudno sačuvanih pisanih dokumenata ne zna se mnogo o matematici drevne Kine, te
o njenim začecima, no prilično je sigurno da počeci astronomije i matematike drevne Kine sežu
barem u 3. tisućljeće prije naše ere. Naime, u to doba Kinezi su već imali detaljno razrađen
kalendar, što dokazuje da je i aritmetika morala biti jako razvijena jer bez nje se ne bi mogli
napraviti proračuni potrebni za sastavljane imalo razvijenijeg kalendara.
Najstariji sačuvani matematički tekstovi potječu tek iz doba oko 200. pr.Kr., no to je posljedica
spaljivanja svih knjiga godine 213. pr.Kr. po naredbi vladajućeg tiranina.
Prema starim kronikama ˝Žuti car˝ Huang – Ti (vladao Kinom u 27.st pr. Kr.) dao je naredbe
svojim podanicima tj. zadao im je zadatke što moraju istraživati. Tako je trima znanstvenicima
dao zadatak da proriču pomoću Sunca, Mjeseca i zvijezda. Četvrtom znanstveniku dao je
zadatak da stvori glazbene note, petom znanstveniku Tai – Naou naredio je da konstruira
heksagezimalni sustav (Chia – Tsu), šesti znanstvenik Li – Skouu dobio je zadatak da izgradi
brojeve i umjetnost aritmetike, a posljednji sedmi znanstvenik dobio je zadatak da regulira
svih tih šest vještina te razradi kalendar.
Koristili su se heksagezimanim sustavom. To je najstariji kineski sustav numeracije. Baza mu je
broj 60, a funkcionirao je tako da su se brojevi od jedan do šezdeset tvorili kombiniranjem
elemenata jednog desetočlanog i jednog dvanaestočlanog ciklusa (najmanji zajednički
višekratnik od 10 i 12 je 60). Taj su sustav koristili za brojanje dana i godina.
Znanstvenici su kasnije ustvrdili da su počeci matematike u Kini imali srodnosti s počecima
razvoja matematike u staroj Mezopotamiji i vjeruje se da su na neki način povezani. Prvi dokazi
matematičke aktivnosti u Kini pronađeni su u obliku numeričkih simbola zapisanih na tankim
kostima stoke i drugih životinja, a procijenjeni su da potječu iz 14.st.pr.Kr.
17
Legenda o Lo Shu
Budući da nema drugih konkretnih pisanih dokaza,
sve se oslanja na jednu legendu koja govori kako su
Kinezi došli na ideju da stvore sustav brojeva i
istraživanja koje je dovelo do razvoja matematike:
Prema legendi, kralj Yu je primio dva božanska dara.
Prvi dar je primio od božanske ˝Kornjače˝ dok je
prelazio Žutu rijeku. Na Kornjačinim leđima je bila
zacrtana jedna figura, odnosno, dijagram zvan Lo
shu, za koji se vjeruje da sadrži osnove kineske matematike. Drugi dar, odnosno figuru, primio
je od božanskog konjonogog ˝Zmaja˝ kojemu su kopita ostavljala tragove u blatu.
Dijagram Lo Shu
Izrazi li se Lo Shu brojevima (na slici gore – koliko na pojedinom mjestu ima u skupinu
povezanih točaka) dobiva se taj ˝magični kvadrat˝ sa svojstvom da je zbroj brojeva u bilo
kojem njegovom retku, stupcu ili po dijagonalama jednak 15.
Taj prvi dijagram, Lo - Shu, kasnije nazvan ˝čarobni kvadrat˝ doveo je do razvoja dualističke
teorije Yina i Yanga, odnosno do dualističkog razvoja brojeva.
Yang predstavlja neparne brojeve (1, 3, 5, 7, 9, 11...)
Yin predstavlja parne brojeve (2, 4, 6, 8, 10...)
Kasnije su Kinezi uz parne i neparne brojeve usvojili koncept
nule. Znak za nulu je dugo vremena bio nepoznat. U osmom
se stoljeću nula označava točkom, a krug ili kvadrat kao
simboli za nulu se pojavljuju tek u 13. stoljeću.
18
Kineski brojevi
U Kini su ljudi, kao i u većini drugih zemalja, najprije računali ˝na prste˝, a već u 2. tisućljeću
prije Krista u Kini su imali simbole za brojeve, a oni su prikazani u tablici:
2000.god. pr. Kr.
Kasnije se u Kini računalo pomoću štapića (od bambusa,
slonove kosti ili metala). Svi štapići su bili jednake veličine, a
trgovci i su ih najčešće nosili stalno sa sobom u torbi. Brojevi
od 1 - 5 bili su prikazivani kao horizontalne crtice, odnosno
kao polegnuti bambusovi štapići, brojevi od 6 – 9 su
prikazivani kao jedan vertikalni štapić te kombinacija od
nekoliko horizontalnih štapića.
400.god pr.Kr
Nakon uvođenja negativnih brojeva, štapići za računanje su se
izrađivali u dvije boje - crveni za pozitivne i crni za negativne
brojeve.
Mnogo kasnije, tek u 16. stoljeću će se pojaviti abakus. Abakus
je preteča današnjih kalkulatora, a sastojao se od drvenog okvira
i niza žica po kojima su se mogli micati kamenčići. On se koristio do usvajanja arapskih brojeva,
a zanimljivo je to da se ponegdje u Kini trgovci još uvijek njime služe.
S vremenom kinesko se pismo malo promijenilo i oblikovalo. U sljedećoj tablici možemo vidjeti
suvremene kineske znakove za brojeve. Isti zapis brojeva može se naći i u Japanu i Koreji.
Prikaz suvremenih kinesko-japansko-korejskih brojeva
Razlomci su se pojavili u upotrebi gotovo istovremeno s prirodnim brojevima. Osnovne
računske operacije izvodile su se slično kao i danas, s tim da su množenje i dijeljenje
19
objašnjavali na konkretnim primjerima. Dalje se matematika razvijala iz skupa algoritama za
računanje i metoda za rješavanje praktičnih zadataka.
Najvažnija dostignuća
Kao i indijska, kineska matematika nije deduktivnog tipa, nego orijentirana na nalaženje
algoritama za rješavanje konkretnih zadataka. Mnoga od otkrića i postignuća u matematici
Kineza očuvana su u nekoliko starih i veoma važnih knjiga pisanih u periodu od 1. do 13.st.
Djela:
Knjiga o mijenama (I Ching) - jedna od najstarijih očuvanih knjiga. Koristila se za proricanje i
gatanje. Sadrži elemente binarne notacije brojeva.
Sveta knjiga o aritmetici (Chou – Pei) - nastajala je u periodu od 2. – 12. stoljeća. Sadrži
podatke, tvrdnje, razgovore i rasprave o matematici,
filozofiji, numerologiji, astronomiji ...
U toj knjizi se prvi put spominje tekst koji na indirektan
način govori o Pitagorinom poučku, zato neki
znanstvenici čak smatraju da je ono što mi smatramo
Pitagorinim poučkom zapravo informacija podrijetlom iz
Kine. Također u knjizi je navedeno da su Kinezi broj što
ga mi označavamo sa π, aproksimirali sa 3.
Aritmetika u devet knjiga ( Chiu Chang Suan Shu ) - je najstariji matematički tekst. Njen autor
je Chang Tsang. U toj je knjizi niz od 246 zadataka s rješenjima namijenjenih mjeračima,
inženjerima, činovnicima i trgovcima. U svakoj od knjiga raspravlja se o jednom matematičkom
problemu:
1. daje se postupak izračunavanja površine trokuta, četverokuta, kruga, kružnog odsječka
i isječka. Obrađuju se i razlomci; dane su korektne metode za njihovo zbrajanje,
oduzimanje, množenje i dijeljenje
2. obrađuju se omjeri i kamatni račun
3. govori se o produženim omjerima i razmjerima
4. obrađuje se vađenje drugog i trećeg korijena, te približni proračun opsega kruga dane
površine i promjera kugle danog obujma
5. uči se kako se računa obujam prizme, piramide, valjka, stošca, prikraćene (krnje)
piramide i stošca
6. obrađuje se ono što bismo zvali računom smjese
7. obrađuju se problemi sustava od dviju jednadžbi s dvije nepoznanice
8. ispituju se problemi što vode na sustav od više linearnih jednadžbi s više nepoznanica
9. rješava se pravokutni trokut pomoću «Pitagorina» poučka i neke oblike kvadratne
jednadžbe
20
Zhang Qiu-Jian (5. st.) – razvija ideje prethodnika i donosi nove matematičke probleme o
nizovima brojeva, jednadžbama višeg reda i teoriji brojeva. Dao je formulu za sumu
aritmetičkog niza.
Tsu Chung – chih (430 – 201) – za točnu vrijednost broja π uzima vrijednost , što daje šest
točnih decimalnih mjesta (ista vrijednost u Europi se pojavljuje tek 1600.god, odnosno
tisućljeće kasnije)
Quin Jiu - Shao (1202 -1261) - rješava sustave kongruencija (Kineski teorem o ostacima), a
promatra i algebarske jednadžbe, površine geometrijskih likova i sustave linearnih jednadžbi.
Tražio je i rješenja jednadžbi metodom koju nazivamo Hornerova (William Horner, 1819.), iako
je u Kini bila poznata 500 godina ranije.
Chu Shih - kieh (1270 - 1330.) - napisao je dva važna teksta: Uvod u matematiku za početnike
i Dragocjeno ogledalo četiri elementa (1303.) koje je vrhunac kineske matematike i nakon
njega dulje vremena nema napretka u matematici. Sadrži metodu transformacija za rješavanje
jednadžbi, koju koristi do stupnja 14, te ̋ Pascalov˝ trokut binomnih koeficijenata, koji je u Kini
poznat četiri stoljeća prije no što ga je Pascal ˝otkrio˝.
21
INDIJA
Staroindijska matematika bila je pretežno ˝aritmetičko-algebarski˝ orijentirana, za razliku od
starogrčke matematike koja je bila pretežno ˝geometrijski˝ orijentirana. Naravno, grčka
matematika nije bila isključivo geometrija, niti je staroindijska matematika bila bez geometrije;
riječ je samo o usmjerenju koje je dominiralo.
U staroindijskoj literaturi nema velikih djela isključivo posvećenih matematici; matematika je
prisutna tek kao dio, kao pojedinačno poglavlje u astronomskim ili astrološkim djelima.
Najstariji poznati matematički tekstovi su Sulvasutre (u
prijevodu Pravila konopa). Sulvasutre su dodaci vjerskim
tekstovima poznatim kao Vede. U njima se nalaze pravila
za mjerenje i izgradnju hramova i oltara na razini
elementarne geometrije. Sva su pravila dana bez dokaza.
Konop rastegnut preko dijagonale kvadrata daje duplu
površinu. Konop rastegnut preko dijagonale pravokutnika
daje površinu
koju čine
vodoravna i
okomita
stranica.
Nađi kvadrat koji je jednak zbroju površina danih
kvadrata. (rješenje se nalazi u svim Sulvasutrama)
Sve Sulvasutre sadrže metodu kvadrature kruga, tj. postoje različite aproksimacije broja od
3.00444, 2.99, 3, 3.029, itd. Jedan od najzanimljivijih rezultata iz Sulvasutra je aproksimacija
√2 točna na pet decimala, a dana je pravilom: Povećaj jediničnu dužinu za trećinu i tu trećinu
na njenu četvrtinu umanjenu za trideset četvrtinu te četvrtine, tj:
√2 1 + 1
3+
1
3∗
1
4−
1
3∗
1
4∗
1
34=
577
408= 1.414215686
Nakon zamiranja vedske religije nastaje razdoblje Jaina. O matematici tog doba se malo zna,
no sigurno je da u to doba sežu ideje o beskonačnosti i bavljenje velikim brojevima te osnove
kombinatorike.
Karakteristike indijskih matematičkih tekstova je da su općenito pisani u stihovima. Mnogi
tekstovi opisuju algoritme za računanje i pravila za rješavanje konkretnih zadataka, no
općenito nema skica, formula ni dokaza. Indijska je matematika osobito značajna zbog razvoja
raznih tehnika računanja, dok im je znanstveni doprinos manji. Današnja aritmetika je
Indijskog porijekla.
22
Indijci koriste pozicijski dekadski brojevni sustav, sa znamenkama od 1 do 9. Znak za 0 koristi
se vjerojatno od 4. stoljeća, a sigurno od 9. stoljeća. Nulu Indijci nazivaju sunya, što znači
praznina.
Kako su računali?
Na primjeru se može ilustrirati kako su stari Indijci na
računskim pločama podijeljenim na polja obavljali
množenje, ispisujući i brišući brojeve na pijesku kojim bi
posipali ploču. Ako je trebalo, recimo, pomnožiti 415 s
327 ispisali bi te brojeve u glavni redak i stupac
računske ploče. U svako dijagonalom podijeljeno polje
ispisali bi zatim parcijalni produkt odgovarajućih
znamenki, npr. u treće polje prvog retka ispisali bi
znamenke jedan i pet, jer je pet puta tri jednako
petnaest. Kada su tako sva polja bila ispunjena (znak za
nulu tu nije potreban jer ga može nadomjestiti prazno
polje). Zbrajali su brojeve po ˝dijagonalnim prugama˝ počevši od donjega desnog kuta (uz
prijenos u daljnju prugu ulijevo eventualnih desetica – kao i pri našem množenju).
23
Staroindijski matematičari
Aryabhatta (476. – 550.), već je među ostalim, znao vaditi drugi i
treći korijen podjelom radikanda u grupe s po dvije odnosno tri
znamenke (u načelu isto kao što radimo danas), bavi se područjima
astronomije, sferne i ravninske trigonometrije, aritmetike i algebre.
Dao je točne formule za površinu trokuta i kruga, piše o verižnim
razlomcima, kvadratnim jednadžbama, potencijama. Dao je dosta
točnu aproksimaciju broja ≈ 3.14164 i koliko je poznato prvu
tablicu sinusa (polutetiva, a ne tetiva kao Ptolomej).
Brahmagupta (598. – oko 670.) pisao je važna djela o matematici i astronomiji. Bavio se
aritmetičkim nizovima, kvadratnim i diofantskim jednadžbama, teoremima o pravokutnim
trokutima, za koristi aproksimaciju √10 . Prvi je matematičar koji je dao sistematski prikaz
pravila za računanje s negativnim brojevima. Pripisuje mu se pravilo oblika (+)*( - ) = ( - ) .
Pozitivne brojeve interpretira kao blago, a negativne kao dug. Brahmaguptin teorem: u
tetivnom četverokutu s okomitim dijagonalama visine iz sjecišta dijagonala na pojedine
stranice prepolavljaju njima nasuprotne. Brahmaguptina formula: poopćenje Heronove
formule na tetivne četverokute;
𝑃 = √(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐 )(𝑠 − 𝑑)
Mahavira (9. st.) se bavio elementarnom matematikom i prvi je indijski matematičar koji je
napisao samo matematici posvećen tekst. Poznavao je svojstva nule (za zbrajanje, oduzimanje,
množenje), ali nije znao što bi bio rezultat dijeljenja s nulom. Koristi pozicijski sustav, opisuje
rastave razlomka na jedinične razlomke, bavio se linearnim diofantskim jednadžbama, daje
pravila za korištenje permutacija i kombinacija, . . . Pravilno navodi pravila: a · 0 = 0, a − 0 = a,
ali i nepravilno tvrdi da je a : 0 = a.
Bhaskara (1114. – 1185.) najpoznatiji je indijski matematičar do 12. stoljeća. Puno je doprinio
razumijevanju brojevnih sustava i rješavanju jednadžbi, dokazivao je Pitagorin poučak i još
mnogo toga. Glavna su mu matematička djela Lilavati i Bijaganita. Bavio se ravninskom i
sfernom trigonometrijom. Izračunao je 𝑠𝑖𝑛18° i 𝑠𝑖𝑛36°. Dao je i adicijske formule za sinus.
Uočio je problem dijeljenja s nulom. Nakon Bhaskare indijska je matematika, općenito uzevši,
stagnirala i čak nazadovala sve do novijeg vremena.
24
ARAPI
Mnogi smatraju da u razdoblju od kraja grčke antičke znanosti do kasnog srednjeg vijeka u
Europi nije bilo važnih događaja u matematici osim prevođenja grčkih tekstova na arapski. No,
zapravo je doprinos arapskog područja matematici mnogo veći od samog prevođenja i
prijenosa podataka. Današnja matematika zapadnog stila mnogo je sličnija matematici kakvu
susrećemo u arapskim doprinosima, nego onoj u starogrčkim. Mnoge ideje koje su pripisane
Europljanima kasnog srednjeg vijeka i renesanse pokazale su se zapravo arapskim.
Prvi poticatelj znanosti i prevođenja grčkih tekstova na arapski bio je kalif al-Hajjaj, koji je na
vlast stupio 786.g. Glavni znanstveni centar postaje Kuća mudrosti, vrsta akademije ili
sveučilišta u Bagdadu (koji je osnovan 762.g.), koju je osnovao al-Hajjajev sin kalif al-Ma'mun.
Arapski brojevi
Indijski način zapisivanja brojki bio je temelj europskom načinu zapisivanja. No, oni nisu
odmah preneseni iz Indije u Europu već je njihov medij bio arapski narod.
Poprilično različiti brojevni sustavi korišteni su na arapskom poluotoku dugi niz godina.
Postojalo je najmanje 3 različita brojevna sustava:
računanje na prste: brojevi se pišu riječima (trgovci, računovođe)
heksagezimalni sustav: brojevi označeni arapskim slovima (astronomija)
indijski dekadski sustav: znamenke su preuzete iz Indije, ali bez standardnog skupa
simbola, tako da se u raznim krajevima koristilo donekle različite oblike znamenki
(ploče)
Posljednji sustav je omogućio napredak numeričkih metoda, npr. računanje korijena (Abu'l-
Wafa, Omar Khayyam), otkriće binomnog teorema za prirodne eksponente (al-Karaji),
aproksimaciju transcendentnih realnih brojeva i računanje n-tih korijena (al-Kashi).
25
Al-Hvarizmi, prvi veliki arapski matematičar (punim imenom Abu'
Abdallah Muhammad ibn Musa al-Magusi al-Khwarizmi al-
Choresmi). Živio je oko 780.- 850.g. i bio je učenik u Kući mudrosti,
a kasnije ju je i vodio i djelovao pod zaštitom kalifa al-Ma'muna.
Pisao je o algebri, geometriji, astronomiji i njemu se pripisuje
uvođenje arapskih brojeva u matematiku. No, on je samo zaslužan
za prenošenje arapskih brojeva u Europu jer brojčani sustav
bilježenja brojeva znamenkama od 0 do 9 vuče korijene iz Indije još
oko 500. godine.
Donosi odmak od grčke matematike, koja se većim dijelom odnosila
na geometriju, prema algebri. Algebra je omogućavala tretiranje
racionalnih i iracionalnih brojeva, geometrijskih veličina i drugih kao algebarskih objekata, što
je dovelo do potpuno novog razvoja matematike. Glavno djelo mu je udžbenik algebre Hisab
al-jabr w'al-muqabala. Iz njegova naziva izvedena je riječ algebra (al-jabr). Al-Hvarizmi svojom
knjigom želi olakšati rješavanje svakodnevnih problema (npr. pitanja nasljeđivanja u
muslimanskim zakonima), no prvi dio se može smatrati i ozbiljnije algebarskim: bavi se
linearnim i kvadratnim jednadžbama. Sastavio je tablice za funkcije sinus i tangens. Dao je
opću metodu (Al-Hvarizmijevo rješenje) za nalaženje dva korijena kvadratne jednadžbe:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ;
pokazao je da su korijeni
𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Al-Karaji (punim imenom Abu Bekr Muhammad ibn al-Husayn Al-
Karaji, 953.g. - 1029.g.), bagdadski matematičar i inženjer, smatra
se prvom osobom koja je potpuno oslobodila algebru od
geometrijskih operacija i zamijenila ih aritmetičkim, što je osnova
moderne algebre. Tako npr. svođenje na potpun kvadrat provodi
čisto algebarski.
Prvi je definirao monome 𝑥, 𝑥2, 𝑥3, ... i ,1
𝑥 ,
1
𝑥2 ,1
𝑥3... dao pravila za
produkt bilo koja takva dva monoma. Osnovao je utjecajnu
algebarsku školu koja će uspješno raditi više
stoljeća. Kod njega se mogu naći i začeci
matematičke indukcije.
Al-Haytham (punim imenom Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham, 965.g. -
1040.g.) je vjerojatno prvi koji je pokušao klasificirati parne savršene
brojeve. Također je prva poznata osoba koja je izrekla Wilsonov teorem
(Ako je p prost broj, onda p dijeli 1 + (p - 1)!) Nije jasno je li to znao
26
dokazati. A teorem se zove po Johnu Wilsonu jer mu je njegovo poznavanje (ne i dokaz)
pripisano 1770.g. Prvi poznati dokaz dao je Lagrange 1771.g. Al-Haytham se bavio i optikom,
kvadraturom kruga i sustavima kongruencija.
Omar Khayyam (punim imenom Ghiyath al-Din Abu'l-Fath Umar ibn
Ibrahim Al-Nisaburi al-Khayyami, 1048.g. – 1131.g.) uz matematiku bavio
se astronomijom, filozofijom i poezijom. Glavno djelo mu je Algebra. Dao
je potpunu klasifikaciju kubnih jednadžbi (14 tipova) s geometrijskim
rješenjima pomoću sjecišta konika i prvi uočio da ne moraju imati
jedinstveno rješenje. Poziva na prve dvije Apolonijeve knjige o konikama i
daje algebarsku metodu kako druge kubne jednadžbe pretvoriti u
kvadratnu ili neki od tipova iz svoje sistematizacije.
Nasir al-Din al-Tusi (punim imenom Muhammad ibn Muhammad ibn al-
Hasan al-Tusi, 1201.g. - 1274.g) Napisao je važna djela o logici, etici,
filozofiji, matematici i astronomiji, a napisao je i mnoge komentare grčkih
tekstova. Pisao je i o mineralima, draguljima i parfemima. U komentaru
Ptolemejeva Almagesta (1247.g.) uveo je razne trigonometrijske tehnike
za izračunavanje tablica sinusa. Najvažniji doprinos mu je stvaranje
trigonometrije kao matematičke discipline, a ne sredstva za astronomske
proračune, te je dao prvi potpuni prikaz ravninske i sferne trigonometrije.
U tom je djelu dao teorem o sinusima za ravninske trokute (danas poznat kao poučak o
sinusima):
𝑎
sin 𝛼=
𝑏
sin 𝛽=
𝑐
sin 𝛾
27
TALES
Kornelija Čidić, 2.g
Kod Grka se Talesovo ime oduvijek isticalo s velikim ponosom. Od Herodota do danas se o
njemu puno pripovijedalo, no sve ono što bi upućivalo na pomisao da je on utemeljio jonsku
filozofijsku školu zapravo je bezazlena Aristotelova tvrdnja. Aristotel je povezao tu tvrdnju s
pukim izrazom da je Tales odredio vodu kao supstanciju od koje je sve načinjeno. Taj je
„materijalni princip“ opisan pojmovima Aristotelova mišljenja. U svakom slučaju, Aristotel
jasno kaže da se oslanja na sekundarne izvore (λέγεται, Met. A, 984a2), ne znajući ništa povrh
toga o razložnosti na kojoj se temeljio spomenuti iskaz.
Tales je bio zainteresiran za filozofiju, povijest, matematiku … Ništa od njegovih pisanih djela
nije sačuvano, no mnogi grčki filozofi ostavili su traga o njemu i njegovom radu. O njegovom
životu se općenito se malo zna, a saznajemo najviše od Herodota iz djela „Povijest“. Rođen je
640. godine prije Krista u Miletu u uglednoj i poštovanoj plemićkoj obitelji. Neki tvrde da se
nikad nije ženio i da je usvojio sina svoje sestre, dok drugi tvrde da se oženio i imao sina po
imenu Kibist. Tales je prvi dobio nadimak filozofa i bio je među sedam drevnih mudraca. Još
jedan veliki uspjeh u njegovom životu je otvaranje jonske škole. Osim jonske škole, Talesa
možemo svrstati i u miletsku školu zajedno s Anaksimenom i Anaksimandrom. Tales je umro
za vrijeme 58. olimpijade oko 547. godine prije Krista. Za njegovu smrt postoje i tvrdnje:
„… od vrućine, žeđi i slabosti, već u godinama. I na njegovom je grobu natpis: mali je ovaj grob
– ali slava dopire do neba – ovo je mjesto najmudrijeg Talesa.“
Poznato je da je putovao Egiptom. U Egiptu je proučavao matematiku, glazbu i astronomiju.
Tamo je naučio osnove egipatske geometrije. Tamošnji su znanstvenici iskušali Talesovo
znanje i snalažljivost. Doveli su ga do velike piramide i pitali kako bi izmjerio visinu piramide.
Tales je zabio štap u pijesak i rekao: „Kada dužina sjene ovog štapa bude jednaka njegovoj
visini, izmjerite dužinu sjene piramide i dobiti ćete njezinu visinu.“
28
Ono najvažnije što matematičari pripisuju Talesu jest to da je prvi dao logičke temelje
dokazivanju teorema. Našao je metodu kako izračunati udaljenost brodova od obale.
TALESOVA MATEMATIKA
U pogledu matematike, za Talesa se općenito vjerovalo da je u Grčku uveo geometriju.
Posebno su mu se pripisivale zasluge za sljedeće teoreme:
(1) Krug je svojim promjerom podijeljen na dva jednaka dijela. (2) Kutovi uz osnovicu jednakokračnog trokuta su jednaki. (3) Kod pravca koji se sijeku kutovi pri vrhu su jednaki. (4) Kut upisan u polukrug je pravi kut. (5) Trokut je određen ako su mu zadani osnovica i kutovi uz osnovicu.
PROMJER
Promjer je dužina koja spaja dvije nasuprotne točke kružnice i prolazi središtem kružnice.
Dijametar je u geometriji pojam koji označava duljinu promjera. Ako znamo duljinu promjera
kružnice, možemo izračunati površinu kruga.
d – promjer
r – polumjer (polovica promjera)
TALESOV POUČAK
Talesov poučak govori da ako su A, B i C točke na kružnici,
a AC promjer kružnice, onda je trokut ABC pravokutan.
Talesov teorem koristi se za konstrukcije tangenta na
danu kružnicu kroz zadanu točku.
Imamo danu kružnicu k sa središtem O, a mi želimo
konstruirati tangente koje prolaze kroz točku P koju smo
proizvoljno izabrali. Pretpostavimo da tangenta t dodiruje kružnicu k u točki T. Iz simetrije se
jasno vidi da je radijus OT okomit na tangentu. Sada možemo konstruirati simetralu stranice
OP te je označiti točkom H. Konstruiramo kružnicu k' sa središtem H kroz O i P. Točke gdje se
29
sijeku kružnica k i k' nazovimo T i T'. Koristeći Talesov teorem vrijedi da je trokut OTP
pravokutan s pravim kutom u kutu OTP čime smo uspjeli konstruirati tangente na kružnicu.
TALESOV TEOREM O PROPORCIONALNOSTI
Ako su točke A,B,C,D na pravcu p′, a točke A′,B′,C′,D′ točke na pravcu p dobivene
paralelnom projekcijom, onda će se odgovarajući omjeri duljina sačuvati, tj.
.''''
,''
''
DC
CD
BA
AB
DC
BA
CD
AB
TALESOV POUČAK O PROPORCIONALNOSTI U PRAMENU PRAVACA
Ako se dva pravca a i b sijeku u točki O i ako su oni presječeni paralelnim pravcima 1t i
2t takvima da je
'
'
2
2
1
1
Bta
Atb
Bta
Atb
,
onda vrijedi:
30
.''
'
,''
'
,'
'
AB
OB
BA
OB
BA
OA
AB
OA
OB
OA
OB
OA
TALESOV DOPRINOS U DRUGIM ZNANOSTIMA
1) Astronomija
Za predviđanje pomrčine Sunca postoji spis koji tvrdi da je Tales stvarno najavio pomrčinu
koja je bila 28. svibnja 585. godine prije Krista, iako točan način na koji je Tales predvidio
pomrčinu nije poznat.
2) Filozofija prirode
Za početak svijeta Tales je izabrao vodu. Nagađa se da je na tu pretpostavku došao tako
što je vidio da je hrana vlažna, da toplina nastaje iz vlage, da sjeme ima sa svih strana vlažnu
opnu, itd. Među razlozima je svakako i nužnost vode za rast i ishranu živih bića, važnost u
svakodnevnom životu. Od tih pretpostavki kreće i njegova tvrdnja da Zemlja pluta na vodi.
31
PITAGORA
Petra Kalanja, 2.g
Pitagora je rođen (oko 570. pr. Kr.) na grčkom otoku Samosu. Često se prikazuje kao prvi
„pravi“ matematičar. Bio je sin bogatog trgovca s kojim je mnogo putovao. Na tim se
putovanjima mladi Pitagora susreo s mnogim učiteljima i misliocima iz onog vremena koji su
ga poučavali filozofiji i znanosti. Jedan od tih učitelja bio je i glasoviti Tales iz Mileta. U to je
vrijeme Tales bio star čovjek i njegova su otkrića utjecala da se Pitagora još više zainteresira za
matematiku i astronomiju, te je savjetovao Pitagoru da otputuje u Egipat gdje će još više
naučiti o područjima koja ga zanimaju.
Otprilike 535. god. pr. Kr. Pitagora je otputovao u Egipat. Tamo je sudjelovao u mnogim
filozofskim raspravama sa svećenicima i učenjacima. Nakon ritualne svečanosti i sam Pitagora
je postao hramski svećenik u Diospolisu. 525. god. pr. Kr. Kambiz II., kralj Perzije, napada Egipat
i Pitagora je, kao i mnogi njegovi suvremenici, odveden kao rob i ratni zarobljenik u Babilon.
Tu se upoznao s babilonskim tajnovitim vjerskim obredima i s njihovim postignućima u
matematici.
Pitagora Tales iz Mileta
32
518. god. pr. Kr. Pitagora odlazi u Italiju u grad Krotonu i osniva matematičku školu koja
je imala mnogo sljedbenika. U njoj su učenici održavali stroga pravila družbe. Školu danas
nazivamo Pitagorejskom školom.
U Pitagorejskoj školi naglasak je bio na tajnosti i zajedništvu, tako da je danas teško
odgonetnuti što je rad samog Pitagore, a što njegovih učenika. Ono što je sigurno je da je
njegova škola dala velik doprinos matematici. Uspon Pitagore i njegovih sljedbenika bio je
neometan dvadesetak godina, tijekom kojih je Kroton proširio svoj utjecaj na susjedne
gradove u kojima su mnoge vodeće položaje zauzimali članovi bratstva Pitagorejaca. Na kraju
ovog razdoblja Krotonac Kilon potaknuo je narod na pobunu. U Kilonskoj uroti ubijen je veliki
broj Pitagorejaca, a Pitagora je prognan iz Krotona.
Pitagorejska škola imala je puno dostignuća, a jedno od tih dostignuća je dokaz za prije
poznat poučak: Površina kvadrata nad hipotenuzom jednaka je zbroju površina kvadrata nad
katetama. Taj iskaz kasnije je nazvan Pitagorin poučak.
PITAGORIN POUČAK
a² + b² = c²
33
DOKAZ PITAGORINOG POUČKA:
Veliki kvadrat čije su stranice duljine ba ima površinu 2baP .
Površinu velikog kvadrata možemo dobiti i kao zbroj površine malog kvadrata čija je stranica
duljine c i površine četiri sukladna pravokutna trokuta s katetama duljine a i b. Prema tome
vrijedi
abcP
abcP
trokutaPkvadrataPP
2
24
4
2
2
Izjednačavanjem površina dobije se
222
222
22
22
2
cba
abcbaba
abcba
34
Pitagora je smatrao da je u biti svega broj. Prema tome smatralo se da je ono ideal, koji
obično empirijsko znanje ne može pružiti. Na osnovi matematike se pretpostavljalo da je
misao iznad čula. Ukoliko se svijet čula ne slaže s matematikom, utoliko gore po svijet čula.
Spoznaja postoji samo u matematičkom mišljenju. Pitagora je smatrao kako se numerologija
temelji na matematici. Numerologija se danas temelji na dvije teorije, od kojih je jednu
utemeljio sam Pitagora. Prva teorija objašnjava i koncentrira se na čovjekovo ime. Čovjekovo
ime, po toj teoriji, u sebi sadrži važne pokazatelje njegova karaktera i sudbine. Druga teorija
koju je prije više od dva i pol tisućljeća, razvio Pitagora je teorija brojeva. Prema toj teoriji svaki
broj između 1 i 9 ima svoje osobito, jedinstveno značenje.
Kružnica i kugla za Pitagorejce su najsavršeniji među svim oblicima, pa Zemlja i nebeska
tijela moraju nužno biti sferna. Zbog istog razloga i staze nebeskih tijela moraju biti savršene
kružnice. Njihova gibanja moraju biti jednolika jer je takvo gibanje najsavršenije među svim
gibanjima.
GEOCENTRIČNI SUSTAV
Pitagora je sanjao samo o svojoj školi, samo o Grčkoj, samo o budućnosti svijeta. Kao
mnogi veliki adepti, i on se odrekao žena kako bi se mogao potpuno posvetiti svome djelu.
Onaj koji je upućen u tajne određenog društva ili kruga ljudi; slijepi, vjerni pristaša nekoga
35
Tek u šezdesetoj godini se oženio mladom djevojkom, svojom učenicom Teano, čiji otac
je bio Brontinos, stanovnik grada Krotona. Ona je rodila Pitagori troje djece, sinove Arimnesta
i Telogesa i kćerku Damo.
Umro je 475. god. pr. Kr. O njegovoj smrti ima puno legendi i priča, a najvjerojatnijom se
čini ona Dikearhova, prema kojoj je bio prisiljen skloniti se u hramu Muza gdje je gladovao do
smrti.
36
PLATON
Marija Kožarić, 4.g
Obzirom da su o Platonu mnogi pisali i istraživali ga, ima raznih podataka o njegovom rođenju
pa se tako najčešće pretpostavlja da je rođen u Ateni 428. Ili 427. godine pr.n.e. te da je umro
oko 347. godine pr.n.e. Potječe iz dobrostojeće aristokratske obitelji. Majka Periktiona dolazi
iz Solonovog kruga, a otac Ariston iz obitelji posljednjeg atičkog kralja. Pravo ime mu je
Aristokle dok mu je Platon bio samo nadimak kojeg je dobio navodno zbog njegove tjelesne
građe (platon bi u prijevodu značilo širok) ili zbog širine njegova znanja. Bio je grčki filozof,
idealist, Sokratov učenik, Aristotelov učitelj i osnivač Akademije.
Kako potječe iz dobrostojeće aristokratske obitelji prošao je dosta opsežno školovanje te se
upoznao s djelima mnogih grčkih filozofa što se i vidi kasnije u njegovom radu. Prvo je bio
učenik sofista Kratila no mnogo veći utjecaj na njega imao je Sokrat, čiji je učenik postao s 20
godina. Sokrat ga je poučavao posljednjih 9 godina svog života. Kako bi bolje shvatili daljnje
Platonovo djelovanje, treba spomenuti to da je Sokrat bio optužen da „uvodi nove bogove i
zavodi mladež na krivi put“ te ga je porota od 500 članova proglasila krivim. Platon je navodno
bio prisutan na suđenju, ali ne i na njegovu smaknuću. Nakon Sokratove smrti razočarao se u
atensku demokraciju te pobjegao iz Atene. Time započinju njegova putovanja koja su trajala
nekoliko desetljeća. Kroz svoja putovanja posjetio je Italiju, gdje je upoznao Pitagorejce,
Egipat, Siciliju i mnoge druge tada poznate zemlje. Sva ta putovanja utjecala su na Platona pa
tako i na njegov rad i djela koja je napisao.
U mladosti se zanimao za politiku, što je bilo za očekivati s obzirom da su se u obitelji također
bavili politikom, ali presudio je onaj postupak demokratske vlasti prema Sokratu i tako
zahvaljujući tome mi sada, kada pričamo o Platonu, govorimo o filozofu, a ne o političaru. Ipak
su u njegovom filozofskom razmišljanju ostala neka politička i etička pitanja. Tako je Platonov
najpoznatiji i najvažniji dijalog Država. U njemu govori o idealnoj državi koja je zasnovana na
ideji pravednosti, te u njoj svaki pripadnik staleža radi posao za koji je sposoban. Ljude je
podijelio u tri staleža te u sva tri staleža „dodijelio“ određene vrline. Prvi stalež su proizvođači
i njihova vrlina je umjerenost. Drugom staležu pripadaju čuvari kojima je dodijelio vrlinu
hrabrosti. Posljednji stalež su vladari kojima je dodijelio mudrost i razum. Kad se te tri vrline
spoje, ostvari se ideja pravednosti. Glavni cilj njegove države bila je dobrobit i sreća građana,
a glavna funkcija je njihov odgoj. Njegova filozofija ima polazište u učenju o idejama koje su
jedina prava zbilja, a svijet osjetilnih stvari samo je slika svijeta ideja. Ideje su vječne i
nepromjenjive, a bića su promjenjiva i nesavršena. Platonov idealizam potječe od Pitagorejaca
i njihovog razlikovanja pojavnih stvari i brojeva kao nečeg pojmovnog, ali i od Sokratovog
shvaćanja pojma kao općeg.
37
Po povratku u Atenu posvećuje se Akademiji čiji je osnivač. Akademija je jedna od prvih škola
Zapadne civilizacije. Kako je Akademija postojala davno u prošlosti nisu poznati detalji kako je
ona funkcionirala no smatra se da je bila nalik Pitagorejskim školama koje je Platon imao prilike
upoznati dok je boravio u Italiji. U njegovoj školi poučavala se aritmetika, planimetrija,
trigonometrija, astronomija i glazba. Na ulazu u Akademiju pisalo je: „Neka ne ulazi onaj koji
ne zna geometriju.“ Taj natpis pokazuje koliko je Platonu bila bitna matematika. Matematika
obilježava ispravljajuće ideje jedinstva, harmonije i proporcionalnosti što su prema Platonu
nužni sastojci istinske moralnosti, politike i zdravlja, tj. jednom riječju: odgoja. Cilj Akademije
bio je osposobiti učenike za kritičko i razumsko mišljenje, za razliku od sofističkih škola koje su
poučavale praktičnim stvarima. I u današnjem školstvu primjećuje se prisustvo Platonove
Akademije, ne samo u nazivu znanstvenih ustanova nego i u razumijevanju općih zakonitosti
te u razvijanju kritičkog mišljenja kao cilja obrazovnih ustanova.
Aritmetika je danas grana matematike koja proučava računske operacije s brojevima. Naziv
potječe od grčke riječi arithmetike, što bi se u prijevodu rastavilo na: arithmos (broj) i techne
(umijeće). Pojam aritmetike koristi se i za temeljnu teoriju brojeva, tj. osnovni teorem
aritmetike i aritmetičke funkcije. Poznajemo 4 osnovne aritmetičke operacije: zbrajanje,
oduzimanje, množenje i dijeljenje. Isto tako postoje i napredne aritmetičke operacije, a to su
kvadriranje, potenciranje i korjenovanje. Danas, u 21. Stoljeću, da bi izračunali neku
aritmetičku operaciju služimo se kalkulatorima i računalima što u Platonovo vrijeme nije
postojalo. Prema Platonu, aritmetika nas treba osposobiti za racionalno planiranje.
Trigonometrija potječe od dvije grčke riječi: trigonon (trokut) i metron (mjera). Proučava
odnose između segmenta pravaca i kutova trokuta na ravnini ili na površini kugle. Pomoću
crteža je najjednostavnije objasniti trigonometriju (naravno ukratko):
𝛼
38
Trigonometrijske funkcije:
𝑠𝑖𝑛𝛼 =𝑎
ℎ
Sinus kuta pri vrhu A jednak je kvocijentu nasuprotne katete i hipotenuze pravokutnog trokuta.
𝑐𝑜𝑠𝛼 =𝑏
ℎ
Kosinus kuta pri vrhu A jednak je kvocijentu priležeće katete i hipotenuze pravokutnog trokuta.
𝑡𝑔𝛼 =𝑎
𝑏
Tangens kuta pri vrhu A jednak je kvocijentu nasuprotne i priležeće katete pravokutnog trokuta.
𝑐𝑡𝑔𝛼 =𝑏
𝑎
Kotangens kuta pri vrhu A jednak je kvocijentu priležeće i nasuprotne katete pravokutnog trokuta.
Planimetrija je geometrija likova koju je Platon opisao u djelu Timej.
"Znanje kojem teži geometrija je znanje o vječnome“ Platon
Bavio se isključivo pravilnim geometrijskim tijelima. Tvrdio je da su geometrijska tijela i brojevi čisti, trajni, neuništivi i nikad vas neće iznevjeriti. Pravilna geometrijska tijela su ona tijela čije su sve plohe međusobno jednaki pravilni mnogokuti, koji se sastaju u vrhovima koje čini uvijek jednak broj ploha, a to su:
tetraedar(4 plohe) :
39
Heksaedar (poznatiji kao kocka - 6 ploha):
Oktaedar (8 ploha):
Dodekaedar (12 ploha):
Ikozaedar (20 ploha):
40
Astronomija je znanost o nebeskim tijelima i pojavama u svemiru, kao takva je jedna od najstarijih ljudskih djelatnosti. Za Platona, kad se promatra na pravi način (matematički), ona vodi um do uočavanja ljepote pokreta i relacija apstraktnih objekata.
Platon je iza sebe ostavio mnoge dijaloge od kojih su najpoznatiji: Država (O pravednosti), Simpozij (O ljubavi), Fedon (O duši) i Fedar, Parmenid (Dijalog o idejama), Protagora (O vrlini), Teetet i Sofist (O znanju) te Zakoni. Za razliku od Sokrata, on je svoja djela zapisao te mu na tome možemo biti zahvalni, jer da nije bilo njega, matematika danas možda ne bi bila ista.
I za kraj, jedan Platonov citat:
"Svim ljudima nisu sve stvari potrebne, ali je račun ne samo svima nego i svakome jako potreban. Tko računati ili barem brojiti ne zna, mora se izbrisati iz broja svih ljudi, inače nema prijateljstva među trgovcima, ni ljubavi među susjedima, ni sluge u općini, niti pravednost u pravdi stalno stanovati može!"
Platonova tijela i eTwinning kolege iz Grčke:
41
EUKLID
Stella Moguš, 2.g
Euklid je živio oko 330. - 260. godine prije Krista. Euklid je jedan
od najvećih grčkih matematičara starog vijeka.
O Euklidovu životu se ne zna gotovo ništa, ne zna se gdje se
rodio, gdje je studirao, a ne zna se čak ni gdje je umro. Često se
za njega govori da je svjetski misterij. Pretpostavlja se da je
studirao kod Platona u Ateni. U Aleksandriji je osnovao
matematičku akademiju te se pretpostavlja da je tamo dugo
boravio. Najznačajnije Euklidovo remek-djelo o geometriji su
Elementi. Elementi su poslije Biblije vjerojatno najcitiranija, najproučavanija i najprevođenija
knjiga u povijesti.
Geometrijska sinteza
Euklid je svoje bogato znanje sabrao u trinaest svezaka. Djelo je toliko uvjerljivo i
sveobuhvatno da je kao udžbenik ostalo nepromijenjeno već više od dva tisućljeća. Euklid je
sva znanja o geometriji želio sklopiti u jednu cjelinu. Tako su u njima uočljivi rezultati poznatih
grčkih matematičara Pitagore, Eudoksa i Teteusa.
U prvih šest svezaka obrađena je ravninska geometrija i neka druga matematička ključna
načela, kao što je Eudoksova teorija razmjera.
U sljedeća četiri sveska bavi se o teorijom brojeva (uključujući dokaz da postoji beskonačan
broj prostih brojeva).
Zadnja tri dijela su usredotočena na geometriju prostora.
Neeuklidski prostori
''Paralelni'' aksiom tvrdi da se kroz točku koja leži izvan pravca može povući samo jedan pravac
koji se početnim pravcem ne siječe (tj. paralelni pravac). To je bilo pitanje u dvanaestom
stoljeću koji je istraživao mađarski matematičar Janos Bolyai.
42
Janos Bolyai je rođen u današnjem gradu Cluju, u Rumunjskoj.
Janos je pokušao dokazati Euklidov ''paralelni'' postulat, što je na kraju otkrio
da ga je nemoguće dokazati, te je time započela nova škola matematičkog
razmišljanja. Uvjerenje Alberta Einsteina je da je geometrija prostora
također neeuklidska, što je kasnije dokazano kao točno.
Euklidov algoritam
To je postupak kojim se određuje najveća zajednička mjera dvaju cijelih brojeva, dvaju
polinoma ili dviju dužina.
Za brojeve a i b uz uvjet a ≥ b, verižnim dijeljenjem dobivamo niz brojeva bi, kao ostatke
dijeljenja prema jednadžbama:
3221
211
1
bbnb
bbnb
bnba
dok bk ne bude jednak 0.
Posljednji bi različit od 0, je najveća zajednička mjera. Oznaka M.
Npr. Za brojeve 70 i 42 vrijedi:
014228
1442142
2842170
Prema tome, slijedi da je M = 14.
Euklidovi elementi
To je matematički spis objavljen oko 300. g. pr. Kr. u 13 knjiga. Vjekovima je bio nenadmašen
uzor stroge znanstvene dedukcije. Sve do XIX.st. oni su bili osnovni udžbenik geometrije, bilo
je čak 500 izdanja na mnogim jezicima. Izvorni tekst Euklidovih Elemenata na žalost se nije
sačuvao, pa se ne zna točno što je u njima izvorni Euklidov prilog, no svakako je velik.
U knjigama od I.-VI. obrađena je planimetrija.
Od VII.-X. obrađena je aritmetika i teorija brojeva u geometrijskom obliku.
43
U XI.-XIII. obrađena je stereometrija.
Za pitanja geometrijske aksiomatike najvažnija je I. knjiga, jer su u njoj skupljeni svi aksiomi na
kojima se zasnivaju Euklidovi elementi.
Najveću pozornost privukao je V. postulat: '' Ako pravac siječe dva pravca i čini s njima s iste
strane unutrašnje kutove koji su zajedno manji od dva prava, ta se dva pravca sijeku na strani
tih kutova.''
Analiza Euklidovih elemenata otkrila je u njima niz nedostataka, a u prvome redu nepotpunost
njihove aksiomatike.
Euklidovi teoremi
Ima pet pretpostavki na kojima se osniva klasična Euklidova geometrija.
A to su:
1.) Kroz bilo koje dvije točke moguće je provući jedan i samo jedan pravac
2.) Ako točka B leži između točaka A i C, onda sve tri leže na istom pravcu
3.) Gibanjem točaka prelazi u točku, pravac u pravac a ravnina u ravninu, čuvajući svojstva
točke, pravca i ravnine
4.) Svaki po volji veliki odlomak (pravca ili ravnine) moguće je prekriti bilo kojim drugim
odlomkom stavljajući ga na prvi dovoljan broj puta
5.) Ako pravac siječe dva pravca i čini s njima s iste strane unutrašnje kutove koji su zajedno
manji od dva prava, ta se dva pravca sijeku na strani tih kutova
44
ARHIMED
Kristina Komljenović, 4.g
Arhimed je rođen 287. pr. Kr. u Sirakuzi na Siciliji. Bio je fizičar,
astronom i jedan od najvećih matematičara svih vremena koji
su se intenzivno bavili praktičnim problemima.
Nazivaju ga vrhuncem helenske matematike i jednim od
najvećih fizičara starog vijeka.
Za života najviše vremena proveo je u rodnom gradu, iako je
jedno vrijeme boravio i u Aleksandriji.
Arhimedov otac zvao se Fidija. On je također bio matematičar,
astronom, ali i astrolog. Upravo je on taj koji je Arhimeda čitav
svoj život učio i prenosio mu sva znanja koja je posjedovao.
Arhimed je poginuo od ruke rimskog legionara za vrijeme
Drugog punskog rata, 212. godine pr. Kr., unatoč naredbi
rimskog vojskovođe Marcela da mu se poštedi život. Legenda kaže da je crtao krugove u
pijesku, koje je nagazio rimski legionar, te mu je Arhimed viknuo “Noli turbare circulos meos!“
(u slobodnom prijevodu: ''Ne dirajte moje krugove''), a ljutiti vojnik ga je usmrtio kopljem.
Grob mu je, zahvaljujući crtežu lopte i valjka na nadgrobnom spomeniku, pronašao Ciceron.
Najvažnija Arhimedova djela koja su sačuvana su: O kugli i valjku; O sferoidima i konoidima; O
mjerenju kruga; Metoda; O plivanju tjelesa; O ravnoteži ravnih likova.
Najveću slavu stekao je svojim raspravama o zaobljenim geometrijskim likovima čiju je
površinu izračunavao složenom metodom bliskom današnjem infinitezimalnom računu. Tako
je upisivanjem pravilnih poligona od 6, 12, 24, 38 i 96 stranica u krug i njihovim opisivanjem
oko kruga dobio dotad najbolju aproksimaciju broja π.
Primjenom te metode na tijela došao je do zaključka da se obujmi valjka, kugle i stošca
jednakih polumjera i visina odnose kao 3 : 2 : 1.
Arhimedov vijak
Od fizikalnih i tehničkih pronalazaka, ističe se i Arhimedov vijak, cijev svinutu kao zavoji vijka
koja, okretanjem, služi za dizanje vode; Arhimedov zakon uzgona, nakon pronalaska je
navodno gol istrčao na ulicu vičući ''Heureka!''; zakon poluge, legendarna je njegova izjava
„Dajte mi oslonac i dovoljno dugačku polugu pa ću pomaknuti Zemlju!“, itd.
45
Slika 1- Arhimedov vijak i eTwinning kolege iz Grčke
METODA EKSHAUSTIJE (ISCRPLJIVANJA)
Metoda ekshaustije ili iscrpljivanja je metoda pronalaženja površine nekog lika upisivanjem u
njega niza poligona čije površine se približavaju ili konvergiraju površini promatranog lika. Ako
je niz pravilno konstruiran, razlika površina između n-tog upisanog poligona i promatranog lika
postaje po volji malena kako n postaje po volji veliki.
Arhimed je pomoću metode ekshaustije riješio čitav niz problema koji se danas rješavaju
integralnim računom.
Kvadratura parabole
Arhimed je koristeći metodu ekshaustije izračunao površinu odsječka parabole dva tisućljeća
prije otkrića infinitezimalnog računa. Površinu je najprije izračunao koristeći teoreme iz
mehanike, a zatim je dao geometrijski dokaz.
46
Koncept integriranja
Često se postavlja pitanje je li Arhimed zapravo izumio integriranje. Naime, osim što je koristio
metodu ekshaustije, Arhimed je koristio i metodu upisivanja i opisivanja mnogokuta oko nekih
likova tako dugo dok razliku površina nije učinio proizvoljno malom, primjerice, tako je našao
površinu kruga, ali i volumen tijela nastalih rotacijom parabole, elipse i hiperbole. Kako nije
poznavao pojam limesa, odgovor bi bio negativan, ali se nikako ne može poreći da su njegove
metode jako slične onima kojima je Riemann definirao svoj integral. Isto tako, nije tražio
poopćenja svojih metoda, što bi isto bilo nužno za definiciju integrala, već najprimjereniji
geometrijski postupak za svaki problem posebno.
Arhimedova spirala
Arhimedova spirala je transcedentalna krivulja koja nastaje kada
točka, polazeći iz ishodišta, jednolično obilazi ishodište i jednolično
se udaljuje od njega; udaljenost neke točke Arhimedove spirale od
ishodišta razmjerna je pripadnom kutu zakreta.
Slika 2- Arhimedova spirala
Arhimedov aksiom
Arhimedov aksiom: za svaka dva realna broja 𝑎 > 0 𝑖 𝑏 > 0 postoji takav prirodni broj 𝑛 da
je 𝑛𝑏 > 𝑎.
47
DIOFANT
Dominik Domitrović, 2.g
Diofant iz Aleksandrije (Dióphantos ho Alexandreús) starogrčki je matematičar koji je otkrio
Diofantske jednadžbe. Unatoč tome što je bio istaknuti matematičar svog vremena, vrlo malo
je poznato o njegovom životu. Njegov rad je sačuvan u šest poglavlja Aritmetike. Sedmo
poglavlje je izgubljeno. Aritmetika je vjerojatno najstariji sistemski traktat o algebri.
Diofant je prvenstveno zanimala teorija brojeva i rješavanje jednadžbi. Dao je veliki doprinos
napretku algebre uporabom simbola za veličine, matematičke operacije i odnose. Prethodno
su ove veličine opisivane riječima.
DIOFANTSKE JEDNADŽBE
Neka je f polinom s n varijabli i cjelobrojnim koeficijentima. Jednadžba oblika
0),...,,(21
n
xxxf , čija su rješenja cijeli brojevi naziva se diofantska jednadžba.
Najjednostavnije jednadžbe su naravno linearne diofantske jednadžbe oblika
mxaxann ...
11, gdje su
naa ,...,
1 Z.
1. Linearne diofantske jednadžbe s dvije nepoznanice
cbyax ; cba ,, Z
Primjer 1. Riješimo homogenu diofantsku jednadžbu 053 yx
Izrazimo jednu nepoznanicu pomoću druge:
yx3
5
Budući da je x cijeli broj, rješenje y mora biti djeljivo s 3, tj. y je oblika ty 3 , gdje je t cijeli
broj. No, tada je tx 5 . Dakle, rješenja diofantske jednadžbe 053 yx su parovi (−5t,
3t), t Z.
48
Primjer 2. Riješimo diofantsku jednadžbu 51231000 yx .
Izvršavanjem uzastopnih dijeljenja dobivamo ovaj niz jednakosti:
1000 = 8 · 123 + 16
123 = 7 · 16 + 11
16 = 1 · 11 + 5
11 = 2 · 5 + 1
Kad je ostatak jednak 1 postupak dijeljenja završava. Iz tih jednakosti izražavamo ostatke:
16 = 1000 − 8 · 123
11 = 123 − 7 · 16
5 = 16 − 1 · 11
1 = 11 − 2 · 5
Uvrstimo u posljednju jednakost izraz za broj 5 iz pretposljednje jednakosti:
1 = 11 − 2 · 5 =
= 11 − 2 · (16 − 11 · 1) =
= 3 · 11 − 2 · 16 =
= 3 · (123 − 7 · 16) − 2 · 16 =
= 3 · 123 − 23 · 16
= 3 · 123 − 23 · (1000 − 8 · 123) =
= −23 · 1000 + 187 · 123.
Dakle, 1 = −23 · 1000 + 187 · 123, pa množenjem s 5 dobivamo
5 = −115 · 1000 + 935 · 123.
2. Nelinearne diofantske jednadžbe
a) Metoda faktorizacije
Primjer 3. Riješimo diofantsku jednadžbu 063 yxxy
Lijevu stranu jednadžbe rastavimo na faktore:
3131 yyx
331 xy
49
b) Metoda kvocijenta
Primjer 4. Riješimo diofantsku jednadžbu xyxy 2
Izrazimo jednu nepoznanicu, na primjer x
xy
2
c) Metoda posljednje znamenke
Primjer 5. Riješimo diofantsku jednadžbu 93199519941952 yx
Budući da kvadrat cijelog broja završava sa znamenkom 0, 1, 4, 5, 6 ili 9, a broj 5y sa
znamenkom 0 ili 5, slijedi da zbroj na lijevoj strani završava s 0,1,4,5,6 ili 9, a nikako s 3. Dakle,
zadana diofantska jednadžba nema rješenja.
d) Metoda kongruencija
Primjer 6. Riješimo diofantsku jednadžbu 199542 yx
Budući da je 1995 neparni broj, a 4y parni, tada je x2 neparan, tj. x je neparan. Možemo ga
pisati u obliku kkx ,12 Z. Uvrstimo li to u početnu jednadžbu dobivamo:
1994)(4
19954144
1995412
2
2
2
ykk
ykk
yk
Lijeva strana je djeljiva s 4, dok desna strana nije, pa jednadžba nema rješenja.
e) Metoda zbroja potencija s parnim eksponentima
Primjer 7. Riješimo diofantsku jednadžbu 084222 yxyx
Prikažimo ovu jednadžbu u obliku zbroja kvadrata. Dopunom do potpunih kvadrata dobivamo:
08444112 22 yyxx
132122 yx
Rješenja su (x, y) 4,25,1
50
f) Metoda nejednakosti
Primjer 8. Riješimo diofantsku jednadžbu xxx 543
Očito je x = 2 jedno rješenje ove jednadžbe. Dijeljenjem zadane jednadžbe s x5 dobivamo
15
4
5
3
xx
za 2x je 15
4
5
3
5
4
5
322
xx
,
a za 2x je 15
4
5
3
5
4
5
322
xx
.
Prema tome, x = 2 je jedino rješenje ove jednadžbe.
51
AL HVARIZMI
Marko Crnojević, 4.g
Kada želimo zapisati nečiji broj telefona ili izračunati
koliko će nas ukupno koštati neka roba koju
namjeravamo kupiti, služimo se arapskim brojkama.
Točnije rečeno, služimo se indijsko-arapskim brojevnim
sustavom. Naime, temelj suvremenog decimalnog
sustava u kojem se koriste znamenke od 0 do 9 razvio se
u Indiji te je dospio na Zapad zahvaljujući
srednjovjekovnim učenjacima koji su svoja djela pisali na
arapskom jeziku. Među njima je najistaknutiji bio
Muhamed ibn Musa al-Hvarizmi. On se najvjerojatnije
rodio na području današnjeg Uzbekistana oko 780.
godine. Hvarizmi je bio od izuzetne važnosti kao jedan
od prvih arapskih istaknutih matematičara, koji je
napravio odmak od grčkih zapisa i otvorio novu eru u
matematici. Mnogi ga smatraju jednim od najvećih
arapskih matematičara. Čime je zaslužio tu laskavu
titulu?
ČUVENI MATEMATIČAR
Al-Hvarizmi je pisao o upotrebi decimalnih brojeva te o jednoj metodi rješavanja složenih
matematičkih problema. Tu je metodu objasnio u svom djelu Knjiga o uspostavljanju i
suprotstavljanju. Time je postavio temelje za razvoj algebre. Naziv algebra nastao je od izraza
al-jabr, koji se javlja u arapskom naslovu al-Hvarizmijevog djela. Publicist Ehsan Masood,
vrstan poznavatelj povijesti arapske znanosti, smatra da je izum algebre “najvažnije
matematičko otkriće svih vremena i temelj svih znanosti”.
Koliko je arapski brojevni sustav jednostavniji od rimskog? Za usporedbu recimo samo da se
broj 188 rimskim brojkama piše CLXXXVIII
“Nebrojeni naraštaji srednjoškolaca baš i nisu presretni zbog tog otkrića”, rekao je u šali jedan
pisac. No al-Hvarizmi nije želio ljudima zagorčati život. On je u svojoj knjizi napisao da je samo
htio objasniti i pojednostaviti računske radnje koje se primjenjuju u trgovini, podjeli
nasljedstva, geodetskim mjerenjima i raznim drugim djelatnostima.
Stoljećima kasnije zapadnjački matematičari, među kojima su bili Galileo Galilei i Leonardo
Fibonacci, jako su cijenili al-Hvarizmija zbog toga što je na lako razumljiv način objasnio
primjenu jednadžbi. Al-Hvarizmi je svojim objašnjenjima utro put daljnjim istraživanjima na
području algebre, aritmetike i trigonometrije. Otkrića iz trigonometrije omogućila su
52
bliskoistočnim učenjacima da računaju kutove i duljine stranica različitih trokuta te vrše
napredna astronomska istraživanja.
Neki su matematičari na temelju al-Hvarizmijevih otkrića kasnije osmislili nove načine
korištenja decimalnih razlomaka i nove metode izračunavanja površine i volumena. Graditelji
koji su živjeli na Bliskom istoku počeli su koristiti te napredne metode računanja mnogo prije
negoli graditelji iz zapadnih zemalja. Oni su se s tim otkrićima upoznali tijekom križarskih
ratova te su ih kasnije prenijeli u zapadni svijet. Značajnu ulogu u širenju tih spoznaja odigrali
su i učeni muslimanski zarobljenici te doseljenici iz bliskoistočnih zemalja.
ALGEBRA
Al Hvarizmi je svoj najveći trag ostavio na polju algebre. Njegovo najveće djelo; Al-Kitāb
al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala, što u slobodnom prijevodu znači „Sažeta knjiga o
metodama računanja“ ima upravo tu tematiku. Smatra se da je upravo ta knjiga oblikovala i
definirala algebru. Štoviše, od naziva njegove metode „al-jabr“, koja se odnosila na operaciju
„upotpunjavanja“, odnosno dodavanja brojeva na obje strane jednadžbe u svrhu zbrajanja ili
poništavanja vrijednosti, dolazi i današnja riječ „algebra“ te ga se zbog toga smatra njenim
ocem. Druga operacija koju je koristio, „al muqabala“, se odnosila na proces skraćivanja
pozitivnih članova istog stupnja kada se oni pojavljuju na obje strane jednadžbe. Prema njemu,
jednadžbe su sastavljene od jedinica, korijena i kvadrata. Jedinicu predstavlja broj, korijen je
𝑥, a kvadrat 𝑥2.
TRIGONOMETRIJA
Al Hvarizmi se je uz algebru i aritmetiku bavio i trigonometrijom. Prvi je napravio
tablicu trigonometrijskih funkcija sinusa i kosinusa, što nije opće poznati podatak. Proučavao
je i sfernu geometriju, što je bilo značajno za geografska otkrića.
ARITMETIKA
Drugo najveće djelo Al Hvarizmija bavi se
aritmetikom. Točan naziv knjige nije poznat jer su originalni
arapski spisi izgubljeni, a za latinski prijevod je poznato da je
dosta izmijenjen. Tekst poznajemo po početne dvije riječi
„Dixit Algorizmi“ što bi slobodno prevedeno značilo
„Hvarizmi je rekao“. Smatra se da je riječ „algoritam“ upravo
nastala iz latinizacije njegovog imena. Zna se da je opisao
brojevni sustav temeljen na brojevima 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
i 0 (danas nam je poznat kao dekadski brojevni sustav).
Preuzeo ga je od indijskih matematičara i uveo ga u
matematiku Bliskog Istoka i Europe. Također, kao posljedica
njegovog učenja navodi se prvo razumijevanje nule kao broja
te njena primjena.
53
ZAPAD OTKRIVA DOSTIGNUĆA ARAPSKE MATEMATIKE
S vremenom su al-Hvarizmijeva djela bila prevedena na latinski. Općenito se smatra da je
talijanski matematičar Fibonacci (oko 1170.-1250.) zaslužan za to što je zapadni svijet prihvatio
indijsko-arapski brojevni sustav. Fibonacci se s njime upoznao dok je putovao po Sredozemlju,
a kasnije ga je podrobno opisao u svojem djelu Knjiga o abacima.
JESTE LI ZNALI?
Preteče današnjih brojki koristile su se u Indiji već u 3. stoljeću pr.Kr.
Kasnije su indijski učenjaci svoje znanje iz matematike prenijeli podanicima kalifa al-Mansura
na njegovom dvoru u Bagdadu.
U svom djelu Računanje s indijskim brojevima al-Hvarizmi je zagovarao korištenje decimalnog
brojevnog sustava. Podrobno je objasnio i razne pojmove iz starijih izvora, primjerice iz djela
grčkih, židovskih i indijskih učenjaka.
Iznimno vrijedno nasljeđe
“Kad govorimo o brojevima i matematici, neosporno je da su nam [srednjovjekovni
bliskoistočni učenjaci] ostavili u nasljeđe veliko i iznimno vrijedno znanje” (Ehsan Masood).
“Glavni je doprinos koji su Arapi dali matematici to što su povezali dvije različite matematičke
misli, grčku i indijsku… Tako je preko Arapa došla u Europu i indijska matematika, a posebno i
indijske brojke, koje su inače poznate kao arapske brojke” (Hrvatska opća enciklopedija).
U europskim je zemljama indijsko-arapski brojevni sustav “ušao u širu upotrebu tek tijekom
15. stoljeća”(Encyclopedia of Society and Culture in the Medieval World).
Al Hvarizmi je svakako bio jedan od značajnih arapskih matematičara. Zaslužan je za nove ideje
u matematici i bez njega ne bi bilo današnje algebre kakvu poznajemo. Zasluženo ga se zove
ocem algebre i smatra se da on možda više zaslužuje taj naslov od Diofanta, jer su njegovi
principi elementarni i temeljni za današnju algebru, dok se Diofant više bavio teorijom brojeva.
Osim što je pridonio i samom matematičkom jeziku, zbog čega danas imamo riječi „algoritam“
i „algebra“, bavio i drugim znanostima gdje je ostavio traga. Napravio je most između
matematike Antičke Grčke i Indije s matematikom Europe i Zapada. Al Hvarizmi je svojim
radom utjecao na mnoge druge matematičare. Uz njega, poznati arapski matematičari su bili
Al Karaji, koji je algebru oslobodio u potpunosti od geometrijskih operacija, Al Haytham, koji
se je bavio klasifikacijom parnih savršenih brojeva, Omar Khyyam, koji je dao potpunu
klasifikaciju kubnih jednadžbi i Nasir Al Din Al Tusi, koji je pridonio stvaranju trigonometrije
kao matematičke discipline. Zaključujemo kako je arapska matematika izuzetno važna u
povijesti i da je pridonijela mnogim današnjim granama.
slika 5.
54
FIBONACCI
Barbara Mašunjac, 4.g
Leonardo od Pise (12. – 13.st.), nama poznatiji kao Leonardo Fibonacci, ili samo Fibonacci, bio
je talijanski matematičar, jedan od najpoznatijih matematičara srednjeg vijeka. Već kao dječak
putovao je s ocem koji je bio carinik te je tako svoju mladost proveo u Arabiji. Tamo se upoznao
s arapskom, te s indijskom matematikom. Stoga je temelj njegove matematike upravo broj.
Leonardo je poznate i nepoznate veličine promatrao kao konkretne, nazivajući zadani broj
numerus ili denarius, u prijevodu novac, a nepoznati res, što znači stvar.
Fibonnaci je iza sebe ostavio čitav niz otkrića, kao što je razlomačka crta i računanje s
razlomcima, aritmetički niz, jednadžbe, iracionalne veličine, kvadratne jednadžbe, no dvije
stvari u kojima je ostavio najupečatljiviji trag su raširenost uporabe arapskih brojeva u Europi
te Fibonaccijev niz.
Arapski brojevi su nam svima vrlo bliski te se s njima susrećemo u svakodnevnom životu. To
su brojevi 0 (nula), 1 (jedan), 2 (dva), 3 (tri), 4 (četiri), 5 (pet), 6 (šest), 7 (sedam), 8 (osam), 9
(devet). Fibonacci je ovdje ostavio poseban trag iz razloga što je prvi upotrijebio nulu u
brojevnom sustavu.
Fibonacci je otkrio svoje brojeve tako što je promatrao kako brzo se zečevi mogu razmnožavati
u idealnim uvjetima, tj. koliko će se zečeva razmnožiti kroz godinu dana, s tim da zečevi, u
ovom slučaju, nikada ne umiru. Pretpostavka je zvučala ovako: prvi mjesec imamo jedan par
zečeva (1 muški, 1 ženski). Na kraju drugog mjeseca imamo dva para zečeva, na kraju trećeg
mjeseca tri para zečeva, itd. Nakon 12 mjeseci bismo došli do rezultata od 233 para zečeva.
Do tog broja smo došli tako što smo zbrajali uvijek dva prethodna broja.
55
Jednostavno pravilo Fibonaccijevog niza je da zbrojimo dva prethodna broja kako bismo dobili sljedeći, odnosno to je kompozicijski zakon u kojem se manji dio odnosi prema većem kao veći dio prema ukupnom.
Fibonaccijev niz se često povezuje sa brojem zlatnog reza fi, 𝜑 . Taj broj je često nazivan
''Božanskim omjerom''. Fibonaccijeve brojeve pronalazimo svugdje u prirodi. Npr.
razmnožavanje pčela, oblik školjke, u oblicima mnogih biljaka, i sl. Jedan od primjera
Fibonaccijevog niza imamo u suncokretu: red sjemena u centru suncokreta izgleda kao spiralni
uzorak. Ako podijelimo spirale koje idu u lijevo i one koje idu u desno, dobit ćemo dva
Fibonaccijeva broja.
Fibonaccijev broj ćemo
često dobiti ako
prebrojimo latice na
nekom cvijetu. Nama
najzanimljiviji primjer
''Božanskog omjera'' je
upravo u ljudskom tijelu.
Ljudsko tijelo se u
potpunosti sastoji od
Fibonaccijevog niza. Naše
tijelo se sastoji od brojeva 1, 2, 3 i 5. Imamo jedan nos, dva oka, tri
dijela svakog uda te pet prstiju na svakoj ruci. Izmjerimo li cijelu
dužinu svoga tijela i podijelimo je s dužinom od pupka do poda,
dobit ćemo broj 𝜑. Također, izmjerimo li udaljenost od ramena do
vrhova prstiju i podijelimo je s udaljenosti od lakta do vrhova
prstiju, dobit ćemo 𝜑, tj. 1,618. Isto tako, udaljenost od kuka do
poda podijeljena s udaljenošću koljena do poda daje 1,618.
56
Zlatni rez odnosno broj 𝜑 danas pronalazimo gotovo svugdje pa tako i u umjetnosti i glazbi.
Leonardo da Vinci jedan je od prvih umjetnika koji je proučavao proporcije ljudskog tijela i na
temelju toga izrađivao svoje portrete. Zbog toga se njegovo djelo ''Mona Lisa'' smatra
sinonimom savršenstva.
Fibonaccijev niz također često pronalazimo u arhitekturi. Matematika i arhitektura su uvijek
bile bliske, ne samo zbog toga što arhitektura ovisi o razvoju matematike, nego i zbog njihove
zajedničke težnje redu i ljepoti, odnosno forme u konstrukciji. Jedna od najpoznatijih
građevina, građena na principu zlatnog reza, tj. omjera BC : AB = AB : BC, je Partenon. Partenon
je antički hram posvećen božici Ateni. Partenon je jedna od najskladnijih građevina iz razloga
što su Grci za mjerenje koristili mjere preuzete iz veličine dijelova ljudskog tijela: palac – dlan
– pedalj – lakat – ruka – korak. Načelo ˝Čovjek je mjerilo stvari!¨ je realizirano u Partenonu.
57
Školjka puža Nautilus je jedan od najsavršenijih oblika u prirodi. Ona je u obliku spirale čiji su
sastavni dijelovi kvadrati, svi dužine jednog od Fibonaccijevih brojeva.
Liber Abaci, ili u prijevodu knjiga računanja, je Fibonaccijevo najpoznatije djelo u kojem govori
o aritmetici. Liber Abaci je jedna od prvih zapadnih knjiga u kojoj su opisane arapske brojke.
Fibonacci je svojom knjigom htio uvjeriti narod o superiornosti novih brojeva. Prvi dio knjige
predstavlja novi brojevni sustav, uključujući pretvaranje između različitih sustava. Drugi dio
knjige donosi primjere iz trgovine, tj. govori o pretvaranju valuta, te izračunu dobiti i interesa.
Treći dio razmatra problem matematičkog niza, u kojem se opisuje rast populacije zečeva, po
čemu je Fibonacci i najpoznatiji. Posljednji, četvrti dio je vezan uz iracionalne brojeve, poput
korijena.
Fibonacci je jedan od najvećih i najznačajnijih matematičara svih vremena i možemo mu
zahvaliti na mnogočemu.
58
VIÈTE
Karolina Marenić, 2.g
François Viète (1540.-1603.) bio je znameniti francuski matematičar, koji to zapravo nije bio.
Po struci je bio pravnik i radio je kao pravnik i zastupnik u parlamentu u Francuskoj, a
matematikom se bavio iz hobija te je svojim matematičkim znanjem uvelike pomogao svojoj
državi.
U vrijeme francuskog kralja Henrika IV., španjolski kralj Filip II. 1590. godine šalje zahtjev za
francuskim prijestoljem na osnovi rodbinskih veza. Kralj Henrik odbija zahtjev te dolazi do rata.
U to doba španjolski su agenti komunicirali koristeći šifre sa oko 500 znakova. Francuzi
presreću jednu od španjolskih poruka te ju kralj Henrik IV. daje Viètu da ju dešifrira. 15. ožujka
1590. Viète kralju daje dešifriranu poruku. Španjolci su nakon dvije godine shvatili da Francuzi
razumiju njihove poruke te je španjolski kralj Filip II. tužio Francusku papi da se koristi crnom
magijom, a Vièta da se osudi da je čarobnjak, u što papa nije povjerovao te je odbio zahtjev
španjolskog kralja.
François Viète kralj Henrik IV. kralj Filip II.
Françoisa Vièta smatramo osnivačem moderne algebre te nakon njega algebru smatramo
općom znanosti o algebarskim jednadžbama oslonjenu na simboličke oznake. Viète je također
zaslužan i za uvođenje prvog sustavnog označavanja algebarskih veličina. Godine 1591. Viète
objavljuje „In artem analyticem isagoge“, knjigu u kojoj je opisao primjenu algebre na
geometriju. François Viète nam u svom dijelu prikazuje već neke poznate, ali i svoje nove
metode rješavanja jednadžbi do 4. stupnja te daje vezu tj. Viètove formule između koeficijenta
i rješenja jednadžbe. Pojam „koeficijent“ uveo je Viète. Za poznate veličine koristio se
suglasnicima, a za nepoznanice je koristio samoglasnike.
59
KVADRATNA JEDNADŽBA KUBNA JEDNADŽBA
02 cbxax 023 dcxbxax
a
cxx
a
bxx
21
21
a
dxxx
a
cxxxxxx
a
bxxx
321
133221
321
Godine 1593. Adriaan van Roomen, belgijski matematičar, zadao je zadatak sa jednadžbom
45. stupnja. Iako je tadašnji nizozemski ambasador izjavio da Francuska nema dovoljno dobrih
matematičara koji bi riješili van Roomenov problem, kralj Henrik IV. ga daje Viètu. Viète,
uočivši da se radi o trigonometrijskoj relaciji, s lakoćom rješava problem te spašava ugled
francuskih matematičara.
Adriaan van Roomen
VAN ROOMENOVA JEDNADŽBA 45. STUPNJA
64
45
8
15
16
5
4
74537959563411385007811375
34512074105306075232676280384942375488484125
483841800378658800236030652117679100469557800
1494504037645657404591111501230094545
3579
1113151719
2123252729
3133353739414345
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxxxxx
60
Viète je također uspio riješiti problem jednog od najvećih grčkih matematičara-geometra
Apolonija, a problem glasi „Konstruiraj kružnicu koja dira tri dane kružnice.“
VIETEOVO RJEŠENJE APOLONIJEVA PROBLEMA
r4 r3
r1 S1 S3
S r
r5 r2 R
S2
1579. godine pokušao je pomoću Arhimedove metode računanja opsega opisanih i upisanih
poligona izračunati broj te je dobio:
3.1415926535 < < 3.1415926537
VIETEOVO RAČUNANJE BROJA
222222
12
61
1579. godine François Viète u svom dijelu „Canon mathematicus“ objavljuje tablice
trigonometrijskih vrijednosti (sinus, kosinus,… )
SINUS I KOSINUS VIŠESTRUKOG ARGUMENTA
xxx
xxx
22 sincos2cos
cossin22sin
DVOSTRUKI ARGUMENT
TROSTRUKI ARGUMENT xxx
xxx
sin3cos43cos
sin4sin33sin
3
3
62
JOHN NAPIER
Laura Iličić, 3.g
John Napier (Edinburgh, 1550. - Edinburgh 1617. godine)
Općenito
Godine 1563. John se upisao na sveučilište St. Andrews. Diplomu je vjerojatno stekao u
inozemstvu, na sveučilištu u Parizu, a zna se i da je neko vrijeme boravio u Italiji i Nizozemskoj.
Napier je relativno slabo poznat izvan matematičkih i inženjerskih krugova, u okviru kojih je
napravio ključni pomak u uporabi matematike. Najpoznatiji je kao izumitelj logaritama i
Napierovih kostiju, te zbog popularizacije uporabe decimalnog zareza.
LOGARITMI
Metodu prirodnog logaritma prvi je predložio 1614. John Napier u svojoj knjizi Mirifici
Logarithmorum Canonis Descriptio. Ova metoda doprinijela je napretku znanosti, a posebno
astronomiji, čineći neke teške računice mogućim. Sve do uporabe računala u znanosti, ova
metoda je korištena u svim granama praktične matematike. Pored svoje uporabe u računima,
logaritmi su popunili važno mjesto u višoj, teorijskoj matematici.
U početku, Napier je logaritme zvao "umjetnim brojevima", a antilogaritme "prirodnim
brojevima". Kasnije, Napier je stvorio riječ logaritam, zvučnu kovanicu koja je trebala označiti
odnos: λoγoς (logos) i αριθμoς (arithmos) što predstavlja broj. Termin antilogaritam je uveden
pred kraj 17. stoljeća i, iako se nikada nije pretjerano koristio u matematici, postojao je u
tablicama dok nije izašao iz uporabe.
Po zanimanju je bio teolog, matematičar,
fizičar, astronom i astrolog.
Nakon što je umro od gihta, Napier je sahranjen
u crkvi St. Cuthberta, Edinburghu.
63
LOGARITAMSKE OPERACIJE
NAPIEROVE KOSTI
Napierove kosti su neka vrsta mehaničkog računala koje služi za množenje, dijeljenje i
računanje drugog korijena. Svoj izum je opisao u djelu koje se zove «Rabdology». Knjiga je
izdana u Edinburghu krajem 1617. godine.
Sastoje se od ploče s okvirom unutar koje se stavljaju štapići s brojevima. Prve verzije
Napierovih kostiju su bile izrađene na slonovači po čemu su i dobile ime. Lijevi rub ploče je
podijeljen na 9 kvadrata u kojima su brojevi od 1 do 9. Štapići su također podijeljeni na 9
kvadrata tako da su svi osim prvog podijeljeni dijagonalnom crtom. U prvom kvadratu se nalazi
neki broj od 1 do 9 dok su ostali kvadrati na štapiću umnošci tog broja s brojem na lijevom
rubu ploče u čijem se redu nalazi.
DECIMALNI ZAREZ
Napier je popularizirao korištenje decimalnoga zareza pri pisanju brojeva.
64
Najpoznatija djela:
Plaine Discovery of the Whole Revelation of St. John, 1593.
Statistical Account
Mirifici logarithmorum canonis descriptio, 1614.
Construction of Logarithms, 1619.
Po Johnu Napieru nazvana je alternativna jedinica za decibel kao i Sveučilište Napier, u
Edinburghu, Škotska.
65
HENRY BRIGGS
Patricia Kujundžić, 3.g
Henry Briggs (1561.- 1630.) bio je engleski matemtičar te uzoran profesor, u svoje vrijeme.
Poznat je po mijenjanju izvornih logaritama, koje je izmislio John Napier, u logaritme s bazom
10. Sada ih, u njegovu čast, nazivamo Briggsovim ili dekadskim logaritmima.
Rođen je u Warleywood-u, u Yorkshireu, u Engleskoj. Učio je grčki i latinski jezik u lokalnoj
gimnaziji. Kasnije je studirao u St. John's Collegeu, u Cambridgeu, na kojem je diplomirao 1581.
godine. Čitao je matematičku literaturu te se za to vrijeme zanimao za astronomiju, zajedno s
Edwardom Wrightom.
Od 1596. postaje prvi profesor, tada novoosnovane puritanske škole po imenu Gresham
College, u Londonu. (U puritanskim se školama učila geometrija, astronomija i navigacija.)
Ondje je predavao gotovo 23 godine i napravio ju je centrom engleske matematike. Podržavao
je ideje Johannesa Keplera.
Bio je dobar prijatelj Christophera Heydona, pisca o astrologiji,
iako je sami Briggs odbacio astrologiju zbog vjerskih razloga. U
to je vrijeme dobio kopiju Napierove knjige Mirifici
Logarithmorum Cannonis Descriptio, u kojoj je uveo osnovnu
ideju logaritama. Iako je knjiga bila pomalo čudna za shvatiti,
Briggs se njome služio na svojim predavanjima u Gresham
Collegeu te ga je potaknula na vlastite ideje.
Briggs kreće od uvjeta log(10) = 1 i konsturira nove pomoću
korijena (logaritam drugog korijena broja je pola njegova
logaritma); 1624. Briggsova knjiga, Arithmetica Logarithmica –
sadrži tablicu logaritama od brojeva od 1 do 20000 i od 90000
do 100000 na po 14 decimala.
66
Dekadski, obični ili Briggsovi logaritmi - logaritmi s bazom 10.
Oznaka: 𝑙𝑜𝑔𝑥 ili 𝑙𝑜𝑔10𝑥
ZANIMLJIVOSTI
Mjesečev krater Briggs dobio je ime upravo po Henryju Briggsu.
Briggs je imao dva sina, Henryja i Thomasa.
Bio je aktivan u astronomiji, navigaciji i mjerenju.
67
RENÉ DESCARTES
Andrea Pupilo, 2.g
René Descartes rođen je u plemićkoj obitelji 31. ožujka 1596. godine u tadašnjem mjestu La
Haye Touraine (danas Descartes) u Francuskoj. Kao dijete bio je boležljiv pa mu je bilo
dozvoljeno da do 11 sati ujutro ostane u krevetu ležati, a tu je naviku zadržao i poslije.
Obrazovan je na aristokratskom fakultetu koji su tada vodili Isusovci te se tamo počeo
ozbiljnije zanimati za matematiku, kao i ostale prirodne znanosti. Švedska kraljica Kristina
pozvala ga je 1649. godine da ju poučava matematiku, te je Descartes prihvatio poziv. Kako je
kraljica zahtijevala ranojutarnju poduku Descartes je bio prisiljen svakodnevno u pet sati
ujutro prolaziti kroz hladan dvorac do kraljice. Zbog svoje navike ležanja do kasnog jutra i
svojeg slabog zdravlja hladnoća je uzrokovala upalu pluća te je Descates nakon dva mjeseca
provedena u Stockholmu umro.
Slika 1. – René Descartes
Descartes je, između ostalog, utemeljio vezu između algebre i geometrije. On je shvatio
da se geometrija može zabilježiti u obliku algebre, pomoću koordinata koje određuju položaj
u odnosu na fiksne, okomite crte (os apscisa i ordinata) i obrnuto (svaka se algebarska
jednadžba može prikazati grafom).
68
RAZVOJ KOORDINATNOG SUSTAVA
Koordinate su se već tisućama godina prije Descartesa upotrebljavale na kartama, a
Descartesovo je otkriće bilo razumijevanje povezivanja geometrije i algebre koordinatama.
Descartes je, prema anegdoti, inspiraciju za uvođenje koordinatne ravnine dobio gledajući
muhu na stropu gdje su rubovi spajanja zidova i stropa predstavljali koordinatne osi, a muha
neku točku koja ima određenu udaljenost od tih ''osi''.
U svom djelu La Géométrie iz 1637. Descartes detaljnije govori o korištenju jednadžbe s
jednom nepoznanicom u svrhu određivanja bilo koje točke na krivulji prema njenoj udaljenosti
od dvije fiksne crte (osi x i y). Drugi naziv za koordinatni sustav je Kartezijev koordinatni sustav
u čast Descartesu po latiniziranom prezimenu Cartesius. Descartes je svoju ideju objasnio na
način da se svaka točka u nekoj ravnini može opisati pomoću dva realna broja, koja je označio
slovima x i y (uređeni par), koja opisuju udaljenost te točke s obzirom na os apscisa i os
ordinata. Nakon te tvrdnje došao je do zaključka da se svaki pravac može opisati kao skup
točaka (x, y) koje zadovoljavaju jednakost 0 cbyax , a konike kao skupove točaka (x, y)
za koje vrijedi 022 feydxcybxyax . Descartes je rekao i da se takvo učenje
može primijeniti i u prostoru uvođenjem treće, prostorne osi (z), no tu je ideju ostavio
nerazrađenu.
Slika 2. – Koordinatni sustav s tri osi
Descartes je također uveo i danas općeprihvaćene oznake za nepoznanice (x, y, z...),
početna slova abecede koja predstavljaju koeficijente (a, b, c...) te označavanje potencija
pomoću eksponenta i baze ( nx ). Također, jedan od njegovih noviteta u matematici je
zapisivanje jednadžbe na način da su na jednoj strani jednadžbe članovi, a na drugoj strani
nula (npr. 0 cbyax )
69
DESCARTESOV TEOREM
Descartes je utvrdio da se za kružnicu koja ima polumjer r njezina zakrivljenost opisuje kao
rk
1 . Ako su
1k ,
2k ,
3k i
4k kružnice u ravnini među kojima se svake dvije dodiruju, tada
vrijedi jednakost:
2
4321
2
4
2
3
2
2
2
12 kkkkkkkk
Prema tome Descartes je zaključio da za tri kružnice od kojih se svake dvije dodiruju postoje
dvije koje diraju sve tri.
OSTALE ZANIMLJIVOSTI
Descartes je također poznavao i formulu 2 SBV , gdje je V broj vrhova, B broj
bridova, a S broj strana za konveksne poliedre. Tim teoremom započela je teorija grafova.
Descartesov list jest naziv algebarske krivulje trećeg reda, a zadana je jednadžbom
axyyx 333 . Krivulja se sastoji od čvorne točke koju dodiruju koordinatne osi i asimptote
0 ayx .
Slika 3. – Descartesov list
70
Descartesov oval je algebarska krivulja četvrtog reda. Za ovu je krivulju specifično da
udaljenost 1r i
2r bilo koje točke P od dviju čvrstih točaka
1F i
2F povezuje jednakost
amrr 1
(m i a su konstante). Ako je 1m dobivamo elipsu, a ako je 1m onda je riječ
o hiperboli.
Slika 4. – Descartesov oval
71
CAVALIERI
Ivan Jurić, 2.g
Bonaventura Francesco Cavalieri bio je talijanski matematičar. Rođen je 1598. godine.
Pristupio je Jezuitima u dobi od 15 godina. Živio je u Milanu i Rimu, postao je profesor u Bologni
1629. gdje je radio do smrti 1647. godine. Radio je u vrijeme renesanse. Kako se u renesansi
istraživalo kako svijet funkcionira tako je Cavalieri pisao puno toga o osnovnoj i primijenjenoj
matematici, o geometriji, astronomiji, astrologiji, trigonometriji i optici. On je prvi talijanski
pisac koji je uvidio važnost logaritama pa je 1632. godine izdao knjigu Directorium universale
uranometricum. U njoj je objavio logaritamske tablice za tangente, sekante... Cavalieri je
objavio više djela: Lo Specchio ustorio, Ovvero trattato delle settioni coniche (1632.),
Trigonometria plana et sphrica linearis et logarithmica (1635.), Rota planetaria (1640.).
Najpoznatije djelo mu je Geometria indivisibilibus continuorum nov qudam ratione promota
koje je prvi put tiskano 1635. godine.
CAVALIERIJEVA MATEMATIKA
U prvoj polovici 17. stoljeća mnogi astrofizičari i matematičari prihvaćali su teoriju nedjeljivih
geometrijskih objekata i fizikalnih veličina. To je bilo protivno Aristotelovu shvaćanju o
neprekinutosti tvari i geometrijskih oblika. To je podržavao Kepler. On je smatrao da je krug
pravilan mnogokut koji ima beskonačan broj stranica, a površina takvog kruga sastavljena je
od infinitezimalnih trokuta čije su osnovice stranice mnogokuta. Njihov vrh je u središtu kruga.
Jako važnu primjenu nedjeljivih dijelova učinio je Cavalieri. To je učinio kad je objavio svoju
knjigu Geometria indivisibilibus continuorum. Ta se knjiga smatra velikim događajem u
povijesti matematike. Tvrdnja na kojoj se ta knjiga temelji je da se površina sastoji od
indivizibila ili pravaca te da se cjelokupan volumen sastoji od nedjeljivih površina ili od kvazi-
atomskih volumena. Geometrijske se likove promatra kao nekakve strukture koje su satkane
od nekih nedjeljivih elemenata: ravnih slojeva ili točaka tankih niti. To bi značilo da je svaka
dužina unija nedjeljivih točaka. Ravninski je lik sastavljen od beskonačno mnogo međusobno
paralelnih tankih dužina, a prostorni oblik od beskonačno međusobno paralelnih i tankih
slojeva. Ni Cavalieri to tada nije mogao skroz shvatiti pa je pratio korake vrijedne štovanja jer
i Arhimed nekoliko stoljeća prije Krista u njegovoj 'Metodi' koristio isti način razmišljanja
nakon čega se on gubi. No Cavalieri nije osjećao krivnju zbog logičkih nedostataka iza takvih
postupaka za razliku od Arhimeda. U njegovoj metodi računanja nema izostavljanja nikakvih
uvjeta zato što u uspoređivanju dvaju oblika ili likova uparivao svaki dio, ali baš svaki dio
jednog s nekim dijelom drugog lika ili oblika, ali nije izostavljao ni jedan element, ma kako
malih dimenzija on bio.
72
1. Prvi Poučak
Ako dva tijela imaju jednake visine, i ako su usporedni presjeci s osnovicama u jednakim
udaljenostima od njih uvijek u zadanom omjeru, onda su površine tijela također u tom omjeru.
U različitim literaturama ovaj poučak može se pronaći u različitim oblicima, ali njegova bit se
ne mijenja. On govori o ekvivalentnosti dvaju likova u ravnini, odnosno o uvjetima dovoljnim
da bi dva lika imala jednake površine.
Primjer 1.
Nacrtamo kružnicu promjera 2r. AB je promjer kružnice. Pravac p koji je okomit na
AB siječe kružnicu u točkama C i D, a tu dužinu u točki P. Od točke C ulijevo i od točke D
udesno odredimo na pravcu p točke E i F tako da je BPDFCE . Ako provedemo taj
postupak za sve pravce koji su paralelni s pravcem p dobit ćemo krivulju u obliku gljive.
Slika 1.
Primjer 2.
Kružnica k koja ima promjer duljine d = 2r kotrlja se po pravcu p. Točka A je u početnom
položaju točka dodira kružnice i pravca. Neka ona pri kotrljanju opiše luk AC cikloide.
Slika 2.
73
Točka T na luku te cikloide i pravac q paralelan je pravcu p koji prolazi kroz točku T. Za točku R
vrijedi da je PQTR za Q točku presjeka pravca q i kružnice. Ako taj postupak provedemo
za sve točke tog luka, dobijemo krivulju zvanu 'suputnica cikloide' kako ju je Roberval zvao.
Može se i pokazati da je ona sinusoida. Ta krivulja dijeli pravokutnik ABCD na dva sukladna
dijela što se može objasniti sukladnošću dužina PR i EF , a kako svakoj dužini poput PR
odgovara sukladna dužina EF , ispunjeni su uvjeti Cavalierijevog prvog poučka pa ta sinusoida
dijeli pravokutnik na dva dijela koji imaju sukladne površine.
2. Drugi poučak
Ako dva tijela u prostoru siječemo skupom paralelnih ravnina te ako su površine presjeka u
svakom pojedinom slučaju u istom omjeru, onda su u tom omjeru i volumeni tih dvaju tijela.
Iz tog poučka zaključujemo da svake dvije prizme koje imaju jednaku visinu i površinu imaju
jednak volumen.
Primjer 3. (Formula za volumen trostrane piramide)
ABCD je trostrana piramida kojoj treba odrediti volumen. Svaku trostranu piramidu možemo
nadopuniti do trostrane prizme. Pri tome piramida i prizma imaju sukladne osnovke i jednake
visine. DEF je sukladan trokutu ABC tako da su im stranice paralelne. Spojnice AD , BE i CF
su tada bočni bridovi piramide.
Slika 3.
Prizma ABCDEF je unija tri piramide: ABCD, BCDE i CDEF. One imaju jednak volumen. Piramide
ABCD i BCDE imaju sukladne osnovke. Trokuti BED i ABD u istoj ravnini, imaju iste visine jer im
je točka C zajednički vrh. Znači da imaju i jednake volumene. Piramidama BCDE i CDEF su
osnovke trokuti BCE i CFE koji su sukladni, a imaju jednake visine jer im je točka D zajednički
vrh, ujedno imaju i jednake volumene. Volumen piramide jednak je trećini volumena prizme
sa sukladnom osnovkom i jednakom visinom. Volumen piramide jednak je: BvV3
1 , gdje
je B površina baze, a v duljina visine.
74
INTEGRALI
Kako je koristio svoju ideju nedjeljivih dijelova, svoj prvi poučak, Cavalieri je došao do rezultata
koji su bili prekretnica u povijesti računanja. Tada je ustanovio ono što je danas poznato kao
a n
n
n
ax
0
1
1
Ta se tvrdnja dokazuje promatrajući paralelogram, trokute na koje ga dijagonala dijeli i na
indivizibile od kojih su ti trokuti sastavljeni. Ako je ABCD paralelogram, BD mu je dijagonala,
c tetiva paralelograma koja je paralelna sa AB , a x je dio tetive c koja je tetiva trokuta ABD.
Tada, promatrajući c kao invizibil paralelograma i x kao indivizibil trokuta, Cavalieri je tvrdio
da je xc 2 , a predstavlja sumu tih tetiva. Skup tetiva c i x smatra se opisom
paralelograma ABCD i trokuta ADB što znači da c i x pokazuju odnos njihovih
površina.
75
BLAISE PASCAL
Antonio Horaček, 4.g
Blaise Pascal bio je francuski matematičar, fizičar, izumitelj, pisac i kršćanski filozof. Bio je
''čudo od djeteta'', a školovao ga je otac. Pascalovi najraniji poslovi bili su u primjenjenim i
prirodnim znanostima, gdje je doprinio proučavanju tekućina te je pojasnio pojmove tlaka i
vakuuma generalizacijom rada Evangelista Torricellija.
Slika 1. Blaise Pascal Slika 2. Pascalina- prvi stroj za računanje
1642. godine, dok je još bio tinejdžer, počeo je pionirski rad na računalnim strojevima. Nakon
tri godine truda i pedeset prototipa, sagradio je dvadeset gotovih strojeva zvanih ''Pascalova
računala'', a kasnije Pascaline. Pascalina je mogla obavljati četiri osnovne računske operacije,
a radila je s brojevima do 9 999 999. Upravo su ga ti strojevi, tijekom sljedećeg desetljeća,
učinili prvim od dva izumitelja mehaničkih računala.
Pascalov doprinos matematici
Prvi značajan rad, Blaise je napisao sa samo 16 godina, a bio je to osnovni nacrt njegove čuvene rasprave o presjecima stožca.
Slika 3. Presjeci stožca
76
Sa šesnaest godina Blaise Pascal, također je stvorio i svoj čuveni mistični heksagram (Pascalov teorem), koji nije sačuvan. Tim svojim mladalačkim radovima stekao je glas ozbiljnog znanstvenika u koga su polagane velike nade.
Slika 4. Pascalov mistični heksagram
U njegovoj ''Raspravi o aritmetičkom trokutu'' (Traité du triangle arithmétique), opisao je zgodan, praktičan tablični prikaz za binomne koeficijente, sada nazvan ''Pascalov trokut''. Trokut prikazuje mnoga matematička svojstva pokazujući binomne koeficijente. Svaki broj u Pascalovu trokutu zbroj je dva neposredno iznad njega te to definira ovako:
Slika 5. Pascalov trokut
1654. godine, zbog vjerskih razloga, Pascal je u potpunosti odustao od rada u matematici.
77
Pascalov doprinos fizici
Njegov rad na području hidordinamike i hidrostatike bio je usmjeren na načelima hidrauličkih
tekućina. Njegovi izumi uključuju hidrauličku prešu (koristi hidraulični tlak da umnoži snagu) i
špricu. Dokazao je da hidorstatski tlak ne ovisi o težini tekućine, nego o razlici u visinama, što
je i dokazao pokusom koji pokazuje djelovanje Pascalova zakona.
Hidrostatski tlak povećava se dubinom, djeluje jednako u svim smjerovima te je jednak na svim
mjestima na istoj dubini. Matematički se to izražava ovako:
Slika 6. Pokus koji je Blaise osmislio i izvršio. On dokazuje Pascalov zakon.
Pascalov zakon
Temeljni je zakon hidrostatike, a glasi: ''U tekućini koja se nalazi u zatvorenoj posudi, vanjski
tlak širi se jednako na sve strane, odnosno čestice tekućine prenose tlak u svim pravcima
jednako.''
78
LEIBNIZ & NEWTON
Stjepan Marijan, 4.g
Gottfried Wilhelm Leibniz je rođen u Leipzigu 1. srpnja 1646.
godine. Bio je njemački filozof, matematičar, fizičar i diplomat. S
nepunih 20 godina proučio je većinu matematičkih djela koja su
do tada bila poznata. Prije nego što je odabrao diplomatsku
karijeru studirao je pravo. Tijekom svojih brojnih putovanja kroz
Europu upoznao je mnoge vodeće matematičare svojega
vremena. Većinu svoga slobodnoga vremena posvećivao je
matematici. Bio je preteča Georgea Boolea i simboličke logike.
Leibniz je također zaslužan za današnje oznake za „diferencijal“
i „integral“. Primljen je u Francusku akademiju znanosti 1559.
godine kao
„vanjski“ član. U
Parizu je uspio ostvariti značajne pomake na
području matematike. Ondje je razvio
infinitezimalni račun koji je objavio tek 1686.
godine i koji će poslije postati povod za sukob s
Isaacom Newtonom. Leibniz je još poznat i po
prvom modelu računalnog stroja. Na temelju tog
izuma primljen je u veoma uglednu Kraljevsku
akademiju u Londonu.
Isaac Newton je rođen u Woolsthorpe-by-Colsterworthu 4.
siječnja 1643. godine. Bio je engleski astronom, matematičar i
fizičar. Završio je studij matematike u Cambridgeu gdje je poslije
radio i kao profesor. Isaac Newton si je s nepunih 20 godina
osigurao mjesto jednog od najvećih matematičara u povijesti s
postavljanjem metode fluksije. Otkrio je još opći zakon gravitacije
i da se bijela svijetlost sastoji od
spektra boja. 1668. je izumio zrcalni
teleskop uz pomoć kojega je promatrao Jupiterove satelite. Na
temelju njega je primljen u Kraljevsku akademiju. Po primanju u
Kraljevsku akademiju dolazi u sukob sa mnogim znanstvenicima
svoga doba, a najpoznatiji je onaj s Gottfriedom Wilhelmom
Leibnizom oko pitanja prvenstva u otkriću infinitezimalnog računa.
79
INFINITEZIMALNI RAČUN
Infinitezimalni račun je grana matematike koja se bavi funkcijama, derivacijama, integralima,
graničnim vrijednostima i limesima funkcije. Središnji koncept kojim se opisuje promjena
varijable je funkcija. Dvije glavne grane su diferencijalni i integralni račun. Infinitezimalni račun
čini osnovu matematičke analize. Koristi se u znanosti, ekonomiji, inženjerstvu itd. Služi za
rješavanje mnogih matematičkih problema, koji se ne mogu riješiti algebrom ili geometrijom.
POVIJEST INFINITEZIMALNOG RAČUNA
Počeci infinitezimalnog računa sežu još u antičku Grčku. U 5. st. pr. Kr. Zenon iz Eleje je prvi
razmatrao pitanja beskonačno malih veličina, a Eudoksova metoda ekshaustije iz 4. st. pr. Kr.
je bila rani i vrlo precizan oblik integralnog računa. Arhimed je oko 225. godine pr. Kr. koristeći
Eudoksove metode ekshaustije izračunao
površinu dijelova parabole upisujući u nju
trokute. Isto tako je izračunao i površinu kruga
upisujući u krug pravilne poligone. Do početka
17. stoljeća nisu se dogodili znatni pomaci na
području infinitezimalnog računa. Isusovac Bonaventura Francesco Cavalieri je na temelju
Keplerovih metoda integriranja došao do svoje metode nedjeljivih veličina koje je objavio u
djelu Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota.
SUKOB NEWTONA I LEIBNIZA
Krajem 17. stoljeća, neovisno jedan o drugom, Isaac Newton i Gottfried Wilhelm Leibniz su
otkrili moderni infinitezimalni račun, odnosno deriviranje, integriranje i njihovu međusobnu
inverznost. Iako su imali jednake rezultate oni su se ipak razlikovali notacijski i pojmovno.
Njima možemo zahvaliti na otkrivanju inverznosti deriviranja i integriranja, te to što su za obje
operacije razvili odgovarajuće tehnike.
Isaac Newton je 1671. godine napisao tekst o fluksijama pod nazivom De Methodis Serierum et Fluxionum. Koji je objavljen 60 godina kasnije. Kako su izdavači Barrowovih djela bankrotirali, u to doba su se vrlo teško objavljivali matematički rezultati pa je zato većina djela objavljena puno kasnije nego što su napisana.
Gottfried Wilhelm Leibniz je po povratku iz Pariza već imao prve rezultate o infinitezimalnom računu. Godinu dana kasnije postao je članom Kraljevske akademije. Postoji mogućnost da je prilikom posjeta Kraljevskoj akademiji u Londonu vidio Newtonove zapise. No vjerovatno ih tada još nije mogao razumjeti zbog Newtonovog načina pisanja. Newtonovi rezultati su bili pisani za današnji način zapisivanja vrlo nejasno. Leibnizov stil pisanja bio je mnogo sličniji suvremenom matematičkom zapisu. Leibniz je puno pažnje posvećivao notaciji. Uz želju da
80
dobije formalne metode za infinitezimalni račun, motivaciju za svoje rezultate našao je i u razmatranju nizova diferencija i Pascalova karakterističnog trokuta.
Newtonovi rezultati su nešto stariji od Leibnizovih, no nisu objavljivani dosta vremena. Leibnizovi rezultati sežu u doba postojanja neobjavljenih Newtonovih rezultata o infinitezimalnom računu. Leibnizovi prvi objavljeni rezultati su iz godine 1684., a Newton je svoje prvi put objavio 1687. Iako isti, Leibnizov koncept je i notacijski i konceptualno dosta drugačiji od Newtonovog: Leibniz problemima pristupa više geometrijski, dok je Newtonov pristup više fizikalan. Stoga je opravdano obojicu smatrati podjednako zaslužnim. Leibniz je 1684. i 1686. godine objavio radove u kojima detaljno opisuje svoj diferencijalni i integralni račun. Newton je pak godinu kasnije objavio svoj zapis o metodama fluksije.
Godine 1711. John Keill je u svom članku u Transactions of the Royal Society of London optužio Leibniza za plagijat. Na što je Leibniz odgovorio da za račun fluksija nije znao dok nije pročitao Wallisova djela. Ali je Keill uzvratio da je te rezultate mogao iščitati iz pisama koja mu je poslao Newton. Leibniz se je požalio Kraljevskoj akademiji za nepravdu koju mu je nanio Keillov članak. Kraljevska akademija je na temelju te žalbe osnovalo komisiju koja je trebala utvrditi prvenstvo u otkriću infinitezimalnog računa. Zanimljivo je to da Leibniza nitko nije bio pitao za njegovu verziju događaja, te da je komisijin izvještaj napisao sam Newton, naravno u svoju korist. Izvještaj je objavljen 1713., a Leibniz je za njega saznao iz pisma koje mu je uputio Johann Bernoulli.
Leibniz je potom objavio anonimni pamflet naslova Charta volans u kojem je naveo jednu Newtonovu grešku vezanu za više derivacije. Na taj pamflet je ponovno odgovorio Keill, no Leibniz je odbio raspravljati s njime i pritom je rekao da se ne može raspravljati s idiotom. Nešto kasnije pisao mu je i sam Newton kojemu je odgovorio s detaljnim opisom svojih otkrića. Rasprava o prvenstvu nikad nije završena te je nastavljena i nakon Leibnizove smrti 1716. S vremenom je više manje prihvaćena ideja podjednake zasluge obojice.
81
DE MOIVRE
Iva Ciprijanović, 4.g
Abraham de Moivre rođen je u mjestu Vitry u Francuskoj, 26.
svibnja 1667. godine. Bio je francuski matematičar poznat po
formuli koja povezuje kompleksne brojeve i trigonometriju te
po svojem radu na području normalne distribucije i teorije
vrijednosti. Iako je de Moivre najpoznatiji po formuli za
kompleksne brojeve, njegovi najbitniji doprinosi matematici
tiču se teorije relativnosti. Dopunio je i pojednostavio
rezultate Jacoba Bernoullija. Kako je de Moivre bio
protestant, nakon edikta iz Nantesa (1685.) bio je neko
vrijeme u zatvoru, a nakon tog odselio se u Englesku gdje je
proživio ostatak života. Nakon dolaska u London za život je
zarađivao kao privatni učitelj matematike te je učenike
podučavao u njihovim domovima, ali i u londonskim kafićima. Prema nekim izvorima, za život
je zarađivao i dajući savjete kockarima. Prijatelji su mu bili Edmund Halley i Newton. Tako je
1710. postao i članom komisije koja je trebala razriješiti svađu Newtona i Leibniza oko
prvenstva u otkrivanju infinitezimalnog računa. Royal Society ga je na to mjesto imenovalo
upravo zbog prijateljstva s Newtonom. Ipak zanimljivo je da je imenovan kao član komisije
tako uglednog društva, a da pritom nije bio zaposlen na nekom sveučilištu.
De Moivre se naime nadao dobiti poziciju profesora matematike, no kao što je u Francuskoj
bio diskriminiran zbog svoje protestantske vjere, u Engleskoj je bio diskriminiran jer je Francuz.
Tako je de Moivre cijeli život proveo prilično siromašno i bez stalnog zaposlenja, u čemu mu
nisu uspjeli pomoći ni njegovi utjecajni prijatelji. De Moivre se nikad nije oženio. Poznata je
anegdota da je predvidio dan svoje smrti tako što je utvrdio da svaki dan spava po 15 minuta
dulje te je sumacijom odgovarajućeg aritmetičkog niza izračunao da će umrijeti na dan kad
prespava puna 24 sata, i bio je u pravu.
Glavno de Moivreovo djelo je The Doctrine of Chance: A method of calculating the probabilities
of events in play (latinska verzija 1711., engleska 1718.).U toj se knjizi može naći definicija
statističke nezavisnosti događaja te niz zadataka vezanih za razne igre, primjerice (izdanje
1738.):
Primjer
Dan je niz različitih slova i biraju se nasumično. Treba naći vjerojatnost da će se neka od njih
pojaviti na istom mjestu u redoslijedu kako su i u abecedi, a da su pritom druga na krivim
mjestima. Za slučaj samo tri slova, recimo a, b i c, varijanta gornjeg zadatka bila bi: koja je
vjerojatnost da se pri slučajnom rasporedu rasporede tako da a bude prvo, a b i c zamijene
82
mjesta. Imamo 3!=6 mogućih načina (permutacija) da poredamo ta tri slova. Od tih šest načina
samo jedan (abc) zadovoljava navedene uvjete te je vjerojatnost takvog rasporeda 1/6. Ako
bismo imali četiri slova a, b, c i d (uz zabranjeno ponavljanje slova) i želimo vjerojatnost da
točno tri budu na pravim mjestima, ta je vjerojatnost 0 - ako su tri na pravim mjestima, onda
je i četvrto.
PROBLEM KOCKAREVE PROPASTI (izdanje 1756.)
Dva kockara igraju igru u kojoj u svakom krugu ulažu isti iznos (recimo 1 novčanu jedinicu) i
što jedan dobije drugi gubi (primjerice, bacaju novčić i ako padne pismo, dobiva prvi, a ako
padne glava, dobiva drugi). Neka je p vjerojatnost da prvi dobije u nekom krugu, a vjerojatnost
da drugi dobije je q= 1 – p. Igra se igra sve dok jedan od njih ne ostane bez novca (bankrot).
Ako prvi kockar na raspolaganju ima n novčanih jedinica za ulaganje, a drugi njih m, koja je
vjerojatnost da će prvi biti upropašten?
Tim zadatkom se za neke vrijednosti n = m bavio Huygens, a poopćili su ga Jacob Bernoulli i de
Moivre. Upravo de Moivre je 1712. dao prvo objavljeno rješenje tog problema. Ako p nije
jednako q tražena vrijednost iznosi:
𝒑𝑨 =𝟏 − (
𝒒𝒑)
𝒏
𝟏 − (𝒒𝒑)
𝒏+𝒎
Za slučaj kad je p = q =1/2 (recimo, o pobjedi odlučuje bacanje novčića) formula je:
𝒑𝑨 =𝒎
𝒏 + 𝒎
Moivre je osmislio i formulu za binomne koeficijente koja glasi:
a to znači ako sve binomne koeficijente (𝑛𝑘
) „normaliziramo“ dijeljenjem s 2𝑛, zbroj takvih
normaliziranih koeficijenata bit će 1. No, znamenita i najvažnija de Moivreova formula je:
Tu formulu je izveo 1707. godine, a nešto kasnije 1722.godine, predložio je drugi oblik
identiteta, sada poznatog pod nazivom DE MOIVREOVA FORMULA:
De Moivre je nastavio proučavati područje vjerojatnosti i matematiku sve do svoje smrti
1754. godine u Londonu i izvjestan broj dodatnih radova objavljen je tek nakon njegove
smrti. Najozbiljnije se vjeruje da je točno predvidio dan svoje smrti. Jednostavnim računom
došao je do nadnevka od 27. studenog 1754. godine i zaista je umro na taj dan.
83
EULER
Tomislav Cikojević, 4.g1
Leonhard Euler rođen je u Baselu, 15. travnja 1707. Bio je švicarski matematičar, fizičar i astronom. Otac Paul bio je pastor u protestantskoj crkvi, majka Marguerite Brucker, potjecala je iz svećeničke obitelji. Euler je imao dvije mlađe sestre, Anna Mariju i Mariju Magdalenu. Nedugo nakon njegova rođenja, obitelj je preselila u obližnji gradić Riehen, gdje je Euler proveo djetinjstvo. Jedan od bliskih prijatelja obitelji bio je, tada već u Europi priznati matematičar, Johann Bernoulli, a to je prijateljstvo zasigurno bilo presudno za životni put Leonharda Eulera. Sa školskim obrazovanjem započeo je u Baselu gdje je živio s bakom po majci. Već s 14 godina upisao se na fakultet. Najprije prolazi temeljito opće obrazovanje a 1723. završava studij radom u kojem uspoređuje učenje Descartesa i Newtona. Pokazuje sve veće zanimanje za matematiku i uočava rupe u svojem znanju, pa moli Johanna Bernoullija za redovitu privatnu poduku. No ovaj je pristao tek subotom ili nedjeljom poslijepodne odvojiti nešto vremena, kako bi mu odgovarao na pitanja i davao savjete što čitati i proučavati. Iskusni Bernoulli je brzo uočio Eulerovu izuzetnu nadarenost, te nazreo njegov silni znanstveni potencijal.
Kad je Euler počeo studirati teologiju, učiti grčki, latinski i hebrejski jezik, njegov se otac ponadao da će sin poći njegovim stopama. Nije Bernoulliju stoga bilo nimalo lako uvjeriti oca kako mu je sin sudbinski predodređen postati velikim matematičarom. Godine 1727. Euler završava svoj doktorat o širenju zvuka (De Sono). Iz iste godine potječe njegovo prvo značajno priznanje. Pariška akademija dodijelila mu je drugu nagradu za rješenje problema o optimalnom smještanju jarbola na jedrenjak. Svoju znanstvenu djelatnost razvio je u Berlinu i Petrogradu, gdje je držao katedru fizike i matematike. Njegova aktivnost nije stala ni kada je oslijepio, jer je tada diktirao svoje radove kojih ima približno 900. Razvio je teoriju redova, uveo tzv. Eulerove integrale, riješio mnoge diferencijalne jednadžbe, a u diferencijalnoj geometriji dao je prvu formulu zakrivljenosti ploha (Eulerov poučak). Posebno su važna dva njegova istraživanja u hidrodinamici, gdje je razvio teoriju turbina. Proučavao je širenje zvuka i svjetlosti. Eulerov odbor Švicarske akademije znanosti osnovan 1907., dobio je u zadatak objaviti cjelokupno Eulerovo djelo. U 100 narednih godina objavljena su 84 enciklopedijskog formata. Euler je najproduktivniji matematičar u povijesti. Nakon njegove smrti, Petrogradska je akademija još punih 50 godina tiskala njegove neobjavljene radove. Ruska je akademija, zbog obilate novčane carske potpore i uvjeta rada bila privlačna za mlade i ambiciozne europske znanstvenike. I kada je u srpnju 1726. Nicolas Bernoulli umro od upale slijepog crijeva i Daniel pozvao na upražnjeno mjesto obiteljskog prijatelja Leonharda Eulera, ovaj se nije mnogo dvoumio. U Sankt Petersburgu je stigao 17. svibnja 1727., te se zaposlio na medicinskom odjelu Akademije. Nedugo nakon njegova dolaska, umire carica Katarina I. i prijestolje preuzima dvadeset jednogodišnji Petar II. Rusko je plemstvo sumnjičavo prema stranim znanstvenicima što stvara probleme i umanjuje im carsku podršku. No Petar II. već 1730. umire i uvjeti se opet poboljšavaju. Godine 1731. Euler postaje profesorom fizike. Zanimljivo je da je u tom vremenu napisao Mehaniku, knjigu o teoriji glazbe, te djelo Scientia navalis u kojoj izlaže znanja iz hidrodinamike, gradnje brodova i navigacije. Dvije godine
84
kasnije, nakon što je Daniel Bernoulli napustio Rusiju i vratio se u Basel, Euler ga nasljeđuje na mjestu voditelja matematičkog odjela.
Euler se ženi 1734. Njegova je žena Katharina Gsell, kći švicarskog slikara Georgea Gsella, koji je živio u Sankt Peterburgu. Uskoro su kupili kuću na obali rijeke Neve. Imali su trinaestoro djece, od kojih je samo petoro preživjelo djetinjstvo, a samo je troje nadživjelo oca. Sin Johann Albrecht je Eulerov jedini potomak koji je slijedio očeve stope, bavio se matematikom i bio član Akademije. Euler je imao 21 unuka. Volio je djecu i pričao je kako je do svojih najvećih otkrića došao dok je držao bebu na rukama i dok su se oko njega motali drugi mališani.
Zabrinuti zbog učestalih nemira u Rusiji, Euler razmišlja o napuštanju Sankt Petersburga. Prihvaćaju ponudu pruskog kralja Frederica II. da prijeđe na fakultet u Berlinu i 19. lipnja 1741. s obitelji seli u Berlin. Euler je na fakultetu bio predvodnik matematičkog odjela. U Berlinu Euler provodi sljedećih 25 godina. U tom je periodu napisao preko 380 znanstvenih članaka i objavio svoja dva velika djela: Introductio in analysis infinitorum i Institutiones calculi differentialis. Tu je nastala i većina njegovih radova izračuna varijacija, teorije specijalnih funkcija, diferencijalnih jednadžbi, astronomije, mehanike. Bio je član gotovo svih značajnijih akademija u Europi i dobitnik brojnih priznanja i nagrada. Usprkos iznimnom utjecaju što ga je imao u Berlinskoj akademiji, Euler se sukobljavao s Fredericom II., čiji je ljubimac Voltaire zauzeo središnje mjesto u njegovu društvu.
Počeli su i problemi s vidom. 1738. oslijepio je na desno oko. Sljepoća je bila posljedica trovanja zbog gnojnog čira. Usprkos svemu nastavio je raditi s jednakim žarom, posvetio se čak izradi atlasa (izradio je prvu pomorsku kartu Rusije), zbirci karata za Petrogradsku akademiju. Nije prošlo dugo vremena, a siva mrena je prekrila i njegovo lijevo oko, te je bio potpuno slijep. Koliko ga god vrlo slab vid ometao u radu, zbog svog fantastičnog pamćenja nastavio se punim žarom baviti znanošću. Biografi u želji da prikažu Eulerovu memoriju često navode kako je bio u stanju napamet, bez zamuckivanja, izrecitirati cijelu Vergilijevu Eneidu i kako je za svaku stranicu mogao reći koji je redak na njoj prvi, a koji posljednji. Nakon gubitka vida, Euler je stvorio gotovo pola svog znanstvenog opusa, između ostalog, djelo o integralnom računu. Euler 1766. godine prihvaća poziv ruske carice Katarine II. i vraća se u Sankt Petersburg, gdje provodi ostatak života.
Nakon neuspjele operacije oka 1771. Euler je potpuno oslijepio. Iste godine zatiče ga još jedna nesreća. U velikom požaru koji je zahvatio Sankt Petersburg, nestao je i njegov dom, a iz kućice u plamenu, jedva ga je uspio izvući neki znanac. Bio je to početak Eulerova tužnog kraja. Nakon 40 godina zajedničkog života, 1773. umire mu žena. Nesposoban brinuti se o sebi, on nakon tri godine oženi ženinu sestričnu Abigail Gsell. 18. rujna 1783. Euler umire od izljeva krvi u mozak. Brzo i bezbolno. Sahranjen je u Pskovu na Lazarevskom groblju.
85
EULEROVA MATEMATIKA
Uočio je važnost pitanja konvergencije reda, iako nije uvijek pazio na to. I on je razvoje funkcija
u redove potencija koristio je za rješavanje diferencijalnih jednadžbi. Euler je upravo temeljem
razvoja eksponencijalne funkcije u red potencija uočio njenu vezu s funkcijama sinus i kosinus,
danas poznatu kao Eulerova formula:
Matematička analiza dugo je bila središnja točka njegova rada i zanimanja, a svoje najznačajnije djelo Uvod u analizu beskonačnosti objavljuje 1748. U tom djelu Euler definira funkciju kao analitički izraz sastavljen nekom metodom od promjenjive vrijednosti i brojeva ili od konstantnih vrijednosti, definira polinome, trigonometrijske funkcije, eksponencijalne funkcije, te njegovu suprotnu funkciju – logaritamsku funkciju.
Euler definira eksponencijalnu funkciju i na skupu kompleksnih brojeva, te je povezuje sa trigonometrijskim funkcijama. Za bilo koji realni broj vrijedi:
Kako je sinus ispruženog kuta jednak nuli, a kosinus jednak −1, za φ=180= π gornja formula
(nakon prebacivanja svih članova na lijevu stranu) poprima oblik:
Mnogi upravo zapisanu formulu smatraju najljepšom matematičkom formulom jer povezuje
pet najznamenitijih brojeva: 0, 1, e, π te i. Gornju vezu eksponencijalne funkcije sa sinusom i
kosinusom Euler je otkrio razmatrajući redove potencija. Redovi su beskonačne sume i neke
su razmatrali još srednjevjekovni matematičari, primjerice d’Oresme.
Eulerov pravac je pravac na kojem leže: težište T (tj. sjecište težišnica), centar O opisane
kružnice (tj. sjecište simetrala stranica) i ortocentar H (tj. sjecište visina) nekoga trokuta. Pri
tome vrijedi jednakost OT : TH = 1 : 2. Eulerov pravac jednoznačno je određen za svaki trokut
osim jednakostraničnoga; za jednakostranični trokut T, O i H se podudaraju, pa je Eulerov
pravac neodređen.
Jedan Eulerov jednostavan, ali značajan doprinos matematici, koji se smatra temeljem
topologije, a to je Eulerova poliedarska formula (Eulerov poučak) – jednakost koja povezuje
broj vrhova (V), broj bridova (B) i broj strana svakog konveksnog poliedra:
𝑉 − 𝐵 + 𝑆 = 2.
86
Posljedica Eulerove poliedarske formule je postojanje točno pet pravilnih poliedara. To su
pravilni tetraedar, heksaedar (kocka), oktaedar, dodekaedar i ikosaedar (Platonova tijela).
Grad Konigsberg (danas Kaliningrad) leži na rijeci Pregel. Četiri dijela grada povezana su sa
sedam mostova, Kako je prikazano slikom 1. Može li se grad obići tako da se svaki most prijeđe
točno po jednom?
Slika 1. Problem mostova u Königsbergu.
Upravo navedeni zadatak, poznat kao problem mostova u Konigsbergu, jedan je od
najpoznatijih zadataka tzv. zabavne matematike. Konačno rješenje, dokaz da je odgovor “ne”,
dao je Leonhard Euler. Metoda kojom je riješio problem postala je temelj nove matematičke
discipline topologije. Euler je naime uočio da je u ovom problemu nebitno koliko je što
udaljeno kao i kakav je točno raspored dijelova grada, jedino bitno je što je s čime povezano
mostovima. Upravo ta koncentracija na pitanja povezanosti dijelova nekog objekta umjesto
na njegova geometrijska svojstva (oblik, veličina i sl.) je temeljna razlika topologije i
geometrije.
Sam Euler je rješenje tog problema objavio 1736. godine pod naslovom Solutio problematis ad
geometriam situs pertinentis: iz naslova je vidljivo da je Euler bio svjestan da se radi o obliku
geometrije u kojemu su udaljenosti nebitne. Pritom je Euler dao puno općenitiji rezultat od
samog rješenja problema mostova u Konigsbergu— dao je pravilo kako općenito riješiti takve
probleme.
Suvremenim jezikom iskazano, Euler je primijetio da se radi o problemu iz teorije grafova, pri
čemu su grafovi objekti koji se sastoje iz nekog broja točaka (vrhova) povezanih linijama
(bridovima). Četiri dijela Konigsberga se mogu shvatiti kao četiri vrha grafa, a sedam mostova
kao sedam bridova (vidi sliku 2). Želimo li obići graf, u svaki vrh moramo ući i izaći. Kako je
uvjet zadatka bio svaki most, dakle brid, preći samo jednom, znači da se u svakom vrhu mora
sastajati paran broj bridova, što očigledno nije istina za graf problema mostova u Konigsbergu
pa grad nije moguće obići na zadani način.
87
Slika 2. Graf problema Konigsbergških mostova
Uz Eulerovo ime veže se čitav niz pojmova. Osim oznake 𝑓(𝑥) za standardni zapis realne
funkcije (1734.), uveo je još oznaku 𝑖 za √−1 (1777.), slovo 𝑒 za zapis poznatog Eulerovog
broja (1727.), oznaku 𝛴 za zbrajanje (1755.), oznake 𝛥, 𝑠𝑖𝑛, 𝑐𝑜𝑠 i mnoge druge. Iako mu se to
pripisuje, on nije uveo oznaku π u opseg i površinu kruga, ali je dosljednom upotrebom
pridonio da bude prihvaćena.
88
GAUSS
Marta Ćurić, 3.g
Slika 1. Johann Carl Friedrich Gauss
Johann Carl Friedrich Gauss bio je njemački matematičar koji se, osim matematikom, bavio i
astronomijom, geodezijom, fizikom i topografijom. Rođen je 30. travnja 1777. u
Braunschweigu, a umro 23. veljače 1855. u Göttingenu. Već u ranom djetinjstvu, Gauss je
pokazivao iznimnu oštroumnost i genijalnost. Naime, učitelj je zadao zadatak zbrajanja brojeva
od 1 do 100, za što je prosječnim učenicima potrebno dosta vremena. Međutim, Gauss je taj
zadatak riješio na mnogo brži način, tako što je zbrojio prvi i posljednji broj, drugi i
pretposljednji broj te tako stvorio pedeset parova:
(1 + 100) + (2 + 99) + ... + (49 + 52) + (50 + 51) = 50 * 101 = 5050
S dvanaest godina shvaćao je osnove Euklidske geometrije, sa šesnaest je osmislio geometriju
drugačiju od Euklidove i nazvao ju „neeuklidska geometrija“, a sa sedamnaest godina počeo je
dokazivati teoriju brojeva. Svojim radom i preciznošću učinio je matematiku potpuno
različitom od matematike njegovih prethodnika.
Gauss je odrastao u skromnoj obitelji, a imao je veliku sreću što je naišao na potporu učitelja
Bütnera, koji je odmah uočio njegov izniman talent za matematiku.
Za svoju disertaciju „Novi dokaz da se svaka razumna integralna funkcija jedne varijable može
rastaviti u realne faktore prvog i drugog stupnja“ dobio je od Sveučilišta u Helmstedtu 1799.
godine titulu doktora znanosti.
1801. godine, dvadeset četverogodišnji Gauss objavio je svoje prvo majstorsko djelo-
Disquisitiones Arithmeticae.
89
Prema njegovim izračunima, 1801. godine otkriven je planetoid Ceres, a dao je i novu metodu
izračunavanja orbita svemirskih tijela.
Gauss je uz pomoć Laplaceove jednadžbe uspio odrediti lokaciju južnog magnetskog polja, a
budući da je njegova primjena matematike na magnetizam i elektricitet jedno od važnijih
doprinosa fizici, njemu u čast jedinica magnetske indukcije nazvana je gauss (danas je mjerna
jednica za magnetsku indukciju tesla). U suradnji s Weberom, otkrio je Kirchhoffove zakone,
napravio primitivni telegraf i stvorio vlastite novine - Magnetischer Verein.
Slika 2. Magnetischer Slika 3. Disquisitiones
Verein Arithmeticae
ZAKON KVADRATNIH OSTATAKA
Da bi riješio problem duljine perioda koji se dobiva dijeljenjem broja 1 s prostim brojem p,
provjerio je sve proste brojeve manje od 1000, čime je zapravo došao do zakona kvadratnog
reciprociteta. Iako je ranije Euler već došao do tog zaključka, Gauss ga je prvi potvrdio.
Osmislio je i poboljšanje u aritmetičkoj nomenklaturi i znakovima – kongruencije:
Ako je razlika dva broja a i b ( a – b ili b – a) djeljiva s brojem m, a i b su kongruentni u odnosu
na modulo m.
100 ≡ 2 (mod 7), 35 ≡ 2 (mod 11).
Zakon kvadratnog reciprociteta nalaže da su kvadratne kongruencije
𝑥2 ≡ p(mod q) i 𝑥2 ≡ q(mod p)
ili obje rješive ili obje nerješive za sve proste brojeve p i q, osim ako oba pri dijeljenju s 4 daju
ostatak 3 i u tom slučaju rješiva je točno jedna od te dvije kongruencije.
90
KONSTRUKCIJA SEDAMNAESTEROKUTA
Gauss je primijetio da potencije broja 3 pri dijeljenju sa 17 daju za ostatke brojeve od 1 do 16.
Tako je spoznao kriterij koji govori može li se neki pravilni mnogokut konstruirati ravnalom i
šestarom:
𝑥17 − 1 = 0
Konstrukcija sedamnaesterokuta, odnosno heptadekagona izvediva je ako je poznato kako
konstruirati kut od 2𝜋
17 uz pomoć ravnala i šestara, iz čega slijedi da se trigonometrijske funkcije
argumenta 2𝜋
17 mogu izraziti pomoću osnovnih aritmetičkih operacija i korjenovanja, što se vidi
u sljedećoj jednadžbi:
𝑐𝑜𝑠2𝜋
17=
1
16 ( −1 + √17 + √2 (17 − √17 + 2√17 + 3√17 − √2(17 − √17) − 2√2(17 + √17)
Slika 4. pravilan sedamnaesterokut
Otkrićem pravilnog sedamnaesterokuta, Gauss je počeo voditi svoj znanstveni dnevnik.
OSNOVNI TEOREM ALGEBRE
U svojem doktorskom radu, Gauss je dokazao osnovni teorem algebre:
Svaka algebarska jednadžba 𝒇(𝒛) = 𝟎 ima u skupu kompleksnih brojeva barem jedno
rješenje. Pritom se oslanjao na geometrijsku interpretaciju te tako uveo geometrijsku
predodžbu kompleksnih brojeva, a tako je nastala Gaussova ravnina, odnosno ravnina u kojoj
je os 𝑥 realna, a os 𝑦 imaginarna.
91
Slika 5. pravilo paralelograma za zbrajanje i odbijanje točaka u Gaussovoj ravnini
ANALITIČKA FUNKCIJA KOMPLEKSNIH BROJEVA
U pismu Besselu iz 1811., Gauss govori o svojem otkriću jednog teorema, kojeg danas najčešće
nazivamo Cauchyjevim integralnim teoremom, koji nalaže kako je linijski integral duž
zatvorene linije jednak nuli.
Godinu kasnije, Gauss je objavio veliko djelo o hipergeometrijskim redovima. To su redovi
oblika:
1 + 𝑎𝑏
𝑐𝑥 +
𝑎(𝑎+1) 𝑏(𝑏+1)
𝑐(𝑐+1)∗
𝑥2
2!+
𝑎(𝑎+1)(𝑎+2)∗𝑏∗(𝑏+1)(𝑏+2)
𝑐(𝑐+1)(𝑐+2)∗
𝑥3
3! ...
GAUSSOVA KRIVULJA
Gaussova krivulja ili normalna distribucija koristi se u raznim prirodnim znanostima, kao i u
znanostima koje se bave proučavanjem ponašanja. Ona govori o nasumičnosti i predstavlja
normalnu raspodjelu. Točnije, smisao krivulje je u tome da stvari, kad se mijenjaju nastoje
ostati u blizini točke prosjeka te se raspoređuju oko tog prosjeka po zvonolikoj krivulji. Krivulja
nikada ne siječe os 𝑥, već joj se samo približava, a važna činjenica jest da se 50% podataka za
koje se krivulja crta nalazi na jednoj, dok je ostalih 50% na drugoj strani krivulje. Formula
Gaussove funkcije je:
𝜑(𝑥) = 1
√2𝜋𝑒
−𝑥2
2
92
Slika 6. Gaussova krivulja
93
CAUCHY
Ivan Brtan, 4.g
Konačnu formalizaciju diferencijalnog računa postigao je Augustin Louis Cauchy. Rođen je u
Parizu, 21. kolovoza 1789. , a umro u Sceaux-u , 23. svibnja 1857. Bio je profesor matematike
i astronomije u Parizu. Smatra se osnivačem teorije funkcija jedne kompleksne varijable.
Razvio je teoriju valova u optici, radio na teoriji elastičnosti. Bio je jedan od prvih koji je
matematički strogo zasnovao i razvijao infinitezimalni račun.
Bio je vrlo plodan matematičar te je napisao mnogo djela iz različitih područja matematike.
Objavio je 789 radova, a nadmašili su ga samo Euler i Cayley.
Ono po čemu je posebno poznat je sklonost zagubljivanja radova drugih matematičara
(primjerice Galoisa). Poslije tog „slučajnog“ zagubljivanja objavljivao bi njihove rezultate pod
svojim imenom.
Ipak, njegova vlastita zasluga je postavljanje novih mjerila za strogost matematičkog dokaza i
postavljanje opće prihvaćenih temelja matematčke analize dosljednim korištenjem teorije
nejednakosti.
Upravo njemu zahvaljujemo za suvremene ε − δ formulacije u matematičkoj analizi, s tim da
je on suvremene ε – δ definicije limesâ izrazio riječima. Ovdje je zgodno napomenuti da je
Bernhard Bolzano (1781.-1848.) nekoliko godina ranije nego Cauchy (1817.) koristio ε – δ
formulacije u pokušaju definiranja neprekidnosti funkcija, no njegov rad nije postao poznat za
njegova života. Iako po rezultatima nije bio originalan, Cauchyjeve zasluge za novi okvir
matematičke analize su neosporne.
94
Laplace i Lagrange bili su česti gosti u domu Cauchy-jevih u doba Augustinova djetinjstva, a
Lagrange je nagovorio njegova oca da sinu da solidno matematičko obrazovanje. Pohađao je
École Polytechnique u Parizu.
Prvo zaposlenje mu je bilo vojni inženjer: 1810. je u Cherbourgu radio na utvrdama i lukama
za invaziju Napoleonove flote na Englesku. Kad se 1813. vratio u Pariz, Lagrange i Laplace su
ga uvjerili da se posveti matematici.
Postao je profesor matematike na raznim visokim školama, među inim i na École
Polytechnique, te član Akademije znanosti. Usprkos velikom uspjehu i neosporno važnim
matematičkim rezultatima, bio je neomiljen među kolegama: arogantan i samodopadan, uz to
relativno fanatičan katolik. S druge strane, bio je konzistentan u svojim političkim i vjerskim
uvjerenjima: nakon srpanjske revolucije 1830., odbio je dati zakletvu novom režimu i otišao u
egzil. Godine 1838. se vratio u Pariz u Akademiju znanosti, no zbog nedavanja zakletve nije
mogao dobiti natrag svoje predavačke pozicije.
Nakon promjene režima 1848., Cauchyju su vraćene sveučilišne pozicije, no u tom kasnijem
razdoblju njegova života intenzivirali su se sukobi s kolegama. Cauchy je pitanje konvergencije
preveo na jezik algebre nejednadžbi. Tako je primjerice već Maclaurin pisao da je suma reda
granica njegovih parcijalnih suma, no ta formulacija kod Cauchyja postaje precizna: za svaki
𝜀 > 0 može se naći 𝑛 takav da je za sumu više od 𝑛 početnih članova reda razlika između
ukupne i te sume manja od 𝜀. Iz takve definicije sume reda Cauchy je izveo dokaz konvergencije
geometrijskog reda za kvocijente koji su po apsolutnoj vrijednosti manji od 1 i zatim
uspoređivanjem drugih redova s geometrijskim dokazao razne kriterije konvergencije.
Cauchy je definirao i neprekidnost funkcije: funkcija 𝑓 je neprekidna na nekom intervalu ako
za sve 𝑥 iz tog intervala 𝑓(𝑥 + 𝛼) − 𝑓(𝑥) neograničeno opada s 𝛼 (prema nuli). Tu je malo
neprecizan jer se ovako formulirana definicija može shvatiti i kao definicija obične i kao
definicije uniformne neprekidnosti jer nije jednoznačno shvatljiv poredak kvantifikatora. Svoju
definiciju neprekidnosti koristio je u dokazu teorema o međuvrijednosti za neprekidne
funkcije (ako je funkcija neprekidna na intervalu [𝑏, 𝑐] i ako je 𝑓(𝑏) > 0 𝑖 𝑓(𝑐) < 0, onda za
neki 𝑥 iz istog intervala vrijedi 𝑓(𝑥) = 0). U dokazu konstruira nizove koji konvergiraju prema
toj nultočki 𝑥 , s tim da prešutno podrazumijeva potpunost skupa realnih brojeva (kao
očiglednu koristi tvrdnju da monoton ograničen niz konvergira).
Dok je kod Lagrangea derivacija funkcije koeficijent linearnog člana u Taylorovom razvoju te iz
njega izvodi osnovnu relaciju koja je aproksimacija bitna za primjene, Cauchy tu istu relaciju
iskorištava za egzaktnu definiciju derivacije. Cauchy se bavio i preciziranjem pojma integrala.
Cauchy funkcije još uvijek shvaća kao formule oblika 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑖𝑙𝑖 𝑓(𝑥; 𝑦) = 0 : godine
1821. dao je sljedeću definiciju funkcije: Ako su promjenjive veličine tako povezane da kad je
zadana vrijednost jedne od njih možemo zaključiti koliko iznose sve ostale, obično se te različite
veličine doživljavaju kao izražene preko one jedne od njih, koja se onda zove nezavisnom
varijablom, a sve ostale koje su izražene preko nezavisne varijable se zovu funkcijama te
95
varijable. Nakon te definicije precizirao je razliku između eksplicitno i implicitno zadanih
funkcija.
Mnoge nejednakosti koje se pojavljuju na natjecanjima iz matematike mogu se lako dobiti
primjenom Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeve nejednakost (CSB). Dokaz ove nejednakosti
može se izvesti analizom odgovarajuće kvadratne funkcije, što je razumljivo već učenicima
drugog razreda srednje škole.
Primjer 1. Neka su 𝑥 i 𝑦 realni brojevi, takvi da je 4𝑥 + 5𝑦 = 1.
Pokažimo da je tada 𝑥2 + 𝑦2 ≥ 1
41 .
Pomoću CSB nejednakosti dobivamo
1 = (4𝑥 + 5𝑦)2 ≤ (42 + 52 )(𝑥2 + 𝑦2 ) = 41(𝑥2 + 𝑦2),
odakle slijedi tražena nejednakost.
Primjer 2. Ako su 𝑥, 𝑦, 𝑧 realni brojevi takvi da je 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
Pokažimo da je 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≥ 12.
Koristeći CSB nejednakost dobivamo
62 = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2 ≤ (12 + 12 + 12)(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2),
odakle slijedi tražena nejednakost
96
JOHN NASH
Lana Matičević, 3.g
John Forbes Nash Mlađi 1 rođen je 13. lipnja 1928. godine u
Bluefieldu, Zapadna Virginia. Ime je dobio po svojem ocu koji se
također zvao John Nash (John Nash Stariji). Njegova majka
Margaret Virginia Martin je bila učiteljica dok mu je otac radio kao
električni inženjer. Ima mlađu sestru Marthu koja se rodila 16.
studenoga 1930. Tijekom djetinjstva bio je mirno dijete i pokazivao
je veliki interes za knjige, ali se nije volio družiti sa svojim
vršnjacima. Dok su se njegova sestra i majka zajedno s rodbinom
igrali nogomet i skrivača, John je sjedio postrani i igrao se sam s
autićima i avionima. Njegova majka je igrala veliku ulogu u
njegovom obrazovanju. Od samog početka je provodila puno
vremena s njim i učila ga dok se njegov otac ponašao prema njemu kao prema odraslom
čovjeku. Kakogod, Johnovi učitelji u školi nisu prepoznali njegovu sposobnost. Misli se da im
John nije davao razloga kako bi to mislili, jer je bio vrlo povučen. Njegovi učitelji su zapravo bili
zabrinuti za njega zbog nedostatka komunikacije s okolinom. John je kasnije dao do znanja da
se u školi dosađuje i da zapravo kod kuće pokazuje veliko zanimanje za znanstvena istraživanja.
Bilo je jasno da je kod kuće naučio više nego što je u školi. Nash je prvi put pokazao zanimanje
za matematiku kada je imao četrnaest godina. Inspirirala ga je knjiga ''Men of the
mathematics''. Pokušao je dokazati sam sebi rezultate iz te knjige te se tako zainteresirao za
matematiku. Također je važno napomenuti da je knjiga ''Men of the mathetatics'' vrlo nejasna,
ali to Johna nije sputavalo da se zainteresira za matematiku. 1941. godine je upisao kemiju na
Buefieldskom sveučilištu te je uz kemiju uzeo i predmet matematiku. Iako je zapravo studirao
kemiju, počeo je pokazivati više zanimanja za matematiku i rješavanje problemskih zadataka
tako da je zapostavio svoj društveni život. U to vrijeme još nije pokazivao takvo zanimanje za
matematiku da bi se s njom bavio do kraja života. Do 1945. godine osvajao je nekoliko puta
nagrade za rješavanje problemskih zadataka iz matematike te je tako uspio dobiti stipendiju
za Princeton. U rujnu 1948. godine počeo je pokazivati sklonosti prema matematici koja je
obuhvaćala teoriju igara, algebru, topologiju i geometriju, ali također je pokazivao veliko
zanimanje za logiku. Razni izvori govore da je Johna sve zanimalo osim pohađanje nastave, kao
što je uvijek govorio da nastava i predavanja zapravo sprječavaju razvijanje ljudskog uma.
1949. godine dok je spremao doktorat napisao je rad koji je 45 godina kasnije osvojio Nobelovu
nagradu za ekonomiju. Tijekom pisanja doktorata otkrio je matematičke izraze za teoriju igara.
1950. godine John Nash je doktorirao s temom ''Non-cooperative games''. Njegova tema ga je
1 Nakon pisanja ovoga rada u svibnju 2015. godine John Nash je poginuo u prometnoj nesreći.
97
uspjela progurati do RAND korporacija koja se u to vrijeme bavila problemima Hladnog rata te
je tako pokušavao svoje teorije igara primijeniti na vojnu strategiju. Uz to radio je kao i
profesor na Princetonu gdje je upoznao i svoju buduću djevojku. Upoznao je Eleanor Stier s
kojom je imao sina John David Stier (rođen 19. lipnja 1953.). Kakogod, Nash se nije oženio s
Eleanorom iako ga je pokušala nagovoriti na brak. Dvije godine poslije prevario je svoju curu
sa studenticom. Nakon što je bio uhvaćen počeo je ponavljati iznova rečenicu ''Moj mali svijet
je uništen.'' Dosta izvora misli da je tu bio početak njegovog razvoja shizofrenije. Njegova
mentalna disabilnost nije ga spriječila za obavljanje novih matematičkih problema. Iz mentalne
bolnice je redao uspjehe i uspjehe na području algebarske matematike.
NASHOV EKVILIBRIJUM
Nashov ekvilibrijum uključuje teoriju igara s dva ili više igrača u slučaju gdje svaki igrač zna
svoju i protivnikovu strategiju. Najčešće se koristi u izradi vojne strategije.
Formula:
Neka (𝑆, 𝑓)budu igre s 𝑛 igrača, gdje je 𝑆𝑖 strategija stvorena za igrača 𝑖,
je skup strategija i
je funkcija za 𝑥 ∈ 𝑆. Neka je 𝑥𝑖 strategija profila igrača 𝑖 i 𝑥 − 𝑖 strategija od svih igrača osim igrača 𝑖 . Gdje svaki igrač 𝑖 ∈ {1, … , 𝑛} izabire strategiju 𝑥𝑖 rezultira profil strategije 𝑥 =(𝑥1, … , 𝑥𝑛) tada igrač 𝑖 gubi od funkcije igrača 𝑓𝑖(𝑥). Igra ovisi o strategiji koja je izabrana. Strategija koja je izabrana od strane 𝑖 je ona također koja je izabrana od svih ostalih igrača. Profil strategije 𝑥∗ ∈ 𝑆 je '' Nash equilibrium (NE)'' ako nema smetanja u izvođenju strategija kod svakog ostalog igrača, ako nema onda smo dobili Nashov ekvilibrijum, odnosno Nashovu teoriju strateških igara za dva ili više igrača.
Ako nam je nejednažba iznad striktno veća od drugog dijela, tada za sve igrače dobivamo alternativnu strategiju i ta se strategija zapravo zove oštar ili jak Nashov ekvilibrijum.
Ako umjesto, za nekog igrača, nema jednakosti između𝑥𝑖∗ i nekih drugih strategija tipa , tada
se za nejednažbu kaže da je slab Nashov ekvilibrijum.
98
PLAN VOŽNJE GRADSKIH PRIJEVOZA
Pomoću Nashovog ekvilibrijuma nastali su i planovi vožnje gradskih prijevoza. Svaki plan
prijevoza ima točno tri načina kako može započeti i kako može završiti svoje putovanje.
''Igrač'', odnosno putnik sam može izabrati koju strategiju će izabrati, odnosno kojim putem
će ići. Treba uzeti u obzir da ovaj način putovanja može biti netočan. Primjerice ako 50 auta
ide putem B i 50 automobila putem C oni će se svi sastati u jednoj točki. U ovom slučaju u točki
D. Jedno vrijeme tvrdilo se da pomoću ove strategije se može izbjeći gužva, međutim to nije
istina. Svi se moraju sastati u jednoj točki u nekom određenom vremenu. Stoga, danas se
koristi samo u planiranju plana vožnje u podzemnim željeznicama.
BEAUTIFUL MIND
Beautiful mind (Genijalni um) je film koji prikazuje Nashov život. Iako film prati stvarne
događaje Nashovog života, sam je u jednom razgovoru rekao da nije bilo tako kako je
prikazano. Da je u nekim trenutcima bilo još gore, a da su neke scene dodane radi koristi filma.
Tako je priznao da na prvom satu kao profesor nije bacio knjigu u koš za smeće, nego da je
priznao studentima da je knjiga zapravo netočna, ali da je ipak radio po njoj. Međutim, sve
ostalo se podudara s Nashovim životom. Johna Nasha je glumio vrhunski glumac Russell Crowe
te je za tu istu ulogu nominiran za Oscara. Sam film je napravljen na način da prikazuje stvarni
i izmišljeni svijet Johna Nasha te su tako prikazali i vrlo realistično njegove halucinacije.
99
ZAKLJUČAK
Vrijedni učenici istražili su svoje teme te sastavili seminarske radove. Moguće je da nisu sami
smišljali sve rečenice, već da su dobar dio njih prepisali iz svojih izvora. Ali sigurno je da se
ovakav popis tema s ovakvim sadržajem ne može nigdje naći na istom mjestu. Stoga je ovo
djelo po tome jedinstveno, jer obrađuje matematičare koje spominjemo u kurikulu
matematike u srednjim školama.
Ispričavamo se unaprijed ukoliko se u našem djelu potkrala koja greška, ali nadamo se da smo
ipak odradili dobar posao te vjerujemo da će biti od pomoći budućim generacijama.
Žao nam je što nismo uspjeli prevesti naš rad na engleski jezik, ali to može biti zadatak nekog
drugog projekta.
Nadamo se da će naš rad biti inspiracija nekim drugim učenicima i njihovim nastavnicima te
motivacija za rad na projektima.
Voditeljica i sumentorica projekta Gordana Divić.
U Novskoj, 15. lipnja 2015.
100
LITERATURA
1. Stvaranje matematike, Lanselot Hogben, Zajedničko izdanje 1972.
2. http://www.math.tamu.edu/~dallen/masters/egypt_babylon/babylon.pdf
3. M. Libl, I. Matić (2014). Plimpton 322. Miš. 73: 114-118.
4. http://ahyco.uniri.hr/seminari2007/povijestmatematike/
5. http://www.starapovijest.eu/egipatska-matematika/
6. http://www.storyofmathematics.com/greek.html
7. http://hr.wikipedia.org/wiki/Tales
8. http://hr.wikipedia.org/wiki/Pitagora
9. http://hr.wikipedia.org/wiki/Grci
10. http://ahyco.uniri.hr/seminari2007/povijestmatematike/prva.htm
11. http://prelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/PovMat/povmat5.pdf
12. http://www.pmfst.unist.hr/~zzoric/POVIJEST%20MATEMATIKE/staroindijska%20mat
ematika.pdf
13. http://sh.wikipedia.org/wiki/Kineski_brojevi
14. http://en.wikipedia.org/wiki/Lo_Shu_Square
15. http://en.wikipedia.org/wiki/Al-Karaji
16. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Karaji.html
17. http://wzzz.tripod.com/KHAWARIZ.html
18. http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Al-Khwarizmi.html
19. W. K. C. Guthrie „Povijest grčke filiozfije“ , Naklada Jurčević, Zagreb, 2005.
20. seminarski rad: „Tales“, Ivana Flis, Ivana Šokčić, Biljana Stipetić, akademska godina:
2010./11.
21. http://hr.wikipedia.org/wiki/Promjer, (prosinac 2014.)
22. http://www.mathos.unios.hr/~ivuic/pitagora/index.html
23. http://www.mathos.unios.hr/~ivuic/pitagora/zivotopis.html
24. http://www.mathos.unios.hr/~ivuic/pitagora/skola.html
25. http://www.mathos.unios.hr/~ivuic/pitagora/poucak.html
26. http://www.hazu.hr/~duda/pitagora.html
27. http://cerebro.cs.xu.edu/math/math147/02f/archimedes/archpartext.html 28. http://mis.element.hr/list/11/broj/50/clanak/637/kako-je-arhimed-racunao-
povrsinu-odsjecka-parabole 29. http://www.math.mcgill.ca/rags/JAC/NYB/exhaustion2.pdf 30. http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_exhaustion 31. http://en.wikipedia.org/wiki/The_Quadrature_of_the_Parabola 32. http://hr.wikipedia.org/wiki/Arhimed 33. http://www.jw.org/hr/izdanja/casopisi/g201505/al-hvarizmi-otac-algebre/
101
34. http://ahyco.uniri.hr/seminari2007/povijestmatematike/8-2-2-1.htm, (prosinac
2014.)
35. http://e.math.hr/dvoboji/index.html, (prosinac 2014.)
36. http://prelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/PovMat/povmat7.pdf, (prosinac 2014.)
37. http://prelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/PovMat/Seminar-MilaStrpic.pdf, (prosinac
2014.)
38. http://www.google.hr/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=3&cad=rja&uact
=8&ved=0CCwQFjAC&url=http%3A%2F%2Fwww.os-
zmijavci.skole.hr%2Fupload%2Fos-zmijavci%2Fmultistatic%2F36%2FBroj_PI-
Kristina_i_Sandra.ppt&ei=Vj-
HVO6sFoOPPciLgLAO&usg=AFQjCNHOtYVYS58tglcYlSyiltdpmuj05w&bvm=bv.814496
11,d.ZWU, (prosinac 2014.)
39. http://translate.google.hr/translate?hl=hr&sl=fr&u=http://histoiredechiffres.free.fr/
mathematiciens/viete.htm&prev=search , (prosinac 2014.)
40. http://hr.wikipedia.org/wiki/John_Napier
41. http://hr.wikipedia.org/wiki/Napierove_kosti
42. http://savjetnik.ihjj.hr/savjet.php?id=92
43. http://bs.wikipedia.org/wiki/Slonova%C4%8Da
44. https://word.office.live.com/wv/WordView.aspx?FBsrc=https%3A%2F%2Fwww.face
book.com%2Fattachments%2Ffile_preview.php%3Fid%3D1573851529510755%26ti
me%3D1420910197%26metadata&access_token=100007779133578%3AAVIoqttZuC
VNBrXdiLAPb2zvcIySSPJgsouqzpctNC5dAQ&title=Seminar-Descartes+%281%29.docx
(javno dostupno 10.1.2015.)
45. http://prelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/PovMat/povmat8.pdf (javno dostupno
10.1.2015)
46. http://www.jstor.org/discover/10.2307/2689662?uid=2&uid=4&sid=2110468896113
1
47. http://www.jstor.org/stable/2973769?origin=JSTOR-pdf
48. Dadić, Ž., Povijest ideja i metoda u matematici i fizici. Školska Knjiga, Zagreb, 1992.
49. Dakić, B., Više nego u udžbeniku. Element, Zagreb, 10.mjesec 2009.
50. Biografije.hr
51. Wikipedia.org
52. Britannica.com
53. Encyclopedia.com
54. http://mis.element.hr/fajli/754/28-03.pdf
55. http://www.grad.hr/nastava/matematika/mat2/node32.html
56. Borovec E., Cikojević M., Golubić K., Zagreb, 2010., Seminar- Johan Carl Friedrich
Gauss- životopisi matematičarki i matematičara
57. http://hr.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss
58. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Gauss.html
102
59. Opća enciklopedija, Zagreb, 1977.
60. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Nash.html
61. https://www.youtube.com/watch?v=UiWBWwCa1E0
62. http://www.nobelprize.org/mediaplayer/index.php?id=429