Pythagoras i häftet

Inger Bäckström, Burträsk 1

Nu handlar det om rätvinkliga trianglar och Pythagoras sats.


Slå upp en ren sida i ditt räknehäfte.


Du ska rita en geometrisk figur på denna sida.

Titta och lyssna så får du veta vad och hur du ska

göra det.


När du ritar ska du använda linjal

och du ska följa linjerna och

rutorna som finns på sidan i ditt räknehäfte.


När du ritar en linje ska du börja där två linjer på sidan i räknehäftet korsar varandra, alltså i ett hörn av en ruta på sidan i häftet.

Samma sak när du avslutar linjen som du ritar; den ska sluta precis där två linjer i räknehäftet korsar varandra.


Tag pennan i din ena hand och linjalen i din andra hand.

Lägg linjalen ungefär mitt på sidan. Du ska rita en linje som är 8 cm lång.

Följ linjerna och rutorna i boken EXAKT!Gå efter där rutorna börjar och slutar om det

inte blir exakt 8 cm med linjalen.

Rita nu.


Nu ska du rita en annan linje, vinkelrätt mot ena änden av din 8 centimeters linje.

Du får välja om du börjar den nya linjen vid början eller vid slutet av din första linje.

Börja EXAKT där den första linjen börjar eller slutar.

Använd givetvis linjal!

Gör den nya linjen 6 cm lång. EXAKT! Följ rutorna.


Markera den räta vinkeln som finns mellan de båda linjerna.

Markera med symbolen för ”rät vinkel”, ja, du vet hur den ser ut.

Eller hur?


Rät vinkelDe blåa linjerna är i rät vinkel mot varandraDen röda markeringen är symbol för ”rät

vinkel”.


Nu ska du göra den räta vinkeln till en triangel; en rätvinklig triangel.

Lägg linjalen EXAKT där dina två linjer slutar och dra en tredje linje som binder samman de båda ändpunkterna.

Nu har du ritat en rätvinklig triangel.Och gjort det noggrant!


Din triangel kan ju förstås vara vänd åt andra hållet.



Mät den tredje sidan i din triangel.

Hur lång är den?Skriv inte upp det, än.


Vad kallas sidorna i en rätvinklig triangel?

Skriv namnet längs med rätt sida i din triangel.

Välj ur dessa tre:

KatetKatet

Hypotenusa


Katet

Kate

tHypotenusa


Nu ska du namnge sidorna i triangeln med hjälp av en bokstav.

Skriv på insidan av sidorna, inuti triangeln, och det ska vara små bokstäver:

Vid den kortaste kateten: a Vid den längsta kateten: bVid hypotenusan: c (den längsta sidan i triangeln)


Katet

Kate

tHypotenusaa

b

c


Den gamla greken Pythagorasgjorde kvadrater på alla tre sidor av en

rätvinklig triangel.Kvadraternas sidor var lika långa som

längden på kateterna och hypotenusan.

Rita kvadrater du också. Gör de så hela som du kan, som ryms på sidan.


a

b

c

Du behöver inte färglägga dina kvadrater.


Han kunde räkna ut arean på de tre kvadraterna så här:

a • a eller som man också kan

skriva det a2

b • b eller b2 c • c eller c2

Skriv det i dina kvadrater.


a

b

ca • a = a2

b • b = b2

c • c = c2


Sedan kom han på något bra; han såg att det fanns ett samband mellan

areorna på kateterna och arean på hypotenusan.

Om man lägger ihop areorna på kateterna så blir deras area tillsammans lika stor som arean på hypotenusan.

Och det gäller i alla rätvinkliga trianglar.


a2 + b2 = c2

Pythagoras sats

Skriv detta i ditt räknehäfte, nedanför din triangel:


Pythagoras sats används till

• att räkna ut längden på någon av sidorna i en rätvinklig triangel

• att kontrollera om en triangel har en rät vinkel


Beräkna hypotenusans längd i den triangel du har ritat. Skriv i ditt räknehäfte:

a2 + b2 = c2

a = 6 cmb = 8 cmc = ?6 • 6 + 8 • 8 = c2

36 + 64 = c2

100 = c2

c2 = 100c= √100c = 10 Svar: Hypotenusan är 10 cm lång


Är triangeln rätvinklig?Triangeln är rätvinklig om Pythagoras sats

stämmer. Vi kollar det.a2 + b2 = c2

I en likhet, ekvation, ska det som står på var sin sida om likhetstecknet vara lika för att likheten ska gälla.

Man brukar säga att Vänster led ska vara lika med Höger ledV.L. = H.L.


V.L. = a2 + b2 H.L. = c2

V.L. = 6 6 + 8 8∙ ∙ H.L. = 10 10∙V.L. = 36 + 64 H.L. = 100V.L. = 100 H.L.= 100V.L. = H.L. Triangeln har en rät vinkel.

Svar: Det är en rätvinklig triangel.


Om det är så att hypotenusan är 9 cm istället. Vi kollar om vi har en rätvinklig triangel.a2 + b2 = c2

V.L. = a2 + b2 H.L. = c2

V.L. = 6 6 + 8 8∙ ∙ H.L. = 9 9∙V.L. = 36 + 64 H.L. = 81V.L. = 100 H.L.= 81V.L. ≠ H.L. (≠ betyder ”inte lika med”)Triangeln har ingen rät vinkel.Svar: Triangeln är inte rätvinklig.


I en rätvinklig triangel är hypotenusan 13 cm och den långa kateten 12 cm. Beräkna den korta katetens längd.

(Rita alltid en figur, triangel, och sätt ut a, b och c).

a2 + b2 = c2

a2 =? b = 12 cm c = 13 cmFör att räkna ut längden på a vill vi ha a2 ensam

på ena sidan om likhetstecknet. Tänk på hur du har lärt dig att lösa ekvationer,

göra lika på båda sidor om likhetstecknet.

a

b

c


Vi tar bort b2 från båda sidor om likhetstecknet:

a2 + b2 - b2 = c2 - b2

och får kvar:a2 = c2 - b2

Nu sätter vi in de värden vi har och gör beräkningar:a2 = 13 ∙ 13 - 12 ∙ 12a2 = 169- 144a2 = 25a =√25a =5Svar: Kateten är 5 cm lång

Education

Pythagoras i häftet