Rangkuman Geometri Transformasi

RANGKUMAN

Mata Kuliah GEOMETRI TRANSFORMASI

DI SUSUN OLEH :

Nama : Indah WijayantiNPM : 200813500172Dosen : Huri Suhendri S.Pd

KELAS : O. MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS TEKNIK MATEMATIKA DAN IPA

UNIVERSITAS INDRAPRASTA PGRI JAKARTAJl. Nangka No.58C Tanjung Barat (TB Simatupang)

Jagakarsa, Jakarta Selatan 12530Februari 2010

http://images.google.co.id/imgres?imgurl=http://bp0.blogger.com/_jhlgRFnmWBs/SBBDlDpC3wI/AAAAAAAAABU/VCg7YUdE9Fw/S692/LOGOUNINDRA.jpg&imgrefurl=http://langitke-7.blogspot.com/&h=472&w=472&sz=48&hl=id&start=1&usg=__mA6hC-afzmDwfLj0xPARsOuNrMM=&tbnid=se12CXYWXHzsjM:&tbnh=129&tbnw=129&prev=/images%3Fq%3D%2522logo%2Bunindra%2522%26gbv%3D2%26hl%3Did%00%E5%A1%B9%EF%92%81%E1%B4%BB%E4%A1%BF%E2%B2%AF%E5%B6%82%E8%97%84%E6%8C%A7%00%00%EA%AE%A5

Geometri Transformasi

DAFTAR ISI

LEMBAR JUDUL

DAFTAR ISI.......................................................................................................

BAB PEMBAHASAN

2.1 REFLEKSI..........................................................................................

2.2 TRANSLASI.......................................................................................

2.3 ROTASI..............................................................................................

2.4 DILATASI...........................................................................................

2.5 KOMPOSISI TRANSFORMASI........................................................

DAFTAR PUSTAKA...........................................................................................

Matematika 2


REFLEKSI

a. Pengertian Refleksi

Pada gambar 7.5, tampak

bahwa ABC dicerminkan terhadap

garis g sehingga menjadi A’B’C’.

Garis g dinamakan sumbu simetri

atau garis invarian (tetap).

Perhatikan gambar 7.5.

Titik-titik A, B, dan C pada Δ ABC

dicerminkan menjadi titik-titik A’, B’,

dan C’ dengan arah tegak lurus terhadap garis g, dengan AF = FA’, BE = EB’

dan CD = DC’, sehingga diperoleh bayangannya Δ A’B’C’ yang kongruen (sama

bentuk dan ukuran) dengan ABC. Pencerminan seperti ini, yang memindahkan

semua titik pada sebuah bangun geometri terhadap suatu garis tertentu, serta

bayangannya kongruen dengan bangun semula dinamakan refleksi.

Pada gambar 7.6 terlihat 4 buah titik

yang diketahui pasangan koordinatnya

yaitu titik-titik A (4,2), B (-2,4), C (-4,-2),

dan D (2,-4).

Kemudian kita tentukan bayangan

dari titik-titik A (4,2), B (-2,4), C (-4,-2) dan

D (2,-4) pada refleksi (pencerminan)

terhadap sumbu X, sehingga diperoleh

hasil sebagai berikut. Kemudian kita

tentukan bayangan dari titik-titik A (4,2), B

(-2,4), C (-4,-2) dan D (2,-4) pada refleksi

(pencerminan) terhadap sumbu X,

sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.

Matematika 3

1

Refleksi terhadap

Sumbu X


Bayangan dari titik-titik A

(4,2), B (-2,4), C (-4,-2), dan D (2,-

4) pada refleksi (pencerminan)

terhadap sumbu X adalah A’(4,-2),

B’(-2,-4), C’(-4,2), dan D’(2,4). Dari

hasil tersebut diperoleh bahwa

koordinat x dari titik yang

dicerminkan terhadap sumbu X

sama dengan koordinat x dari

bayangannya, sedangkan

koordinat y dari titik yang

dicerminkan terhadap sumbu X

sama dengan negatif dari

koordinat y dari bayangannnya.

1. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika

dicerminkan terhadap sumbu X.

Penyelesaian:

Bayangan dari P(-2,3) jika dicerminkan terhadap sumbu X adalah P’(-2,-3).

Bayangan dari Q(3,3) jika dicerminkan terhadap sumbu X adalah Q’(3,-3).

Bayangan dari R(3,6) jika dicerminkan terhadap sumbu X adalah R’(3,-6).

Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6), jika dicerminkan

terhadap sumbu X adalah titik-titik P’(-2,-3), Q’(3,-3), dan R’(3,-6).

2. Tentukan bayangan garis 3x + y = 7 yang di cerminkan terhadap sumbu x!

Penyelesaian: Ingat : y’ = -f(x) y = 7 – 3x

y’ = - (7-3x)

y’ = -7 + 3x

Matematika 4

Kesimpulan :

Titik P (a,b) di refleksikan maka P’ (a,-b)

Refleksi kurva terhadap y = - f (x)

Contoh


y’ = 3x - 7

Jadi, bayangan garis 3x + y = 7 yaitu y = 3x - 7


yang diketahui pasangan koordinatnya,


dan D (4,-2).

Kemudian kita tentukan bayangan

dari titik-titik A (2,4), B (-4,2), C (-2,-4) dan

D (4,-2) pada refleksi (pencerminan)

terhadap sumbu Y, sehingga diperoleh hasil

sebagai berikut.

Bayangan dari titik-titik A (2,4), B (-

4,2), C (-2,-4), dan D (4,-2) pada refleksi

(pencerminan) terhadap sumbu Y adalah

A’(-2,4), B’(-4,2), C’(-2,-4), dan D’(-4,-2).

Dari hasil tersebut diperoleh bahwa

koordinat y dari titik yang dicerminkan

terhadap sumbu Y sama dengan koordinat y

dari bayangannnya, sedangkan koordinat x

dari titik yang dicerminkan terhadap sumbu

Y sama dengan negatif dari koordinat x dari

bayangannnya.


dicerminkan terhadap sumbu Y.

Penyelesaian:

Matematika 5

Refleksi terhadap

Sumbu Y

Kesimpulan :

Titik P (a,b) di refleksikan maka P’ (-

a,b)

Refleksi kurva terhadap y = f (-x)

Contoh


Bayangan dari P(-2,3) jika dicerminkan terhadap sumbu Y adalah P’(2,3).

Bayangan dari Q(3,3) jika dicerminkan terhadap sumbu Y adalah Q’(-3,3).

Bayangan dari R(3,6) jika dicerminkan terhadap sumbu Y adalah R’(-3,6).


terhadap sumbu Y adalah titik-titik P’(2, 3), Q’(-3,3), dan R’(-3,6).

4. Tentukan bayangan garis y =2x + 8 yang di cerminkan terhadap sumbu

y!

Penyelesaian: Ingat : y’ = f(- x) y = 2x + 8

y’ = 2(-x) + 8

y’ = - 2x + 8

Jadi, bayangan garis y = 2x + 8 yaitu y = -2x + 8




dan D (4,-2).

Kemudian kita tentukan bayangan dari

titik-titik A (2,5), B (-4,2), C (-2,-5) dan D

(4,-2) pada refleksi (pencerminan)

terhadap garis y = x, sehingga diperoleh

hasil sebagai berikut.

Bayangan dari titik-titik A (2,5), B (-4,2), C (-

2,-5), dan D (4,-2) pada refleksi

(pencerminan) terhadap terhadap garis y = x

adalah A’(5,2), B’(2,-4), C’(-2,—5), dan D’(-

2,4). Dari hasil tersebut diperoleh bahwa

koordinat x pada suatu titik yang

dicerminkan menjadi koordinat y pada

bayangannya, sedangkan koordinat y pada

suatu titik yang dicerminkan menjadi

koordinat x pada bayangannya.

Matematika 6

Refleksi terhadap Garis

y=x



dicerminkan terhadap garis y = x.

Penyelesaian:

Bayangan dari P(-2,3) jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah P’(3,-

2).

Bayangan dari Q(3,3) jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah

Q’(3,3).

Bayangan dari R(3,6) jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah

R’(6,3).


terhadap garis y = x adalah titik-titik P’(3, -2), Q’(3,3), dan R’(6,3).


y=x!

Penyelesaian: Ingat : x’ = f(y) y = 2x + 8

x’ = 2(y) + 8

x’ = 2y + 8

Jadi, bayangan garis y = 2x + 8 garis yaitu x = 2y + 8

Pada gambar 7.12 terlihat 4 buah titik yang diketahui pasangan koordinatnya,

yaitu titik-titik A (-1,4), B (-4,3), C (1,-4), dan D (4,3).

Matematika 7

Kesimpulan :

Titik P (a,b) di refleksikan thdp sumbu maka P’

(b,a)

Refleksi kurva terhadap garis x = f (y)

Contoh


y = -x


Bayangan dari titik-titik A (-1,4), B (-4,3), C (1,-4), dan D (4,3) pada refleksi

(pencerminan) terhadap terhadap garis y = x adalah A’(-4,1), B’(3,4), C’(4,-1),

dan D’(-3,-4).

Dari hasil tersebut diperoleh bahwa

koordinat x pada suatu titik yang

dicerminkan menjadi negatif dari

koordinat y pada bayangannya,

sedangkan koordinat y pada suatu titik

yang dicerminkan menjadi negatif dari

koordinat x pada bayangannya.

Matematika 8

Kesimpulan :

Titik P (a,b) di refleksikan thdp sumbu maka P’ (-

b,-a)

Refleksi kurva terhadapa garis x = - f (-y)



dicerminkan terhadap garis y = -x.

Penyelesaian:

Bayangan dari P(-2,3) jika dicerminkan terhadap garis y = -x adalah P’(-

3,2).

Bayangan dari Q(3,3) jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah Q’(-3,-

3).

Bayangan dari R(3,6) jika dicerminkan terhadap garis y = x adalah R’(-6,-

3).


terhadap garis y = x adalah titik-titik P’(-3,2), Q’(-3,-3), dan R’(-6,-3).


y=x!

Penyelesaian: Ingat : x’ = - f(-y) y = 6x + 5

x’ = -(6(-y) + 5)

x’ = 6y - 5

Jadi, bayangan garis y = 6x + 5 garis yaitu x = 6y -5

Pada gambar 7.14 tampak sebuah

titik P(a,b) yang direfleksikan

(dicerminkan) terhadap garis x = k

sehingga bayangannya adalah

P’(a’,b’).

Kemudian kita cari hubungan antara

a, b, a’, b’, dan k, hasilnya adalah

sebagai

berikut.

a’ = a + PP’ a’ = a + PP’

Matematika 9

Contoh


x = k


a’ = a + 2PQ

a’ = a + 2(k – a)

a’ = a + 2k – 2a

a’ = 2k – a

Selanjutnya, dari gambar 7.14 tampak jelas bahwa b’ = b, sehingga titik P(a,b)

berturut-turut diganti oleh 2k–a dan b. Maka, koordinat titik P’(a’,b’) menjadi

P’(2k–a,b).


dicerminkan terhadap garis x = 5.

Penyelesaian:

Bayangan dari P (-2,3) - garis x = 5 maka P’(2(5)-(-2),3) = P’(12,3).

Bayangan dari Q (3,3) - garis x = 5 maka Q’(2(5)-3,3) = Q’(7,3).

Bayangan dari R (3,6) - garis x = 5 maka R’(2(5)-3,6) = R’(7,6).


terhadap garis x = 5 adalah titik-titik P’(12,3), Q’(7,3), dan R’(7,6).

Pada gambar 7.15 terlihat sebuah titik

P(a,b) yang direfleksikan (dicerminkan)

terhadap garis y = k sehingga

bayangannya adalah P’(a’,b’).

Kemudian kita cari hubungan antara a, b,

a’, b’, dan k, hasilnya adalah sebagai

berikut.

b’ = b + PP’ b’ = b + PP’

Matematika 10

Kesimpulan :


(2k-a, b)

Refleksi kurva terhadap garis y = f (2k – x)

Contoh


y = k


b’ = b + 2PQ

b’ = b + 2(k – b)

b’ = b + 2k – 2b

b’ = 2k – b

Selanjutnya, dari gambar 7.15 tampak jelas bahwa a’ = a, sehingga titik P(a,b)

berturut-turut diganti oleh a dan 2k-b.Oleh karena itu,koordinat titik P’(a’,b’)

menjadi P’(a,2k-b).


dicerminkan terhadap garis y = 3.

Penyelesaian:

Bayangan dari P (-2,3) -- garis y = 4 adalah P’ (-2,2(4)-3) = P’ (-2,5).

Bayangan dari Q (3,3) -- garis y = 4 adalah Q’ (3,2(4)-3) = Q’(3,5).

Bayangan dari R(3,6) -- garis y = 4 adalah R’(3,2(4)-6) = R’(3,2).


terhadap garis y = 4 adalah titik-titik P’(-2,5), Q’(3,5), dan R’(3,2).

No Jenis Transformasi Matriks Bayangan titik

1

2

3

4

Refleksi

Terhadap sumbu x

Terhadap sumbu y

Terhadap garis y=x

Terhadap garis y=-

My=0

Mx=0

My=x

A(x,y) A’ (x,-

y)

A(x,y) A’ (-

x,y)

Matematika 11

Kesimpulan :


(a, 2k-b)

Refleksi kurva terhadap garis y = 2k – f(x)

Contoh


x My=-x

A(x,y) A’

(y,x)

A(x,y) A’ (-y,-

x)

11. Tentukan bayangan titik (3,-5), jika di cerminkan terhadap garis y=-x!

Penyelesaian : = My=-x

= =

12. Tentukan bayangan kurva y=x2,jika di cerminkan terhadap garis y=x!

Penyelesaian : = My=x

=

=

sehingga di dapat, x = y’ dan y = x’. Substitusikan ke persamaan kurva y=x2

,

maka diperoleh y = x2

x’ = y’2

y’ = ± Jadi, bayangan kurva tersebut adalah y = ±

13. Persamaan garis 3x + y – 2 = 0 dicerminkan terhadap garis y=-x. tentukan

persamaan bayangannya!

Penyelesaian : My=-x , maka T-1 = 1 = =

Misalkan titik (x,y) terketak pada garis 3x + y – 2=0, maka bayangan titik (x’,y’)

adalah:

Matematika 12

Contoh

1- 1


= T , kemudian masing-masing di kali dengan T-1

T-1 = T-1 T

=

= x = -y’ dan y = -x’

14. Tentukan persamaan bayangan dari lingkaran x2+ y2 + 4x – 6y – 3 = 0 oleh

transformasi yang bersesuaian dengan matrix !

Penyelesaian:

Cara I : Diketahui matrik T ,

invers matrix T-1 = 1 = =

Misalkan titik (x,y) terketak pada garis x2+ y2+4x–6y–3= 0,maka bayangan titik

(x’,y’) adalah: = T , kemudian masing-masing di kali dengan T-1

T-1 = T-1 T

=

= x = -y’ dan y = x’

Matematika 13

Subsitusikan x = -y’ dan y = -x’ ke

pesamaan :

3x + y – 2=0

3(-y’) + (-x’) – 2=0

- 3y’ – x’ -2 = 0

x’ + 3y’ + 2 = 0

Sehingga, persamaan bayangan

kurvanya menjadi:

Subsitusikan x = -y’ dan y = x’ ke

pesamaan :

x2+ y2+4x–6y–3= 0

(-y’)2+ (x’)2+4(-y’)–6(x’)–3= 0

y’2 + x’2 - 4y’ – 6x’–3= 0

x’2 + y’2 - 6x’- 4y’- 3 = 0

Sehingga, persamaan bayangan

kurvanya menjadi: x2 + y2 - 6x- 4y- 3 =


TRANSLASI

a. Pengertian Translasi

Pada gambar 7.1, tampak bahwa Δ ABC digeser sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu sedemikian hingga menjadi Δ A’B’C’. Pada pergeseran tersebut, Δ A’B’C’ merupakan bayangan dari Δ ABC. Pergeseran yang memindahkan Δ ABC menjadi Δ A’B’C’ dapat diwakili oleh ruas garis-ruas garis berarah atau atau .

Perhatikan gambar 7.1, tampak

bahwa AA’ = BB’ = CC’ sehingga Δ A’B’C’

kongruen (sama bentuk dan ukuran)

dengan Δ ABC. Pergeseran seperti ini,

yang memindahkan semua titik pada

sebuah bangun geometri sepanjang garis

lurus dengan arah dan jarak tertentu, serta

bayangannya kongruen dengan bangun

semula dinamakan translasi.

b. Notasi dengan Pasangan Bilangan

Suatu translasi dapat dinyatakan dengan menggunakan suatu pasangan

bilangan dengan a mewakili pergeseran arah horisontal dan b

mewakilipergeseran arah vertikal.

Pada gambar 7.2, tampak bahwa ruas garis berarah memperlihatkan

sebuah translasi yang memindahkan titik A ke

titik A’. Pergeseran titik A ke titik A’

dilakukan dengan cara menggeser 5 satuan ke

kanan dilanjutkan 3 satuan ke atas. Translasi

tersebut dinyatakan dalam bentuk

atau secara singkat ditulis: .

Matematika 14

2


c. Menentukan Bayangan Titik oleh Translasi Tertentu

Pada gambar 7.3 tampak sebuah

titik P(x,y) yang ditranslasikan oleh

T = sehingga bayangannya

adalah P’(x’,y’).

Kemudian kita cari hubungan antara x, y, x’, y’, a, dan b, hasilnya adalah

sebagai berikut : x’ = x + a

y’ = y + b

Sehingga titik P(x,y) berturut-turut diganti oleh x + a dan y + b. Oleh

karena itu, koordinat titik P’(x’,y’) menjadi P’(x + a,y + b).

TRANSLASI KURVA

Matematika 15

Kesimpulan :Pada tranlasi T = , bayangan titik P(x,y) adalah P’(x + a,y + b).

Contoh

Translasi berarti :

menggeser “a” satuan ke kanan (jika a > 0) atau a satuan ke kiri (jika

a < 0)

menggeser “b” satuan ke atas (jika b > 0) atau b satuan ke bawah

(jika b< 0).

Komponen a disebut komponen mendatar (absis) dan b disebut

komponen vertical(ordinat)

Jika kurva y = f (x) di tranlasi oleh T = , maka bayangan kurva tersebut y – b = f

(x – a)


1. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3) dan R(3,6) oleh translasi T

Penyelesaian:

Bayangan P(-2,3) oleh translasi T = adalah P(-2+(-2),3+3) = P’(-4,6).

Bayangan Q(3,3) oleh translasi T = adalah P(3+(-2),3+3) = Q’(1,6).

Bayangan R(3,6) oleh translasi T = adalah P(3+(-2),6+3) = R’(1,9).

Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) oleh translasi T = adalah

titik-titik P’(-4,6), Q’(1,6), dan R’(1,9).

2. Koordinat bayangan titik A (7,4) oleh Translasi T = adalah A’ (1,9).

Tentukan translasi T.

Penyelesaian : T = ; A (7,4) A’ (7+a, 4+b) = A’ (1,9)

Sehingga, 7 + a = 1 a = -6

4 + b = 9 b = 5

Jadi, translasi T = =

3. Koordinat bayangan titik M (-5,-4) oleh translasi T = adalah M’ (-4,-6).

Tentukan koordinat bayangan titik N (2,-7) oleh translasi T!

Penyelesaian : T = : M (-5,- 4) M’ (-5+a, - 4+b) = M’ (-4,-6)

Sehingga, -5 + a = -4 a = 1

- 4 + b = -6 b = -2

Jadi, translasi T = =

4. Tentukanlah bayangan dari kurva 3x ― 5y + 7 = 0 jika di translasi oleh T =

Penyelesaian : Ingat : bayangan dari translasi kurva y – b = f (x –

a)

Matematika 16


Maka, 3 (x-(-2)) – 5 (y-(-5)) +7 = 0 3x + 6 ― 5y ― 25 +7 = 0

3x ― 5y ― 12 = 0

5. Tentukan persamaan bayangan kurva y=2x2 oleh translasi T =

Penyelesaian: = + dari tranlasi di samping diperoleh

= -

=

Substitusikan persamaan 1 dan 2 ke y = 2x2 maka :

y = 2x2

y’-2 = 2 (x’ – 3)2

y’ = 2 (x’2- 6x’ + 9) + 2

y’ = 2x’2 – 12x’ + 20

Jadi, bayangan kurva y = 2x2 oleh translasi T = adalah y = 2x2 – 12x +

20

6. Tentukan bayangan garis y = 2x + 4 oleh translasi T =

Penyelesaian : Ingat : bayangan dari translasi kurva y – b = f (x –

a)

Maka, y – 2 = 2 (x–(-1)) + 4 y – 2 = 2x+2+4

y = 2x+8

Matematika 17

x = x’ – 3 …………1

y = y’ – 2 …………2


ROTASIa. Pengertian Rotasi

Pada gambar 7.16, tampak bahwa

Δ ABC diputar menjadi Δ A’B’C’. Setiap

titik pada Δ ABC diputar dalam arah

yang sama, dengan besar sudut rotasi q

pada suatu titik O yang meyebabkan

kedudukan segitiga berubah.

Ukuran-ukuran sisi serta sudut

segitiga tetap, sehingga Δ A’B’C’

kongruen (sama bentuk dan ukuran)

dengan Δ ABC. Perputaran seperti ini,

yang memindahkan semua titik pada

bangun geometri yang masing-masing bergerak sepanjang busur lingkaran

yang pusatnya adalah pusat perputaran sebesar suatu sudut tertentu

dinamakan rotasi.

Rotasi ditentukan oleh tiga hal, yaitu titik pusat, besar sudut, dan arah

sudut rotasi. Suatu rotasi dikatakan memiliki arah positif, jika rotasi itu

berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam. Sedangkan rotasi dikatakan

memiliki arah negatif, jika rotasi itu searah dengan arah putaran jarum jam.

Pada gambar 7.17 terlihat 2 buah titik yang

diketahui pasangan koordinatnya, yaitu titik-

titik A (2,3) dan B (-2,-4).

Dari gambar yang tampak di atas diperoleh

bahwa bayangan dari titik A(2,3) dan B(-2,-4)

pada rotasi sebesar 90º searah jarum jam

masing-masing adalah A’(3,2) dan B’(-4,-2).

Matematika 18

3

Rotasi Titik Pusat O (0,0) Sebesar 90º

Kesimpulan :

Bayangan titik P (a,b) pada Rotasi adalah P’ (b,-a)


1. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi

terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 90º searah jarum jam?

Penyelesaian:

Ingat : P (a,b) maka P’ (b,-a)

Bayangan titik P (2,3) adalah P’(3,2).

Bayangan titik Q (3,3) adalah Q’(3,-3).

Bayangan titik R (3,6) adalah R’(6,-3).

Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi terhadap

titik pusat O(0,0) sebesar 90º searah jarum jam adalah titik-titik P’(3,-2), Q’(3,-

3), dan R’(6,-3).

Pada gambar 7.18 terlihat 2 buah titik yang

diketahui pasangan koordinatnya, yaitu titik-titik A

(2,-4) dan B (-3, 4).


bahwa bayangan dari titik A(2,-4) dan B(-3,4)

pada rotasi sebesar 90º berlawanan dengan

arah jarum jam [0,-90º masing-masing adalah

A’(4,2) dan B’(-4,-3).


terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 90º berlawanan arah jarum jam?

Matematika 19

Contoh

Rotasi Titik Pusat O (0,0) Sebesar -90º

Kesimpulan :

Bayangan titik P (a,b) pada Rotasi adalah P’ (-b,a)

Contoh


Penyelesaian:

Ingat : P (a,b) maka P’ (-b,a)

Bayangan titik P (-2,3) adalah P’(-3,-2).

Bayangan titik Q (3,3) adalah Q’(-3,3).

Bayangan titik R (3,6) adalah R’(-6,3).

Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi

adalah titik-titik P’(-3,-2), Q’(-3,3), dan R’(-6,3).

Pada gambar 7.19 terlihat sebuah titik


yaitu titik-titik A (4,-2).

Dari gambar yang tampak di atas

diperoleh bahwa bayangan dari titik A(4,-

2) pada rotasi sebesar 180º searah atau

berlawanan dengan arah jarum jam

adalah A’(-4,2).


Penyelesaian:

Ingat : bahwa titik P (a,b) di Rotasi maka P’ (-a,-b)

Matematika 20

Rotasi Titik Pusat O (0,0) Sebesar 180º dan -180º

Kesimpulan :

Bayangan titik P (a,b) pada Rotasi dan adalah P’ (-a,-b)

Contoh


Bayangan titik P (-2,3) adalah P’(2,-3).

Bayangan titik Q (3,3) adalah Q’(-3,-3).

Bayangan titik R (3,6) adalah R’(-3,-6).

Jadi, bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3) dan R(3,6) pada rotasi P’(2,-

3), Q’(-3,-3), dan R’(-3,-6).

Pada gambar 7.20 terlihat sebuah titik yang

diketahui pasangan koordinatnya, yaitu titik-

titik A (4,-2).


bahwa bayangan dari titik A(3,5) pada rotasi

sebesar 270º adalah A’(-5,3).

1. Tentukanlah bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 2700 searah arah jarum jam.

Penyelesaian:

Ingat : Titik P (a,b) di Rotasi maka P’

(-b,a)

Bayangan titik P(-2,3) adalah P’(-3, 2).

Bayangan titik Q(3,3) adalah Q’(-3,3).

Bayangan titik R(3,6) adalah R’(-6,3).

Matematika 21

Rotasi Titik Pusat O (0,0) Sebesar 270º

Kesimpulan :

Bayangan titik P (a,b) pada Rotasi adalah P’ (-b,a)

Contoh



adalah titik-titik P’(-3,2), Q’(-3,3) dan R’(-6,3).

Pada gambar 7.21 terlihat sebuah titik yang diketahui pasangan

koordinatnya, yaitu titik-titik A (4,3).

Dari gambar yang tampak di atas diperoleh bahwa bayangan dari titik

A(4,3) pada rotasi sebesar 2700 berlawanan dengan arah jarum jam adalah

A’(3,-4).

Dalam persamaan matrix maka dapat di simpulkan bahwa bayangan titik P(x,y) oleh rotasi titik asal O(0,0) dan sudut rotasi sebesar θ dapat di nyatakan:

Matematika 22

Rotasi Titik Pusat O (0,0) Sebesar - 270º

Kesimpulan :

Bayangan titik P (a,b) pada Rotasi adalah P’ (b,-a)

MATRIX TRANSFORMASI ROTASI

1. R90º = 2. R180º =

3. R270º = 4. R-90º =

Y

P’ (x’,y’)

r P (x,y)

r θ α

x

Rotasi yang berpusat di titik O(0,0) dengan sudut pusat sebesar θ

O

Perhatikan gambar di samping, koordinat titik P(x,y) dapat dinyatakan oleh :

x = r cos α dan y = r sin α

Karena rotasi tersebut, bayangan titik P adalah titik P’ (x’,y’) yang dapat di nyatakan sebagai berikut:

x’ = r cos (α+ θ) dan y’ = r sin (α+ θ)

Gunakan rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut,x’ = r cos (α+ θ) = r cos α cos θ – r sin α sin θ = x cos θ – y sin θ x’= x cos θ – y sin θ

y’ = r sin (α+ θ) y’= y cos θ – x sin θ



terhadap titik pusat O(0,0) sebesar 2700 berlawanan dengan arah jarum jam.

Penyelesaian:

Ingat : Titik P (a,b) di Rotasi maka P’ (b,-a)

Bayangan titik P(-2,3) adalah P’(3, 2).

Bayangan titik Q(3,3) adalah Q’(3,-3).

Bayangan titik R(3,6) adalah R’(6,-3).


adalah titik-titik P’(3,2), Q’(3,-3), dan R’(6,-3).

2. Tentukan bayangan titik A(4,-5) oleh rotasi terhadap titik asal O(0,0) sebesar

90º!

Penyelesaian : = R90º

= =

3. Tentukan bayangan titik A(2,-2) oleh rotasi titik asal O(0,0) sebesar 45º!

Penyelesaian : = R45º

=

= =

Jadi, rotasi bayangan titik A(2,-2) adalah A’ (2 , 0)

4. Tentukan bayangan garis x + 2y = 4, jika di rotasikan dengan pusat O(0,0)

dan R-90º

Matematika 23

Contoh

=

Untuk Rθ titik A(x,y) dengan pusat P (a,b)

= +


Penyelesaian : = R-90º

=

= , maka x’ = y y = x’

y’ = -x x = -y

Subsitusikan nilai tersebut ke persamaan garis x + 2y = 4, di peroleh

- y’ + 2x’ = 4

2x’ – y’ = 4

Jadi, bayangan garis x + 2y = 4 oleh R-90º adalah 2x – y = 4

5. Tentukan bayangan titik A(4,6) oleh R90º dengan pusat titik P (3,-2)!

Penyelesaian :

Pusat rotasi di translasikan sehingga berpindah ke titik asal dengan T= ,

akibatnya titik A(4,6) juga ikut bergeser menjadi A’(1,8).Titik inilah yang

selanjutnya R90º di titik (0,0), maka : = R90º

= =

Jadi, titik A’(1,8) berpindah menjadi titik A”(-8,1). Selanjutnya titik A”(-8,1) di

translasikan lagi dengan lawan translasi menjadi T1 yaitu T2 = yang

menghasilkan titik A’”(-5,1). Maka bayangan titik A(4,6) oleh R90º adalah titik

A’”(-5,-1)

6. Tentukan matrik yang bersesuaian dengan rotasi sebesar rad searah

jarum jam terhadap O !

Penyelesaian : rotasi sebesar searah jarum jam, artinya θ = — , maka

= =

Matematika 24


Jadi, matrik rotasi searah jarum jam yaitu

DILATASI

1. Pengertian Dilatasi

Pada gambar 7.22, tampak

bahwa Δ ABC dari titik O diperkecil

menjadi Δ A’B’C’, dengan panjang

sisi dan luas ABC diperkecil,

sedangkan ukuran-ukuran sudut dan

bentuk Δ ABC tidak berubah.

Sehingga diperoleh Δ A’B’C’ dan Δ

A’’B’’C’’ masing-masing sebangun

(sama bentuk dan ukuran sudut)

dengan Δ ABC.

Dilatasi merupakan transformasi yang megubah ukuran objek

(memperbesar atau memperkecil),akan tetapi tidak mengubah bentuknya.

Dalam suatu dilatasi harus di tetapkan pusat dilatasi dan faktor dilatasi atau

faktor skala. Dilatasi yang berpuast di titik asal O (0,0) dan titik sembarang P

(x,y) masing-masing memiliki faktor skala k yang di notasikan berturut-turut

dengan [O, k] dan [P, k].

Secara umum, bayangan objek dengan dilatasi [O,k] dapat dinyatakan

sebagai berikut :

Matematika 25

4


2. Dilatasi terhadap titik Pusat O (0,0)

Perhatikan gambar

K

3. Dilatasi terhadap titik Pusat P (a,b)

Jika titik A (x,y) di dilatasi terhadap titik pusat P

(a,b) dengan faktor skala k maka di dapat bayangan titik

A’ (x’,y’) yaitu :

4. Dilatasi pada kurva dengan [O,k]

Matematika 26

Jika k > 1 bayangan di perbesar dan letaknya searah terhadap pusat

dilatasi O dan objek

Jika 0 < k < 1 bayangan di perkecil dan letaknya searah terhadap

pusat dilatasi O dan objek

Jika k < -1 bayangan di perbesar dan letaknya berlawanan arah

terhadap pusat dilatasi O dan objek

Jika -1 < k < 0 bayangan di perkecil dan letaknya berlawanan arah

terhadap pusat dilatasi O dan objek.

B (4,2) A’ (6,2)

A (3,1)

0 B’(-2,-1)

x

y

Gambar 7.23. Bayangan titik A (3,1) oleh dilatasi [O,2]

dan bayangan titik B (4,2) oleh dilatasi

Koordinat bayangan titik A

(3,1) oleh dilatasi [O,2] adalah titik

A’ (6,2). Adapaun koordinat

bayangan titik B (4,2) oleh dilatasi

adalah titik B’ (-2,-1).

Secara umum, koordinat bayangan

hasil dilatasi dinyatakan sebagai

berikut :

Titik P (x,y) maka P’ ( kx, ky)x’ = k xy’ = k y

x’ = a + k (x – a)

y’ = b + k (y – b)

y = f(x) y’ = k f


5. Matriks Transformasi Dilatasi

Bahwa bayangan Dilatasi terhadap O dengan faktor skala k, yang di tulis [O,k] adalah:

x’ = k x x’ = kx + 0.yy’ = k y y’ = 0.y + ky

Persamaan linier di atas dapat di tulis dengan persamaan matriks =

Jadi, matriks transformasi dilatasi [O,k] yaitu :

1. Titik sudut suatu persegi adalah A(1,3) B(4,3) C(4,6) dan D(1,6). Tentukanlah

bayangan dari titik-titik sudut tersebut oleh dilatasi [O,2] dan Gambarlah!

Penyelesaian :

2. Titik P’ (6,-3) adalah bayangan titik P oleh dilatasi [O, ]. Tentukan titik P!

Penyelesaian : Misal P (a,b) maka,

Matematika 27

Contoh

D’ C’

D

2 4 6 8x

y

12

10

8

6

4

2A B

Secara singkar dilatasi [O,k], di tulis :

(x,y) (kx,ky) sehingga

A (1,3) A’ ( 2x1, 2x3) = A’(2,6)

B (4,3) B’ (8,6)

C (4,6) C’ (8,12)

D (1,6) D’ (2,12)

A’

C B’


P (a,b) P’ ( a, b) = P’ ( 6,-3)

Sehingga, a = 6 a = 18 dan b = -3 b = -9

Jadi, koordinat P adalah (18,-9)

3. Carilah bayangan Titik A (2,-4) oleh dilatasi [O,3] !

Penyelesaian : matrix dilatasi [O,k] = = maka,

=

= Jadi, bayangan titik A’ yaitu (6,-12)

4. Tentukan koordinat bayangan titik A (5,7) dan B(3,6) oleh dilatasi terhadap

titik

P (8,5) dengan factor skala = 4!

Penyelesaian : Ingat : x’ = a + k (x – a) dan y’ = b + k (y – b)

Maka, A (5,7) A’ [8 + 4(5-8), 5 + 4(7-5)] A’ (-4,13)

B (3,6) B’ [8 + 4(3-8), 5 + 4(6-5)] B’ (-12,9)

Jadi, bayangan titik A’ (-4,13) dan B’ (-12,9)

5. Tentukan bayangan titik A (-2,5) oleh dilatasi pusat (1,-1) dan faktor

skala=2

Penyelesaian: = +

= +

= +

= +

=

6. Tentukan bayangan kurva y=x2 oleh dilatasi [O,-2]!

Matematika 28


Penyelesaian : =

=

Substitusikan nilai tersebut pada y= x2 dan diperoleh : y = x2

y’ =

y’ = Jadi, bayangan kurva y= x2 berubah menjadi y’ =

y’ =

7. Tentukan peta darikurva y= x2 +2 jika dilatasi oleh [O,2]

Penyelesaian : Ingat : y = f(x) y’ = k f sehingga

y= x2 +2 y = 2 y =

KOMPOSISI TRANSFORMASI

Komposisi Transformasi adalah transformasi yang di gunakan secara berurutan. Suatu transformasi di lanjutkan T1 yang dilanjutkan dengan transformasi T2 di tulis dengan T2 ◦ T1. Karena transformasi juga merupakan suatu pemetaan, maka komposisi transformasi T2 ◦ T1

dapat di tunjukkan sebagai berikut.

T1 T2

T2 ◦ T1

1. Komposisi Dua Translasi Berurutan

Matematika 29

Sehingga di peroleh ,

x’ = -2x x = x’

y’ = -2y y = y’

5

(x,y)

A

(x’,y’)

B

(x”,y”

C y C” (x”,y”)

T2 ◦ T1 T2

B’ (x’,y’) T1

A (x,y)

x


1. Diketahui translasi T1 = dan T2 . Carilah koordinat peta titik A(1,2)

B(3,-2)

C(-1,4) oleh translasi T1 yang dilanjutkan dengan T2!

Penyelesaian: T2 ◦ T1 = T1 + T2

= + =

Maka, A(1,2) A” (6,5

B(3,-2) B”(8,1)

C(-1,4) C”(4,7)

2. Komposisi Dua Refleksi Berurutan

a. Komposisi dua refleksi berurutan untuk suatu titik terhadap sumbu sejajar

Matematika 30

Komposisi T2 ◦ T1 dapat di nyatakan dengan yaitu translasi yang berpangkal di T1 , yaitu

A, dan berujung di translasi T2 yaitu C.

Misalkan T1 = dan T2 = sehingga,

T2 ◦ T1 = T1 + T2

= +

=

Jadi, jika P (x,y) ditranslasi T2 ◦ T1 , maka :

P (x,y) P’ (x+a, y+b) P”(x+a+c, y+b+d), atau

P (x,y) P” (x+(a+c), y+(b+d))

Contoh


Refleksi terhadap garis x=a dinyatakan oleh transformasi M1x dan refleksi terhadap x=b dinyatakan oleh transformasi M2x . Dengan demikian, pemetaan A(x,y) ke A’(x’,y’)dapat dinyatakan sebagai berikut :

A(x,y) M1x (refleksi x=a) A’ = (2a-x, y), adapun pemetaan A’ (x’,y’) ke A”(x”,y”) yaitu

A’(x’,y’) M2x (refleksi x=b) A” (2b–x’, y’) = A” (2b – (2a – x’),y)

= A” [2(b-a)+x, y]

Refleksi berurutan terhadap dua sumbu sejajar dengan sumbu y

2. Bayangan dari (5,1) oleh refleksi berurutan terhadap x=4 kemudian x=h

adalah (1,1). Tentukan h!

Penyelesaian : Misal refleksi x=4 disebut M1x dan refleksi terhadap x=h

disebut M2x.

Kemudian refleksi x=4 terhadap x=h di notasikan M2x ◦ M1x

(x,y) M2x ◦ M1x [2(b-a)+x, y] a = 4 dan b =

h

(5,1) M2x ◦ M1x [2(h-4)+5, 1] = (1,1)

Jadi, 2(h-4)+5 = 1 2(h-4) = -4

h - 4 = - 2

h = 2

Refleksi berurutan terhadap dua sumbu sejajar dengan sumbu x

3. Tentukanlah bayangan dari (-3,2) oleh refleksi berurutan terhadap y=5

kemudian terhadap y= -1!

Penyelesaian : Refleksi tersebut dapat di tulis M1y ◦ M2y

(x,y) M2y ◦ M1y [x, 2(p-q)+y] p = -1 dan q

= 5

(-3,2) M2y ◦ M1y [-3, 2(-1-5)+2] = (-3,-10)

b. Refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang saling tegak lurusRefleksi berurutan terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus :

Ekivalen dengan rotasi π radian terhadap titik perpotongan kedua sumbu.

Bersifat komutatif

Matematika 31

Contoh


Sehingga refleksi berurutan terhadap sumbu-sumbu koordinat x dan y di

peroleh hasil sebagai berikut : My=b o Mx=a = Mx=a o My=b = R [(a,b), π], dengan

My=b adalah refleksi terhadap y=b, Mx=a refleksi terhadap x=a dan R [(a,b), π]

adalah rotasi π radian terhadap pusat (a,b).

Refleksi berurutan terhadap x=a di lanjtkan dengan y=b

4. Tentukan bayangan titik A (3,5) oleh refleksi berurutan terhadap x=1

kemudian terhadap y=4!

Penyelesaian : (3,5) Mx=1 [(2x1)-3, 5] = (-1,5) (x,y) Mx=a (2a-x,

y)

(-1,5) My=4 [-1, (2x4)-5] = (-1,3) (x,y) My=b

(x, 2b-y)

Jadi, bayangan titik (3,5) adalah (-1,3)

Cara 2 : = +

= +

= +

= +

=

3. Komposisi Dua Rotasi Berurutan untuk suatu titik sepusat.

5. Tentukan bayangan titik (2,6) oleh rotasi sejauh 20º berlawanan arah jarum jam, di lanjutkan dengan rotasi sejauh 40º terhadap titik pusat O!

Penyelesaian : Pada rotasi pertama θ1 = 20º dan θ2 = 40º, maka θ1+ θ2 = 20º+40º =60º

R [O, θ1+ θ2] = R [O, 60º] = =

Matematika 32

Contoh


= R [O, 60º] = =

Jadi, bayangan titik (2,6) adalah ( )

4. Komposisi Transformasi dengan memakai Matrix

Jenis Transformasi Matriks

Refleksi

Terhadap sumbu x

Terhadap sumbu y

Terhadap garis y=x

Terhadap garis y=-x

Dilatasi terhadap O dengan faktor

skala kD =

Rotasi sejauh θ terhadap titik pusat O

6. Diketahui transformasi T1 bersesuaian dengan M1 = dan T2

bersesuaian dengan M2 . Tentukan bayang titik (-2,3) oleh transformasi

T1 di lanjutkan T2!

Penyelesaian : Untuk transformasi T1 di lanjutkan T2, berlaku

T1 o T2 = M2 o M1

= =

Bayangan (-2,3) di tentukan sebagai berikut :

T1 o T2 = =

Jadi, bayangan (-2,3) oleh T1 o T2 adalah (8,14)

Matematika 33

Contoh


Matematika 34

Education

Rangkuman Geometri Transformasi