Métodos NuméricosMétodo de Gauss Jordan

Contenido

• Reseña Histórica• Definición Sistema de Ecuaciones Lineales• Métodos de Soluciones de Ecuaciones Lineales• Método de Gauss Jordan• Forma Manual• Introducción de Matrices Computación (Código)• Funcionamiento del Método Forma Computacional• Aplicaciones• Ventajas y Desventajas• Problemas Aplicados• Conclusiones• Preguntas

Reseña Histórica Solución Sistema de Ecuaciones Lineales

650 a.C Se registra en China el estudio de los cuadrados mágicos de 3 por 3

300 a.CA

200 a.C

Uso del método matricial en la Resolución de Sistemas de

Ecuaciones lineales simultáneas Jiu Zhang Suan Shu

1683 d. CAparece por primera vez el concepto de

determinante por el matemático japonés Seki Kowa y Leibniz (1693)

1750 Gabriel Cramer introduce la Regla de Cramer para sistemas de ecuaciones

1809Carl Friedrich Gauss ¨El Príncipe de las Matemáticas¨ introduce el método de

Eliminación de Gauss sin darle ese nombre.

1848 J.J. Sylvester utiliza el término" Matriz¨.

1858 y 1878Cayley pública Memorias sobre la teoría de matrices y Frobenius demuestra resultados

fundamentales en álgebra matricial.

1873

El metodo de Eliminación de Gauss-Jordan aparece para resolver el problema de mínimos cuadrados. Esta técnica algebráica apareció en su Handbuch

der Vermessungskunde (1873)

Un sistema de ecuaciones lineales se define como un conjunto de ecuaciones de primer grado.

Para el cual se tiene como coeficiente, como incógnita y como solución.

Sistema de Ecuaciones Lineales

Sistema de Ecuaciones LinealesPara el siguiente sistema de ecuaciones lineales con incógnitas y soluciones:

Se puede escribir de la siguiente forma:

Con la notación matricial resumida:

Solución de Ecuaciones LinealesUn sistema de ecuaciones lineales puede ser

Indeterminado Determinado Sin solución

Métodos de Solución de Ecuaciones Lineales• Método Grafico• Reducción, sustitución, igualación • Método de Gauss• Determinantes y Regla de Cramer• Métodos matriciales• Matriz LU• Matriz Inversa• Método Gauss-Jordan

Método Grafico

*Consiste en tabular y graficar las funciones o ecuaciones dadas y así al graficar se nos presentaran los tres casos a continuación mostrados.

Método de reducción

1.Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas.3. Se resuelve la ecuación resultante.

4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.

5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Método de igualación

1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos unaecuación con una incógnita.3. Se resuelve la ecuación.

Método de sustitución.1.Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.3. Se resuelve la ecuación.4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo

Método por determinantes

• Se pretende encontrar n+1 de determinantes siendo n el numero de variables, es decir un determinante para el sistema y un determinante para cada variable.

METODO DE GAUSS JORDAN.

* También llamado de eliminación o reducción de Gauss-Jordan.

*Es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables.* En primer lugar es importante definir la matriz

aumentada y la matriz identidad.

• Matriz aumentada: Arreglo rectangular de los coeficientes de las variables de un sistema de ecuaciones

• Matriz identidad : Matriz equivalente a la aumentada que es de la forma

Resolución de ecuaciones lineales por Gauss- Jordan

• Se debe de contar con las ecuaciones necesarias para resolver el ejercicio.• Luego se deben anotar los coeficientes de las

variables en una matriz en este caso en una matriz aumentada• Luego a partir de operaciones elementales se debe

buscar convertir la matriz aumentada en una matriz identidad dichas operaciones se realizaran en las filas o columnas de la misma.

Algoritmo de eliminación de Gauss-Jordan

• Ir a la columna no cero extrema izquierda• Si el primer renglón tiene un cero en esta columna,

intercambiarlo con otro que no lo tenga.• Luego, obtener ceros debajo de este elemento

delantero, sumando múltiplos adecuados del renglón superior a los renglones debajo y encima de él, de ser el caso.• Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior

con la submatriz restante. Repetir con el resto de los renglones

Usos matemáticos.• Matriz inversa: El producto de una matriz por su

inversa es igual a la matriz identidad.

•Es posible usar la eliminación gaussiana para encontrar inversas de matrices n × n. Para ello se aumenta la matriz dada, digamos A con una matriz identidad.

Ejemplo:

Notación escrita.

Introducción de las matrices

Funcionamiento del método computacional

Funcionamiento del método computacional

Aplicaciones

Ventajas

Desventajas

Problemas aplicados

Una granja incluye en la dieta de sus animales vitaminas A, B y K. En cierto mes compraron 20 cajas de vitamina A, 40 cajas de vitamina B y 50 cajas de vitamina K pagando $70000, al mes siguiente compraron 30 cajas de vitamina A, 20 de vitamina B y 50 cajas de vitamina K por un total de $51520, un mes después compraron 40 de vitamina A, 10 de vitamina B y 70 de vitamina K con un costo de 45000. Si el precio por caja no ha variado en todo ese tiempo, ¾Qué precio tiene cada caja de vitaminas?.

Problemas aplicados

• Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

• Este sistema de ecuaciones puede ser representado de forma matricial así:

Problemas aplicados• Se separa la matriz de coeficientes con el vector de términos independientes:

• Se obtiene el vector de resultados

Problemas aplicados

• El collarín A se mueve hacia arriba con una velocidad constante de 1,2 m/s. En el instante mostrado cuando θ= 25°, determine:• A) la velocidad angular de la

varilla AB.• B) la velocidad del collarín B.

Problemas aplicados

• Se tienen los siguientes datos:

Problemas aplicados

• Se emplean las siguientes ecuaciones:

• Se resuelve el producto vectorial:

Problemas aplicados

• Se obtiene el sistema de ecuaciones lineales, el cual se resolverá mediante el software Scilab.

Conclusiones

Preguntas

Bibliografia

• http://boolesrings.org/nickgill/files/2014/07/libro-algebra-lineal.pdf• http://www.uv.es/~diaz/mn/node30.html• http://www.geocities.ws/jrvengador/algebralineal/sieclin2.html• Mecánica Vectorial para Ingenieros (Dinámica) Beer & Johnston 9na

Edición. Pág. 943.