22

E

บทท 2 วงจรอนกรม วงจรขนาน และวงจรผสม

2.1 บทนา ปกตในวงจรไฟฟาจะมตวประกอบตางๆ ตอกนในลกษณะทแตกตางกนออกไปซงสวน

ใหญ แลวจะตอกนแบบวงจรอนกรมและแบบวงจรขนาน แตวงจรทงายมากทสดตอการพจารณาและการคานวณ กคอ วงจรอนกรมนนเอง ทงนเพราะวาลกษณะของวงจรอนกรมงายตอการเขาใจ และไมยงยากซบซอนเทาใดนก นอกจากนยงใชเวลาในการพจารณาไมมากอกดวย อยางไรกดการศกษาเกยวกบลกษณะสมบตตาง ๆ ของวงจรอนกรมนน นบไดวาเปนสงสาคญมากทเดยว เพราะวาจะเปนความรพนฐานในการนาไปใชคานวณเกยวกบวงจรไฟฟาทมลกษณะยงยาก และซบซอนในตอนตอๆ ไป

2.2 วงจรอนกรม 2.2.1 ความหมายของวงจรอนกรม

วงจรอนกรมหมายถงวงจรทมอลเมนทตาง ๆ ตอเรยงกนและถดกนไปเรอย ๆ โดยการนาเอาปลายดานหนงของอลเมนทตวแรกตอกบปลายดานหนงของอลเมนทตวทสองและปลายอกดานหนงของอลเมนทตวทสอง ตอกบปลายดานหนงของอลเมนทตวทสามและตอถดกนไปเรอย ๆ จนมลกษณะเปนแบบลกโซ ดงในรปท 2-1 จะพจารณาเหนไดวา ปลายดานหนงของความตานทาน R

1จะตอกบปลายดานหนงของความตานทาน R

2 และปลายอกดานหนงของทงความตานทาน R 1

และ R 2 จะตอเขากบแบตเตอร E โดยทความตานทาน R 1 ความตาานทาน R 2 และแบตเตอร E จะตออนกรมกนหมด และในวงจรนจะมกระแส I ไหลเพยงคาเดยวเทานน ฉะนนกระแสทไหลผานความตานทาน R 1 ความตานทาน R 2 และแบตเตอร E จงมคาเทากน I รปท 2-1 วงจรอนกรม

R1 R2

23

R1 = 2 Ω R2 = 5 Ω R3 = 8 Ω

2.2.2 ลกษณะคณสมบตของวงจรอนกรม วงจรอนกรมมลกษณะสมบตทสาคญดงตอไปน คอ 1. ในวงจรหรอสวนใดสวนหนงของวงจรหรอในทก ๆ สวนของวงจร จะมกระแส

ไหลผานเพยงคาเดยวเทานน 2. แรงดนตกครอม (voltage drop หรอ potential difference) ทความตานทานแตละ

ตวในวงจรเมอนามารวมกนจะมคาเทากบแรงดนทจายใหแกวงจร (emf) 3. ความตานทานยอยแตละตวในวงจร เมอนามารวมกนจะมคาเทากบความตานทาน

รวมทงหมดของวงจร 4. กาลงและพลงงานไฟฟาทเกดขนทความตานยอยแตละตวในวงจร เมอนามา

รวมกนจะมคาเทากบกาลงและพลงงานไฟฟาทงหมดของวงจร ลกษณะสมบตของวงจรอนกรมทกลาวมาแลวขางตนน จะสามารถพจารณาเหนได

อยางชดเจนในตวอยางดงตอไปน ตวอยางท 2.1 วงจรอนกรมประกอบดวยความตานทาน 3 ตว มคาดงนคอ R 1 =

2Ω R 2 = 5Ω และ R 3 = 8Ω เมอนาไปตอเขากบแบตเตอรตวหนงซงมแรงดน 7.5 V ดงในรปท 2-2 จงคานวณหาคาของกระแสทไหลในวงจร (I) แรงดนตกครอมทความตานทานแตละตว (V 1 , V 2 และ V 3 และแรงดนตกครอมทงหมดของวงจร (VT )

I

รปท 2-2 ตวอยางท 2.1 วธทา

RT = R 1 + R 2 + R 3 = + + =

I = = = 0.5 A

V 1 = ΙR 1 = 0.5 A × = 1 V

V2 = IR2 = 0.5 A × = 2.5 V

V 3 = IR 3 = 0.5 A × 8Ω = 4 V

VT = V 1 + V 2 + V 3 = 1 V + 2.5 V + 4V = 7.5 V

หรอ VT = E = 7.5

V1 V2 V3

TT R :V

V5.7E =

Ω2 Ω5 Ω8

RT

EΩ

155.7 V

Ω15

Ω2

Ω5

24

R1= 10 Ω R2= 50 Ω R3= 20 Ω

P1 P2 P3

PT

E = 24 V

ตวอยางท 2.2 ความตานทาน 3 ตวมคาดงนคอ 10Ω , 50Ω และ 20Ω

เมอนามาตอกนแบบอนกรม และตอเขากบแบตเตอร 24V ดงในรปท 2-3 จงคานวณหาคากาลงไฟฟาทเกดขนทความตานทานแตละตว และกาลงไฟฟาทงหมดของวงจร I รปท 2-3 ตวอยางท 2.2

วธทา RT = R 1 + R 2 + R 3 = 10 + 50 + 20 = 80Ω

Ι = TR

E = Ω80

24 V = 0.3 A

กาลงไฟฟาทเกดขนทความตาน R 1 คอ P 1

P 1 = I 2 R 1 = (0.3 A) 2 × 10Ω = 0.9 W

กาลงไฟฟาทเกดขนทความตานทาน R 2 คอ P 2

P 2 = I 2 R 2 = ( 0.3A) 2 × 50Ω = 4.5 W

กาลงไฟฟาทเกดขนทความตานทาน R 3 คอ P 3

P 3 = I 2 R 3 = (0.3 A) 2 × 20 Ω = 1.8 W กาลงไฟฟาทงหมดของวงจรคอ PT

PT = P 1 + P 2 + P 3

= 0.9 W + 4.5 W + 1.8 W = 7.2 W

หรอ PT = IE = 0.3 A × 24 V = 7.2 W

2.2.3 การตอเซลไฟฟาแบบอนกรม เมอนาเซลไฟฟามาตอกนแบบอนกรม จะทาใหไดแรงดนรวมมากขน ถาหากวา

แรงดนของเซลไฟฟาแตละเซลมทศทางเดยวกน สวนความตานทานภายในของเซลไฟฟาแตละเซล เมอนามารวมกนจะมคาเทากบความตานทานภายในรวมของวงจร ซงจะพจารณาเหนไดอยางชดเจนจากรปท 2-4 (ก) , (ข) และ (ค)

Ω Ω Ω

25

รปท 2-4 การตอเซลไฟฟาแบบอนกรมทมทศทางของแรงดนไปในทางเดยวกน

ดงนน จะไดผลรวมของแรงดนและผลรวมของความตานทานภายในของเซลดงนคอ แรงดนรวม = + (2-1) ความตานทานภายในรวม = + (2-2)

รปท 2-5 การตอเซลไฟฟาแบบอนกรมทมทศทางของแรงดนสวนกน

เซลไฟฟา 2

เซลไฟฟา 1

เซลไฟฟา 1

เซลไฟฟา 2

1E 1iR 2iR2E

RI

I

R

I

R

1E 2E 1iR 2iR TE iTR

⇒

⇓

TE 1E 2EiTR 1iR 2iR

1E 2E1iR 2iR

R

⇒

1E 2E 1iR 2iR

R

1I 2I

⇓TE iTR

R

I

TE iTR

R

I

26

แตถาแรงดนไฟฟาของเซลแตละเซลมทศทางสวนกนหรอตรงกนขาม คาของแรงดนรวมจะตองนามาลบกนหรอหกลางกน สวนความตานทานภายในรวมจะมคาเทากบผลรวมของความตานทานภายในของเซลแตละเซล ซงจะพจารณาไดจากรปท 2-5 การตอเซลไฟฟาแบบอนกรมทมทศทานของแรงดนสวนกน จะใหผลรวมของแรงดนและความตานทานภายในของเซลดงนคอ

แรงดนรวม ET = E 1 - E 2 [เมอ E 1 มากกวา E 2 ตามรปท 2-5 (ค)]

แรงดนรวม ET = E 2 - E 1 [เมอ E 2 มากกวา E 1 ตามรปท 2-5 (ง)]

และความตานทานภายในรวม R iT = R 1i + R 2i

ตวอยางท 2.3 เซลไฟฟา 2 เซล แตละเซลมคาแรงดน 2.5 V และความตานทานภายในของแตละเซลมคาเทากบ 0.15Ω เมอนามาตอกนแบบอนกรมโดยใหมทศทางของแรงดนไปในทางเดยวกน ดงในรปท 2-6 จงหาคาแรงดนรวมและความตานทานภายในรวม รปท 2-6 ตวอยางท 2.3

วธทา แรงดนรวมคอ ET

ET = E 1 + E 2 = 2.5 V + 2.5 V = 5 V

ความตานทานภายในรวมคอ R iT

R iT = R 1i + R 2i = 0.15Ω + 0.15Ω = 0.3Ω

ตวอยางท 2.4 เซลไฟฟาสองเซลมคาแรงดนและความตานทานภายในดงนคอ E 1 =

8 V,R 1i = 0.1 Ω และ E 2 = 4.5 V, R 2i = 0.12 Ω เมอนามาตอกนแบบอนกรมโดยใหทศทางของแรงดนสวนกน ดงวงจรในรปท 2-7 จงหาคาแรงดนรวมและความตานทานภายในรวม รปท 2 – 7 ตวอยางท 2.4

Ω== 15.0RV25E iT1 Ω== 15.0RV25E iT2

iTT R.E

Ω== 1.0RV8E iT1 Ω== 12.0RV5.4E iT2

iTT R.E

27

วธทา แรงดนรวมคอ ET

ET = E 1 - E 2 = 8 V – 4.5 V = 3.5 V

ความตานทานภายในรวมคอ R iT

R iT = R 1i + R 2i = 0.1 Ω + 0.12 Ω = 0.22 Ω

ตวอยางท 2.5 เซลไฟฟาสองเซลตอกนแบบอนกรม และตอเขากบความตานภายนอก 10Ω ดงวงจรในรปท 2-8 จงหาคาแรงดนรวม ความตานทานภายในรวม และกระแสทไหลในวงจร

รปท 2-8 ตวอยางท 2.5

วธทา ET = E 1 + E 2 = 5 V + 15 V = 20 V

R iT = R 1i + R 2i = 0.1 Ω + 0.2 Ω = 0.3 Ω

I = iT

TRR

E+ =

ΩΩ 0.31020 V+

= 1.94 A

ตวอยางท 2.6 เซลไฟฟาสามเซลตอกนแบบอนกรม และตอเขากบความตานทานภายนอก 25Ω ดงวงจรในรปท 2-9 จงหาคาแรงดนรวม, ความตานทานภายในรวม, กระแสทไหลใน

วงจร และความตางศกยระหวางขวเซลไฟฟา E 1 และ E 2 รปท 2-9 ตวอยางท 2.6

วธทา ET = E 1 + E 2 - E 3

= 2 V + 3 V – 4 V = 1 V

R iT = R 1i + R 2i + R 3i

iTT R.EV5E1= V152E =Ω= 1.0R 1i Ω= 2.0R 2i

Ω= 10R

Ω= 2.0R 1i

Ω= 1.02iR

Ω= 3.03iR

Ω= 25R

V2E1=V3E2= V4E3=

28

= 0.2Ω + 0.1Ω + 0.3Ω = 0.6Ω

I = iT

TRR

E+ =

ΩΩ 0.6251V+

= 0.039

ความตางศกยระหวางขวของเซลไฟฟา E 1 คอ E 1 - IR 1i

E 1 - IR 1i = 2 V – 0.039 A × 0.2 Ω

= 2 V – 0.007 8 V = 1.992 2 V

ความตางศกยระหวางขวของเซลไฟฟา E 2 คอ E 2 - IR 2i

E 2 - IR 2i = 3V - 0.039 A × 0.1 Ω

= 3V - 0.003 9 V = 2.996 1 V

2.3 วงจรขนาน 2.3.1 ความหมายของวงจรขนาน

วงจรขนานหมายถง วงจรทมอลเมนทตาง ๆ ตอรวมกนในระหวางจดสองจด โดยใหปลายดานหนงของอลเมนททกตวตอรวมกนทจด ๆ หนง และใหปลายอกดานหนงของอลเมนททกตวตอรวมกนอกทจด ๆ หนง ดงในรปท 2-10 จะพจารณาเหนไดวาทปลายดานหนงของความ

ตานทาน R 1 , R 2 และ R 3 จะตอรวมกนทจด A และปลายอกดานหนงของความตานทานทกตวจะตอรวมกนอกทจด ๆ หนงคอทจด B และระหวางจด A กบ B จะตอเขากบแบตเตอร E ทง

แบตเตอร E และความตานทาน R 1 ,R2และ R 3 จะตอกนแบบขนาดหมด และในวงจรขนานทไดน

จะพจารณาเหนไดวาแรงดนตกครอมทความตานทานแตละตวจะมคาเทากนทงหมดคอ มคาเทากบ

แรงดนของแบตเตอร E และกระแสทไหลในวงจรจะมคาเทากบกระแสทไหลผานความตานทาน แตละตวรวมกน รปท 2-10 วงจรขนาน จากรปท 2-10 จะได

E = V 1 = V 2 = V 3 (2-3)

และ IT = I 1 + I 2 + I 3 (2-4)

R1 R 2 R 3

IT

E

B

A

1V 2V 3V

I1I3

I 2

29

2.3.2 ลกษณะคณสมบตของวงจรขนาน วงจรขนานมลกษณะและสมบตทสาคญดงตอไปน คอ 1. แรงดนตกครอมทอลเมนท หรอทความตานทกตวของวงจรจะมคาเทากน

เพราะวาเปนแรงดนทงตวเดยวกน 2. กระแสทไหลในแตละสาขายอยของวงจร เมอนามารวมกนจะมคาเทากบกระแสท

ไหลในวงจรทงหมดหรอกระแสรวมของวงจร 3. คาความนาไฟฟาในแตละสาขายอยของวงจร เมอนามารวมกนจะมคาเทากบคา

ความนาไฟฟาทงหมดของวงจร 4. กาลงและพลงงานไฟฟาทเกดขนทอลเมนทหรอทความตานทานในแตละสาขาของ

วงจรเมอนามารวมกนจะมคาเทากบกาลงและพลงงานไฟฟาทงหมดของวงจร ลกษณะสมบตของวงจรขนานทกลาวมาแลวขางตนน จะสามารถพจารณาเหนได

อยางชดเจนในตวอยางดงตอไปน ตวอยางท 2.7 ความตานทานสามตวมคาดงนคอ R 1 = 4Ω , R 2 = 8Ω และ R 3 =

12Ω เมอนามาตอกนแบบขนาน และตอเขากบเซลไฟฟา 6V ดงในรปท 2-11 จงหาคาของกระแสทไหลผานความตานทานแตละตวและกระแสทงหมดของวงจร รปท 2-11 ตวอยางท 2.7

วธทา กระแสทไหลผานความตานทาน R 1 คอ I 1

I 1 = 1R

E = Ω4V6 = 1.5 A

กระแสทไหลผานความตานทาน R 2 คอ I 2

I 2 = 2R

E = Ω8

6V = 0.75 A

กระแสทไหลผานความตานทาน R 3 คอ I 3

I 3 = 3R

E =

Ω126V = 0.5 A

กระแสทงหมดของวงจรคอ IT

IT = I 1 + I 2 + I 3

= 1.5 A + 0.75 A + 0.5 A = 2.75 A

V6E = Ω= 82RΩ= 41R Ω= 123R

TI1I 2I 3I

30

ตวอยางท 2-8 ความตานทานสตวมคาดงนคอ R 1 = 2Ω , R 2 = 6Ω , R 3 = 7Ω และ R 4 = 16Ω เมอนามาตอกนแบบขนานและตอเขากบเซลไฟฟาเซลหนง ดงในรปท 2-12 ถาปรากฏวามกระแส ไหลผานความตานทาน 7Ω เทากบ 0.5 A จงหาคากระแสทไหลผานความตานทาน 2Ω , 6Ω และ 16Ω กบกระแสรวมของวงจร

รปท 2-12 ตวอยางท 2.8

วธทา E = I 3 R 3 = 0.5 A × 7Ω = 3.5 V กระแสทไหลผานความตานทาน 2Ω คอ I 1

I 1 = 1R

E =

Ω23.5V = 1.75 A

กระแสทไหลผานความตานทาน 6Ω คอ I 2

I 2 = 2R

E = Ω6V5.3 = 0.583 A

กระแสทไหลผานความตานทาน 16Ω คอ I 4

I 4 = 4R

E =

Ω163.5V = 0.219 A

กระแสรวมของวงจรคอ IT

IT = I 1 + I 2 + I 3 + I 4

= 1.75 A + 0.583 A + 0.5 A + 0.219 A = 3.052 A

ตวอยางท 2.9 ความตานทานสามตวมคาดงนคอ 10Ω , 5Ω และ 2Ω เมอนามาตอกนแบบขนานดงรปท 2-13 จงหาคาความนารวมและความตานทานรวมของวงจร

รปท 2-13 ตวอยางท 2.9

E Ω= 62RΩ= 21R Ω= 73R

TI1I 2I A5.03I =

Ω= 163R4I

Ω= 52RΩ= 101R Ω= 23R

ο

ο

TT RG

31

วธทา TR

1 = 1R

1 + 2R

1 + 3R

1 = Ω10

1 + Ω51 +

Ω21

= Ω10

521 ++ = Ω108

RT = 810Ω = 1.25Ω

GT = TR

1 = Ω25.11 = 0.8 S

2.3.3 การตอเซลไฟฟาแบบขนาน เมอนาเซลไฟฟามาตอขนาน จะทาใหไดกระแสทไหลในวงจรเพมมากขน เพราะวา

เซลไฟฟาแตละเซลทตอขนานนน จะชวยกนจายกระแสออกมา

การตอเซลไฟฟาแบบขนานดงในรปท 2-14 เซลไฟฟา E 1 และ E 2 ตางกไมมความตานทานภายในของเซล ดงนนจะไดแรงดนตกครอมทความตานทาน R หรอความตางศกยระหวาง

ขวของความตานทาน R เทากบแรงดน E 1 หรอ E 2 สวนคาของกระแสทไหลในวงจรคอ IT ซง

จะมคาเทากบผลรวมของกระแสทไหลผานเซลไฟฟา E 1 ( I 1 ) กบกระแสทไหลผานเซลไฟฟา

E 2 (I 2 )

รปท 2-14 การตอเซลไฟฟาแบบขนาดทไมมความตานทานภายในของเซลจากวงจรในรปท 2-14 จะได

V = E 1 = E 2 (2-5)

IT = RE1 = R

E2 (2-6)

I 1 = I 2 = nIT (2-7)

ในทน n = จานวนของเซลไฟฟาทนามาตอกนแบบขนาน

IT = I 1 + I 2 (2-8) แตถาเซลไฟฟาทนามาตอขนานกนมความตานทานภายในของเซลแตละเซลอยดวยดง

แสดงในรปท 2-15 จะเหนไดวา เซลไฟฟา E 1 มความตานทานภายในเทากบ R 1i และเซลไฟฟา E 2

มความตานทานภายในเทากบ R 2i

V1

E 2E

1I 2

IT

I

R

32

รปท 2-15 การตอเซลไฟฟาแบบขนานทมความตานทานภายในของเซลเทากน

จากวงจรในรปท 2-15 เมอความตานทานภายในแตละเซลมคาเทากนจะไดความตานทานภายในรวมของวงจรเทากบ R iT

R iT = nR 1i หรอ n

R 2i (2-9)

ในทน n หมายถงจานวนของเซลไฟฟาทตอกนแบบขนาน และในกรณนใชไดเฉพาะความตานทานภายในของเซลไฟฟาแตละเซลมคาเทากนเทานน

ความตานทานรวมทงหมดของวงจร คอ RT = R iT + R (2-10)

กระแสทไหลในวงจรเทากบ IT

IT = T

1RE

หรอ T

2RE

(2-11)

แรงดนตกครอมทความตานทาน R คอ V

V = IT R (2-12)

กระแสทไหลผานเซลไฟฟา E 1 คอ I 1

I 1 = 1i

1R

VE − หรอ n

IT (2-13)

กระแสทไหลผานเซลไฟฟา E 2 คอ I 2

I 2 = 2i

2R

VE − หรอ n

IT (2-14)

แตเมอเซลไฟฟาทนามาตอขนานกน มความตานทานภายในของเซลแตละเซลไมเทากน ดงแสดงในรปท 2-16 จะตองพจารณาดงนคอ

รปท 2-16 การตอเซลไฟฟาแบบขนานทมความตานทานภายในของเซลไมเทากน จากวงจรในรปท 2-16 จะได

V

1E

2E

1I

2I T

I

R1iR 2iR

V

1E

2E

1I

2I T

I

R1iR 2iR

33

ความตานทานภายในรวมของวงจรคอ R iT

R iT = 2i1i

2i1iRR

RR+ (2-15)

ความตานทานรวมของวงจรคอ RT

RT = R + RiT (2-10) กระแสทไหลในวงจรเทากบ IT

IT = RE

T1

หรอ RE

T2

(2-11)

แรงดนตกครอมทความตานทาน R คอ V

V = IT R (2-12)

กระแสทไหลผานเซลไฟฟา E1 คอ I1

I1 = 1i

1

RVE −

(2-16)

กระแสทไหลผานเซลไฟฟา E2 คอ I2

I2 = RE V

2i

2 − (2-17)

ตวอยางท 2.10 เซลไฟฟาสองมคาแรงดนเซลละ 4V เมอนามาตอกนแบบขนานและตอเขากบความตานทานภายนอก 5 Ω ดงในรปท 2-17 จงคานวณหาคา (ก) กระแสทไหลในวงจร (ข) แรงดนตกครอมทความตานทาน 5Ω และ (ค) กระแสทไหลผานเซลไฟฟาแตละเซล

วธทา (ก) I T = RE1 หรอ R

E2 = Ω5

4V = 0.8 A

(ข) V = E 1 = E 2 = 4 V

หรอ V = I T R = 0.8 A × 5Ω = 4 V

(ค) I1 = nIT =

20.8A = 0.4 A

I 2 = nIT =

20.8A = 0.4 A

หรอ I 2 = I T - I1 = 0.8 A - 0.4 A = 0.4 A รปท 2-17 ตวอยางท 2.10

ขอสงเกต ในทน n หมายถงจานวนของเซลทตอกนแบบขนาน

1IV41E =

2I

V42E =

TI

V

Ω= 5R

34

ตวอยางท 2.11 เซลไฟฟาสองเซลมคาแรงดนเซลละ 9 V และความตานทานภายใน

ของแตละเซลมคาเทากบ 1 Ω เมอนามาตอขนานกนและตอเขากบความตานทานภายนอก 7 Ω ดงนนในรปท 2.18 จงคานวณหาคา (ก) กระแสทไหลในวงจร (ข) แรงดนตกครอมทความตานทาน และ (ค) กระแสทไหลผานเซลไฟฟาแตละเซล รปท 2-18 ตวอยางท 2.11

วธทา (ก) RiT = หรอ = = 0.5

RT = R + R1T = + =

IT = หรอ = = 1.2 A

(ข) V = IT R = 1.2 A × = 8.4 V

(ค) I1 = = = 0.6 A

หรอ I1 = = = 0.6 A

I2 = nIT

= 2

1.2A = 0.6 A

หรอ I2 = i2

2

RVE − =

Ω18.49 VV− = 0.6 A

หรอ I2 = IT - I1 = 1.2 A – 0.6 A = 0.6 A

2.3.4 การแบงกระแสในวงจรขนาน เมอมกระแสไหลเขามาในวงจรขนาน เราสามารถแบงกระแสใหไหลในสาขายอยของ

วงจรขนานไดตามความตองการ โดยมหลกการพจารณาดงน คอ จากวงจรดงในรปท 2-19 จะเหน

ไดวามกระแส IT ไหลเขามาในวงจรแลวถกแบงออกเปนสองสวนคอ กระแส I1 และ I2 ซงไหลผาน

ความตานทาน R1 และ R2 ตามลาดบ

Ω

Ω7 Ω0.5 Ω7.5

T1

RE

T2

RE

Ω7.59V

nIT

21.2 A

iT

1

RVE −

Ω18.49 VV−

VV9E

1=

1I

2I T

I

Ω= 7RΩ=1R 1i Ω=1R 2i

V9E2=

η1iR

η2iR

21Ω

Ω7

35

1I E

รปท 2-19 การแบงกระแสในวงจรขนาน

จากวงจรในรปท 2-19 จะได

RT = 2RRRR

121

+ (2-18)

IT = TRE

หรอ TRV

(2-11)

และ V = I1R1 = I2R2 (2-19)

แทนคา V และ RT จากสมการท (2 - 12) และ (2-15) ลงในสมการท (2 -11) จะได

IT = TRV

= 2121

11

RR/RRRI+ = 2

211R

)RR(I +

หรอ I1 = IT 212RR

R+ (2-20)

และ IT = TRV

= RR/RRRI

2122+ = 1

212R

)RR(I +

หรอ I2 = IT 211RR

R+ (2-21)

ตวอยางท 2.12 ความตานทานสองตวมคา 10Ω และ 15 Ω เมอนามาตอกนแบบขนาดและมกระแสไหลเขามาในวงจรเทากบ 3 A ดงในรปท 2-20 จงคานวณหาคากระแสทไหลผานความตานทานแตละตวและแรงดนไฟฟา E 1I E

รปท 2-20 ตวอยางท 2.12

วธทา I1 = IT 212RR

R+ = 3 A ×

Ω+ΩΩ1510

15 = 1.8 A

I2 = IT 211RR

R+ = 3 A ×

ΩΩΩ+1510

10 = 1.2 A

VrI 2I

TR 2R1R

A3rI = 2I

Ω=152RΩ=101R

36

หรอ I2 = IT - I1 = 3 A – 1.8 A = 1.2 A

E = I1R1 = 1.8 A × 10Ω = 18 V

หรอ E = I2R2 = 1.2 A × 15Ω = 18 V

ตวอยางท 2.13 ความตานทานสามตวมคา 10Ω , 12Ω และ 15Ω เมอนามาตอกนแบบขนานและมกระแสไหลเขามาในวงจรเทากบ 1.5 A ดงวงจรในรปท 2-21 จงคานวณหาคาของกระแสทไหลผานความตานทานแตละตวและแรงดนไฟฟา E E

รปท 2-21 ตวอยางท 2.13

วธทา R2-3 = 3232RR

RR+ =

ΩΩΩΩ

+×

15121512 = 6.67Ω

IT = IT 32132

RRR

−−

+ = 1.5 A ×ΩΩ

Ω+ 67.61067.6 = 0.6 A

R1-3 = 3131RR

RR+ =

ΩΩΩΩ

+×

15101510 = 6 Ω

I2 = IT 31231

RRR

−−

+ = 1.5 A × ΩΩ

Ω+ 612

6 = 0.5 A

R1-2 = 21

21

RRRR+ =

ΩΩΩΩ

+×

12101210 = 5.45 Ω

I3 = IT 213

21

RRR

−

−

+ = 1.5 A ΩΩ

Ω+× 45.51545.5 = 0.4 A

หรอ I3 = IT - I1 - I2

= 1.5 A – 0.6 A – 0.5 A = 0.4 A

2.4 วงจรผสม 2.4.1 ความหมายของวงจรผสม

วงจรผสมหมายถง วงจรทมทงวงจรอนกรมและวงจรขนานตอปนกนอย ซงบางครงเราเรยกวา วงจรอนกรม-ขนาน หรอวงจรขนาน-อนกรม

A5.1rI = 2I

Ω=153RΩ=101R Ω=122R

1I 3I

37

ความตานทานกลมทหนง

ความตานทานกลมทสอง

วงจรผสมเราสามารถทจะแบงการพจารณาขนพนฐานออกไดเปน 2 แบบ คอ

1. วงจรอนกรม-ขนาน หมายถงวงจรทมความตานทานในแตละกลมตออนกรมกน แลวนาความตานทานในแตละกลมมาตอกนแบบขนานอกทหนง ดงในรปท 2-22 จะเหนไดวาความ

ตานทานในกลมทหนงประกอบดวยความตานทาน R1 และ R2 ตออนกรมกน สวนความตานทาน

ในกลมทสองประกอบดวยความตานทาน R3 , R4 และ R5 ตออนกรมกน แลวนาความตานทานในกลมทหนงกบกลมทสองมาตอกนแบบขนานอกทหนง TI

รปท 2-22 วงจรขนาน- อนกรม

จากวงจรในรปท 2-22 จะใหผลดงนคอ

ความตานทานรวมในกลมทหนง RT1 = R1 + R2

ความตานทานรวมในกลมทสอง RT2 = R3 + R4+ R5

ความตานทานรวมของวงจร RT = T2T1

T2T1

RRRR+

กระแสทไหลในวงจร IT = TR

E

กระแสทไหลผานความตานทานกลมทหนง I1 = 1TR

E หรอ IT 2T1T

2T

RRR+

กระแสทไหลผานความตานทานกลมทสอง I2 = 2TR

E หรอ IT 2T1T

1T

RRR+

ผลรวมของกระแสทไหลผานความตานทานในกลมทหนงกบกลมทสองจะมคาเทากบกระแส

ทไหลในวงจร คอ IT = I1 + I2

2R

3R 4R

1R

5R

1I

2I

E

38

ตวอยางท 2.14 วงจรอนกรม-ขนาน ดงในรปท 2-23 จงหาคาของ IT, I1 และ I2 TI รปท 2-23 ตวอยางท 2.14

วธทา RT1 = R1+ R2 = 10 Ω + 20 Ω = 30 Ω

I1 = 1TR

E =

Ω3012V = 0.4 A

RT2 = R3+ R4+ R5 = 15 Ω + 20 Ω + 25 Ω = 60 Ω

I2 = 2TR

E =

Ω6012V = 0.2 A

IT = I1 + I2 = 0.4 A + 0.2 A = 0.6 A

หรอ RT = 2T1T

2T1T

RRRR+ =

ΩΩΩΩ

603060 30

+× = 20 Ω

IT = TR

E =

Ω2012V = 0.6 A

I1 = IT 2T1T

2T

RRR+ = 0.6 A ×

ΩΩΩ6030

60+ = 0.4 A

I2 = IT - I1 = 0.6 A – 0.4 A – 0.4 A = 0.2 A

2. วงจรขนาน-อนกรม หมายถงวงจรทมความตานทานในแตละกลมตอขนานกน แลวนาความตานทานในแตละกลมมาตอกนแบบอนกรมอกทหนง ดงแสดงใหเหนในรปท 2-24 ซง

จะเหนวาความตานทานในกลมทหนงประกอบดวยความตานทาน R1 กบ R2 ตอขนานกน สวน

ความตานทานในกลมทสองประกอบดวยความตานทาน R3 R4 และ R5 ตอขนานกบ แลวนาความตานทานในกลมทหนงกบกลมทสองมาตอกนแบบอนกรมอกทหนง

Ω= 202R

Ω=153R Ω= 204R

Ω=101R

Ω= 255R

1I

2I

V.12E =

1TR

2TR

39

ความตานทานกลมทหนง

ตวามตานทานกลมทสอง

รปท 2-24 วงจรขนาน-อนกรม

จากวงจรในรปท 2-24 จะใหผลดงนคอ

ความตานทานรวมในกลมทหนง = RT1 = 21

21

RRRR+

ความตานทานรวมในกลมทสอง = RT2 = 543

435354

RRRRRRRRR ++

ความตานทานรวมของวงจร = RT = RT1 + RT2

กระแสทไหลในวงจร = IT = TR

E

แรงดนตกครอมทความตานทานกลมทหนง = V1 = ITRT1 หรอ E2T1T

1T

RRR+

แรงดนตกครอมทความตานทานกลมทสอง = V2 = ITRT2 หรอ E2T1T

2T

RRR+

กระแสทไหลผานความตานทาน R1 = I1 = 1

1

RV

กระแสทไหลผานความตานทาน R2 = I2 = 2

1

RV

กระแสทไหลผานความตานทาน R3 = I3 = 3

2

RV

กระแสทไหลผานความตานทาน R4 = I4 = 4

2

RV

กระแสทไหลผานความตานทาน R5 = I5 = 5

2

RV

ผลรวมของกระแสทไหลผานความตานทานในแตละกลมมคาเทากบกระแสทไหลในวงจร คอ

IT = I1 + I2 และ IT = I3 + I4+ I5 ผลรวมของแรงดนทตกครอมทความตานทานในแตละกลมมคาเทากบแรงดนทจายใหแกวงจร

คอ E = V1 + V2

TI

1I

2I

3I

4I

5I

1R

2R

3R

4R

5R

1V 2V

E

40

ตวอยางท 2.15 วงจรขนาน-อนกรมดงในรปท 2-25 จงหาคาของ RT1 RT2 IT I1 I2 I3 I4 I5 V1 และ V2

รปท 2-25 ตวอยางท 2.15

วธทา RT1 = 21

21

RRRR+ =

ΩΩΩΩ

6464

+× = 2.4 Ω

RT2 = 543

435354

RRRRRRRRR ++

= ΩΩΩ

ΩΩΩΩΩΩ4126

12646412××

×+×+×

= ΩΩΩΩΩΩ

××++

4126722448 222

= 2 Ω

RT = RT1 + RT2 = 2.4 Ω + 2 Ω = 4.4 Ω

IT = TR

E =

Ω4.413.2V = 3 A

V1 = ITRT1 = 3 A ×2.4 Ω = 7.2 V

I1 = 1

1

RV

= Ω4

7.2V = 1.8 A

I2 = 2

1

RV

= Ω6

7.2V = 1.2 A

V2 = ITRT2 = 3 A × 2 Ω = 6 V

I3 = 3

2

RV

= Ω6

6V = 1 A

I4 = 4

2

RV

= Ω12

6V = 0.5 A

I5 = 5

2

RV

= Ω4

6V = 1.5 A

TI

1I

2I

3I

4I

5I

Ω= 41R

1V2V

V2.13E =

Ω= 62R

Ω= 63R

Ω=124RΩ= 41R

1TR 2TR

41

เซลไฟฟากลมทหนง

เซลไฟฟากลมทสอง

2.4.2 การตอเซลไฟฟาแบบผสม การตอเซลไฟฟาแบบผสม คอการนาเซลไฟฟามาตอผสมกน มทงการตอแบบ

อนกรมและขนานปนกนอย การตอเซลไฟฟาแบบผสม สามารถทจะแบงการพจารณาขนพนฐานออกไดเปน 2 วธ

คอ 1. การตอเซลไฟฟาแบบอนกรม-ขนาน คอการนาเซลไฟฟาในแตละกลมมาตอกน

แบบอนกรมกอน แลวจงนากลมของเซลแตละกลมมาตอกนแบบขนานอกทหนง ดงในรปท 2-26

จะเหนวาเซลไฟฟาในกลมทหนงซงประกอบดวยเซลไฟฟา E1 , E2 และ E3 ตอกนแบบอนกรม

สวนเซลไฟฟาในกลมทสองประกอบดวยเซลไฟฟา E3 , E4 และ E5 ตอกนแบบอนกรมเหมอนกน แลวจงนาเซลไฟฟาในกลมทหนงมาตอขนานกบกลมทสองอกทหนง แลวจงตอเขากบความตานทาน

ภายนอก R รปท 2-26 การตอเซลไฟฟาแบบอนกรม - ขนาน

จากวงจรในรปท 2-26 เมอเซลไฟฟาทกเซลมแรงดนเทากนจะใหผลดงน คอ

แรงดนไฟฟารวมของวงจร = ET = E 1+ E2 + E3 = E4 + E5 + E6

กระแสทไหลในวงจร = IT = RET

กระแสทไหลผานเซลไฟฟาในกลมทหนง = I1 = 2TI

กระแสทไหลผานเซลไฟฟาในกลมทสอง = I2 = 2IT

แรงดนตกครอมทความตานทานภายนอก R = V = ITR = ET ผลรวมของกระแสทไหลผานเซลไฟฟาในแตละกลมมคาเทากบกระแสทไหลในวงจร คอ

IT = I1 + I2

1I

2I

TI 1E

R

2E 3E

4E 5E 6E

V

42

แตถาเซลไฟฟาแตละเซลมความตานทานภายในของเซลอยดวย ดงวงจรในรปท 2-27 จะตองพจารณาดงตอไปน คอ รปท 2-27 การตอเซลไฟฟาแบบอนกรม-ขนานทมความดานทานภายในของเซลเทากน

จากวงจรในรปท 2-27 เมอความตานทานภายในของเซลไฟฟาแตละเซลมคาเทากนและแรงดนของเซลแตละเซลมคาเทากนดวย จะใหผลดงนคอ

แรงดนไฟฟารวมของวงจร = ET = E1 + E2 = E3 + E4

ความตานทานภายในของเซลไฟฟากลมทหนง = RiT1 = Ri1 + Ri2

ความตานทานภายในของเซลไฟฟากลมทสอง = RiT2 = Ri3 + Ri4

ความตานทานภายในรวมของวงจร = RiT = iT2iT1

iT2iT1

RRRR+

ความตานทานรวมของวงจร = RT = R + RiT

กระแสทไหลในวงจร = IT = T

T

RE

กระแสทไหลผานเซลไฟฟาในกลมทหนง = I1 = 2TI

กระแสทไหลผานเซลไฟฟาในกลมทสอง = I2 = 2IT

แรงดนตกครอมทความตานทานภายนอก R = V = ITR = ET ผลรวมของกระแสทไหลผานเซลไฟฟาในแตละกลมมคาเทากบกระแสทไหลในวงจร

คอ

IT = I1 + I2

TI

1I

2I

1E 2E

3E 4E

V1iR

3iR 4iR

2iR

43

ตวอยางท 2.16 วงจรดงในรปท 2-28 จงหาคาของ IT , I1 , I2 และ V รปท 2-28 ตวอยางท 2.16

วธทา ET = E1+ E2+ E3 = E4+ E5+ E6 = 2 V + 2 V + 2 V = 6 V

IT = RET

= Ω5

6V = 1.2 A

I1 = 2TI =

21.2A = 0.6 A

I2 = IT - I1 = 1.2 A - 0.6 A = 0.6 A

V = ITR = 1.2 A × Ω5 = 6 V

หรอ V = ET = 6 V

ตวอยางท 2.17 เซลไฟฟา 4 เซล มแรงดนไฟฟาเซลละ 2 V และมความตานทานภายในเซลละ 0.2Ω เมอนามาตอกนดงในรปท 2-29 จงหาคาของ (ก) กระแสทไหลผานความตานทาน 4 Ω (ข) กระแสทไหลผานเซลไฟฟาแตละเซล รปท 2-29 ตวอยางท 2.17

วธทา (ก) ET = E1 + E2 = E3 + E4 = 2 V + 2 V = 4 V

RiT1 = Ri1 + Ri2 = 0.2 Ω + 0.2 Ω = 0.4 Ω

RiT2 = Ri3 + Ri4 = 0.2 Ω + 0.2 Ω = 0.4 Ω

1I

2I

TI V21E =

RV

V23E =

V24E = V25E = V26E =

V22E =

TE

TI

1I

2I

V21E =

Ω= 4R

Ω= 2.01iR V22E = Ω= 2.02iR

V23E = V24E =Ω= 2.03iR Ω= 2.04iR

44

เซลไฟฟากลมทหนง

เซลไฟฟากลมทสอง

RiT = 2iT1iT

2iT1iT

RRRR+

= ΩΩ

ΩΩ

+×

4.04.04.04.0

= 0.2 Ω

RT = R + RiT = 4 ΩΩ+ 2.0 = 4.2 Ω

IT = T

T

RE

= Ω4.2

4V = 0.952 A

(ข) I1 = 2IT

= 2

0.952A = 0.476 A

I2 = IT – I1 = 0.952 A – 0.476 A = 0.476 A

2. การตอเซลไฟฟาแบบขนาน –อนกรม คอการนาเซลไฟฟาในแตละกลมมาตอกน

แบบขนานกอน แลวจงนากลมของเซลแตละกลมมาตอกนแบบอนกรมอกทหนง ดงวงจรในรปท 2-

30 จะเหนไดวาเซลไฟฟาในกลมท 1 ประกอบดวยเซลไฟฟา E1 กบ E2 ตอขนานกน และเซล

ไฟฟาในกลมทสองประกอบดวยเซลไฟฟา E3 กบ E4 ตอขนานกน แลวจงนาเซลไฟฟาในกลมท

หนงมาตออนกรมกบเซลไฟฟาในกลมทสองอกทหนง และตอเขากบความตานทานภายนอก R

รปท 2-30 การตอเซลไฟฟาแบบขนาน-อนกรม จากวงจรในรปท 2-30 เมอเซลไฟฟาทกเซลมแรงดนเทากนจะใหผลดงนคอ

แรงดนของเซลไฟฟากลมทหนง ET1 = E1 = E2

แรงดนของเซลไฟฟากลมทสอง ET2 = E3 = E4

แรงดนไฟฟารวมของวงจร ET = ET1+ ET2

กระแสทไหลในวงจร IT = RET

กระแสทไหลผานเซลไฟฟา E1 = I1 = 2TI

TI1I

2I

1E

2E

3E

4E

V

R

1TE 2TE

45

กระแสทไหลผานเซลไฟฟา E2 = I2 = 2TI

กระแสทไหลผานเซลไฟฟา E3 = I3 = 2TI

กระแสทไหลผานเซลไฟฟา E4 = I4 = 2TI

แรงดนตกครอมทความตานทานภายนอก R = V = ITR ผลรวมของกระแสทไหลผานเซลไฟฟาในแตละกลมมคาเทากบกระแสทไหลในวงจร

คอ

IT = I1+ I2 และ IT = I3 + I4 แตถาเซลไฟฟาแตละเซลมความตานทานภายในอยดวย ดงในรปท 2-31 เมอ

แรงดนไฟฟาทเซลแตละเซลและความตานทานภายในของเซลแตละเซลมคาเทากนจะใหผลดงนคอ

รป 2-31 การตอเซลไฟฟาแบบขนาน-อนกรมทมความตานทานภายในของเซล

แรงดนของเซลไฟฟากลมทหนง ET1 = E1 = E2

แรงดนของเซลไฟฟากลมทสอง ET2 = E3 = E4

แรงดนไฟฟารวมของวงจร ET = ET1 + ET2

ความตานทานภายในรวมของเซลไฟฟากลมทหนง RiT1 = 2i1i

2i1i

RRRR+

ความตานทานภายในรวมของเซลไฟฟากลมทสอง RiT2 = 4i3i

4i3i

RRRR+

ความตานทานภายในรวมของวงจร RiT = RiT1 + RiT2

ความตานทานรวมของวงจร RT = R + RiT

กระแสทไหลในวงจร IT = T

T

RE

กระแสทไหลผานเซลไฟฟา E1 = I1 = 2IT

TI

1I

2I

1E

Ω= 4R

2E 2iR

3E

4E

3iR

4iR

1iR

4I3I

3V

2V1V

46

กระแสทไหลผานเซลไฟฟา E2 = I2 = 2IT

กระแสทไหลผานเซลไฟฟา E3 = I3 = 2IT

กระแสทไหลผานเซลไฟฟา E4 = I4 = 2IT

แรงดนตกครอมทความตานทานภายนอก R = V3 = ITR = V1+ V2

ความตางศกยระหวางขวของเซลไฟฟากลมทหนง V1 = E1 – ITRi1

หรอ V1 = E2 – I2Ri2

ความตางศกยระหวางขวของเซลไฟฟากลมทสอง V2 = E3 – I3Ri3

หรอ V2 = E4 – I4Ri4 ผลรวมของกระแสทไหลผานเซลไฟฟาในแตละกลมมคาเทากบกระแสทไหลในวงจร

คอ

IT = I1+ I2 และ IT = I3 + I4 ตวอยางท 2.18 เซลไฟฟา 4 เซล มแรงดนเซลละ 2.5 V เมอนามาตอกนแบบขนาน

อนกรม และตอเขากบความตานทานภายนอก 2 Ω ดงในรปท 2-32 จงหาคาของกระแสทไหลผานความตานทานภายนอก 2 Ω และกระแสทไหลผานเซลไฟฟาแตละเซล

รปท 2-32 ตวอยางท 2.18

วธทา ET1 = E1 = E2 = 2.5 V

ET2 = E3 = E4 = 2.5 V

ET = ET1 + ET2 = 2.5 V + 2.5 V = 5 V

IT = = Ω2

5V = 2.5 A

I1 = 2IT

= 2

2.5A = 1.25 A

I2 = 2IT

= 2

2.5A = 1.25 A

TI 1I

2I

V5.21E =

Ω= 4R

4I

3I

1TEV5.22E =

V5.23E =

V5.24E =2TE

TE

RET1

47

I3 = 2IT

= 2

2.5A = 1.25 A

I4 = 2IT

= 2

2.5A = 1.25 A

ตวอยางท 2.19 เซลไฟฟา 4 เซลมแรงดนเซลละ 2.1 V ความตานทานภายในเซลละ 0.2 Ω เมอนามาตอกนแบบขนาน-อนกรม และตอเขากบความตานภายนอก 4 Ω ดงในรปท 2-33 จงหาคาของ (ก) กระแสทไหลในวงจร (ข) กระแสทไหลผานเซลไฟฟาแตละเซล (ค) ความตางศกยของเซลไฟฟาแตละเซล (ง) ความตางศกยหรอแรงดนตกครอมทความตานทาน 4 Ω

รปท 2-33 ตวอยางท 2.19

วธทา (ก) ET1 = E1 = E2 = 2.1 V

ET2 = E3 = E4 = 2.1 V

ET = ET1 + ET2 = 2.1 V + 2.1 V = 4.2 V

RiT1 = 2R 1i

= 2R 2i

= 22.0 Ω = 0.1 Ω

RiT2 = 2R 3i

= 24Ri

= 22.0 Ω = 0.1 Ω

RiT = RiT1 + RiT2 = 0.1 Ω + 0.1 Ω = 0.2 Ω

RT = R + RiT = 4 Ω + 0.2 Ω = 4.2 Ω

IT = T

T

RE

= Ω4.2

4.2V = 1 A

(ข) I1 = 2IT

= 2

1A = 0.5 A

I2 = 2IT

= 2

1A = 0.5 A

I3 = 2IT =

21A = 0.5 A

TI

1I

2I

V1.21E =

Ω= 4R

Ω= 2.01iR

4I3I

3V

2V1VV1.22E =

V1.23E =

V1.24E =Ω= 2.02iR

Ω= 2.03iR

Ω= 2.04iR

48

I4 = 2IT =

21A = 0.5 A

(ค) ความตางศกยของเซลไฟฟา E1 และ E2 คอ V1

V1 = E1 – I1Ri1 = 2.1 V – 0.5 A × 0.2 Ω

= 2.1 V – 0.1 V = 2 V

หรอ V1 = E2 – I2Ri2 = 2.1 V – 0.5 A × 0.2 Ω

= 2.1 V – 0.1 V = 2 V

ความตางศกยของเซลไฟฟา E3 และ E4 คอ V2

V2 = E3 – I3Ri3 = 2.1 V - 0.5 A × 0.2 Ω

= 2.1 V – 0.1 V = 2 V

หรอ V2 = E4 – I4Ri4 = 2.1 V – 0.5 A × 0.2 Ω = 2.1 V – 0.1 V = 2 V (ง) ความตางศกยหรอแรงดน ตกครอมทความตานทาน 4 Ω คอ V3

V3 = ITR = 1 A × 4 Ω = 4 V

หรอ V3 = V1 + V2 = 2 V + 2 V = 4 V