繩波的彈性位能、動能和波方程式推導這篇文章討論繩波的一些基本觀念，難易程度屬於準備理工研究所考試的同學。主要是簡易複習，最後有中等動力學範圍的推導，可以略過。

繩波的彈性位能討論繩波的彈性位能，可以這麼想：

如上圖，在沒有受外力的靜止繩子，有一極小長度 dx。現在透過施予繩張力T，使該處之繩長增為 ds。根據大一微積分 ds的公式為

ds=√1+( ∂ y∂ x )2

dx

所以這段繩子的繩長增加量為δ=ds−dx=(√1+( ∂ y∂ x )

2

−1)dx ≈ 12 ( ∂ y∂ x )2

dx

我們可以說，繩長增加的這段期間，繩張力必須對該小段繩長做了 Tδ的功，即這一小段繩長儲存了

pe=12T ( ∂ y∂x )

2

繩波的動能相對容易理解，繩波的單位質長度動能，在線密度為 μ的情況下為

ke=12μ( ∂ y∂t )

2

繩波能量傳輸波動的特性是波形和速度會穩定傳往下游處，因此繩波的做功功率就是單位長

度具有總能量乘上波速 u。P=u (ke+pe )

由於波形沒有改變，我們有全微分等於零的關係式D yD t

= ∂ y∂ t

+u ∂ y∂x

=0

因此( ∂ y∂ t )

2

=u2(∂ y∂ x )2

ke=12μ( ∂ y∂t )

2

=12μu2( ∂ y∂x )

2

=12T ( ∂ y∂ x )

2

=pe

最後一個等式用到了T=μu2

這個繩波波速的公式。所以P=u ( ke+ pe )=μu3( ∂ y∂ x )

2

波的其他性質在普物中，比較需要知道的是底下的關係式：

y ( x , t )= y (x−ut ,0)

亦即給定初始波形，理論上之後的波形都要求得出來（完整的波方程解請參考工程數學）。波動方程推導

y tt=u2 y xx在前面已經介紹了最快速的記憶方法～利用波形不變這個概念，列全微分方程

得到∂ y∂ t

=−u ∂ y∂ x

接著左式對 x偏微、右式對 t偏微應該相等。∂∂x [ ∂ y∂t ]= ∂

∂ x [−u ∂ y∂x ]=−u yxx=−1uy tt

y tt=u2 y xx

一般常見的推導，係將繩張力的垂直分量在 dx中的變化量和 dx質量的牛頓第二定律連結（普物課本的解法）。底下則說明如何利用 Euler-Lagrangian方法推導。

如前所述，單位長度的繩具有位能和動能已求出，定義 Lagrangian為L( y , x , t , y x , y t)=ke−pe=

12T ( ∂ y∂ x )

2

−12μ ( ∂ y∂ t )

2

則上式須滿足∂ L∂ y

− ∂∂ t [ ∂L∂ y t ]− ∂

∂ x [ ∂ L∂ yx ]=0∂∂ t [μ ∂ y∂ t ]= ∂

∂ x [T ∂ y∂x ]y tt=

Tμy xx

讀者可能會疑惑，在這個例子中 L恆為零，這樣的討論還有意義嗎？那是因為根據 Hamiltonian原則，Lagrangian必須有底下的特性：

I ≡∬x ,t

❑

L ( y , x ,t , yx , y t )d t'd x 'minizes for the chosen y (x , t)

上述限制會直接導出前述的 Lagrangian方程式（可參閱附錄）。在本例中，選定的 y將洽使 Lagrangian有最小值（亦即 0）。附錄 二變項 Lagrangian 方程式推導為了使

I ≡∬x ,t

❑

L ( y , x ,t , yx , y t )d t'd x '

有最小值，我們設定一函數η(x , t)

其有底下特性η (0 , t )=η (xM ax ,t )=η ( x ,0 )=η(x , tM ax)

亦即在我們關心的時空域邊界上，函數都須為零。此時我們將欲代入 Lagrangian方程的函數寫成

Y ( x , t )= y ( x , t )+εη(x , t )

注意當 e=0時就是我們想要的解。此時dY=dy+εdη=( ∂ y∂ x +ε ∂η

∂x )dx+( ∂ y∂t +ε ∂η∂ t )dt

並且δ Iδε |ε=0=0

δ Iδε

=∬x ,t

❑

( ∂ L∂Y ∂Y∂ε + ∂L∂Y x

∂Y x∂ε

+ ∂ L∂Y t

∂Y t∂ ε )d t' d x '

¿∬x, t

❑

( ∂ L∂Y η+ ∂ L∂Y x ηx+ ∂L∂Y t ηt)d t ' d x '又因為

∂ L∂Y x

ηx=∂∂x [ ∂L∂Y x η]− ∂

∂ x [ ∂ L∂Y x ]η∂ L∂Y t

η t=∂∂ t [ ∂ L∂Y t η]− ∂∂ t [ ∂L∂Y t ]η

所以δ Iδε |ε=0=∬x ,t

❑

( ∂∂ x + ∂∂ t ) [ ∂ L∂Y x η ]+( ∂L∂Y − ∂∂x [ ∂L∂Y x ]− ∂∂t [ ∂ L∂Y t ])ηd t 'd x'

¿∬x, t

❑

( ∂L∂ y− ∂∂ x [ ∂L∂ yx ]− ∂

∂ t [ ∂ L∂ y t ])ηd t ' d x '=0此時由於 η的邊界條件特性，可以證明在所關心的時空域中

∂ L∂ y

− ∂∂ x [ ∂L∂ yx ]− ∂

∂ t [ ∂ L∂ y t ]=0