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Pasos para resolver una transformada de la place con segunda y primera derivada
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN
Torreón, Coah .4 de febrero de 2015
Alumno : R. Fernando Echavarría Velázquez y Luis Enrique Martinez RamirezProfesor: Lic. Gerardo Edgar Mata OrtizMateria: Matemáticas Avanzadas 2Escuela: Universidad Tecnológica de TorreónCarrera: Ingeniería en tecnologías de la producción
Transformada de Derivadas
Este trabajo contiene una ecuacion la cual fue tomada del libro de Dennis G. Zill la cual se encuentra en el apartado 4.2.2 esta nos indicara como resolver una transformada con la primera asi como con la segunda deriva y su resolucion
Transformada de Laplace
If)/( dtdy
Transformada de una derivada tal como fue señalado en la introducción de este capitulo, nuestra meta inmediata es usar la Transformada de Laplace para resolver Ecuaciones Diferenciales con ese fin, necesitamos evaluar cantidades como y
Por ejemplo, si es continua cuando t > 0, la integración por partes entonces.
If
dttfestfedttfetf stIstIstI
0
0
0
)()()()}({
)0()()}({
)}({)0(
fssftf
tfsfI
dttfestfedttfetf IstIstIIstII )()()()}({00
0
)(
)(
)(
)(
tfv
dttfv
dttfdv
dtsedu
sedu
eu
I
II
II
st
st
st
Ahora empezaremos a resolver las ecuaciones diferenciales sacando la primer derivada
Para eso tenemos que identificar y sacra cual es u , la derivada de u la V y la derivada de V como lo hicimos a continuación:
dttfestfe
dtsetftfe
IstIst
stIst
00
001
)(.)](.[
))(()](.[
Ahora hay que separar las variables aquí utilizaremos la integración por partes para esto utilizaremos la siguiente formula: duvdvu ..
Lo que sigue es utilizar la transformada de Laplace
)}({)0(.)(lim )0( tfsfebfe IIsIsb
b
b tiende a infinitoAquí sustituiremos La t por el 0
El paso siguiente es que se pasa dividiendo a la expresión f(b) el expone quedaría en positivo
sbe
sbe
)}({)0().1()(
lim tfsfebf IIsb
I
b
sbe
se sustituye b por infinito y cuando hacemos eso la división nos arroja 0 lo cual por siguiente obtenemos el resultado que se obtenía a un principio.
)}({)0( tfsf II
Solo se ajustan los términos y obtenemos el Resultado de la primer derivada
)()0(
)}({)0(
ssFf
tfsf
)](.[ tfe st
Ahora resolveremos la segunda derivada para resolverla seguiremos los mismo pasos de la anterior solo que en esta se hará una integración doble integración por partes:
dttfestfedttfetf IstIstIIstII )()()()}({00
0
)(
)(
)(
)(
tfv
dttfv
dttfdv
dtsedu
sedu
eu
I
II
II
st
st
st
Aquí como anteriormente identificamos que será u y la deriva de u, v y su derivada que es Dv
Hacemos la integración por partes:
dttfestfe
dtsetftfe
IstIst
stIst
00
001
)(.)](.[
))(()](.[
Lo que sigue es utilizar la transformada de Laplace )}({)0(.)(lim )0( tfsfebfe IIsIsb
b
b tiende a infinitoAquí sustituiremos La t por el 0
El siguiente paso es que se pasa dividiendo a la expresión f(b) aquí el expone quedaría en positivo
sbe
El resultado deEs 1
sbe
)}({)0().1()(
lim tfsfebf IIsb
I
b
Sustituimos b por infinito y cuando hacemos eso la división da 0 lo cual por siguiente obtenemos el resultado que se obtenía a un principio.
)0()0()()}({
)0()()0(
)]0()([)0(
2
2
III
I
I
fsfsfstf
sfsfsf
fssfsf
)}({)0( tfsf
Ahora haremos la segunda integración por partes sera lo mismo que hicimos con la primer derivada de con lo que obtendremos la transformada como a continuación. If
dttfestfe
dtsetftfe
stst
stst
)(.)](.[
))(()](.[
00
00
)0()(
)}({)0(
)}({)0().1()(
lim
)}({)0().1()(
lim
)}({)0(.)(lim )0(
fssf
tfsf
tfsfef
tfsfebf
tfsfebfe
sb
sbb
ssb
b
Una vez que se realizo la anterior transformada se realizan las siguientes operaciones para obtener el resultado de la segunda derivada acomodamos los términos para obtener el resultado final.
)0()0()()}({
)0()()0(
)]0()([)0(
2
2
III
I
I
fsfsfstf
sfsfsf
fssfsf
Despues de eso obtenemos nuestro resultado
final
)0()0()()}({ 2 III fsfsfstf
Bibliografía:
Apartado 4.2.2
Autor: Dennis G. Zill
