14
จจจจจจจจจ

จำนวนจริง1

Embed Size (px)

Citation preview

จำ��นวนจำริ�ง

จำ��นวนจำริ�ง

คือจำ��นวนที่ �ส�ม�ริถจำ�บคื��หน��งต่�อหน��งกั�บจำ�ดบนเส�นต่ริงที่ �ม คืว�มย�วไม�ส� นส�ด (เส�นจำ��นวน ) ได� คื��ว�� จำ��นวนจำริ�ง น� นบ�ญญ�ต่�ขึ้� นเพื่�อแยกัเซต่น ออกัจำ�กัจำ��นวนจำ�นต่ภ�พื่จำ��นวนจำริ�งเป็)นศู�นย+กัล�งกั�ริศู�กัษ�ในส�ขึ้�คืณิ�ต่ว�เคืริ�ะห+จำริ�ง (real analysis)

คื�ณิสมบ�ต่�และกั�ริน��ไป็ใช้�

หล�กัเกัณิฑ์+ในกั�ริแบ�งจำ��นวนจำริ�งอย��หล�ยเกัณิฑ์+ เช้�น จำ��นวนต่ริริกัยะ หริอ จำ��นวนอต่ริริกัยะ ;จำ��นวนพื่ ช้คืณิ�ต่ (algebraic number ) หริอ จำ��นวนอด�ศู�ย; และ จำ��นวนบวกั จำ��นวนลบ หริอ ศู�นย+ จำ��นวนจำริ�งแที่นป็ริ�ม�ณิที่ �ต่�อเน�องกั�น โดยที่ฤษฎี อ�จำแที่นได�ด�วยที่ศูน�ยมไม�ริ��จำบ และม�กัจำะเขึ้ ยนในริ�ป็เช้�น 324.823211247… จำ�ดส�มจำ�ด ริะบ�ว��ย�งม หล�กัต่�อๆไป็อ กั ไม�ว��จำะย�วเพื่ ยงใดกั7ต่�ม

กั�ริว�ดในว�ที่ย�ศู�สต่ริ+กั�ยภ�พื่เกัอบที่� งหมดจำะเป็)นกั�ริป็ริะม�ณิคื��ส��จำ��นวนจำริ�ง กั�ริเขึ้ ยนในริ�ป็ที่ศูน�ยม (ซ��งเป็)นจำ��นวนต่ริริกัยะที่ �ส�ม�ริถเขึ้ ยนเป็)นอ�ต่ริ�ส�วนที่ �ม ต่�วส�วนช้�ดเจำน ) ไม�เพื่ ยงแต่�ที่��ให�กัริะช้�บ แต่�ย�งที่��ให�ส�ม�ริถเขึ้��ใจำถ�งจำ��นวนจำริ�งที่ �แที่นได�ในริะด�บหน��งอ กัด�วย จำ��นวนจำริ�งจำ��นวนหน��งจำะกัล��วได�ว��เป็)นจำ��นวนที่ �คื��นวณิได� (computable ) ถ��ม ขึ้� นต่อนว�ธี ที่ �ส�ม�ริถให�ได�ต่�วเลขึ้แที่นออกัม� เน�องจำ�กัม จำ��นวนขึ้� นต่อนว�ธี น�บได� (countably infinite )แต่�ม จำ��นวนขึ้องจำ��นวนจำริ�งน�บไม�ได� จำ��นวนจำริ�งส�วนม�กัจำ�งไม�เป็)นจำ��นวนที่ �คื��นวณิได� กัล��มล�ที่ธี�เคื��โคืริง(constructivists ) ยอมริ�บกั�ริม ต่�วต่นขึ้องจำ��นวนที่ �คื��นวณิได�เที่��น� น เซต่ขึ้องจำ��นวนที่ �ให�น�ย�มได�น� นใหญ�กัว�� แต่�กั7ย�งน�บได�

ส�วนม�กัคือมพื่�วเต่อริ+เพื่ ยงป็ริะม�ณิคื��ขึ้องจำ��นวนจำริ�งเที่��น� น โดยที่��วไป็แล�ว คือมพื่�วเต่อริ+ส�ม�ริถแที่นคื��จำ��นวนต่ริริกัยะเพื่ ยงกัล��มหน��งได�อย��งแม�นย��โดยใช้�ต่�วเลขึ้จำ�ดลอยต่�วหริอต่�วเลขึ้จำ�ดต่ริ�งจำ��นวนต่ริริกัยะเหล��น ใช้�เป็)นคื��ป็ริะม�ณิขึ้องจำ��นวนจำริ�งขึ้��งเคื ยงอ�นๆ เลขึ้คืณิ�ต่คืว�มละเอ ยดไม�แน�นอน (arbitrary-precision arithmetic ) เป็)นขึ้� นต่อนในกั�ริแที่นจำ��นวนต่ริริกัยะโดยจำ��กั�ดเพื่ ยงหน�วยคืว�มจำ��ที่ �ม แต่�โดยที่��วไป็จำะใช้�จำ��นวนขึ้องบ�ต่คืว�มละเอ ยดคืงที่ �กั��หนดโดยขึ้น�ดขึ้องริ จำ�สเต่อริ+หน�วยป็ริะมวลผล (processor register ) นอกัเหนอจำ�กัจำ��นวนต่ริริกัยะเหล��น ริะบบพื่ ช้คืณิ�ต่คือมพื่�วเต่อริ+ส�ม�ริถจำ�ดกั�ริจำ��นวนอต่ริริกัยะจำ��นวนม�กั (น�บได� ) อย��งแม�นย��โดยบ�นที่�กัริ�ป็แบบเช้�งพื่ ช้คืณิ�ต่ (เช้�น "sqrt(2 )") แที่นคื��ป็ริะม�ณิต่ริริกัยะ

นั�กคณิ�ตศาสตร์ ใช้�ส�ญลั�กษณิ R (หร์�อ R- อ�กษร์ R ในัแบบอ�กษร์ blackboard bold) แทนัเซตของจำ านัวนัจำร์�ง ส�ญกร์ณิ Rn แทนัปร์�ภู$มิ� n มิ�ต�ของจำ านัวนัจำร์�ง เช้&นั สมิาช้�กต�วหนั'(งจำาก R 3 ปร์ะกอบด้�วยจำ านัวนัจำร์�งสามิจำ านัวนัแลัะร์ะบ,ต าแหนั&งบนัปร์�ภู$มิ�สามิมิ�ต�

น�ย�ม

กั�ริสริ��งจำ�กัจำ��นวนต่ริริกัยะ

จำ านัวนัจำร์�งสามิาร์ถสร์�างเป.นัส&วนัสมิบ$ร์ณิ ของจำ านัวนัตร์ร์กยะ ส าหร์�บร์ายลัะเอ/ยด้แลัะการ์สร์�างจำ านัวนัจำร์�งว�ธี/อ�(นัๆด้$ท/( construction of real numbers (กั�ริสริ��งจำ��นวนจำริ�ง)

ว�ธี ส�จำพื่จำน+ ให� R แที่นเซต่ขึ้องจำ��นวนจำริ�งที่� งหมด แล�ว

• เซต่ R เป็)นฟี;ลด+ หม�ยคืว�มว��ม กั�ริน�ย�มกั�ริบวกัและกั�ริคื�ณิและม คื�ณิสมบ�ต่�ต่�มป็กัต่�

• ฟี;ลด+ R เป็)นฟี;ลด+อ�นด�บ หม�ยคืว�มว��ม อ�นด�บเช้�งเส�น (total order ) ≥ ซ��งส��หริ�บที่�กัจำ��นวนจำริ�ง x y และ z :– ถ�� x ≥ y แล�ว x + z ≥ y + z – ถ�� x ≥ 0 และ y ≥ 0 แล�ว xy ≥ 0

• อ�นด�บน� นม คืว�มบริ�บ�ริณิ+เดเดคื�นที่+ (Dedekind-complete ) กัล��วคือที่�กัส�บเซต่ที่ �ไม�ใช้�เซต่ว��ง S ขึ้อง R ซ��งม ขึ้อบเขึ้ต่บน ใน R ม ขึ้อบเขึ้ต่บนน�อยส�ด ใน R

คื�ณิสมบ�ต่�ส�ดที่��ยน เป็)นต่�วแบ�งแยกัจำ��นวนจำริ�งออกัจำ�กัจำ��นวนต่ริริกัยะ ต่�วอย��งเช้�น เซต่ขึ้องจำ��นวนต่ริริกัยะที่ �ม กั��ล�งสองน�อยกัว�� 2 ม ขึ้อบเขึ้ต่บน (เช้�น 1.5 ) แต่�ไม�ม ขึ้อบเขึ้ต่บนน�อยส�ดที่ �เป็)นจำ��นวนต่ริริกัยะ เพื่ริ�ะว��ริ�กัที่ �สองขึ้อง 2 ไม�เป็)นจำ��นวนต่ริริกัยะ

จำ��นวนจำริ�งน� นม คื�ณิสมบ�ต่�ขึ้��งต่�นเป็)นเอกัล�กัษณิ+ พื่�ดอย��งถ�กัต่�องได�ว�� ถ��ม ฟี;ลด+อ�นด�บที่ �ม คืว�มบริ�บ�ริณิ+เดเดคื�นที่+ 2 ฟี;ลด+ R1 และ R2 จำะม สมส�ณิฐ�นฟี;ลด+ที่ �เป็)นเอกัล�กัษณิ+จำ�กั R1 ไป็ย�ง R2 ที่��ให�เริ�ส�ม�ริถมองว��ที่� งคื��เป็)นว�ต่ถ�เด ยวกั�น

คื�ณิสมบ�ต่�ความิบร์�บ$ร์ณิ เหต,ผลัหลั�กในัการ์แนัะนั าจำ านัวนัจำร์�งก3เพร์าะว&าจำ านัวนัจำร์�งมิ/ลั�มิ�ต พ$ด้อย&างเป.นัหลั�กการ์แลั�ว จำ านัวนัจำร์�งมิ/ความิบร์�บ$ร์ณิ (โด้ยนั�ยของ ปร์�ภู$มิ�อ�งร์ะยะทาง หร์�อ ปร์�ภู$มิ�เอกร์$ป ซ'(งต&างจำากความิบร์�บ$ร์ณิ เด้เด้ค�นัท เก/(ยวก�บอ�นัด้�บในัส&วนัท/(แลั�ว ) มิ/ความิหมิายด้�งต&อไปนั/7ลั าด้�บ (xn ) ของจำ านัวนัจำร์�งจำะเร์/ยกว&า ลั าด้�บโคช้/ถ�าส าหร์�บ ε > 0 ใด้ๆ มิ/จำ านัวนัเต3มิ N (อาจำข'7นัอย$&ก�บ ε ) ซ'(งร์ะยะทาง |xn − xm| นั�อยกว&า ε โด้ยท/( n แลัะ m มิากกว&า N แลัะอาจำกลั&าวได้�ว&าลั าด้�บเป.นัลั าด้�บโคช้/โคช้/ถ�าสมิาช้�ก xn ของมิ�นัในัท/(ส,ด้เข�าใกลั�ก�นัเพ/ยงพอ

ล��ด�บ (xn ) ล��เขึ้��ส��ล�ม�ต่ x ถ��ส��หริ�บ ε > 0 ใดๆม จำ��นวนเต่7ม N (อ�จำขึ้� นอย��กั�บ ε )ซ��งริะยะที่�ง |xn   − x| น�อยกัว�� ε โดยที่ � n ม�กักัว�� N และอ�จำกัล��วได�ว��ล��ด�บม ล�ม�ต่ x ถ��สม�ช้�กัขึ้องม�นในที่ �ส�ดเขึ้��ใกัล� x เพื่ ยงพื่อเป็)นเริ�องง��ยที่ �จำะเห7นว��ที่�กัล��ด�บล��เขึ้��เป็)นล��ด�บโคืช้ ขึ้�อเที่7จำจำริ�งที่ �ส��คื�ญหน��งเกั �ยวกั�บจำ��นวนจำริ�งคือบที่กัล�บขึ้องม�นกั7เป็)นจำริ�งเช้�นกั�น :

ล��ด�บโคืช้ ที่�กัล��ด�บขึ้องจำ��นวนจำริ�งล��เขึ้��

น��นกั7คือ จำ��นวนจำริ�งน� นบริ�บ�ริณิ+

ส�งเกัต่ว��จำ��นวนต่ริริกัยะน� นไม�บริ�บ�ริณิ+ เช้�น ล��ด�บ (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) เป็)นล��ด�บโคืช้ แต่�ไม�ล��เขึ้��ส��จำ��นวนต่ริริกัยะจำ��นวนใดจำ��นวนหน��ง (ในที่�งกัล�บกั�น ในริะบบจำ��นวนจำริ�ง ม�นล��เขึ้��ส��ริ�กัที่ �สองขึ้อง 2)กั�ริม อย��ขึ้องล�ม�ต่ขึ้องล��ด�บโคืช้ ที่��ให�แคืลคื�ล�สใช้�กั�ริได� ริวมไป็ถ�งกั�ริป็ริะย�กัต่+ม�กัม�ยขึ้องม�นด�วย กั�ริที่ดสอบเช้�งต่�วเลขึ้ม�ต่ริฐ�นเพื่�อริะบ�ว��ล��ด�บน� นม ล�ม�ต่หริอไม�คือกั�ริที่ดสอบว��ม�นเป็)นล��ด�บโคืช้ หริอไม� ถ��เริ�ไม�ที่ริ�บล�ม�ต่เหล��น� นล�วงหน��

ต่�วอย��งเช้�น อน�กัริมพื่ นฐ�นขึ้องฟี>งกั+ช้�นเลขึ้ช้ กั��ล�ง

ลั$&เข�าส$&จำ านัวนัจำร์�งจำ านัวนัหนั'(งเพร์าะว&าส าหร์�บท,กค&าของ x ผลัร์วมิ

สามิาร์ถท าให�มิ/ค&านั�อยลังเพ/ยงพอโด้ยเลั�อก N ท/(มิ/ค&ามิากเพ/ยงพอ นั/(พ�ส$จำนั ว&าลั าด้�บนั/7เป.นัลั าด้�บโคช้/ ด้�งนั�7นัเร์าร์$ �ว&าลั าด้�บลั$&เข�าแมิ�กร์ะท�(งเร์าไมิ&ร์$ �ว&าลั�มิ�ตค�ออะไร์

จำบ เร์�(อง จำ านัวนัจำร์�ง

สว�สด้/ค�บ