15 จำนวนจริง ตอนที่2_การแยกตัวประกอบ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

จ านวนจรง (เนอหาตอนท 2)

การแยกตวประกอบ

โดย

ศาสตราจารย ดร.กฤษณะ เนยมมณ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ


1

สอการสอน เรอง จ านวนจรง สอการสอน เรอง จ านวนจรง มจ านวนตอนทงหมดรวม 17 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง จ านวนจรง 2. เนอหาตอนท 1 สมบตของจ านวนจรง

- ระบบจ านวนจรง - สมบตพนฐานของระบบจ านวนจรง

3. เนอหาตอนท 2 การแยกตวประกอบ - การแยกตวประกอบ

4. เนอหาตอนท 3 ทฤษฎบทตวประกอบ - ทฤษฎบทเศษเหลอ - ทฤษฎบทตวประกอบ

5. เนอหาตอนท 4 สมการพหนาม - สมการพหนามก าลงหนง - สมการพหนามก าลงสอง - สมการพหนามก าลงสง - การประยกตสมการพหนาม

6. เนอหาตอนท 5 อสมการ - เสนจ านวนและชวง - อสมการทเกยวของกบพหนามก าลงหนง - อสมการทเกยวของกบพหนามก าลงสง

7. เนอหาตอนท 6 เทคนคการแกอสมการ - อสมการในรปเศษสวน - การแกอสมการโดยวธการยกก าลงสอง - การแกอสมการโดยการแทนคาตวแปร - การประยกตโจทยการแกอสมการ

8. เนอหาตอนท 7 คาสมบรณ - คาสมบรณ - สมการคาสมบรณ


2

9. เนอหาตอนท 8 การแกอสมการคาสมบรณ - อสมการคาสมบรณ - โจทยประยกตอสมการคาสมบรณ

10. เนอหาตอนท 9 กราฟคาสมบรณ - กราฟคาสมบรณ

11. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 12. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 13. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 14. แบบฝกหด (ขนสง) 15. สอปฏสมพนธ เรอง ชวงบนเสนจ านวน 16. สอปฏสมพนธ เรอง สมการและอสมการพหนาม (ก าลงไมเกนส) 17. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟคาสมบรณ

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง จ านวนจรง นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


3

เรอง จ านวนจรง (การแยกตวประกอบ) หมวด เนอหา ตอนท 2 (2/9) หวขอยอย 1. การแยกตวประกอบโดยวธการดงตวรวม 2. การแยกตวประกอบโดยวธสามพจนสองวงเลบ 3. การแยกตวประกอบโดยวธก าลงสมบรณ 4. การแยกตวประกอบโดยวธผลตางก าลงสอง 5. การแยกตวประกอบโดยวธก าลงสามสมบรณ 6. การแยกตวประกอบโดยวธผลตางก าลงสามและผลบวกก าลงสาม

จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. ไดทบทวนการแยกตวประกอบโดยวธการดงตวรวม 2. ไดทบทวนการแยกตวประกอบโดยวธสามพจนสองวงเลบ 3. ไดทบทวนการแยกตวประกอบโดยวธก าลงสมบรณ 4. ไดทบทวนการแยกตวประกอบโดยวธผลตางก าลงสอง 5. ไดทบทวนการแยกตวประกอบโดยวธก าลงสามสมบรณ 6. ไดทบทวนการแยกตวประกอบโดยวธผลตางก าลงสามและผลบวกก าลงสาม 7. สามารถเลอกวธการแยกตวประกอบทเหมาะสม ในการแยกตวประกอบพหนาม

ผลการเรยนรทคาดหวง ผเรยนสามารถ 1. แยกตวประกอบโดยวธการดงตวรวมได 2. แยกตวประกอบโดยวธสามพจนสองวงเลบได 3. แยกตวประกอบโดยวธก าลงสมบรณได 4. แยกตวประกอบโดยวธผลตางก าลงสองได 5. แยกตวประกอบโดยวธก าลงสามสมบรณได 6. แยกตวประกอบโดยวธผลตางก าลงสามและผลบวกก าลงสามได 7. เลอกวธการแยกตวประกอบทเหมาะสม และน าไปใชในวธการนนในการแยกตวประกอบพหนามได


4

เนอหาในสอการสอน

เนอหาทงหมด


5

1. การแยกตวประกอบโดยวธดงตวรวม


6

1. การแยกตวประกอบโดยวธดงตวรวม ในสอตอนน ผเรยนจะไดทบทวนวธการแยกตวประกอบโดยวธการดงตวรวม ทผเรยนควรจะรมากอนท

จะเรมเรยนวธการแยกตวประกอบโดยทฤษฎบทแยกตวประกอบ แตกอนอนผสอนควรทบทวนผเรยนใหทราบความหมายของพหนาม และความส าคญของการแยกตว

ประกอบเสยกอน

หลงจากชมสอแลว ผสอนอาจยกตวอยางตอไปนเพมเตม ตวอยาง ก าหนดให 4 25 5 1f x x x x จงหา

1. 1f 2. 3 1f f

วธท า

1. 4 2

1 1 5 1 5 1 1 12f 2.

2 44 43 1 3 5 3 5 3 1 1 5 1 5 1 1f f

112 2

110

#


7

ตวอยาง จงหาคา x ทสอดคลองกบสมการ 1 2 0x x วธท า จาก 1 2 0x x จะไดวา 1 0x หรอ 2 0x 1x หรอ 2x #

ตอไปผเรยนจะไดทบทวนวธการแยกตวประกอบโดยวธดงตวรวม

ผสอนอาจยกตวอยางตอไปนเพมเตม ตวอยาง จงแยกตวประกอบของพหนามตอไปน

1. a x y b x y 2. 2 232 64 8x x y xy


8

วธท า 1. a x y b x y a b x y 2. 2 2 232 64 8 8 4 8x x y xy x xy y #

ตวอยาง จงท าใหเปนรปอยางงาย

1. 2 2 212 36

6

x y xy

xy

2. 3 2

3

2 2

3 3

x y xy

x xy

วธท า

1. 2 2 2 12 312 36

6 6

xy xy yx y xy

xy xy

2 3xy y

2.

23 2

3 2

22 2

3 3 3

xy x yx y xy

x xy x x y

2

3

y #

แบบฝกหดเพมเตม เรอง การแยกตวประกอบ (การดงตวรวม)

จงแยกตวประกอบตอไปน 1. 2 2x x 2. 23 2x x 3. 3 24 2x x 4. 2 8y y 5. 3 23 6 9x x x 6. 2 28 2x y xy 7. 3 314 7x y xy 8. 2 23 6xyz x yz 9. 2 2 25xy z x yz xy z 10. 2 2 2 3 2 3 4 3 25 10 15x y z x y z x y z


9

ตอไปจะเปนเทคนคการแยกตวประกอบโดยวธดงตวรวมของพหนามทมสพจน

แบบฝกหดเพมเตม เรองการแยกตวประกอบ (ส พจน สอง วงเลบ)

จงแยกตวประกอบ 1. a b c a b d 2. 2 2x a b a b 3. 5 a b a b c 4. 2 2 2a ab ac bc 5. 2 5 5x ax x a 6. 2 2 2x x xy y 7. 4 3 2 2x x x 8. 4 34 8 2x x x 9. 3 2 1x x x 10. 2a ab ac bc


10

2. การแยกตวประกอบโดยวธสามพจนสองวงเลบ


11

2. การแยกตวประกอบโดยวธสามพจนสองวงเลบ

ในหวขอน เราจะทบทวนเทคนคการแยกตวประกอบทเรยกวา สามพจนสองวงเลบ

ผสอนควรทบทวนการแยกตวประกอบแบบ สามพจนสองวงเลบ ในกรณทสมประสทธของ 2x ไมใช 1 ดวย ดงตวอยางตอไปน ตวอยาง จงแยกตวประกอบตอไปน

1. 22 3 1x x 2. 26 7 3x x 3. 26 7 3x x

วธท า

1. 22 3 1 2 1 1x x x x 2. 26 7 3 2 3 3 1x x x x 3. 26 7 3 2 3 3x x x x #

แบบฝกหดเพมเตม

เรองการแยกตวประกอบ (สามพจนสองวงเลบ) จงแยกตวประกอบ 1. 2 3 2x x 2. 2 9 18x x 3. 2 10 24x x 4. 2 6x x


12

5. 2 3 4x x 6. 2 12 85x x 7. 22 x x 8. 214 5x x 9. 2 3 4x x 10. 2 24 3a ab b 11. 2 2 4 5a b ab 12. 22 6x x 13. 24 5 9x x 14. 23 10 3x x 15. 28 2 3x x 16. 24 18 8x x 17. 26 7 2x x 18. 29 3 2x x 19. 28 6 2x x 20. 22 5 3x x


13

3. การแยกตวประกอบโดยวธก าลงสองสมบรณ


14

3. การแยกตวประกอบ โดยวธก าลงสองสมบรณ ในหวขอน ผเรยนจะไดทบทวนเทคนคการแยกตวประกอบโดยวธ ก าลงสองสมบรณ

ผสอนอาจยกตวอยางตอไปน เพอใหผเรยนเหนถงการประยกตใชสตรก าลงสองสมบรณ

ตวอยาง ก าหนดให 12x

x แลว 2

2

1x

x มคาเทากบเทาไร

วธท า เนองจาก 12x

x

ดงนน 2

212x

x

2

2

12 4x

x

2

2

12x

x #

ตวอยาง จงเตมพจนใน เพอท าใหพหนามทก าหนดสามารถจดรปก าลงสองสมบรณได

1. 2 3x x 2. 24 2x x 3. 2 16x 4. 29 16x x

5. 1

4x

เฉลย

1. 9

4 2. 1

4 3. 8x 4. 64

9 5. 2x


15

วธท า 1. จาก 2

2 3x x 2 2น+ล = น + 2นล+ล

จะเหนไดวา xน= และ

2

x

x x

2นล = 32 ล = 3

3ล =

ดงนน 2 9

4 ล #

ตวอยาง จงหาคาของ 4 2 3

วธท า เนองจาก 2

3 1 4 2 3

ดงนน 4 2 3 3 1 #


วธท า เนองจาก 2

6 3 9 2 18

ดงนน 9 2 18 6 3 #

แบบฝกหดเพมเตม เรองการแยกตวประกอบ (ก าลงสองสมบรณ)

จงแยกตวประกอบของพหนามตอไปน 1. 2 4 4x x 2. 2 10 25x x 3. 2 6 9x x 4. 22 8 8x x 5. 24 8 4x x 6. 21

14

x x

7-10 จงเตมพจนใน เพอท าใหพหนามตอไปน สามารถจดใหอยในรปก าลงสองสมบรณได 7. 2 49x 8. 24 5x 9. 80 16y

10. 21 1

4 9x


16

4. การแยกตวประกอบโดยวธผลตางก าลงสอง


17

2 2a b a b a b

4. การแยกตวประกอบ โดยวธผลตางก าลงสอง

ในขอนผเรยนจะไดน าสตรของผลตางก าลงสอง มาชวยในการแยกตวประกอบ

การพสจนสตร

พสจน 2 2a b a b a ab ba b

2 2a b ตวอยาง จงแยกตวประกอบของพหนามตอไปน

1. 4 1x 2. 4 2x x

วธท า

1. 4 2 21 1 1x x x 21 1 1x x x 2. 4 2 2 2 1x x x x

2 1 1x x x # ตวอยาง จงแยกตวประกอบของพหนามตอไปน 1. 2 2x y x y 2. 2 3500 20a b b


18

2 220 25

20 5 5

b a b

b a b a b

วธท า 1. 2 2 2 2x y x y x y x y x y x y x y 1x y x y 2. 2 3500 20a b b #

แบบฝกหดเพมเตม เรองการแยกตวประกอบ (ผลตางก าลงสอง)

จงแยกตวประกอบ 1. 2 9x 2. 2 25x 3. 2 3x 4. 24 1b 5. 2 2 9x y 6. 3x x 7. 4 81x 8. 5 4 9a b a 9. 2 2x y x y 10. 249 81z


19

5. การแยกตวประกอบโดยวธก าลงสามสมบรณ


20

3 23 2 2 3 2 3

3

8 12 6 2 3 2 3 2

2

x x y xy y x x y x y y

x y

5. การแยกตวประกอบโดยวธก าลงสามสมบรณ

ในหวขอน ผเรยนจะไดศกษาการน าสตร ก าลงสามสมบรณ มาชวยในการแยกตวประกอบ

ตวอยาง ก าหนดให 11x

x แลว 3

3

1x


วธท า เนองจาก

3

3

2

2 3

3

3

3

3

3

3

3

11

1 1 13 3 1

1 33 1

1 13 1

13 1

xx

x x xx x x

x xx x

x xx x

xx

ดงนน 3

3

12x

x #

ตวอยาง จงแยกตวประกอบของ 1. 3 2 2 38 12 6x x y xy y 2. 3 2 2 36 12 8x x y xy y

วธท า

1.


21

2 33 2 2 3 3 2

3

6 12 8 3 2 3 2 2

2

x x y xy y x x y x y y

x y

2.

#

แบบฝกหดเพมเตม เรองการแยกตวประกอบ (ก าลงสามสมบรณ)

1-7 จงแยกตวประกอบของพหนามตอไปน 1. 3 23 3 1x x x 2. 3 28 12 6 1x x x 3. 3 2 3 1

8 62 8

x x x

4. 3 22 6 6 2x x x 5. 2 31 9 27 27x x x 6. 3 2 2 34 8

23 27

x x y xy y

7. 3 2 2 327 135 225 125x x y y y

8. ก าหนดให 11x

x แลว 3

3

1x


9. จงหาคาของ 3 28 12 6 1

2 1

x x x

x

10. จงหาคาของ 3 2

1 3 1 3 1 1x x x


22

6. การแยกตวประกอบ โดยวธผลบวกก าลงสาม และผลตางก าลงสาม


23

6. การแยกตวประกอบโดยวธผลบวกก าลงสาม และผลตางก าลงสาม

ในขอน ผเรยนจะไดทบทวนการแยกตวประกอบ โดยใชสตรผลบวกก าลงสาม และผลตางก าลงสาม

ตวอยาง จงแยกตวประกอบของพหนามตอไปน 1. 3 3a b a b 2.

3128 2x y

วธท า 1. 3 3 3 3a b a b a b a b

2 2a b a ab b a b 2 2 1a b a ab b

2. 3 3128 2 2 64 1x y x y

22 4 1 16 4 1x y x y x y #


3 3 31 1 1 1 1x x x

วธท า เนองจาก 3 3 2 2น +ล = น+ล น นล+ล

จะไดวา 3

1 2 1 13

3 3 3 31 1 1 1 1 1 1x x x x

1 1x x #


24

แบบฝกหดเพมเตม เรองการแยกตวประกอบ (ผลตางก าลงสามและผลบวกก าลงสาม)

จงแยกตวประกอบ 1. 3 1a 2. 3 1a 3. 3 27b 4. 3 8b 5. 3 3 27a b 6. 3 364x y 7. 68 1000x 8. 38 1000x 9. 6 729y 10. 3 38 27x y #


25

สรปสาระส าคญประจ าตอน


26

สรปสารส าคญประจ าตอน

เมอผเรยนไดทบทวนวธการแยกตวประกอบทง 6 วธแลว ผสอนอาจใหผเรยนทดลองท าแบบฝกหดระคน ดงตวอยางตอไปน


27

ตวอยาง จงท าใหอยในรปอยางงาย

1. 2 2

3 2

12 6

64 4 16

m m m m

m m m

2. 2 2

2 2

2 24 12

16 6 9

a a a a

a a a

วธท า

1. 2 2 2 2

3 2 3 2

12 6 12 4 16

64 4 16 64 6

m m m m m m m m

m m m m m m

2

2

4 3 4 16

3 24 4 16

m m m m

m mm m m

1

2m

2.

2 2

22 2

6 4 4 32 24 12

16 6 9 4 4 3

a a a aa a a a

a a a a a a

6

3

a

a

#

ตวอยาง จงแยกตวประกอบของพหนามตอไปน

1. 4 2 2 4a a b b 2. 6 1x x

วธท า

1. 4 2 2 4 4 2 2 4 2 22a a b b a a b b a b

2 22 2a b ab

2 2 2 2a ab b a ab b

2. 26 1 6x x x x 3 2x x

#


28

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม


29

แบบฝกหดระคน

1-10 จงแยกตวประกอบของพหนามดงตอไปน 1. 2 5 4x x 2. 3 23 4 12a a a 3. 3 3 2 2x y xy x y 4.

34 x y x y

5. 3

27a b 6. 4 32 8 16x x x 7. 23 9 12x x 8.

2 216 2 4x y x y

9. 24 28 40x x 10. 2 24 4 8 4a b a b ab

11. 2

2x y x y แยกตวประกอบไดตรงกบขอใด 1. 2 1x y x y 2. 2 1x y x y 3. 2 1x y x y 4. 2 1x y x y

12. ขอใดใชสมบตการกระจาย 1. 2 2x x 2. 5 2 7x x 3. 2 4 2 2x y x y 4. 3 2 3x x x

13. ขอใดไมถกตอง

1. 21

11

aa

a

เมอ 1a

2. 23 9 3 3x x x x 3. ม a และ b ทท าให

22 2a b a b 4.

22 2a b a b ทก ,a b 14. ขอใดไมใชพหนาม

1. 2 1x x x 2. 3 2x x


30

3. 5 4. 3 1x

15. 2 1x เปนตวประกอบของพหนามใด 1. 26 1x x 2. 26 5 4x x 3. 22 3 1x x 4. 2 6x x

16. ก าหนดให 14x

x แลว 2

2

1x


1. 4 2. 16 3. 18 4. ขอมลไมพอ 17. ตวประกอบของ 4 32 8 16x x x คอขอใด

1. 32 8x x 2.

2 32 2 4x x x 3.

2 32 2 4x x x 4. 32 2 2 4x x x x

18. 3 22 33 3a b a a b a a a b

มคาเทากบเทาใด

1. 1 2. 3a 3. 3b 4. 3 3a b 19. ขอใดตอไปนไมถกตอง

1. 2 2

3 1 3 2 9 2 1a a a 2. 24 1 2 1 2 1x x x 3.

23 2 1 1 1a a a a a 4. 2 2 2 1x x x

20. ก าหนดให 1x a

x แลว 3

3

1x

x มคาเทากบขอใด

1. 3a 2. 3 3a a 3. 3 3a a 4. 3 3a a


31

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด


32

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม เรองการแยกตวประกอบ (การดงตวรวม)

1. 2x x 2. 3 2x x 3. 22 2 1x x 4. 8y y 5. 23 2 3x x x 6. 2 4xy x y 7. 2 27 2xy x y 8. 3 2xyz z x 9. 5xyz y x y 10. 2 2 2 25 1 2 3x y z xz x y

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม เรองการแยกตวประกอบ (ส พจน สอง วงเลบ)

1. a b c d 2. 2 2x a b 3. 5 c a b 4. 2a b a c 5. 5x x a 6. 2x y x 7. 3 2 1x x 8. 3 2 4 1x x 9. 2 1 1x x 10. a c a b

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม เรองการแยกตวประกอบ (สาม พจน สอง วงเลบ)

1. 1 2x x 2. 3 6x x 3. 4 6x x 4. 3 2x x 5. 1 4x x 6. 17 5x x 7. 2 1x x 8. 2 7x x 9. 4 1x x 10. 3a b a b 11. 1 5ab ab 12. 2 2 3x x 13. 1 4 9x x 14. 3 3 1x x 15. 2 1 4 3x x 16. 2 2 1 4x x 17. 2 1 3 2x x 18. 3 2 3 1x x 19. 2 4 1x x 20. 2 1 3x x


33

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม เรองการแยกตวประกอบ (ก าลงสองสมบรณ)

1.

22x 2.

25x 3.

23x

4. 2

2 2x 5. 2

4 1x 6. 2

11

2x

7. 14x 8. 4 5x 9. 2100y

10. 3

x

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม เรองการแยกตวประกอบ (ผลตางก าลงสอง)

1. 3 3x x 2. 5 5x x 3. 3 3x x 4. 2 1 2 1b b

5. 3 3xy xy 6. 1 1x x x 7. 23 3 9x x x 8. 2 2 2 23 3a a b a b 9. 1x y x y 10. 7 9 7 9z z

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม เรองการแยกตวประกอบ (ก าลงสามสมบรณ)

1.

31x 2.

32 1x

3. 3

12

2x

4.

32 1x

5. 3

1 3x 6. 3

2

3x y

7. 3

3 5x y 8. 4 9. 24 4 1x x 10. 3x


34

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม เรองการแยกตวประกอบ (ผลตางก าลงสามและผลบวกก าลงสาม)

1. 21 1a a a 2. 21 1a a a 3. 23 3 9b b b 4. 22 2 4b b b 5. 2 23 3 9ab a b ab 6. 2 24 4 16x y x xy y 7. 2 2 48 1 5 1 5 25x x x 8. 28 5 5 25x x x 9. 2 4 29 9 81y y y 10. 2 22 3 4 6 9x y x xy y

เฉลยแบบฝกหดระคน 1. 1 4x x 2. 2 2 3a a a 3. 2 2x y x y 4. 2 2 1 2 2 1x y x y x y 5. 2

3 3 9a b a b a b

6. 2 22 2 4x x x

7. 4 3 3x x 8. 4 5 3 3x y x y 9. 4 2 5x x

10. 2 4 2a b a b 11. 2 12. 3 13. 4 14. 1 15. 3 16. 3 17. 2 18. 3 19. 4 20. 2


35

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


36

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


37

เรอง ตอน ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


38

เรอง ตอน

การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

Documents

15 จำนวนจริง ตอนที่2_การแยกตัวประกอบ