19 จำนวนจริง ตอนที่6_เทคนิคการแก้อสมการ

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

จ านวนจรง (เนอหาตอนท 6)

เทคนคการแกอสมการ

โดย

ศาสตราจารย ดร.กฤษณะ เนยมมณ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง จ านวนจรง สอการสอน เรอง จ านวนจรง มจ านวนตอนทงหมดรวม 17 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง จ านวนจรง 2. เนอหาตอนท 1 สมบตของจ านวนจรง

- ระบบจ านวนจรง - สมบตพนฐานของระบบจ านวนจรง

3. เนอหาตอนท 2 การแยกตวประกอบ - การแยกตวประกอบ

4. เนอหาตอนท 3 ทฤษฎบทตวประกอบ - ทฤษฎบทเศษเหลอ - ทฤษฎบทตวประกอบ

5. เนอหาตอนท 4 สมการพหนาม - สมการพหนามดกรหนง - สมการพหนามดกรสอง - สมการพหนามดกรสง - การประยกตสมการพหนาม

6. เนอหาตอนท 5 อสมการ - เสนจ านวนและชวง - อสมการทเกยวของกบพหนามดกรหนง - อสมการทเกยวของกบพหนามดกรสง

7. เนอหาตอนท 6 เทคนคการแกอสมการ - อสมการในรปเศษสวน - การแกอสมการโดยวธการยกก าลงสอง - การแกอสมการโดยการแทนคาตวแปร - การประยกตโจทยการแกอสมการ

8. เนอหาตอนท 7 คาสมบรณ - คาสมบรณ - สมการคาสมบรณ


2

9. เนอหาตอนท 8 การแกอสมการคาสมบรณ - อสมการคาสมบรณ - โจทยประยกตอสมการคาสมบรณ

10. เนอหาตอนท 9 กราฟคาสมบรณ - กราฟคาสมบรณ

11. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 12. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 13. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 14. แบบฝกหด (ขนสง) 15. สอปฏสมพนธ เรอง ชวงบนเสนจ านวน 16. สอปฏสมพนธ เรอง สมการและอสมการพหนาม (ก าลงไมเกนส) 17. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟคาสมบรณ

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง จ านวนจรง นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


3

เรอง จ านวนจรง (อสมการ) หมวด เนอหา ตอนท 6 (6/9) หวขอยอย 1. อสมการในรปเศษสวน 2. การแกอสมการโดยวธการยกก าลงสอง 3. การแกอสมการโดยการแทนคาตวแปร 4. การประยกตโจทยการแกอสมการ จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. เขาใจขนตอนวธการหาค าตอบ และด าเนนการหาค าตอบของอสมการทอยในรปเศษสวน

2. เขาใจขนตอนวธการหาค าตอบ และด าเนนการหาค าตอบของอสมการ โดยเทคนคการยกก าลงสอง

3. เขาใจขนตอนวธการหาค าตอบ และด าเนนการหาค าตอบของอสมการโดยเทคนคการแทนคาตวแปร

4. เขาใจความเกยวของของอสมการกบปญหาในชวตประจ าวน และแกปญหานนได ผลการเรยนรทคาดหวง ผเรยนสามารถ

1. อธบายวธการแกและแกอสมการในรปเศษสวนได 2. อธบายวธการแกและแกอสมการโดยวธยกก าลงสองได 3. อธบายวธการแกและแกอสมการโดยวธการแทนคาตวแปรได 4. อธบายและยกตวการประยกตการแกอสมการในชวตประจ าวนได 5. น าความรเรองสมบตของจ านวนจรง และเงอนไข มาใชในการแกอสมการและ

ตรวจสอบค าตอบ ทงเงอนไขของตวสวน และจ านวนทอยในรปกรณฑทสอง


4

เนอหาในสอการสอน

เนอหาทงหมด


5

1. อสมการในรปเศษสวน


6

1.อสมการในรปเศษสวน

ในสอตอนทแลวเราจะไดศกษาการแกอสมการพนฐานไปแลว ในตอนนเราจะไดศกษาเทคนคการแก

อสมการเพมขน โดยเทคนคการแกอสมการทจะศกษาในสอตอนนคอการแกอสมการทอยในรปเศษสวน อสมการ

ทตองยกก าลงสอง และการแกอสมการโดยการแทนคาตวแปร

ผสอนอาจยกตวอยางตอไปนเพมเตม

ตวอยาง จงแกอสมการ 11

3

x

x

3x


7

3 1

3 3

+ + 0 0 0

วธท า จาก 11

3

x

x

น า 2

3x คณตลอด จะไดวา

2

2

1 3 3

3 1 3 0

3 3 1 0

3 4 0

3 0

3

x x x

x x x

x x x

x

x

x

ดงนนคา x ทสอดคลองกบอสมการ 11

3

x

x

คอ 3x #

ตวอยาง จงแกอสมการ 1 2

3 3

x x

x x

3x

วธท า 1 20

3 3

x x

x x

2 2

1 3 2 30

3 3

4 3 5 60

3 3

9 30

3 3

3 10

3 3

3 1 3 3 0

x x x x

x x

x x x x

x x

x

x x

x

x x

x x x

ดงนนคา x ทสอดคลองกบอสมการคอ 3x หรอ 1 33

x #


8

ตวอยาง จงแกอสมการ

2 30 4

4

x xx

x

วธท า ขอสงเกต 0x เนองจากเมอแทนคา 0x ลงในอสมการแลว อสมการไมเปนจรง เมอ 0x ดงนน 2 0x ท าใหเราสามารถน า 2x หารตลอดอสมการได อสมการใหมทไดคอ

30

4

3 4 0

4 3

x

x

x x

x

แต 0x ดงนนค าตอบของอสมการนโจทยก าหนดคอ 4 0x หรอ 0 3x #

จากตวอยางขางตน จะเหนไดวาการแกอสมการเปนเรองทตองมความระมดระวงเปนอยางยง


9

แบบฝกหดเพมเตม เรอง การแกอสมการในรปเศษสวน

จงแกอสมการตอไปน

1. 3 01

x

x

2. 1

43

x

x

3. 22

02

x

x

4. 2

02

x

x

5. 43 2

xx

x

6. 1 2

03

x x

x

7. 1 20

3

x x

x

8.

2 53

x

x

9. 24

5x

x

10.

2

42

3 4

x

x x

11.

11

2 3

x

x x

12. 1 1

2 4x x

13. 2

1 2

x

x x

14. 1 1

3 7

x

x x


10

2. การแกอสมการโดยวธการยกก าลงสอง


11

2 1 3

2. การแกอสมการโดยวธการยกก าลงสอง

ในหวขอน เราจะศกษาเทคนคการแกอสมการโดยวธยกก าลงสอง

ตวอยาง จงแกอสมการ 2 23 2 2 3x x x x วธท า เนองจาก 2 2 3 0x x และ 2 23 2 2 3x x x x

ดงนน 2 3 2 0x x นนคอ 2 1 0x x และ 3 1 0x x 2x หรอ 1x ..... 1 และ 1x หรอ 3x .......... 2


12

ดงนนคา x ทสอดคลองกบ 1 และ 2 คอ 2x หรอ 3x .......... 3

จาก 2 23 2 2 3x x x x และ 0 จะไดวา 2 23 2 2 3x x x x

5 5x 1x ........... 4

เนองจาก x ตองสอดคลองทง 3 และ 4 จงไดวา 3x #

ในบางครง โจทยอสมการมเครองหมาย อาจไมจ าเปนตองยกก าลงสองเสมอไป ดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง จงแกอสมการ 11 2

1x

x

วธท า ขอสงเกต พจารณาคา x ซง 1 0x เทานน ดงนน 1x

จาก 11 2

1x

x

น า 1x คณตลอด จะไดวา

2

1 1 2 1

1 2 1 1 0

1 1 0

x x

x x

x

เนองจาก 2

1 1x มคามากกวาหรอเทากบศนยเสมอ

ดงนนทกคา 1x x จะสอดคลองกบอสมการ 2

1 1 0x เสมอ

เพราะฉะนนคา x ทสอดคลองกบอสมการคอ 1x #


13

แบบฝกหดเพมเตม เรอง การแกอสมการโดยวธการยกก าลงสอง

1. 1 1x x 2. 2 2 1 1x x 3. 2 3 6x x 4. 1 1x x

5. 2 2 5x x 6. 12

2x

x

7. 2 3 2x x 8. 21x

x

9. 2 28 7 8 12x x x x 10. 2 2

1 1

1 1 2x x x


14

3. การแกอสมการโดยการแทนคาตวแปร


15

3. การแกอสมการโดยการแทนคาตวแปร

ในหวขอนเราจะศกษาเทคนคการแกอสมการโดยการแทนคาตวแปร

ตวอยาง จงแกอสมการ 2 55 2 2 3 1 2x x x

วธท า ให 1

51y x จากตวอยางทผานมาจะไดวา

2

2

2

2 0

2 1 0

1 2

y y

y y

y y

y

นนคอ 1

51 1 2x

1

51 1x และ 1

51 2x 1 1x และ 51 2x 2 x และ 31x

ดงนนคา x ทสอดคลองกบอสมการทโจทยก าหนดคอ 2,31 x #

ตวอยาง จงแกอสมการ 2

1 3 2 1 3 2 2x x x วธท า เพราะวา

2 221 3 2 1 4 4 2x x x x x ดงนน

2

1 3 2 1 3 2 2x x x


16

2

2 2 2 3 0x x ให 2y x จะไดวา

2 2 3 0

3 1 0

1 3

y y

y y

y

นนคอ 1 2 3x แต 2 0x เสมอ ดงนน

0 2 3

0 2 9

2 11 ..........(1)

x

x

x

แต 2 0x นนคอ 2x ..........(2) จาก 1 และ 2 จะไดวา 2 11x #


17

ตวอยาง จงแกอสมการ 2 22 9 2 2xx

วธท า 2 22 9 2 2

xx

2

4 2 9 2 2 0xx

ให 2xy ดงนน

24 9 2 0

4 1 2 0

12

4

y y

y y

y

นนคอ 12 2

4

x

2 12 2 2x 2 1x #

แบบฝกหดเพมเตม เรอง การแกอสมการโดยการแทนคาตวแปร

จงแกอสมการ

1. 42 5

2

x

x

2. 2 4 4 2 2x x x 3. 5 2 54 4 6 2x x x 4. 2 13 3 10 3x x

5. 2

3 4 4 5 2 x x x


18

4. การประยกตโจทยการแกอสมการ


19

4. การประยกตโจทยการแกอสมการ

แบบฝกหดเพมเตม เรอง การประยกตโจทยการแกอสมการ

1. ตองการเชญแขกมางานเลยง ไมนอยกวา 500 แตไมเกน 700 คน โดยจดเลยงโตะจน โตะละ 10 คน ตอง

จองโตะนอยทสดกชดถงสามารถมนใจไดวาแขกทกคนมทนง 2. สเหลยมผนผามดานยาว 20 เซนตเมตร และมพนทไมนอยกวา 400 ตารางเซนตเมตร แลวสเหลยมมความ

กวางนอยทสดกเซนตเมตร


20

สรปสาระส าคญประจ าตอน


21

สรปสาระส าคญประจ าตอน


22

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม


23

แบบฝกหดระคน

1. ถาเอกภพสมพทธคอ เซตของจ านวนจรง แลวเซตค าตอบของอสมการ 2 43 1

x x คอขอใด

1. 1[ ,0)

2 2. (0, )

3. 1

( , ] 0,2

4. ,3 2,

2. เซตค าตอบของอสมการ 12

2 x

คอเซตในขอใด

1. 1( , ]

3 2. 1

[ , 2)3

3. 1

( , ] 2,3

4. ขอ 1, 2 และ 3 ไมมขอใดถก

3. ให 5| 0A x x

x

และ 2| 2 10 5 27B x x x x พจารณาขอความตอไปน

ก. 0,A B ข. 7

( , ) 4,2

A B

ขอใดตอไปนถก 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด

4. ให เปนเซตของจ านวนจรง และถา 2 1| 0

xA x

x

และ 2| 2 5 3 0B x x x แลวขอใดตอไปนถก 1. ,A B 2. 3,0A B

3. A B 4. 1{ }

2A B


xx

x

คอขอใดตอไปน

1. 0,3 2. 0,3 3. 0, 4. ,0 1,


1

xx

x

เปนสบเซตของเซตใดตอไปน

1. , 2 2. 10, 1 3. 2,1 4. 1, 7. ถา A คอเซตค าตอบของอสมการ 3 5 7x x

B คอเซตค าตอบของอสมการ 1 1

2x


24

แลว A B เทากบชวงในขอใดตอไปน 1. 6,0 2. (2, ) 3. ,0 2, 4. 6,0 2,

8. ให A เปนเซตค าตอบของอสมการ 2 2 1

42

x

x

แลวขอใดตอไปนถกตอง

ก. 7( , )4

A ข. 5 137 5 137( , )

4 4A

1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด

9. ให 2 1 3| 2 2 2 0x xA x และ | 2 2 2 1B x x x

ขอใดถกตอง 1. A B 2. B A 3. A B 4. A B

10. ให A เปนเซตค าตอบของอสมการ 2 1

2 1x x

ขอใดตอไปนถก

1. A 2. 2,10A 3. 1,2 2,A 4. 2,A


25

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด


26

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม

เรอง การแกอสมการในรปเศษสวน

1. 1 3x 2. 113

3x

3. 2x หรอ 2 2x 4. 2x 5. 2x หรอ 0 1x 6. 3x หรอ 2 1x 7. 1 2x หรอ 3x 8. 0x

9. 5 275

2x

หรอ 5 27

2x

10. 1

2x หรอ 1x

11. 3x หรอ 2x 12. 4x หรอ 2x 13. 2 2x หรอ 1 2x 14. 7 4x หรอ 3 1x


เรอง การแกอสมการโดยวธยกก าลงสอง

1. 1 2x 2. 2 0x 3. 4x 4. 0x 5. ไมมคา x ทสอดคลองอสมการ 6. 2 1x 7. ไมมคา x ทสอดคลองอสมการ 8. 0 1x 9. 1x หรอ 7x 10. ไมมคา x ทสอดคลองอสมการ


เรอง การแกอสมการโดยการแทนคาตวแปร

1. 0x หรอ 2x 2. 3x 3. 241 34x 4. 1 1x 5. 5 9x


27


เรอง การประยกตโจทยการแกอสมการ

1. อยางมาก 70 ชด 2. อยางนอย 20 ซ.ม.

เฉลยแบบฝกหดระคน

1. 3 2. 4 3. 4 4. 1 5. 3 6. 3 7. 4 8. 2 9. 1 10. 4


28

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


29

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


30


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


31


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

Documents

19 จำนวนจริง ตอนที่6_เทคนิคการแก้อสมการ