спектральный анализ электрических сигналов в лабораторном практикуме курса общей физики

91Спектральный анализ электрических сигналовв лабораторном практикуме курса общей физики

УДК 53.07

Спектральный анализ электрических сигналовв лабораторном практикуме курса общей физики

Анатолий Деомидович Гладун, Юрий Владимирович Маношкин,Алексей Андреевич Теврюков, Владимир Владимирович Усков,Юрий Вячеславович Юрьев

Московский физико!технический институт (Государственный университет)141700 Долгопрудный Моск. обл., Институтский пер., 9; e!mail: [email protected](А.Д. Гладун), [email protected] (Ю.В. Юрьев)

Описывается лабораторная установка для изучения спектров периодическихэлектрических сигналов. Проводится рассмотрение спектров нескольких типовэлектрических сигналов: периодической последовательности прямоугольныхимпульсов и цугов, а также амплитудно!модулированного и частотно!модулированногогармонического колебания.Ключевые слова: спектральный анализ, ряд Фурье, амплитудная модуляция, частотнаямодуляция.

Введение

В курсе общей физики важное место занимают вопросы спектрального

анализа. Лабораторная работа по этой теме может быть поставлена с использованием

современных физических приборов. Представим периодический сигнал в виде ряда

Фурье. Если периодическая функция f(t) имеет период T, то:

0

1( ) cos( )

2 n nn

af t A n t ϕ∞

=

= + Ω −∑ , (1)

Ω = 2π/T, 2 2n n nA a b= + , ϕ

n = arctg(b

n/a

n), (2)

0

2 ( )cos( )T

na f t n t dtT

= Ω∫ , 0

2 ( )sin( )T

nb f t n t dtT

= Ω∫ . (3)

Для четных функций f(t) все bn = 0, и A

n = |a

n|. Для нечетных функций f(t) все a

n = 0

и An = |b

n|.

Экспериментальная установка

Схема установки приведена на рис. 1.

Функциональный генератор WaveStation 2012 позволяет сформировать два

различных электрических сигнала, которые выводятся на два независимых канала –

«CH1» и «CH2». Сигнал с канала «CH1» подается на вход «А», а сигнал с канала «CH2»

Физическое образование в вузах. Т. 21, 3, 2015

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

92 А.Д. Гладун, Ю.В. Маношкин, А.А. Теврюков, В.В. Усков, Ю.В. Юрьев

– на вход «В» USB!осциллографа АКИП!4107. Затем эти сигналы подаются на вход

компьютера через USB!соединение. USB!осциллограф может работать как в режиме

осциллографа, так и в режиме спектроанализатора. Сигналы и их спектры выводятся

на экран компьютера, на котором установлена программа PicoScope 6, входящая в

комплект USB!осциллографа. При работе USB!осциллографа в режиме осциллографа,

на экране компьютера можно наблюдать каждый из сигналов в отдельности, а также их

произведение. В режиме спектроанализатора можно наблюдать спектры этих сигналов.

Следует отметить, что для теоретического описания периодических сигналов удобно

пользоваться круговыми частотами ω и Ω, а на практике – линейными частотами 2

f ωπ

=и

2F

πΩ

= .

Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Рассмотрим периодическую последовательность прямоугольных импульсов с

амплитудой V0, длительностью τ и периодом повторения T. Если выбрать начало отсчета

времени t так, чтобы функция f(t) была симметричной, то из формул (2), (3) получаем:

2

0 02

2 sin( 2)cos( ) 22n

nA V n t dt VT T n

τ

τ

τ ττ−

Ω= Ω =

Ω∫ . (4)

На рис. 2 слева показана периодическая последовательность прямоугольных

импульсов, сформированная с помощью функционального генератора, которая

наблюдается на экране компьютера от USB!осциллографа. Частота повторения

импульсов 2

FπΩ

= = 1 кГц, длительность импульса τ = 100 мкс. На рис. 2 справа

показан спектр данного сигнала, наблюдаемый на экране компьютера, когда USB!

осциллограф работает в режиме спектроанализатора.

Из формулы (4) видно, что амплитуды гармоник An меняются по закону

An ~ sin( 2) sin( )

2n n F

n n Fτ π τ

τ π τΩ

=Ω

. Если определить ширину спектра ∆f как расстояние от

Рисунок 1.




100 мкс. С помощью компьютерной программы PicoScope 6 был получен сигнал, равный

произведению сигналов с каналов «CH1» и «CH2», и этот сигнал выводился на экран

компьютера. Данный сигнал и его спектр показаны на рис. 3.

Рисунок 3.

Сравнивая спектры на рисунках 2 и 3, можно видеть, что они аналогичны, но их

максимумы сдвинуты по частоте на величину 0f = 25 кГц (несущая частота). Меняя

длительность импульсов τ, частоту их повторения F и частоту несущей 0f , на экране

компьютера можно наблюдать, как изменяется спектр цугов.

Амплитудномодулированное колебание

Рассмотрим гармоническое колебание высокой частоты ω0, амплитуда которого

медленно меняется по гармоническому закону с частотой Ω (Ω << ω0):

[ ]0 0( ) 1 cos( ) cos( )f t A m t tω= + Ω , (6)

где m – глубина модуляции. При m < 1 амплитуда колебаний меняется от минимальной

Amin = A0(1 – m) до максимальной Amax = A0(1 + m). Таким образом, глубину модуляции

можно выразить через Amax и Amin:

max min

max min

A AmA A

−=

+. (7)

Амплитудно'модулированное колебание (6) можно представить в виде:

[ ] [ ]0 00 0 0 0( ) cos( ) cos ( ) cos ( )

2 2A m A mf t A t t tω ω ω= + +Ω + −Ω . (8)

Из (8) видно, что спектр амплитудно'модулированного колебания состоит из трех




Частотномодулированное колебание

При частотной модуляции мгновенная частота колебания равна:

0( ) sin( )mt tω ω ω= + ∆ ⋅ Ω , (9)

где ∆ωm

= 2π∆fm – амплитуда отклонения частоты (девиация частоты), Ω = 2πF –

модулирующая частота. Фаза частотномодулированного колебания:

00

( ) ( ) cos( )t

mt t dt t tωϕ ω ω ∆= = − Ω

Ω∫ . (10)

Величина m mfF

ωβ

∆ ∆= =

Ω называется индексом частотной модуляции. С учетом (10)

частотномодулированное колебание имеет вид:

[ ]0 0 0( ) cos ( ) cos cos( )f t A t A t tϕ ω β= = − Ω . (11)

Рассмотрим частный случай, когда β << 1. Из (11) имеем:

0 0 0 0( ) cos( ) cos[ cos( )] sin( ) sin[ cos( )]f t A t t A t tω β ω β= ⋅ Ω + ⋅ Ω ≅

≅ 0 0 0 0cos( ) sin( ) cos( )A t A t tω β ω+ ⋅ Ω ≅

≅ 0 00 0 0 0cos( ) cos ( ) cos ( )

2 2 2 2A AA t t tβ βπ πω ω ω + −Ω − + +Ω −

. (12)

Таким образом, спектр частотномодулированного колебания при β << 1 состоит из

колебания на основной (несущей) частоте с амплитудой A0 и двух боковых компонент

с частотами (ω0 ± Ω) и амплитудами A0β/2. Данный спектр отличается от спектра

амплитудномодулированного колебания (8) тем, что боковые компоненты спектра

сдвинуты по фазе на 90°. Из выражения (12) следует, что при β << 1 спектр частотно

модулированного колебания с большой точностью можно представить в виде трех

компонент. При увеличении β спектр частотномодулированного колебания становится

более сложным, и в общем случае надо учитывать, что он содержит кроме колебания с

частотой ω0 бесконечное число боковых частот (ω0 ± kΩ), где k = 1, 2, 3... Амплитуда

колебания на основной частоте равна A0J0(β), а на боковых частотах A0Jk(β), где Jk(β) –

функции Бесселя 1го рода. На практике ширину спектра можно считать ограниченной,

т.к. функции Jk(β) при k > β имеют малое значение. В предельном случае β >> 1, ширина

спектра примерно равна 2∆fm.

Частотномодулированное колебание можно сформировать с помощью функ

ционального генератора. На рис. 5 показаны спектры частотномодулированного коле

бания на экране компьютера, когда USBосциллограф работал в режиме спектроанали

затора. При этом частота несущей 00 2

f ωπ

= = 25 кГц, частота модуляции 2

FπΩ

= = 1 кГц.

Изображение на рис. 5 слева соответствует случаю девиации частоты ∆fm = 100 Гц (β =

0,1), а на рис. 5 справа – случаю ∆fm = 5 кГц (β = 5).


97Спектральный анализ электрических сигналовв лабораторном практикуме курса общей физики

Рисунок 5.

Видно, что при больших β спектр частотномодулированного колебания содержит

большое количество боковых частот. Из спектра частотномодулированного колебания

можно найти отношение амплитуды боковых компонент спектра A±1 на частоте (f0 ± F)

к амплитуде A0 на основной частоте f0. На рис. 6 построен график зависимости

отношения A±1/A0 от индекса модуляции mfF

β ∆= . На этом же графике проведена

предельная прямая, соответствующая случаю β << 1 (см. выражение (12)). Из данной

зависимости видно, что при β ≤ 0,8 экспериментальная зависимость отличается от

предельной прямой менее чем на 10%.

Рисунок 6.



Заключение

Данная лабораторная установка позволяет проводить наблюдение периодической

последовательности электрических сигналов, а также наблюдать и проводить анализ

их спектрального состава. Основным преимуществом данной лабораторной установки

является использование USB!осциллографа АКИП!4107, который в режиме

осциллографа позволяет наблюдать временные зависимости электрических сигналов,

а в режиме спектроанализатора наблюдать и изучать их спектры.

Литература

1. Лабораторный практикум по общей физике, т. 2. Электричество и магнетизм. Под ред.

А.Д. Гладуна. – М.: Москва, 2007.

2. Харкевич А.А. Спектры и анализ. – М.: Издательская группа УРСС, 2009.

Spectral Analysis of Electrical Signalsin the General Physics Laboratory Practicum

A.D. Gladun, Yu.V. Manoshkin, A.A. Tevrukov, V.V. Uskov, Yu.V. Yuriev

Moscow Institute of Physics and Technology

141700 Dolgoprudny, Moscow Region, Institutskaya str., 9, [email protected]

Received June 9, 2015 PACS 07.05.Wr

The laboratory equipment for the spectra of periodic electrical signals study is described.

The spectrum of several electric signal types is consider. The periodic sequence of rectangular

pulses and trains (as well as amplitude!modulated and frequency!modulated harmonic

oscillations) is studied.

Keywords: spectral analysis, Fourier series, amplitude modulation, frequency

modulation.

References [in Russian]

1. Laboratory workshop on general physics, vol. 2. Electricity and magnetism. Edited by A.D.

Gladun. – M.: Moscow, 2007.

2. Kharkevich A.A. Spectra and analysis. – M.: Editorial URSS, 2009.


Internet

спектральный анализ электрических сигналов в лабораторном практикуме курса общей физики