Конспекти уроків по темі "Раціональні вирази "(22 уроки)

ВІДДІЛ ОСВІТИ СИХІВСЬКОГО РАЙОНУ М. ЛЬВОВА

ПЛАНИ – КОНСПЕКТИ УРОКІВ

АЛГЕБРА 8 КЛАС

Підготуваливчитель математики СЗШ № 1 м.ЛьвоваЛЕВ АЛЛА ЯРОСЛАВІВНАвчитель математики СЗШ № 90 м.ЛьвоваСКАБАРА ТЕТЯНА

ВОЛОДИМИРІВНАЛЬВІВ – 2012

СЗШ № 1, 90 м.Львова Лев А.Я., Скабара Т.В.

Розробка написана за всіма нормами (методика, критерії оцінювання, результативність), з

дотриманням дидактичних принципів. Новизна і оригінальність розробки полягає в тому, що

показані нестандартні прийоми подачі теоретичного матеріалу, підходи в розв’язку задач. Даються

рекомендації щодо проведення кожного уроку. При цьому розглядаються всі основні етапи уроку:

підготовка класу до вивчення нового матеріалу, вивчення нового, закріплення, розв’язування

задач та завдання додому.

Робота містить проблемно-пошукові задачі, використовується цікава методика викладання

теми, різноманітні форми контролю.

Дана робота цікава і корисна для широкого кола вчителів математики: як для вчителів-

початківців, так і для досвідчених вчителів, і може бути використана вчителями математики при

підготовці уроків.

2


Урок № 1

Тема: Поняття раціонального виразу. Допустимі значення змінної.Мета: ввести поняття раціонального виразу, цілого та дробового виразу, формувати в учнів

вміння знаходити допустимі значення змінних у дробових виразах.

ХІД УРОКУ

І. Актуалізація опорних знань.

які вирази називаються цілими?

навести приклади цілих виразів;

навести приклади многочленів;

чи можна будь-який цілий вираз записати у вигляді многочлена?

навести приклад виразу, який відрізняється від цілого (вираз, який містить дію

ділення на вираз зі змінною.

ІІ. Вивчення нового матеріалу.

1. Цілі вирази, які вивчали у сьомому класі – це вирази, що містять дії додавання,

віднімання, множення, піднесення до степеня, а також ділення на число, відмінне від нуля.

2. Дробові вирази – це вирази, які містять дію ділення на вираз зі змінною.

Цілі і дробові вирази називаються раціональними виразами.

3. Частку від ділення двох виразів і можна записати у вигляді дробу , де –

чисельник, – знаменник, а риска дробу означає дію ділення, наприклад є дріб

.

4. Розглянемо дробовий вираз .

Якщо , то знаменник дорівнює нулю, а на нуль ділити не можна. Отже, при

вираз не має змісту. При інших значеннях змінної даний вираз має зміст.

Значення змінної, при яких вираз має зміст, називають допустимими значеннями змінної.

3

РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

ЦІЛІ ДРОБОВІ

; ;


Отже, вираз має зміст, якщо , не має змісту, якщо .

ІІІ Закріплення нового матеріалу.

Усні вправи.

1. Які вирази є цілими виразами? дробовими?

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

2. Для яких значень змінної вираз не має змісту?

а) ; б) ; в) .

3. Назвіть допустимі значення змінної у виразі:

а) ; б) ; в) .

4. Знайти значення виразу при

.

ІV. Розв’язування вправ.

Завдання 1. Заповніть таблицю.

-2 -1 0 1 1,5 2

Завдання 2. Вкажіть допустимі значення змінної у виразі:

а) ; б) ; в) ; г) .

Завдання 3. Автомобіль проїхав 195 км за год. Запишіть у вигляді виразу швидкість автомобіля.

Знайдіть значення цього виразу, якщо .

Завдання 4. Для яких значень змінної вираз не має змісту?

а) ; б) ; в)

Завдання 5. Знайдіть значення виразу:

, якщо ; ; .

V. Підведення підсумків уроку.

Учитель ще раз виділяє найголовніше, звертає увагу учнів на нові поняття, властивості

дробу, відповідає на запитання учнів.

VІ. Домашнє завдання.

Додаткове завдання. Знайдіть допустимі значення змінної у виразі:

4


а) б) ; в) .

Урок № 2

Тема: Тотожно рівні вирази. ТотожностіМета: визначити поняття тотожно рівних виразів, тотожності, усвідомлення тотожного

перетворення виразу.

ХІД УРОКУ

І. Перевірка домашнього завдання.

Математичний диктант

І варіант ІІ варіант

1) При яких значеннях змінної не має змісту вираз

? ?

2) Вкажіть допустимі значення змінної:

а) ; а) ;

б) ; б) ;

в) . в) .

3) При яких значеннях змінної дріб дорівнює нулю

а) ; а) ;

б) . б) .

ІІ. Усне опитування.

які вирази називаються цілими, дробовими?

чи будь-який цілий вираз можна назвати раціональним?

чи будь-який раціональний вираз можна назвати цілим, дробовим?

навести приклад цілого, дробового, раціонального виразу.

ІІІ Вивчення нового матеріалу.

Два вирази називаються тотожно рівними, якщо для будь-яких допустимих для них

значень змінної їхні відповідні значення дорівнюють одне одному.

Наприклад: 1. Вирази і будуть тотожно рівними, тому що з розподільної

властивості множення відносно додавання випливає, що за всіх значень змінних відповідні

значення даних виразів дорівнюють одне одному.

5


2. Вирази і будуть тотожно рівними, бо використавши переставну і сполучну

властивості множення до першого виразу, маємо , тобто отримали другий вираз, а

це означає, що за всіх значень змінних відповідні значення даних виразів дорівнюють одне

одному, тобто вирази тотожно рівні.

Яку рівність називають тотожністю?

Рівність, яка є правильною для всіх допустимих значень змінних, що входять до неї,

називають тотожністю.

Приклади тотожностей.

; .

Що називають тотожним перетворенням виразу?

Заміну одного виразу тотожно рівним йому виразом називають тотожним

перетворенням виразу.


Завдання 1. Спростити вираз (виконати тотожне перетворення виразу).

а) .

б) .

Завдання 2. Підкреслити тотожності:

а) ; б) ; в) ; г) .

Завдання 3. Доведіть, що вирази:

а) і ; б) і ; в) і

тотожно рівні.

Завдання 4. Знайти значення виразу , якщо: а) ; б) ; в) .


Учитель звертає увагу учнів на головне: що таке алгебраїчний дріб, допустимі значення

змінних у дробових виразах, умова, за якою дріб дорівнює нулю, та тотожне перетворення виразів.

Відповідає на запитання учнів.


Додаткове завдання. Знайдіть значення виразу:

, якщо .

6


Урок № 3

Тема: Основна властивість дробуМета: вести поняття основної властивості дробу. Формувати вміння скорочувати дроби.

Повторити розкладання многочлена на множники, формули скороченого множення.

ХІД УРОКУ


Завдання на картках

Картка № 1

1. Знайти значення виразу

, якщо , .

2. При яких значеннях змінної вираз має зміст

а) ; б) ; в) .

3. При якому значенні змінної значення даного

дробу дорівнює нулю:

а) ; б) .

Картка № 2


, якщо .


а) ; б) ; в) .



а) ; б) .

Картка № 3


, якщо , .


а) ; б) ; в) .



а) ; б) .

Картка № 4


, якщо .


а) ; б) ; в) .



а) ; б) .

ІІ. Актуалізація опорних знань.

1. Скоротити дроби:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Розкласти на множники:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ;е) .

Приклади розв’язуються на дошці. Учні коментують хід розв’язування.7


ІІІ Вивчення нового матеріалу.

1. Основна властивість дробу.

Питання до класу: в чому полягає основна властивість звичайних дробів?

Якщо , , – натуральні числа, то і .

Аналогічна властивість і для будь-яких дробів:

для будь яких значень , , , де , , справджується рівність або .

Ця рівність і виражає основну властивість дробу.

Ця властивість означає, що чисельник і знаменник дробу можна помножити на вираз, не

тотожно рівний нулю.

Наприклад: .

2. Скорочення дробів. Що означає “скоротити дріб”?

де , . Ділення чисельника та знаменника дробу на їхній спільний дільник,

відмінний від одиниці, називають скороченням дробу.

Увага! Якщо чисельник і знаменник дробу – многочлени, то перед скороченням їх потрібно

розкласти на множники.

Наприклад:

а) ;

б)

в) ;

г) ;

д) .

3. Зміна знаку перед членами дробу.

а) ; б) ; в)


Завдання 1. Скоротити дроби:

8


а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ;

є) ; ж) ; з) .

Завдання 2. Заповнити пропуски:

а) ; б) ; в) ; г) .

Завдання 3. Скоротити дріб:

1) ; 4) ; 7) ;

2) ; 5) ; 8) ;

3) ; 6) ; 9) ;

Завдання 4. Самостійна робота (учні розв’язують на закритій дошці).

9


І варіант

Скоротити дріб:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

є) ; ж) ;

з) ; і) .

ІІ варіант

Скоротити дріб:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

є) ; ж) ;

з) ; і) .

10


в чому полягає основна властивість дробу;

що означає “скоротити дріб ”?

як можна змінити знак перед членами дробу?

назвіть дроби тотожно рівні даним

а) ; б) ; в)

VІ. Домашнє завдання. Повторити формули скороченого множення

Урок № 4

Тема: Скорочення дробівМета: навчити учнів застосовувати основну властивість дробу до скорочення дробів, виконувати

тотожні перетворення дробів.

ХІД УРОКУ


Самостійно учні виконують завдання, а результати обговорюються і аналізують помилки.

1. Зведіть дріб до знаменника .

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Обчислити значення дробу

а) , якщо , ;

б) , якщо .

3. Скоротити дріб:

а) ; б) ; в) ; г) .


Сформулювати основну властивість дробу;

навести приклади її застосування;

що таке “скоротити дріб”?

сформулювати правило скорочення дробу;

навести приклади;

як можна змінити знак перед членами дробу, щоб він не змінився; щоб отримати

протилежний дріб?

ІІІ. Розв’язування вправ.



а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Завдання 2. Заповнити пропуски:

а) ; б) ; в) ; г) .

Завдання 3. Обчислити значення дробу

а) , якщо , ;

б) , якщо , .

Завдання 4.Скоротити дріб:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ;

16) ; 17) ; 18) ;

19) ; 20) ; 21) .

ІV. Підведення підсумків уроку.

Учитель відповідає на запитання учнів, підкреслює головне: основну властивість дробу,

правило скорочення дробу, зміну знаку перед членами дробу, заміна дробу тотожно рівним.

V. Домашнє завдання.

Додаткове завдання.


а) , якщо ; б) , якщо .

2. Побудувати графік функції заданої формулою:

3


Урок № 5

Тема: Розв’язування вправМета: формувати вміння та навички скорочувати дроби, виконувати тотожні перетворення

виразів, зводити дроби до нового знаменника.

ХІД УРОКУ




1) Напишіть дріб тотожно рівний дробу

зі знаменником . зі знаменником .

2) Скоротити дроби:

а) ; а) ;

б) ; б) ;

в) . в) .

3) Зведіть дріб

до знаменника до знаменника

Усна перевірка з обговореннями і коментарями помилок.

ІІ. Розв’язування вправ.


1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .


1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) .

4


Завдання 4. Знайдіть значення виразу:

а) , якщо ;

б) , якщо ;

в) , якщо , .

Завдання 3. Зведіть дріб:

а) до знаменника ; б) до знаменника ;

в) до знаменника ; г) до знаменника .


Учитель відповідає на запитання учнів, виділяє головне: зведення дробу до нового

знаменника, розкладання чисельника і знаменника на множники, скорочення дробу, заміна дробу

тотожно рівним.




.

2. Побудувати графік функції заданої формулою:

Урок № 6

Тема: Розв’язування вправ. Самостійна роботаМета: навчити учнів застосовувати основну властивість дробу до скорочення дробів. Перевірити

їхні знання й уміння за допомогою самостійної роботи

ХІД УРОКУ


Учні розв’язують на дошці вправи, аналогічні домашньому завданню і коментують їх.


1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

5



Яким вимогам відповідає спільний (новий знаменник)?

o Спільний знаменник ділиться без остачі на знаменник кожного дробу.

Яку властивість дробу використали при зведенні дробу до нового знаменника?

У чому полягає метод групування при розкладанні многочлена на множники?

Що означає термін “допустимі значення змінної”?

Які вирази називають тотожно рівними?

ІІІ. Самостійна робота.


1) При яких значеннях змінної не має змісту вираз

а) ; б) ; в)* ? а) ; б) ; в)* ?

2) Скоротити дріб:

а) ; б) ; в) ; а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; г) ; д) ;

е)* . е)* .

3) Знайти значення виразу:

а) , якщо ; ;

б)*

а) , якщо ; ;

б)*

4*. Звести дроби до спільного знаменника:

; ; ; ;



знаменника, розкладання чисельника і знаменника на множники, скорочення дробу, поняття

тотожності.




.

6


2. Знайти значення виразу:

, якщо , ; .

Урок № 7

Тема: Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками.Мета: формувати уміння додавати і віднімати дроби з однаковими знаменниками.

ХІД УРОКУ

І. Аналіз самостійної роботи.

1. Повідомлення статистичних даних.

2. Поелементний аналіз:

1) Скорочення дробів. Проаналізувати, як учні виконали:

скорочення на числовий множник;

винесення спільного множника за дужки;

скорочення дробу на одночлен;

скорочення дробу на многочлен;

різниця і сума кубів;

зміна знаку у членів дробу;

2) Допустимі значення змінної:

розв’язування рівнянь вигляду , .

запис значень змінної, при якій дріб має зміст.

3) Поняття тотожності:

тотожно рівні вирази;

ділення одночленів;

множення одночленів.

ІІ. Актуалізація .опорних знань.

Питання до класу: як додаються, віднімаються звичайні дроби з однаковими

знаменниками?

Учні усно розв’язують вправи:

а) ; б) ; в) ; г) .

ІІІ. Вивчення нового матеріалу.

1. Дроби з однаковими знаменниками додаються і віднімаються так само, як і звичайні

дроби.

2. Запис у зошитах учнів:

7


; .

3. Учні самостійно формулюють правила додавання і віднімання дробів з однаковими

знаменниками.

4. Звернути увагу на можливість запису дробу у вигляді суми або різниці дробу.

; .


Завдання 1. (усні вправи, попередньо записані на дошці):

1) ; 2) ; 3) ; 4)

5) ; 6) ; 6) ; 7) .

Завдання 2. Подати у вигляді дробу і спростіть:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ; 16) .

Завдання 3. Спростити вираз:

а) ; б) ; в) .

Завдання 4. Подати у вигляді дробу, спростити і обчислити:

а) , якщо , .

б) , якщо , .


Учитель ще раз звертає увагу учнів на виконання дій додавання та віднімання алгебраїчних

дробів з однаковими знаменниками; спрощення чисельника і всього дробу.


8


Урок № 8

Тема: Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками.Мета: формування уміння додавати та віднімати дроби з різними знаменниками. Скласти

алгоритм додавання і віднімання дробів.

ХІД УРОКУ


Завдання на картках.

№ 1. Подати у вигляді дробу, спростити і обчислити:

а) , якщо ;

б) , якщо , .


а) , якщо ;

б) , якщо , .


а) , якщо ;

б) , якщо , .


а) , якщо ;

б) , якщо , .


1. Нагадати правило додавання і віднімання дробів з різними знаменниками та пропоную

розв’язати приклади

; ; ;

2. Як звести дроби до найпростішого спільного знаменника?

Щоб звести дроби до найпростішого спільного знаменника, потрібно:

знайти найпростіший спільний знаменник даних дробів;

9


знайти для кожного дробу додатковий множник. Для цього потрібно спільний

знаменник поділити на знаменники даних дробів;

помножити чисельник кожного дробу на його додатковий множник;

записати дроби із знайденими чисельниками та спільним знаменником.

Увага! Якщо знаменники дробів – многочлени, то для знаходження спільного знаменника

знаменник кожного дробу доцільно розкласти на множники.

3. Алгоритм додавання алгебраїчних дробів з різними знаменниками, складений разом з

учнями:

4. Приклад (пояснення вчителя)

1) Виконайте дії: .

1 к р о к: знаходимо спільний знаменник ;

2 к р о к: визначимо додаткові множники

до першого дробу:

до другого дробу:

3 к р о к: .

1) Виконайте дії: .

1 к р о к:

розкладемо знаменники на множники: ;

визначимо спільний знаменник: .

2 к р о к: визначимо додаткові множники

до першого дробу: ;

до другого дробу: .

3 к р о к:

.


10

знайти спільний знаменник дробів;

звести дроби до спільного знаменника;

додати або відняти одержані дроби;

спростити дріб, якщо це можливо.


Завдання 1. Звести дроби до спільного знаменника:

1) і ; 2) і .

Завдання 2. Виконати додавання і віднімання дробів:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ; 16) .

Завдання 3. Подати у вигляді дробу, спростити і обчислити:

а) , якщо , .

б) , якщо ,


Учитель ще раз звертає увагу учнів на виконання дій додавання та віднімання алгебраїчних

дробів з однаковими знаменниками; спрощення чисельника і всього дробу.


Урок № 9

Тема: Розв’язування вправ. Самостійна роботаМета: навчити учнів виконувати дії додавання і віднімання над алгебраїчними дробами.

Перевірити їхні знання й уміння за допомогою самостійної роботи

ХІД УРОКУ



Завдання 1.Спростити вираз:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .


Звернути увагу учнів на:

11


правила додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками;

спрощення чисельника одержаного дробу;

знаходження спільного знаменника і додаткових множників;

розкладання многочлена на множники;

ділення степенів.



1) Виконай додавання (віднімання) дробів:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

2) Подати вираз у вигляді дробу:

1) ;

2) .

1) ;

2) .

3) Спростити вираз:

1) . 1) .

4*. Спростити вираз:

1) .


12



знаменника, розкладання чисельника і знаменника на множники, скорочення дробу, поняття

тотожності.



1. Обчислити найраціональнішим способом

.

Урок № 10

Тема: Узагальнення і систематизація знань учнів.Мета: Корекція знань учнів з урахуванням результатів самостійної роботи. Підготовка до

тематичної контрольної роботи.

ХІД УРОКУ



додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками;

додавання і віднімання дробів з різними знаменниками;

знаходження спільного знаменника і додаткових множників;

розкладання многочлена на множники;

ділення степенів.

ІІІ. Розв’язування вправ на дошці.

Завдання 1. При яких значеннях змінної має смисл вираз:

а) ; б) .


1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

Завдання 3. Подати у вигляді дробу вираз:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

Завдання 4. Виконати дії:

13


1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) .

Завдання 5. Знайти значення виразу:

, якщо .

Завдання 6. Довести тотожність:

.

Завдання 7. Довести, що при будь-яких допустимих значеннях змінної значення виразу

є додатним числом.

З метою надання допомоги слабо встигаючим учням при засвоєнні знань, можна

запропонувати їм систему питань:

1. Які вирази називаються цілими виразами?

2. Які вирази називаються дробовими?

3. Який дріб називається раціональним?

4. Які значення змінних називають допустимими значеннями змінних у виразі?

5. Сформулюйте основну властивість дробу.

6. Що називають скороченням дробу?

7. Сформулюйте правила зміни знака перед дробом.

8. Як додати (відняти) дроби з однаковими знаменниками?

9. Як звести дроби до найпростішого спільного знаменника?

10. Як додати (відняти) дроби з різними знаменниками?11.


Учитель відповідає на запитання учнів, а також аналізує успіхи учнів на уроці.



1. Відомо, що . Знайти значення виразу:

1) ; 2) .

2. Довести тотожність:

14


.

Урок №11

Тема: Тематична контрольна робота № 1: “Раціональні вирази. Додавання і

віднімання дробів”Мета: За допомогою контрольної роботи перевірити, як засвоєнні поняття: дроби, допустимі

значення дробу, основна властивість дробу і додавання і віднімання дробів.

ХІД УРОКУ

Тематична контрольна робота

І варіант

І рівень

Виберіть правильний варіант відповіді.

1) Значення виразу дорівнює:

а) ; б) ; в) ; г) .

2) Результатом скорочення дробу є вираз:

а) ; б) ; в) ; г) .

3) Різниця дробів дорівнює:

а) ; б) ; в) ; г) .

( 3 бали)

ІІ рівень

4) Скоротити дроби: а) ; б) .

5) Додати дроби: .


( 3 бали)

ІІІ рівень

7) При яких значеннях змінної вираз не має змісту: .

15


8) Спростити вираз: .

9) Виконати дії:

( 3 бали)

ІV рівень


а) ; б) .

11) Доведіть, що при будь-яких допустимих значеннях змінної значення виразу

є від’ємним числом.

( 3 бали)

ІІ варіант

І рівень



а) ; б) ; в) ; г) .


а) ; б) ; в) ; г) .

3) Сума дробів дорівнює:

а) ; б) ; в) ; г) .

( 3 бали)

ІІ рівень




( 3 бали)16


ІІІ рівень




( 3 бали)

ІV рівень


а) ; б) .

11) Доведіть, що при будь-яких допустимих значеннях змінної значення виразу

є додатним числом.

( 3 бали)

ІІІ варіант

І рівень



а) ; б) ; в) ; г) .


а) ; б) ; в) ; г) .

3) Різниця дробів дорівнює:

а) ; б) ; в) ; г) .

( 3 бали)

ІІ рівень




17


( 3 бали)

ІІІ рівень




( 3 бали)

ІV рівень


а) ; б) .

11) Доведіть тотожність .

( 3 бали)

І V варіант

І рівень



а) ; б) ; в) ; г) .


а) ; б) ; в) ; г) .

3) Сума дробів дорівнює:

а) ; б) ; в) ; г) .

( 3 бали)

ІІ рівень


18




( 3 бали)

ІІІ рівень




( 3 бали)

ІV рівень


а) ; б) .

11) Доведіть тотожність .

( 3 бали)

Урок № 12

Тема: Множення дробів. Піднесення дробу до степеня.Мета: Сформувати і довести правила множення дробів та піднесення дробу до степеня.

ХІД УРОКУ

І. Аналіз контрольної роботи.

1. Статистичні дані на основі по елементного аналізу контрольної роботи.

2. Учні, які виконали роботу без помилок, одержують індивідуальне завдання (завдання

високого рівня складності з інших варіантів). Завдання перевіряє і оцінює вчитель.

3. Учитель роз’яснює помилки, які були допущені у контрольній роботі, і пропонує учням

розв’язати аналогічні вправи з інших варіантів.


1. Учитель нагадує учням правило множення звичайних дробів, наводить приклади:

; .

2. Зауважимо, що за тим самим правилом множимо будь-які дроби.

19


, де , .

Усні вправи:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

3. Учитель наводить правило піднесення дробу до степеня:

.

Щоб піднести дріб до степеня, потрібно піднести до цього степеня чисельник

та знаменник і перший результат записати, а другий – знаменником дробу

Усні вправи:

а) ; б) ; в)


Завдання 1. Виконайте множення:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) .

Завдання 2. Піднесіть до степеня:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .


1) ; 2) ; 3) ;

4) ;5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) .

Завдання 4. Виконайте множення (розв’язування приклада на дошці і в зошиті учнів з деякими

коментарями):

.

20


перемножимо чисельники дробів, цей вираз записуємо у

чисельник дробу;

перемножимо знаменники дробів, цей вираз записуємо у

знаменник дробу:

розкладаємо на множники і скорочуємо чисельник і знаменник на спільні

множники:

.


Учитель відповідає на запитання учнів, виділяє головне: правило множення дробів, правило

множення цілого виразу та дробу, правило піднесення до степеня.


Урок № 13

Тема: Множення дробів. Піднесення дробу до степеня.Мета: формувати в учнів вміння та навички знаходити добуток двох дробів, підносити дріб до

степеня.

ХІД УРОКУ


Два учні на дошці розв’язують завдання аналогічні домашньому завданню:

І учень

1) ; 2) .

ІІ учень

1) ; 2) .

Усне опитування:

сформулюйте правило множення дробів, наведіть власні приклади;

сформулюйте правило піднесення дробу до степеня, наведіть власні приклади.

ІІ. Розв’язування вправ.


1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

21


6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) .

Завдання 2. Піднесіть до степеня:

1) ; 2) ; 3) .


1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

Завдання 4. Знайти числове значення виразу:

1) , якщо ;

2) , якщо .

ІІІ. Підведення підсумків уроку.

Учитель відповідає на запитання учнів, і ще раз виділяє головне: правило множення дробів,

правило множення цілого виразу та дробу, правило піднесення до степеня.

ІV. Домашнє завдання.

Додаткове завдання

Спростити вираз:

1) ;

2) .

Урок № 14

Тема: Ділення дробів.

22


Мета: формувати поняття оберненого дробу. Сформулювати правило ділення дробів. Формувати

вміння ділити дроби.

ХІД УРОКУ


Письмове завдання перевіряється з коментарями.

1) ; 2) ; 6) .

назвати чисельник дробу;

назвати знаменник дробу;

вказати, на який вираз скорочено добуток;

отримані від скорочення результати:

а) ; б) ; в) .


1. Які дроби називаються оберненими?

2. Назвати обернені доданих дробів:

; ; ; ; .

3. Як поділити звичайні дроби?

4. Приклад: .

5. Як записати цілий вираз у вигляді дробу?


Щоб поділити один дріб на другий, треба перший дріб помножити на дріб обернений

до другого.

, де , , .

Приклади. (розв’язування на дошці з коментарями).

Виконайте ділення:

1) ;

2) ;

3) ;

23


4) ;

5) .


Завдання 1. Виконайте ділення:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) .

Завдання 4. Спростити і знайти числове значення виразу:

1) , якщо ;

2) , якщо .


Учитель відповідає на запитання учнів, і виділяє головне: поняття дробу, оберненого

даному; правило ділення дробів



Довести тотожність:

.

24


Урок № 15

Тема: Ділення дробів. Мета: Формувати вміння та навички ділення дробів.

ХІД УРОКУ




Виконайте ділення:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) .


як помножити два дроби?

як піднести дріб до степеня?

який дріб називається оберненим до даного?

як поділити дроби?


Завдання 1. Виконайте ділення:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

Завдання 2. Спростити і знайти числове значення виразу:

1) , якщо ;

2) , якщо .


1) ; 2) ;

3) ; 4) .

25


Завдання 4. Доведіть тотожність:

1) ;

2) .


Учитель підкреслює, чого учні навчилися на уроці, відповідає на їхні запитання, ще раз

звертає увагу на піднесення дробу до степеня, виконання дій над алгебраїчними дробами.



Доведіть, що вираз набуває лише додатних значень.

Урок № 16

Тема: Розв’язування вправ. Самостійна роботаМета: навчити учнів виконувати дії множення, піднесення до степеня та ділення над

алгебраїчними дробами. Перевірити їхні знання й уміння за допомогою самостійної

роботи

ХІД УРОКУ



Завдання 1.Спростити вираз:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .


Сформулюйте правило множення дробів.

Сформулюйте правило піднесення дробу до степеня.

Сформулюйте правило ділення дробів.



1) Виконайте множення:

1) ; 1) ;

26


2) ;

3) ;

4) ;

5) .

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

2) Представити вираз у вигляді дробу:

1) ;

2) ;

3) .

1) ;

2) ;

3) .

3) Виконати ділення:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

4. Дано . Знайти значення виразу

.

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

4. Дано . Знайти значення виразу

.

5. Спростити вираз:

. .


Учитель відповідає на запитання учнів.



1. Довести, що при всіх значеннях , , , ( – натуральне число) рівність є тотожністю

27


.

Урок № 17

Тема: Тотожні перетворення раціональних виразів.Мета: формувати уміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів з алгебраїчними

дробами.

ХІД УРОКУ


1. Повідомлення статистичних даних.

2. Аналіз помилок, допущених на самостійній роботі.

3. Для учнів, які повністю впоралися з виконанням завдань самостійної роботи, можна підготувати

індивідуальні завдання

Завдання 1. Доведіть, що для будь-яких значення виразу є парним

числом.

Завдання 2. Знайдіть такі значення і , при яких виконується тотожність

.


1. Означення раціонального виразу. Приклади.

2. Перетворення раціональних виразів. Приклади.

3. Що треба знати, щоб навчитися перетворювати раціональні вирази:

формули скороченого множення;

властивості степеня з цілим показником;

основну властивість дробу;

правила додавання, віднімання, множення, ділення дробів, піднесення до степеня;

порядок дій.

ІІІ. Розв’язування вправ на дошці під керівництвом учителя.


.

змінити знак перед другим дробом;

розкласти знаменники на множники;

знайти спільний знаменник;

28


визначити додаткові множники для першого і другого дробів;

виконати дії.

1) ;

2) ;

3) .



1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .


Питання учням:

За допомогою яких правил, властивостей можна виконати тотожні перетворення?

Учитель коментує навчальні досягнення учнів.


Спростити вираз

.

Подайте у вигляді раціонального дробу:

Урок № 18

29


Тема: Раціональні рівняння.Мета: формувати уміння розв’язувати раціональні рівняння.

ХІД УРОКУ


Два учні біля дошки розв’язують завдання , аналогічні домашньому, з коментуванням:

Спростити вираз:

1) ;

2) .


Що називається рівнянням?

Дайте означення кореня рівняння.

Як визначити чи є число коренем рівняння ?

Що означає розв’язати рівняння?

Яке рівняння має безліч розв’язків, не має коренів?

Які рівняння називаються рівносильними?

Навести приклади рівносильних рівнянь.

Яке рівняння називається лінійним?

Скільки коренів має рівняння :

а) ; б) ; в) ; г) .


4. Означення. Раціональним називається рівняння, в якому ліва і права частини є

раціональними виразами.

Раціональні рівняння поділяються на цілі і дробові.

Приклади:

Цілі раціональні

рівняння

Дробові раціональні

рівняння

30


5. Розглянемо рівняння . Вирази мають зміст, якщо ,

Значення змінної, за яких мають зміст вирази в обох частинах рівняння утворюють область

допустимих значень (ОДЗ) рівняння.

6. Основні властивості рівняння.

Властивість 1. Якщо в деякій частині рівняння виконати тотожне перетворення, яке не

змінює ОДЗ, то одержимо рівняння, рівносильне даному.

Властивість 2. Якщо деякий доданок перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши

його знак на протилежний, то одержимо рівняння, рівносильне даному.

Властивість 3. Якщо обидві частини рівняння помножити або поділити на одне й те ж,

відмінне від нуля число, то одержимо рівняння, рівносильне даному.

7. Множення обох частин рівняння на вираз зі змінною.

Розглянемо рівняння:

(*)

Знайдемо ОДЗ: ; .

Замінимо рівняння (*), помноживши обидві частини рівняння на спільний знаменник :

;

; (**)

;

;

;

або .

Рівняння (*) та (**) не є рівносильними, бо в першому розв’язком є тільки , а в другомв

розв’язком є або .

Тобто – це сторонній корінь для рівняння (*).

Щоб розв’язати дробове раціональне рівняння, можна:

помножити обидві частини рівняння на спільний

знаменник дробів, яків ходять до рівняння, і

замінити його цілим раціональним рівнянням;

розв’язати одержане ціле раціональне рівняння;

виключити з його коренів ті, для яких спільний

31


знаменник дробів дорівнює нулю.

8. Розв’язування дробових рівнянь на основі умови рівності дробу нулю.

Дріб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник

відмінний від нуля.

.

Використавши це твердження, розв’яжемо рівняння.

;

Отже, дане рівняння розв’язків не має.


Завдання 1. Розв’язати рівняння:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .


Учитель відповідає на запитання учнів, ще раз звертає увагу на головне, пропонує учням

завдання.

1. Яке з рівнянь є раціональним, цілим, а яке дробовим:

а) ; б) ; в) ?

2. Чи мають корені рівняння:

а) ; б) ? Чому?


Розв’язати рівняння з параметрами:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

32


Урок № 19

Тема: Розв’язування дробово-раціональних рівнянь. Розв’язування задач.Мета: навчити учнів розв’язувати дробово-раціональні рівняння, складати рівняння за умовою

задачі.

ХІД УРОКУ


Наявність письмового завдання перевіряють чергові або консультанти.


Яке рівняння називається раціональним?

Яке рівняння називається цілим, яке дробовим раціональним? Навести приклад.

Які рівняння є рівносильними?


Сформулюйте властивості рівнянь.

Як можна розв’язати дробове раціональне рівняння?

Що таке ОДЗ?

ІІІ. Математична естафета.

Клас ділиться на три команди.

Завдання.

І команда ІІ команда ІІІ команда

1) Вкажіть ОДЗ рівняння

. . .

2) Серед наведених рівнянь вибрати цілі раціональні рівняння і дробові раціональні рівняння

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

3) Розв’язати рівняння

а) ;

б) ;

а) ;

б) ;

а) ;

б) ;

33


в) . в) . в) .

4) Чи рівносильні рівняння:

та ? та ? та ?

5) Скласти рівняння рівносильне до рівняння

. . .



1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9) ; 10) ; 11) ;

12) ; 13) ; 14) ;

16) .

Завдання 2. Розв’язати задачі:

1) Чисельник дробу на 5 менший від знаменника. Якщо до чисельника дробу додати 17, а

до знаменника 2, то отриманий дріб, обернений до даного. Знайти цей дріб.

2) Відстань від будинку до школи 240 м. З будинку вийшла і одночасно з нею хлопчик. Але

хлопчик прийшов на 10 хв раніше до школи, ніж дівчинка. Знайти швидкість дітей, якщо відомо,

що швидкість хлопчика в 4 рази більша, ніж швидкість дівчинки.

3) Два робітники можуть виконати певну роботу за 4 дні. Якщо буде працювати перший

робітник сам, то він може зробити всю роботу в 2 рази швидше, ніж другий робітник. За який час

може зробити цю роботу кожен робітник самостійно.


Учитель відповідає на запитання учнів, ще раз звертає увагу на головне, нагадує, що таке

продуктивність праці.



1. Для яких значень рівняння не має коренів?

34


2. Для яких значень рівняння має один корінь?

Урок № 20

Тема: Розв’язування вправ. Самостійна роботаМета: навчити учнів виконувати тотожні перетворення над алгебраїчними дробами, розв’язувати

дробові раціональні рівняння. Перевірити їхні знання й уміння за допомогою самостійної

роботи

ХІД УРОКУ



Завдання 1.Розв’язати рівняння:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ..



Що треба знати, щоб навчитися перетворювати раціональні вирази:




порядок дій.

Яке рівняння називається раціональним?

Яке рівняння називається цілим, яке дробовим раціональним?

Які рівняння є рівносильними?


Сформулюйте властивості рівнянь.

Як можна розв’язати дробове раціональне рівняння?

Що таке ОДЗ?




1) ; 1) ;

35


2) . 2); .

2) Спростити вираз і знайти його значення:

1) ; якщо . 1) ; якщо .

3) Розв’язати рівняння:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .


Учитель відповідає на запитання учнів, виділяє головне: порядок дій з алгебраїчними

дробами, умову, за якою дріб дорівнює нулю.




1) ; 2) .

Урок № 21

Тема: Узагальнення і систематизація знань учнів.Мета: Корекція знань учнів з урахуванням результатів самостійної роботи. Підготовка до

тематичної контрольної роботи.

ХІД УРОКУ


Статистичні дані, аналіз помилок.



36




порядок дій;

основні властивості рівнянь;

знаходження ОДЗ при розв’язуванні дробових раціональних рівнянь;

умову, за якою дріб дорівнює нулю.

ІІІ. Розв’язування вправ на дошці.

Завдання 1. Спростіть вираз:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Завдання 2. Доведіть тотожність:

1) ;

2) .

Завдання 3. Розв’яжіть рівняння:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

Завдання 4. Розв’язати задачу:

Партію деталей робітник може виготовити в 1,5 рази швидше, ніж його учень. За який час

цю партію деталей виготовить учень, якщо разом з робітником вони можуть її виготовити за 4 го?

Завдання 5. Знайти значення виразу:

, якщо .


.

Завдання 7. Довести, що значення виразу не залежить від значень .


Учитель відповідає на запитання учнів, а також аналізує успіхи учнів на уроці.

37





1) ; 2) .

Урок №22

Тема: Тематична контрольна робота № 2 по темі: “Множення і ділення

раціональних виразів. Перетворення раціональних виразів”Мета: За допомогою тематичної контрольної роботи перевірити рівень засвоєння учнями теми

“Перетворення раціональних виразів”.

ХІД УРОКУ

Тематична контрольна робота

І варіант

І рівень

12) Коренем рівняння є:

а) ; б) ; в) ; г) .

13) Виконайте дію :

а) ; б) ; в) ; г) .

( 3 бали)

ІІ рівень

1) Виконайте дії:

а) ; б) ; в) .

2) Знайдіть корені рівняння: а) ; б) .

( 3 бали)

ІІІ рівень


2) Розв’язати рівняння: .

38


( 3 бали)

ІV рівень

3) Довести тотожність:


( 3 бали)

ІІ варіант

І рівень



а) ; б) ; в) ; г) .


а) ; б) ; в) ; г) .

( 3 бали)

ІІ рівень


а) ; б) ; в) .


( 3 бали)

ІІІ рівень



( 3 бали)

ІV рівень


2) Розв’язати рівняння: ( 3 бали)

39


ІІІ варіант

І рівень



а) ; б) ; в) ; г) .


а) ; б) ; в) ; г) .

( 3 бали)

ІІ рівень


а) ; б) ; в) .


( 3 бали)

ІІІ рівень



( 3 бали)

ІV рівень

1) Довести тотожність: .


( 3 бали)

І V варіант

І рівень



а) ; б) ; в) ; г) .

40



а) ; б) ; в) ; г) .

( 3 бали)

ІІ рівень


а) ; б) ; в) .


( 3 бали)

ІІІ рівень



( 3 бали)

ІV рівень


4) Розв’язати рівняння:

( 3 бали)

41


Список літератури1. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. Математика. 5 – 11 класи. Видавництво

“Навчальна книга”. Київ, 2005р.2. Освітні технології: Навч.-метод.посіб./ О.М.Пєхота, А.З.Кіктенко, О.М.Любарська та ін.; за

ред. О.М.Пєхоти. – К.: А.С.К, 2003.3. Поментун О.І, Пироженко Л.В. Сучасний урок. Інтерактивні технології навчання: Наук.-

метод.посіб./ О.І.Пометун, Л.В.Пироженко,.; за ред. О.І.Пометун. – К.: А.С.К, 2004.4. Шарко В.Д. Сучасний урок. – К., 2006.5. Гальперіна А.Р., Міхеєва О.Я. Математика: типові тестові завдання. – Х: Веста, 2010. – 112 с.6. Математика: Зб. тест. завдань для підготов. до зовніш. незалеж. оцінювання /Захарійченко

Ю.О., Школьний О.В. – К.: Генеза, 2009. – 114c.7. Математика: комплексний тренажер: практична підготовка до ЗНО / Авт.-уклад. О.М.Роганін

та ін. – Х. : Торсінг плюс, 2009. – 480с.8. Янченко Г., Кравчук В. Математика. Підручник для 8 класу. – Т.: Підручники і посібники,

2009.9. В.В. Ясінський. Математика. Навчальний посібник для слухачів ІДП НТУУ “КПІ”.10. Мерзляк А.Г. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх навчальних закладів /

А.Г.Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір. – Х.: Гімназія, 2009.– 320с.11. Мерзляк А. Г. Алгебра. 8 клас: підручник для класів з поглибленим вивченням математики /

А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір. – Х. : Гімназія, 2009. – 386 с.12. Мігов В.І. Готуємося до уроку розв’язування задач / В.І. Мігов // Математика в школах

України: Науково-методичний журнал.. – 2010. – № 2 (266). – С. 18-20.13. Торбан В.С. Міркуємо разом: Для чого розв’язувати задачі? / С.В. Торбан // Математика в

школах України: Науково-методичний журнал.. – 2005. – № 33 (117). – С. 2-3.14. Бобровник М. П., Журбас М. О. Наочне приладдя з математики. — К.: Рад. школа, 1968.15. Поляков С. Навіщо потрібна математика тим, кому вона не потрібна? // Шкільна огляд. - 2002.

- № 4. - С. 41 - 43. 16. Практикум з методики викладання математики в середній школі: Навч. посібник для студентів

фіз.-мат. пед. ін-тів / Т.В. Автономова, С.Б. Верченко, В.А. Гусєв та ін; Під ред. В. І. Мішина .- М.: Просвещение, 1993.

42

Law

Конспекти уроків по темі "Раціональні вирази "(22 уроки)