Embed Size (px)
Citation preview
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЦЕНТР «МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ»
ОЛЬГА БОРИСЕНКО
АЛГЕБРАЇЧНІ ВИРАЗИ:
ТЕОРІЯ ТА ПРАКТИКА
КИЇВ – 2012
Редакційна колегія:
С. Г. Кіндзерська, С. О. Лихота, І. М. Шевченко
Рекомендовано науково-методичною радою Національного центру
«Мала академія наук України» (протокол № 1 від 23.01.2012 р.)
Борисенко О. Алгебраїчні вирази: теорія та практика : навч.-метод. посіб. / Ольга Борисенко ; [відп. за вип. О. Лісовий]. – К. : ТОВ «Праймдрук», 2012. – 36 с.
У навчально-методичному посібнику подано вибрані розділи з алгебри, зміст котрих спрямований на розвиток математичних здібностей учнів.
Посібник адресований педагогам Малої академії наук України, вчителям загальноосвітніх шкіл, викладачам професійно-технічних навчальних закладів, старшокласникам, студентам вищих навчальних закладів.
© Борисенко О., 2012 © Національний центр «Мала академія наук України», 2012
3
ВСТУП
Фундаментальна математична освіта є одним із основних факторів підготовки учнів МАН, їх дослідницької діяльності, формування наукового світогляду, розуміння сутності практичної спрямованості математичних дисциплін. Головними завданнями навчання математики в Малій академії наук України є:
оволодіння учнями системою математичних знань, умінь і навичок, що дає уявлення про математичні прийоми і методи пізнання, вживані в математиці;
розвиток пізнавального інтересу, математичних здібностей, дослідницької компетентності обдарованих учнів;
виховання активності, самостійності, відповідальності; розвиток здатності учнів до адекватної діяльності в життєвих ситуаціях.
Під час роботи з дітьми, здібними до точних наук, важливо враховувати і розвивати також креативність мислення учнів, творчу уяву, винахідливість, вміння вирішувати складні проблеми власної діяльності, генерувати нові ідеї.
На Всеукраїнському конкурсі-захисті науково-дослідницьких робіт учнів – членів Малої академії наук України виконання контрольних робіт – це фундаментальна перевірка навчальних досягнень учасників із базових дисциплін. Випробування з математики проводяться для старшокласників у багатьох наукових відділеннях МАН, зокрема, безпосередньо математики, комп’ютерних наук, економіки, фізики і астрономії, технічних наук. У цілому члени журі відзначають достатній рівень підготовки більшості учасників змагань. Проте деякі завдання викликають значні труднощі у дітей, оскільки потребують нестандартних підходів чи спеціальних прийомів.
Запропонований навчально-методичний посібник розроблено Ольгою Володимирівною Борисенко, головою предметної комісії з математики III етапу Всеукраїнського конкурсу-захисту науково-дослідницьких робіт учнів – членів Малої академії наук України, доцентом кафедри математичної фізики фізико-математичного факультету Національного технічного університету України «Київський політехнічний інститут», кандидатом фізико-математичних наук.
Ці матеріали допоможуть учням самостійно підготуватися до випробувань з алгебри за певними розділами, поглибити та поширити знання з питань, які вони вважають необхідними для більш ґрунтовного вивчення, розвинути математичні здібності. В свою чергу для наукових керівників підібрані завдання стануть навчально-методичною базою у роботі з обдарованими учнями МАН України.
О. Лісовий,
директор Національного центру
«Мала академія наук України»
4
1. АЛГЕБРАЇЧНІ ВИРАЗИ. АБСОЛЮТНА ВЕЛИЧИНА ЧИСЛА.
ЧИСЛОВІ НЕРІВНОСТІ
Областю допустимих значень (ОДЗ) алгебраїчного виразу називається множина всіх числових значень букв, які входять до нього, при яких алгебраїчний вираз має зміст.
Тотожнім перетворенням алгебраїчного виразу називається заміна його іншим алгебраїчним виразом, який має для кожного числового набору із ОДЗ початкового виразу ті самі значення.
Розкладом многочлена на множники називається подання його у вигляді добутку двох або декількох многочленів. При цьому користуються формулами скороченого множення, методом групування, винесенням спільного множника за дужки, методом виділення повного квадрату та ін.
Довідковий матеріал.
1.1. Формули скороченого множення ),( Rba : );)((22 bababa
;2)( 222 bababa
;33)( 32233 babbaaba
).)(( 2233 babababa
При перетворенні ірраціональних виразів часто користуються формулами:
;22babababa
;0,0,4444 babababa
.333 2333333
bababababa
При спрощенні виразу сbа зручно (коли це можливо) подати cba у вигляді квадрата деякого двочлена.
1.2. Дії над степенями ),;0,0( Q nmba
;:;;10 nmnmnmnm aaaaaaa .1;)(;;)(n
nmnnm
m
mmmmm
aaaa
b
a
b
abaab
1.3. Дії над арифметичними коренями :)0;0;2,,,( bamnmn N
;;0,; n mmn
n
n
nnnn aabb
a
b
abaab
;;; nm mnnnnmn m aaaaaa
|;||;|);0( 2 22 aaaababan nnn
.; 121212 12 nnn n aaaa
5
1.4. Абсолютна величина (модуль) числа а (|a|).
|a| =
.0,,0,
aa
aa )555(
.|||||||;|||||
|;|||||;0,|||||;|||||
babababa
bababb
a
b
abaab
Зручно користуватись наступними властивостями модуля при розв’язанні рівнянь та нерівностей:
.||||
;0)(||||||;0)(||||||
;0||||||;0||||||
|;|
22
2
baba
bbababa
bbababa
abbaba
abbaba
aa
1.5. Властивості числових нерівностей: 1) Якщо ba , то ab . 2) Якщо ba і cb , то ca . 3) Якщо ba , то cbca , c - довільне. 4) Якщо ba і 0n , то bnan і ;
n
b
n
а при 0n , то bnan і .
n
b
n
а
5) Якщо 0 ba , то bа
11 .
6) Якщо ba і dc , то .dbca
7) Якщо ba і dc , то .cbda 8) Якщо 0 ba і 0 cd то .bcad
9) Якщо 0 ba , то N nba nn , . 10) Якщо 0 ba , то .2,, mmba mm N
Нерівності, які часто використовуються при доведенні інших
нерівностей: ,2;02
a
b
b
aa якщо ;0ba
2a
b
b
a , якщо ;0ba
аb ≤ 2
ba , якщо 0,0 ba (нерівність Коші);
02 cbxax при всіх xR , якщо 20, 4 0;a D b ac
02 cbxax при всіх Rx , якщо 20, 4 0a D b ac .
6
Приклади
Приклад 1.1. Спростити вираз:
.1
ас
са
аас
с
сас
а
са
ассa
► Даний вираз існує при 0,0 ca і .ca
1
ас
са
аас
с
сас
а
са
ассa
1
( ) ( )а ас с ас а с а с
а с с а с а с а ас
1
)())(()()(
асас
саассассасаа
са
са
са
асас
са
ас
саас
асас
са
са ))(()()(
.,0,0, caacас ◄
Приклад 1.2. Спростити вираз:
3:
23
964
312
93
2
2
2
m
m
m
m
mm
m
m
m
m.
► Вираз існує при .2,0,3 mmm
3:
23
964
312
93
2
2
2 m
m
m
m
mm
m
m
m
m
m
m
m
m
m
mm
m
m
mm
323
)3()2)(2(
312
)3)(3(3
2
m
m
m
m
m
m
mm
332
312
)3)(3(3
=
m
m
mm
mmmm 3)3)(3(
)3)(2()3)(12(3
=
)3(6233623 22
mm
mmmmmm
= .2,3,0,36
)3(62
mmm
m
m
mm
mm◄
7
Приклад 1.3. Обчислити вираз при заданих значеннях параметрів 09.0,91.4 ba
aabbaba
ba
abbbaaba
bababa
3 26 233
3
233
33 2222:))((
.
► Спочатку спростимо вираз
ba
baabab
baabab
babababa3
333
3
33 22 )()()()(
))()((
=
ba
abba
abba
babababa3
33
3
33 22 )()())((
))()((
= baba
baba
ba
babababa
3
3
3
333 22 ))(()(
))()((,
.5
09.091.4)(
b
aba
◄
Приклад 1.4. Спростити вираз:
5122935 .
► 5122935 = 22 525322335 = 252335
= 52335 = )352(35 =
= 1525552652
=
= 1155)15(5 2 .◄
Приклад 1.5. Порівняти числа:
а) А = 347 і В = 0,3;
б) А= 35 ; В = 26 ;
в) А= 23
1
223
1
і В = 13 ;
►а) А= ;32|23|)23(23223347 222
Зробимо припущення, що А <В, тобто 2- 3 < 0,3 звідки 3 > 1,7 або 3 >2,89, тому припущення зроблено вірно і А < В.
8
б) Зробимо припущення: А > В: 2635 і, скориставшись властивостями числових нерівностей, будемо мати:
5 + 3 > 6 2 , 5+2 15 +3>6+2 212 , 2 15 >2 12 , 15>12. Оскільки отримали вірну числову нерівність, то робимо висновок, що зроблене припущення вірне, тобто А>В.
в) А= 1222
123
1
223
12
+
2323
= 212
1
+
2312
11323
1212
. Отже, А=В.◄
Завдання для самостійної роботи
Спростити вирази (1-5):
1. ba
bbaab
ba
bbaa
2:
Відповідь:1
2.
ba
ba
baabaa1:11
Відповідь: b
ba .
3. x
x
xxxx
x
x
xx
x
xx
634
24:
22
82
1442
223
2
2
2
Відповідь: -31 .
4. 212
412
414 2
11
xxxx
Відповідь: ).;4[,2
32);4;0(,2
5
x
x
xx
x
5. 3 233/233/2
3/13/431:
9327
аа
b
bаbа
bаa
.
Відповідь: 0. Порівняти числа (6-7):
6. А = 2492 ; В = 22 . Відповідь А < В. 7. 1316284 ; В= 23 . Відповідь : А > В.
23
9
2. РАЦІОНАЛЬНІ ТА ІРРАЦІОНАЛЬНІ РІВНЯННЯ
І НЕРІВНОСТІ З ОДНИМ НЕВІДОМИМ
2.1. Основні означення
Областю визначення (ОДЗ) рівняння )()( xqxf (нерівності )()( xqxf ) називається множина qf DD , де fD і qD – області визначення відповідно функції )(xf і )(xq .
Число х0 називається коренем рівняння )()( xqxf , якщо при підстановці його замість х в рівняння одержуємо вірну числову рівність )()( 00 xqxf .
Розв’язком нерівності )()( xqxf є множина всіх значень qf DDx (множина розв’язків), які при підстановці в цю нерівність дають вірну числову нерівність.
Якщо в двох рівняннях )()( 11 xqxf і )()( 22 xqxf збігаються множини всіх їх розв’язків або обидва вони розв’язків не мають, то такі рівняння називаються рівносильними (аналогічне означення рівносильності двох нерівностей )()( 11 xqxf і )()( 22 xqxf ). При цьому пишуть:
)()()()( 2211 xqxfxqxf , ))()()()(( 2211 xqxfxqxf Рівносильний перехід - це заміна рівняння його рівносильним рівнянням
або рівносильною сукупністю (системою) рівнянь (нерівностей). Якщо для даної пари рівнянь довільний корінь першого рівняння є
коренем другого, то друге рівняння є наслідком першого (аналогічно визначається нерівність, яка є наслідком першої нерівності).
При цьому пишуть: )()()()( 2211 xqxfxqxf
( )()()()( 2211 xqxfxqxf ). Якщо замінити рівняння (нерівність) його наслідком, то множина
розв’язків другого рівняння (нерівності) може мати сторонні корені, які треба вилучити, наприклад, шляхом перевірки (провести дослідження у випадку з нерівностями, яке дозволить з отриманої множини значень вибрати ті із них, які є розв’язками вихідної нерівності).
2.2. Найпростіші твердження про рівносильність і наслідок рівнянь
( )(),( xqxf – деякі функції, Nn ): .0)()()()( xqxfxqxf .,)()()()( R xqxfxqxf
.0,,)()()()()()(
Rxqxf
xqxfxqxf
.0)(,0)(
0)()(xq
xfxqxf
).()()()()()(
xqxpxfxpxq
xf
).()()()()()( xqxfxpxqxpxf
10
.),()()()( 22N nxqxfxqxf nn
),()()()( xqxfxqxf nn якщо N nAxxqxf ,,0)(,0)( , (А – деяка множина) ),()()()()()( xpxqxpxfxqxf якщо )(xpy визначена і не є нулем ні в одній точці деякої множини qf DDA (може бути, що qf DDA ).
2.3. Найпростіші твердження про рівносильність і наслідок нерівностей:
).()()()( xfxqxqxf
.0)()()()( xqxfxqxf .,)()()()( R xqxfxqxf
.,0,)()()()()()( R
xqxf
xqxfxqxf
.,0,)()()()()()( R
xqxf
xqxfxqxf
),()()()()()( xpxqxpxfxqxf якщо pqf DDD
),()()()()()( xpxqxpxfxqxf якщо на .0)( xpDD qf
),()()()()()( xpxqxpxfxqxf якщо на .0)( xpDD qf
)(
1)(
1)()(xqxf
xqxf , якщо на .0)(,0)( xqxfDD qf
.
.0)(,0)(,0)(,0)(
0)()(0)()(
xq
xf
xq
xf
xqxfxq
xf
.
.0)(,0)(,0)(,0)(
0)()(0)()(
xq
xf
xq
xf
xqxfxq
xf
.
.0)(,0)(,0)(,0)(
0)(0)()(
0)()(
xq
xf
xq
xf
xq
xqxf
xq
xf
.
.0)(,0)(,0)(,0)(
0)(0)()(
0)()(
xq
xf
xq
xf
xq
xqxf
xq
xf
.0)(,0)(,0)(,0)(
0)()(
xq
xf
xq
xf
xqxf
.0)(,0)(,0)(,0)(
0)()(
xq
xf
xq
xf
xqxf
11
.,0)(,0)(
0)(|)(|0)()(2
qf
n
DDx
xf
xq
xqxfxqxf
.,0)(,0)(
0)(|)(|0)()(2
qf
n
DDx
xf
xq
xqxfxqxf
.,0)(,0)(
0)(|)(|0)()(2
qf
n
DDx
xf
xq
xqxfxqxf
.,0)(,0)(
0)(|)(|0)()(2
qf
n
DDx
xf
xq
xqxfxqxf
N nxqxfxqxf nn ),()()()( на множині A, якщо 0)(,0)( xqxf
на А. .),()()()( 1212
N nxqxfxqxf nn ).()()()()()( xqxfxpxqxpxf
2.4. Основні типи рівнянь та способи їх розв’язку.
2.4.1. Повне квадратне рівняння: 0,,,,02 acbacbxax R ;
а
асbbx
242
2,1
– формули коренів рівняння;
асbD 42 – дискримінант квадратного рівняння;
(Якщо 0D , то а
Dbx
а
Dbx
2,
2 21
, якщо 0D , то а
bxx
221 ;
якщо 0D , то дійсних коренів квадратне рівняння не має); ))(( 21
2 xxxxacbxax , 21, xx – корені рівняння .02 cbxax 2.4.2. Зведене квадратне рівняння:
R qpqpxx ,,02
qpp
x 42
2
2,1 – формула коренів рівняння;
),)(( 212 xxxxqpxx 21, xx – корені рівняння.
Теорема Вієта:
qхх
рхх
21
21 , де 21, xx – корені рівняння ;02 qpxx
Теорема Вієта для повного квадратного рівняння:
a
cxx
a
bxx
21
21, де 21, xx – корені рівняння .02 cbxax
12
2.4.3. Тричленне рівняння: .2,0,,,,02 nacbacbxax nn
R
Рівняння зводиться до квадратного рівняння заміною .txn
При n = 2 маємо рівняння ,024 cbxax яке називається біквадратним.
2.4.4. Зворотне (симетричне) рівняння: .0,,,,,,0234 aeedcbaedxcxbxax R
Якщо виконана умова 2
2
b
d
a
e , то після ділення обох частин рівняння на
02 x будемо мати: 2
22 2 0;d d
a х b x cb x bx
після заміни t
bx
dx це
рівняння зведеться до квадратного.
2.4.5. Рівняння вигляду R AdcbaAdxcxbxax ,,,,,))()()(( , для якого виконана умова .dcba Після згрупування співмножників будемо мати
,))()()(( 22 Acdxdcxabxbax , а заміна txbax )(2 , зведе дане рівняння до квадратного.
2.4.6. Рівняння вигляду R AdcbaAxdxcxbxax ,,,,,))()()(( 2 , для
якого виконана умова .cdab Після згрупування співмножників
,))()()(( 222 Axcdxdcxabxbax і ділення обох частин рівняння на 02 x
будемо мати: .)()( A
x
cddсх
х
аbbах
Заміна tx
abx зводить останнє рівняння до квадратного.
2.4.7. Однорідне рівняння: .,,,0)()()()(2
R cbaxcqxqxbfxaf . Після ділення обох частин рівняння на 0)(2 хq або 0)(2 хf і заміни
txq
xf
)()( або t
xf
xq
)()( воно зводиться до квадратного.
2.4.8. Рівняння вигляду:
).,,(,)()( 44R AbaAbxax
Замінимо 22
batx
baxt
рівняння зводиться до біквадратного
рівняння відносно t.
2.4.9. Рівняння вигляду )0(,
22
12
cc
rxqpx
bx
rxqрх
ах
13
Чисельник і знаменник кожного дробу треба поділити на 0x : c
x
rqpx
b
x
rqрх
а
21
і зробити заміну tx
rpx . Рівняння зведеться до
квадратного. 2.4.10. Рівняння, які містять знак абсолютної величини
;)(,)(
0,|)(|Axf
AxfAAxf
);()(),()(
,0)()(|)(|
xqxf
xqxf
xq
xqxf
;0)()(|)()(||)(||)(| xqxfxqxfxqxf
);()(
),()(),()(
|)(||)(| 22 xqxfxqxf
xqxfxqxf
);()(,0
),()(,0
)(|)(|
xqxf
x
xqxf
х
xqxf
)(,,1),(),(|)(||)(||)(| 21 xqnixfxqxfxfxf in – деякі функції. Такі рівняння найпростіше розв’язувати методом інтервалів.
Для цього знаходимо усі значення незалежної змінної x , при яких nixfi ,1),( змінює знак і розташовуємо точки на осі. Вони поділяють область
допустимих значень рівняння на проміжки, на кожному з яких функції nixfi ,1),( зберігають знак. Визначаємо знаки виразів nixfi ,1),( на кожному
з утворених проміжків. На кожному з таких проміжків початковому рівнянню ставимо у відповідність рівносильне рівняння разом із нерівністю, яка задає проміжок, який розглядається (тобто маємо систему).
Точки розбиття (корені рівняння nixfi ,1,0)( ), якщо вони належать області визначення, потрібно обов’язково включати в один із розглядуваних проміжків.
Аналогічні міркування можна провести і для нерівностей вигляду ).(|)(||)(||)(| 21 xqxfxfxf n
2.4.11. Ірраціональні рівняння В ірраціональному рівнянні (рівнянні, яке містить змінну величину під
знаком кореня) всі корені парного степеня, що входить до нього, є арифметичними, тому корінь парного степеня існує лише при невід’ємних значеннях підкореневого виразу і набуває невід’ємних значень. Всі корені непарного степеня визначені при довільному значенні підкореневого виразу і знак такого кореня співпадає із знаком підкореневого виразу.
14
Основні формули, які застосовують при розв’язанні
ірраціональних рівнянь:
012 n а , якщо 0a ; ,012 n а якщо ;0a 012 n а , якщо 0a ; n a2 не існує, якщо ;0a 02 n a , якщо 0a ; ,02 n a при .0a
Нехай )(xuu і )(xvv - деякі функції, Ra тоді
;121212 nnn vuuv ;0,12
1212
vv
u
v
un
n
n
;0,0,222 vuvuuv nnn ;0,0,2
22 vu
v
u
v
un
n
n
;0,222 uvvuuv nnn ;0,0,2
22 vuv
v
u
v
u
n
n
n
;12 1212 n nn vuvu
,2 22 n nn vuvu «+», якщо 0u і «-», якщо ;0u
;12 12 uun n .||2 2 uu
n n
Основні типи ірраціональних рівнянь:
);()()()( 1212 xqxfxqxf nn
);()()()( 22 xqxfxqxf nn (тоді перевірка обов’язкова) або
n xf2 )( = q(x)
nxqxf
xf
xq
2))(()(,0)(,0)(
.))(()(,0)(
2nxqxf
xq
n xf2 )( = n xq2 )(
;0)(),()(
xq
xqxf
.0)(),()(
xf
xqxf
0)()( xgxf
,0,0
,0
xg
xf
xg
.0,0,0
xg
xf
xg
).,,,,;,(, RN AdcbanmAdcxbax mn
При розв’язанні рівнянь такого типу зручно скористатись заміною
,,
vdcx
ubах
m
n
(при n і m парних буде 0u і ).0v Звідки
m
n
vdcx
ubax .
Якщо виключити із системи змінну x , будемо мати: .dabcvauc mn
Тепер маємо систему
,dabcvauc
Avumn
15
із якої знаходимо u і v (з урахуванням обмежень накладених на u і v) і далі х за
одним із виразів: a
b
a
ux
n
або c
d
c
vx
m
.
).()()( xpxqxа В залежності від вигляду функцій f(x), q(x) p(x) залежить шлях
розв’язання таких рівнянь. Можна скористатись наступним алгоритмом: a) знайти ОДЗ вихідного рівняння; b) перейти від рівняння до його наслідку (піднести до квадрату обидві
частини рівняння); c) знайти корені одержаного рівняння; d) знайдені корені, які належать ОДЗ, перевірити підстановкою у
вихідне рівняння. Отже, ірраціональні рівняння зводяться до відповідних раціональних
рівнянь, які рівносильні вихідним або є їх наслідкам. Таке зведення проводиться в основному піднесенням обох частин рівняння до відповідного степеня. ).()()( 33 xpxqxf
При розв’язанні таких рівнянь використовуємо формулу )(3)( 333 baabbaba :
)()())()(()()(3)()()()( 333333 xpxqxqxfxqxfxfxpxqxf звідки маємо .))()()(()()()(27)()()()(3)()( 33333 xqxfxpxpxqxfxpxpxqxfxfxq
Знайдені корені останнього рівняння необхідно перевірити підстановкою у вихідне рівняння.
Зауваження: дане рівняння можна розв’язати і за допомогою заміни .)(,)( 33 vxquxf
2.5. Основні типи нерівностей та способи їх розв’язування
Нерівності вигляду
0
)()(0
)()(
xQ
xP
xQ
xP , де )(xP і 0)( xQ деякі
многочлени, називаються раціональними нерівностями. 2.5.1. 0)(0)( xPxP nn , де nn
nnn axaxaxaxP
1
110)( .
При розв’язанні таких нерівностей потрібно використати наступну схему:
a) розв’язати рівняння 0)( xPn , b) розкласти ліву частину нерівності на найпростіші множники, c) поділити обидві частини нерівності на вирази, які не змінюють свого
знаку (наприклад, qpxx 2 , де 042 qp ),
16
d) застосувати метод інтервалів до одержаної нерівності )0(0)()()( 21
210 iki
kkxxxxxxa (нагадаємо цей метод на прикладах, які
розглянемо далі). 2.5.2. )0(,0
)()(
xQ
xP , де )(xP і 0)( xQ деякі многочлени.
Схема розв’язування: a) розкласти )(xP і )(xQ на найпростіші множники; b) застосувати метод інтервалів. 2.5.3. Нерівності, які містять знак модуля
).()(),()(
)(|)(|xqxf
xqxfxqxf
).()(),()(
)(|)(|xqxf
xqxfxqxf
).()(|)(||)(| 22 xqxfxqxf .0)()(|)(||)(||)()(| xqxfxqxfxqxf .0)())()((|)(||)(||)()(| xqxqxfxqxfxqxf
.)(,)(
0,|)(|Cxf
CxfCCxf
fDxCCxf 0,|)(| .
.)(,)(
0,|)(|Cxf
CxfCCxf
2.5.4. Ірраціональні нерівності
).()(,0)(,0)(
)()(2
2
xqxf
xq
xf
xqxfn
n
).()(,0)(,0)(
)()(2
2
xqxf
xq
xf
xqxfn
n
.0)(,0)(
),()(,0)(
)()(2
2
xf
xq
xqxf
xq
xqxfn
n
17
.0)(,0)(
),()(,0)(
)()(2
2
xf
xq
xqxf
xq
xqxfn
n
)()()()();()()()( 12121212 xqxfxqxfxqxfxqxf nnnn . )()()()();()()()( 12121212 xqxfxqxfxqxfxqxf nnnn . ).()()()( 1212 xqxfxqxf nn
.,0)(,0)(,0)(
0)()(2
q
n
Dx
xf
xq
xf
xqxf
.,0)(,0)(,0)(
0)()(2
q
n
Dx
xf
xq
xf
xqxf
.0)(,0)(,0)(,0)(
0)(
)(2
xq
xf
xq
xf
xq
xfn
.0)(,0)(,0)(,0)(
0)(
)(2
xq
xf
xq
xf
xq
xfn
.0)(,0)(
0)(
)(2
xq
xf
xq
xfn
.0)(,0)(
0)(
)(2
xq
xf
xq
xfn
.).()(
,0)()()( 22
xqxf
xfxqxf nn
Приклади
Розв’язати рівняння (2.1. – 2.27.):
Приклад 2.1. 4 25 6 0x x . ► Виконаємо заміну 2 , 0.x t t Маємо 2
1 25 6 0, 2, 3.t t t t Звідки 1,2 3,42, 3x x . ◄
Приклад 2.2. 3 23 3 0.x x x ► Розкладемо на множники ліву частину рівняння
3 2 2 2 23 3 ( 1) 3( 1) ( 1)( 3).x x x x x x x x Звідки маємо ( 1)( 1)( 3) 0x x x і остаточно: 1 2 31, 1, 3.x x x ◄
Приклад 2.3. 3 23 4 2 0.x x x ► Цілі корені шукаємо серед дільників вільного члена рівняння, тобто
серед 1, 2. Перевіривши ці числа, маємо 1.x Ділимо 3 23 4 2x x x на 1x , маємо 3 2 23 4 2 ( 1)( 2 2).x x x x x x Рівняння 2 2 2x x має від’ємний дискримінант, тому вихідне рівняння має один дійсний корінь 1.x ◄
18
Приклад 2.4. 4 3 210 2 4 0.x x x x
► Оскільки 2
2
4 2 ,1 ( 1)
то дане рівняння є зворотнім. Поділимо обидві
частини рівняння на 2 22
2 40 : 10 0.x x xx x
Перепишемо
22
4 2( ) ( ) 10 0.x xx x
Зробимо заміну 2 ,x tx
звідки 2 22
4 4,t xx
тоді вихідне
рівняння буде мати вигляд 21 26 0 3, 2.t t t t Отримали сукупність
рівнянь
2
1,2 3,42
2 3 23 03 17 , 1 3.
2 22 22 0
x xx
x xx x
x xx
x x
◄
Приклад 2.5. 2 2
2
6 9 4 9 .6 9
x x x x
x x x
► Область визначення даного рівняння \{0;3 3 2}.x R Розділимо
чисельник і знаменник кожного дробу на 0:x 6 9 / 4 9 / .1 6 9 /
x x x x
x x
Зробимо
заміну 9 ,x tx
тоді будемо мати рівняння: 2
2
64 13 406 013 40 06 6
tt t tt
t tt t
звідки 1 28, 5.t t Повертаємось до
змінної
2
1
22
3,4
8 9 909 / 8: 1
9 / 5 5 9 0 (5 61) / 2.
x x xx x x
x xx x x x
xx
◄
Приклад 2.6. 2 2 3 2
3 1 34 02 12 10 4 16 20 5 5
x x x
x x x x x x x
.
► Область визначення даного рівняння \{ 5; 1;1}.x R Розкладемо на множники знаменники дробів,які входять у рівняння
2
3 1 34 02 5 1 4 5 1 1 5
x x x
x x x x x x
2
2 1 3 1 1 4 340
4 1 5x x x x x
x x
2
2
5 2 135 0
4 1 5 0
x x
x x
2
27 / 5; 5
4 1 5 0
x
x x
звідки 27 /5x .◄
Приклад 2.7. ( 1)( 3)( 5)( 7) 105.x x x x ► Оскільки 1+7=3+5, рівняння перепишемо так:
2 2( 8 7)( 8 15) 105.x x x x Виконаємо заміну : 2 8 7 ,x x t тоді 2 8 15 8,x x t звідки одержимо: ( 8) 105t t або 2 8 105 0t t , тоді
19
1 215, 7.t t Отже, маємо сукупність рівнянь: 2 2
12 2
2
08 7 15 8 22 0( 8) 0 .
88 7 7 8 0xx x x x
x xxx x x x
◄
Приклад 2.8. 2( 2)( 3)( 4)( 6) 30 .x x x x x ► Оскільки 2 6 3 4 , рівняння перепишемо у вигляді:
2 2 2( 8 12)( 7 12) 30 .x x x x x Поділимо праву і ліву частини рівняння на 2 0: ( 8 12/ )( 7 12/ ) 30.x x x x x Введемо заміну 12 ,x t
x тоді будемо мати
рівняння 12
2
13( 8)( 7) 30 15 26 0 .
2t
t t t tt
Далі маємо сукупність рівнянь
2
12
2
13 12 0 1212 / 13.
112 / 2 2 12 0
x x
xx x x
xx x x x
x
Приклад 2.9. 2
2 44 20.2
xx
x
► Оскільки ліва частина рівняння є сумою квадратів двох виразів, застосуємо формулу 2 2 2( ) 2 ,a b a b ab маємо:
22 2 24 4 2 22 2 2 20 8 20.2 2 2 2
x x x xx x
x x x x
Введемо заміну 22 ,2
xt
x
звідки 12
2
108 20 0 .
2t
t tt
Отже, маємо
сукупність рівнянь
2 2
12 2
2
2 2 10 2010 0 22 2 .12 2 2 42 0
2 2
x x x
xx x
xx x x
x x
◄
Приклад 2.10. 2 22
2 2
6 54 4
x x
x x
.
► Дане рівняння рівносильне наступному рівнянню 2
2 2
6 54 4
x x
x x
2 6 5
2
x x
x
2
2
5 6 05 6 0
2
x x
x x
x
звідки 3;3x .◄
20
Приклад 2.11. 4 4( 3) ( 1) 32.x x ► Зробимо наступні перетворення:
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
(( 3) ( 1) ) 2(( 3)( 1)) 32 ( 8 8) 2( 2 3) 3264( 1) 2(( 1) 4) 32.
x x x x x x x
x x
Введемо заміну 2( 1) , 0,x t t тоді 12 2
2
032 ( 4) 16 24 0 .
24t
t t tt
Отже, маємо 2( 1) 0 1.x x ◄
Приклад 2.12. 22
1 1 4x xx x
.
► Рівняння має зміст, коли 0x . Зробимо заміну 2 22
1 1 2x t x tx x
,
тоді маємо рівняння 2 2 4 3;2t t t 1/ 31/ 2
x x
x x
3 5 ;12
x
.◄
Приклад 2.13.
6 8 11 2 1 4x x x x
.
► Рівняння має зміст, коли 4; 2; 1;1x . В знаменнику розкриємо
дужки, зробимо заміну 2 3x x t , тоді рівняння матиме вигляд 6 8 1 02 4t t
2 16 02;4
t t
t
2
2
3 016;0 3;0
3 16 0x x
t xx x
.◄
Приклад 2.14. 2 3 1 2 1 .x x x ► Дане рівняння рівносильне сукупності рівнянь:
12 2
22 2
3,4
03 1 2 1 0
1 .3 1 2 1 5 2 0
( 5 33) / 2
xx x x x x
xx x x x x
x
◄
Приклад 2.15. 2 4 3 2 2 .x x x x ► Знайдемо значення x , при яких вирази під знаком модуля
обертаються на нуль: 0, 4, 2.x x x Ці числа поділяють всю числову вісь на інтервали: ; 4 , 4; 2 , 2;0 , 0; .x x x x Розв’яжемо дане рівняння в кожному інтервалі (перевіряємо знак виразів під модулем в інтервалі, який розглядаємо, і відповідно розкриваємо модуль). Будемо мати сукупність рівнянь:
2 2
2 2 1
22 2
32 2
4 3 2 2, ; 4 8 4 0, ; 44 2 34 3 2 2, 4; 2 4 0, 4; 2
2 .4 3 2 2, 2;0 2 0, 2;0 0
4 3 2 2, 0; 6 0, 0;
x x x x x x x xx
x x x x x x xx
x x x x x x x xx
x x x x x x x x
21
Приклад 2.16. 1 2 3 .x x x ► Знайдемо всі значення змінної x , при яких вирази, що знаходяться
під знаком модуля, обертаються на нуль: 1, 2, 3.x x x Ці точки поділяють всю числову вісь на інтервали: ; 3 , 3; 2 , 2;1 , 1; .x x x x Розв’язуємо дане рівняння в кожному інтервалі (розкриваємо модуль в залежності від того, який знак приймає вираз під модулем в даному інтервалі), тобто маємо сукупність систем:
; 31 2 3
3; 26
1 2 3
2;1 4 / 31 2 3 6
1;1 2 3
x
x x x
xx
x x xx
xx
x x xx
x
x x x
, звідки 64 / 3.
x
x
◄
Приклад 2.17. 22 2 2 3x x .
► Дане рівняння рівносильне рівнянню 22 2 2 3x x . Зробимо
заміну 2 0x t , тоді 2 1;32 3 0 3
0t
t t tt
2 3x 5;1x .◄
Приклад 2. 18. 8 7 0x x x .
► 8 7 0x x x 2
2
0 : 8 7 0,0 : 8 7 0
x x x
x x x
звідки 4 23x .◄
Приклад 2.19. 2 2
31
x x
x
.
► Рівняння має зміст, коли 1x . Розглянемо два випадки: коли вираз
під модулем невід’ємний та від’ємний 2 11) ( ; 1) [2; ) : 3
1x x
xx
5x ;
2) 1;2 : x 2 13
1x x
x
x . Тому остаточна відповідь 5x .◄
Приклад 2.20. 21 2 2x x x x .
► Рівняння має зміст, коли права його частина невід’ємна, тобто
( ; 2] [ 2; )x . 21 2 2x x x x 2
2
1 2 21 2 2
x x x x
x x x x
. Тоді матимемо
22
2
2
2
2
2
1 2 21 2 2
2
1 2 21 2 2
x
x x x x
x x x x
x
x x x x
x x x x
22 / 31/ 2;2
2
1 17 / 4
2
x
x
x
x
x
x
звідки 2;2x . ◄
Приклад 2.21. 6 4 2 11 6 2 1.x x x x ► Введемо заміну 2 , 0,x t t тоді 2 22 2.x t x t Підставимо
одержані вирази у рівняння:
2 22 24 4 6 9 1 2 3 1 2 3 1.t t t t t t t t Дане рівняння рівносильне нерівності 2 3 0 2 3 0 2;3t t t t t (До отриманого рівняння можна
було б застосувати і метод інтервалів). Звідки 2 1 3 4 1 9 5;10 .x x x ◄
Приклад 2.22.
33 2 2 1 .2 1x
xx
► ОДЗ рівняння 2 1 0 1/ 2.x x Помножимо обидві частини
рівняння на 2 1x . Будемо мати 23 2 2 1x x або 2 1
4 7 3 03/ 4.
xx x
x
Обидва корені належать ОДЗ вихідного рівняння і підстановкою переконаємось, що вони є і коренями заданого рівняння. ◄
Приклад 2.23. 3 376 76 8.x x
► ОДЗ рівняння: 0.x Покладемо 3 376 , 76u x v x і будемо мати симетричну систему рівнянь
3 3 2 2 2 2
8 8 8152 ( )( ) 152 19.
u v u v u v
u v u v u uv v u uv v
Розв’язавши цю систему,
маємо 1
1
35
u
v
і 2
2
53.
u
v
Отже, вихідне рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь: 3
3
76 3 76 272401.
240176 12576 5.
x x xx
xxx
◄
23
Приклад 2.24. 3 334 3 1.x x ► Піднесемо до куба обидві частини рівняння, використавши формулу
3 3 3( ) 3 ( ) :a b a b ab a b 33334 3 3 34 3 ( ( 34) 3) 1.x x x x x x Замінимо 3 334 3x x на 1 (із умови), будемо мати:
2 23336 3 ( 34)( 3) 12 31 102 1728 31 102x x x x x x
2 6131 1830 0
30.x
x xx
◄
Приклад 2.25. 25 2 2 4 9 2 4( 2 4 1).x x x x x ► Позначимо 2 4 1 , 0x x t t , звідки 2 22 2 4 9 2 4 1x x x x t
2 25 2 4 9 2 3.x x x t Підставимо одержане у вихідне рівняння: 2 2 5
3 2 4 4 5 01.
tt t t t
t
Оскільки 0t , маємо один корінь 5.t Отже,
вихідне рівняння рівносильне
12 2
2
2 4 1 5 2 5 4 1 2 25 10 4 1 4 1238/ 9
100(4 1) 9 144 576 9 256 476 02.
x x x x x x x
xx x x x x
x
Підстановкою в рівняння переконаємось, що число 2 є коренем, а 238/9 – зайвий корінь.
Приклад 2.26. 5 65 .3 3
xx
x x
► ОДЗ даного рівняння буде: ; 5 3; .x Відмітимо, що 3 0,x
і помножимо обидві частини рівняння на 3x : 2 52 15 ( 3) 6,3
xx x x
x
тоді
2 2
2 2
3 0
2 15 2 15 6 05 653 3 3 0
2 15 2 15 6 0.
x
x x x xxx
x x x
x x x x
Позначимо 2 2 15 ,x x t
тоді
22
21 2
22
23 4
3 0 ( 2 15 , 0)3 0 ( 2 15 , 0)3, 26 0
3 0 ( 2 15 , 0)3 0 ( 2 15 , 0)2, 36 0
x x x t tx x x t t
t tt t
x x x t tx x x t t
t tt t
2 21,2
223 4
3 332 15 2 2 19 0 1 20
33 32 24 0 6, 42 15 3
x xx
x x x x x
xx x
x x x xx x
4
1 2 5.
x
x
◄
24
Приклад 2.27. Для всіх значень параметра a розв’язати рівняння: 2 2( 1) 2 0.ax a x a
► Розглянемо випадки 0a і 0.a 0:2 0 0;a x x 0:a знайдемо дискримінант рівняння 2 2 24( 1) 8 4( 2 1).D a a a a Якщо
20: 2 1 0 1 2;1 2; \ 0D a a a існують два дійсних кореня 2
1,2( 1) 2 1 ;a a a
xa
При ;1 2 1 2;a ( 0)D дійсних розв’язків
рівняння не існує . При ( 1)1 2 0 .a
a D xa
◄
Приклад 2. 28. При якому цілому значенні параметра a один із коренів
рівняння 2 24 (3 2) 1 0x a x a втроє більший від іншого?
► Розглянемо систему рівнянь еквівалентну даній задачі:
2 221 2 2 2
21 2
21 2 2
3 2 11 / 4 33 1 / 4 16 4(3 2) / 44 (3 2) / 4 3 23 .
16
a ax x ax a
x x ax a a
x x x
Знайдемо a із першого
рівняння системи : 12
2
237 36 76 0
38/ 37.a
a aa
Отже, 2.a ◄
Розв’язати нерівності (2.29 – 2.37):
Приклад 2.29. 3 21 5 3
0.4
x x x
x
► На числовій прямій відкладемо точки, в яких хоча б один із співмножників обертається на нуль. Це значення 5, 4, 1, 3.x x x x
Розглянемо систему рівносильну даній нерівності: 3 21 5 3 4 0.
4x x x x
x
Користуючись узагальненим правилом інтервалів, проведемо «змійку», починаючи з додатного значення на проміжку 3; і, змінюючи знак на протилежний, в точках 3, 1, 4,x x x для яких показники степеня непарні і, не змінюючи знак в точці 5,x бо вираз 5x входить в добуток з парним показником. Вибираємо проміжки, на яких добуток має не додатний знак. Отже, ; 4 1;3 .x ◄
Приклад 2.30. 2 4 .x x ► Піднесемо до квадрату обидві частини нерівності
2 22 4 12 12 1; .x x x x ◄
25
Приклад 2.31. 2 23 2 2 .x x x x ► Розглянемо систему нерівностей, яка рівносильна вихідній
нерівності: 2 2 2
2 2
1/ 2;23 2 2 2 5 2 023 2 2 2 0
xx x x x x x
xx x x x x
1/ 2;2 .x ◄
Приклад 2.32. 2 3 5 1 2.x x x x ► Знайдемо значення x , при яких кожний вираз під знаком модуля
обертається на нуль: 2, 5, 1.x x x Нанесемо ці точки на числову вісь, маємо інтервали: ; 2 , 2;1 , 1;5 , 5; .x x x x Розкриємо знак модуля в кожному інтервалі і отримаємо сукупність чотирьох систем:
; 2 ; 22 3 5 1 2 0
2;1 2;12 3 5 1 2 2
1;51;5 1;55;2 3 5 1 2 2 / 3
5; 5;2 3 5 1 2 2
x x
x x x x x
xx x
xx x x x x
xx x
xx x x x x
x x
x x x x x
1; .x ◄
Приклад 2.33. 3 2 1.x ► Розглянемо рівносильну даній нерівності систему нерівностей:
2 2 42 2 03 2 1 2 2
3 2 1 2 4 2 4 62 4 2
x x
x xx x
x x x x
x x
;0 4;2;0 4;6 .
2;6x
xx
◄
Приклад 2.34. 1 1.x x ► Дана нерівність рівносильна наступній системі нерівностей:
1 0 1
1; .1 1
x xx
x x x
R◄
Приклад 2.35. 2 212 12 .
11 2 9x x x x
x x
► ОДЗ вихідної нерівності визначається системою
26
212 0 3;411 0 11 3;4 .
2 9 0 9 / 2
x x x
x x x
x x
Для значень 3x і 4x нерівність
виконується, отже, ці значення є розв’язками. Нехай 3;4 .x Для будь-якого x із цього інтервалу 2 9 0, 11 0x x і 212 0,x x тому вихідна нерівність на інтервалі 3;4 буде рівносильна нерівності 11 2 9 2.x x x Враховуючи, що 3 4,x маємо 2;4 .x Тобто, остаточно, розв’язком нерівності є
2;4 3 .x ◄ Приклад 2.36. 4 3 6 .x x x ► Дана нерівність рівносильна сукупності систем:
2
6 0 624 /194 3 6
66 0; 4 3;4 3 0
x x
xx x x
xx
xx x
24/19; .x ◄
Приклад 2.37. 24 4x x x .
► Дана нерівність рівносильна системі нерівностей 2
2 2
4 04 0
4 16 8
x
x x
x x x x
2
44 0
6 8 0
x
x x
x x
40;4
( ;2) (4; )
x
x
x
[0;2)x .◄
Завдання для самостійної роботи
Розв’язати рівняння :
1. 4 2 2 0.x x Відповідь: 1 .x 2. 4 25 6 0.x x Відповідь: .x 3. 4 24 5 1 0.x x Відповідь: 1; 1/ 2;1/ 2;1 .x 4. 4 3 22 11 4 4 0.x x x x Відповідь: 1; 1/ 2;1/ 2;1 .x 5. 4 3 23 2 6 4 0.x x x x Відповідь: 1 3; 2;1 .x
6. 4 3 23 6 12 16 0.x x x x Відповідь: 1 5;(1 17) / 2 .x 7. 3 2 1 0x x x . Відповідь: 1 .x
8. 3 2
3 5 11 4 4 4 2(1 )
x
x x x x
. Відповідь: 7 / 2; 1x .
27
9. 2 2 3 2
3 1 34 02 12 10 4 16 20 2 5 5
x x x
x x x x x x x
. Відповідь: 27 / 5x .
10. 2 2
2 7 1 19 14 3 2 1x
x x x x x
. Відповідь: 0x .
11. 2 2 2
3 1 39 9 6 2 6x x x x x
. Відповідь: 9x .
12. 12 1 6 1 4 1 3 1 5x x x x . Відповідь: 1/ 2; 1/12 .x 13. 2 2
2 3 72 5 2 5 8x x
x x x x
. Відповідь: 1;5 .x
14. 24 10 2 243 0x x x . Відповідь: 7; 1; 4 3 3 .x
15. 2
2
2 6 3 2.2 6
x x x
x x x
Відповідь: 6; 3;1;2 .x
16. 2 3 4 5 120.x x x x Відповідь: 0;7 .x 17. 1 3 7 5 9.x x x x Відповідь: 4; 4 10 .x
18. 2
2
5 3 4 0.5
x x x
x x x
Відповідь: 1 6; 5;1 .x
19. 22 3 4 6 30 .x x x x x Відповідь: 1;12 .x 20. 2 2 22 3 1 2 5 1 9 .x x x x x Відповідь:
(9 73) / 2; ( 3 7) / 2 .x
13. 2 2 214 24 11 24 4 .x x x x x Відповідь:
6; 4;( 15 129) / 2 .x
21.
22
281 40.
9x
xx
Відповідь: 1 19 .x
22.
22
2
4 5.2
xx
x
Відповідь: 1;2 .x
23. 4 1 5x . Відповідь: 1; 3/ 2 .x 24. 2 2 0x x . Відповідь: 2 .x 25. 2 2x . Відповідь: 0; 4 .x 26. 2 6 8 0x x x . Відповідь: 2 2 3;4 2 2 .x
27. 2 12 3 0
1x
x xx
. Відповідь: 3 .x
28. 2 2 3 2x x x . Відповідь: 3;1 .x
29. 112
x x x . Відповідь: 1/ 6;1/ 2;3/ 2 .x
30. 3 1 1x x . Відповідь: .x 31. 3 5 12 20.x x x Відповідь: 0;10 .x
28
32. 3 5 8.x x Відповідь: 3;5 .x
33. 22 3 1 3 2 2 5 3 16.x x x x x Відповідь: 3 .x
34. 3 123 .3 3
xx
x x
Відповідь: 5;3 2 .x
35. 5 7 3 1 3.x x x Відповідь: 3; 1/11 .x 36. 3 2 1 1.x x Відповідь: 1;2;10 .x 37. Для всіх значень параметра a розв’язати рівняння 1) 21 1 2 0.a x a x a 2) 21 2 1 2 0.a x a x a Відповідь: 1) Якщо 1/ 3,a то 1;x якщо ; 1 1; 1/3 1/3; ,a 1;2 / 1 .x a a
2) Якщо 0: 1/ 4;a x 1/ 2: 1,5;a x якщо ( 1) 5 10,2;1 1; : .
1a a
a xa
Розв’язати нерівності:
38. 2 3 1 1 .x x x Відповідь: ;0 4; .x
39. 2 2
2 3 1 .4 3 8 4 6 8 6
x x
x x x x
Відповідь: 1/ 4;8 .x
40. 2 1 2 6 3 .x x x Відповідь: ;1 .x
41. 42.
2 6x x
x
Відповідь: 4;6 6;8 .x
42. 1 2 3 .1 3 2x x x
Відповідь: 3; 2 1;1 .x
43. 2 5 6 0.
7x x
x
Відповідь: 7;2 3;7 .x
44. 2 23 2 .x x x Відповідь: ; 2 /3 1/ 2; .x 45. 26 5 9.x x x Відповідь: ;1 3; .x
46. 2
2
2 41.
2x x
x x
Відповідь: ; 1 17 / 4 .x
47. 63 0.8
xx
x
Відповідь: 3;6 8; .x
48. 4 41 2 7 0.x x x Відповідь: 2;1 7; .x
49. 2 3 3 2 1.x x x Відповідь: 2 / 3; .x
50. 2 2 .x x x Відповідь: ; 2 2; .x
51. 2 212 12 .
2 7 5x x x x
x x
Відповідь: 4 2;3 .x
29
3. СИСТЕМИ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
Нехай маємо m рівнянь ,0),...,,( 211 nxxxf ,...,0),...,,( 212 nxxxf ,0),...,,( 21 nm xxxf ),( Nnm з n змінними nxxx ,...,, 21 . Множину цих рівнянь
називають системою рівнянь, якщо потрібно знайти всі впорядковані набори із n чисел ),...,,( 00
201 nxxx такі, що задовольняють кожне з рівнянь множини. Ці
впорядковані набори чисел називаються розв’язками системи рівнянь. Записують систему рівнянь так:
.0),...,,(................................
,0),...,,(,0),...,,(
21
212
211
nm
n
n
xxxf
xxxf
xxxf
Якщо для множини рівнянь потрібно визначити усі впорядковані набори
із n чисел, які задовольняють хоча б одному із множини рівнянь, то цю множину називають сукупністю рівнянь. Записують сукупність рівнянь так:
.0),...,,(................................
,0),...,,(,0),...,,(
21
212
211
nm
n
n
xxxf
xxxf
xxxf
Дві системи рівнянь (1) і (2) називаються рівносильними, якщо всі розв’язки системи (1) є розв’язками системи (2) і навпаки всі розв’язки системи (2) є розв’язками системи (1).
Якщо всі розв’язки системи (1) є розв’язками системи (2), то систему (2) називають наслідком системи (1).
Сформулюємо основні правила перетворення систем рівнянь: Якщо будь-яке з рівнянь системи замінити рівносильним йому
рівнянням, а останні залишити без змін, то одержана система буде рівносильною вихідній.
Якщо будь-яке з рівнянь системи замінити його наслідком, а останні залишити без змін, то одержана система буде наслідком вихідної, а отже, може мати зайві розв’язки.
Нехай 0if і ),1,(0 mjijif j - два довільні рівняння даної системи і dcba ,,, - довільні дійсні числа такі, що bcad . Якщо в системі замінити ці два рівняння відповідно рівняннями 0 ji bfaf і 0 ji dfcf , а останні залишити без змін, то одержана система буде рівносильною вихідній.
Нехай одне з рівнянь системи, скажімо 0),...,,( 211 nxxxf , рівносильне рівнянню ),...,( 21 nxxx , тоді система
30
,0),...,,(..................................,0),...,,(,0),...,,(
),,...,(
2
23
22
21
nm
n
n
n
xxf
xxf
xxf
xxx
буде рівносильна вихідній системі. 3.1. Система двох лінійних рівнянь з двома невідомими
.0,0
222
111
cybxa
cybxa
Графічно кожне рівняння задає пряму лінію в координатній площині
YX 0 . Якщо
2
1
2
1b
b
a
a , то система має єдиний розв’язок (графічно: прямі
перетинаються). Якщо
2
1
2
1
2
1c
c
b
b
a
a , то система має безліч розв’язків (графічно: прямі
співпадають). Якщо
2
1
2
1
2
1c
c
b
b
a
a , то система не має розв’язків (графічно: прямі
паралельні). При розв’язанні даної системи можна застосувати метод виключення
однієї змінної або спосіб підстановки. 3.2. Системи однорідних рівнянь
Це системи рівнянь виду де ),( yxf і ),( yxg однорідні функції
однакового степеня однорідності Nr : ),,(),( yxfkkykxf r ),,(),( yxgkkykxg r Rk . Системи однорідних рівнянь розв’язуються за наступною схемою:
а)
.),(,),(
,0,),(
,0),1(),1(
,),(,0),(),(
,),(,),(
byxg
ayxf
x
byxgx
yag
x
ybf
byxg
yxagyxbf
byxg
ayxf
б) Виконаємо заміну tx
y і знаходимо корені рівняння 0),1(),1( tagtbf .
в) Розв’язуємо систему (або сукупність систем, якщо одержано декілька значень t ):
,),(,),(
byxg
ayxf
31
,),(
,
byxg
tx
y
або
.),(
,
ayxf
tx
y
3.3. Системи вигляду
.,
22
22222
2
12
11112
1
myeydxcxybxa
myeydxcxybxa
При розв’язанні таких систем треба виключити в одному з рівнянь член
з 2x або 2y , що дасть можливість без радикалів виразити, наприклад, x як функцію від y або навпаки. Далі застосувати метод підстановки.
3.4. Симетричні системи рівнянь
Систему вигляду
byxg
ayxf
),(,),( називають симетричною, якщо ),( yxf і
),( yxg – це симетричні многочлени відносно змінних x і y , тобто ),,(),( xyfyxf ),(),( xygyxg .
Будь-який симетричний многочлен двох змінних можна виразити через yx і xy . Зокрема:
.)(2)2)((
2)(),(3)(,2)(222
2222244333222
xyxyyx
yxyxyxyxxyyxyxxyyxyx
Розв’язання вихідної системи можна провести за наступною схемою: а) виконати заміну ,, vxyuyx б) розв’язати систему відносно u і v ,
в) знайти x і y як розв’язок системи
.,
vxy
uyx
Приклади
Розв’язати системи рівнянь (3.1. – 3.7.):
Приклад 3.1.
.2325,53
yx
yx
► Помножимо перше рівняння на 2 і додамо до другого: .33311 xx Із першого рівняння маємо: 53 xy . Отже 4,3 yx .◄
Приклад 3.2.
.743
,211
yxyx
yxyx
32
► Позначимо ,1,1
vyx
uyx
тоді будемо мати систему:
.1,1.74)2(3
,2.743
,2
uv
vv
vu
vu
vu
Повертаючись до старих змінних, маємо:
.0,1
.,1,1
.11
,11
y
x
yx
yx
yx
yx
yx ◄
Приклад 3.3.
.08,02622
yx
yxyx
► Використаємо метод підстановки
.4,4;2,6
,02410,8
,0)8(26)8(,8
22
11222 yx
yx
xx
xy
xxxx
xy
Тобто )}.4,4();2,6{(),( yx ◄
Приклад 3.4.
.30,11
22 xyyx
yxyx
► Перепишемо систему так:
30)(,11)(
yxxy
xyyx і введемо заміну
,,
vxy
uyx
тоді будемо мати
03011,11
30)11(,11
30,11
2 vv
vu
vv
vu
uv
vu звідки
)}.5;6(),6;5{(),( vu Тоді маємо сукупність систем
6,5
xy
yx і
.5,6
xy
yx
Розв’язавши ці системи, отримаємо: )}.2;3(),3;2(),5;1(),1;5{();( yx ◄
Приклад 3.5.
.2622,372
22
22
yxyx
yxyx
► Оскільки ліві частини рівнянь є однорідні функції другого порядку,
то використаємо алгоритм розв’язання системи однорідних рівнянь. Помножимо перше рівняння на 26 , друге на 37 , почленно додамо і одержимо
0516160154848 2222 yxyxyxyx .
Поділимо ліву і праву частини рівняння на :02 x .0516162
x
y
x
y
Зробимо заміну ,tx
y тоді
.,4
0161655
42
12t
ttt Звідки
.,4
54
xy
xy
Отже
33
маємо сукупність систем
372,422 yxyx
xy і
.372
,54
22 yxyx
xy Розв’язавши ці
системи методом підстановки будемо мати відповідь: )}.4;5(,4;5(),4;1(),4;1{();( yx ◄
Приклад 3.6.
.4,8232
22
22
yxyyx
yxyx
► Друге рівняння помножимо на 2 і додамо до першого, будемо мати
рівносильну систему
4,0)2)(1(
4,0)1(2)1(
4,022
222222
2
yxyyx
xyy
yxyyx
yxyy
yxyyx
yxxyy
.0427,2
,02,1
2
2
xx
xy
xx
y
Розв’язавши відповідні квадратні рівняння будемо мати
відповідь:
)}.7
2922;7
291(),7
2922;7
291(),1;2(),1;1{();( yx ◄
Приклад 3.7.
.04
,24225
22
yxx
yxyx
► Знайдемо ОДЗ: .||2||04 22 yxyx Пара чисел 0,0 yx не задовольняє перше рівняння системи. Отже,
вихідна система рівносильна сукупності двох систем рівнянь
2,2,2
,2
yx
yx
yx
yx
Звідки маємо відповідь: )}.2;4(),32,
34{();( yx ◄
Завдання для самостійної роботи
Розв’язати системи рівнянь:
1. 2𝑥 − 4𝑦 = 27𝑥 + 2𝑦 = 5
Відповідь: 𝑥, 𝑦 ∈ 3
4;−
1
8
2. 𝑥 + 2𝑦 = 13𝑥 + 6𝑦 = 7
Відповідь: 𝑥, 𝑦 ∈ ∅
3. 2𝑥 − 𝑦 = 24𝑥 − 2𝑦 = 4
Відповідь: 𝑥 = 𝑡, 𝑦 = 2𝑡 − 2, 𝑡 ∈ 𝑅.
34
4. 𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 2𝑦2 = 0
𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 3𝑦2 = 6 Відповідь:
𝑥,𝑦 ∈ 1; 1 , −1;−1 , 2 6
11; 6
11 ,
−2 6
11;− 6
11 .
5. 𝑥𝑦 𝑥 + 𝑦 = 30
𝑥3 + 𝑦3 = 35 Відповідь: 𝑥;𝑦 ∈ 2; 3 , 3; 2 .
6. 𝑥 + 𝑦 − 2 𝑥𝑦 = 4
𝑥 + 𝑦 = 10 Відповідь: 𝑥;𝑦 ∈ 1; 9 , 9; 1 .
7. 3 3
17.
x y
x y
Відповідь: ; 1; 2 , 2;1 .x y
8. 2
2
122.
x xy
xy y
Відповідь: ; 3; 1 , 2 2; 2 .x y
9.
2 21 1 10
1 3.
x y
x y xy
Відповідь: ; 0; 3 , 3;0 , 1; 2 , 2;1 .x y
10.
11 18 132 3 3 2
27 2 1.3 2 2 3
x y x y
x y x y
Відповідь: ; 5;3 .x y
11.
3
3 26
6
8.
x y x y
x y x y
Відповідь: ; 12;4 , 34; 30 .x y
12. 𝑥3
+ 𝑦3 = 1
𝑥 − 13
+ 𝑦 + 13 = 1 Відповідь: 𝑥;𝑦 ∈ 1; 0 .
13. 𝑥
𝑦−
𝑦
𝑥= 3 2
𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 = 9
Відповідь: 𝑥;𝑦 ∈ 4; 1 ; −9;− 9 4 .
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Вишенський В. А. Задачі з математики / В. А. Вишенський,
М. О. Перестюк, А. М. Самойленко. – К. : Либідь, 1990. – 328 с. 2. Ковальчук В. Ф. Математика : навч. посібник / В. Ф. Ковальчук,
С. Д. Корнієць, В. І. Лавренюк та ін. ; Київський ун-т ім. Т. Шевченка. – К. : МСП «Козаки», 1996. – 292 с.
3. Шарова Л. І. Уравнения и неравенства : Пособие для подготовительных отделений / Л. І. Шарова. – К. : Вища школа, 1981. – 315 с.
4. Ясінський В. В. Математика : Навчальний посібник для слухачів ФДП НТУУ «КПІ» / В. В. Ясінський. – К. : НТУУ «КПІ». 2005. – 372 с. – (серія «На допомогу абітурієнту»).
35
ЗМІСТ
Вступ…………………..…………………………………………………….. 3
Алгебраїчні вирази. Абсолютна величина числа. Числові нерівності………………………………………………………….
4
Раціональні та ірраціональні рівняння і нерівності з одним невідомим……………………………………………………………………
9
Системи алгебраїчних рівнянь……………………………………………
29
Список використаної літератури………………………………………….
34
Навчально-методичне видання
ОЛЬГА БОРИСЕНКО
АЛГЕБРАЇЧНІ ВИРАЗИ:
ТЕОРІЯ ТА ПРАКТИКА
Відповідальний за випуск О. В. Лісовий
Формат 60х84 1/16. Друк цифровий. Папір офсетний 80 г/м2.
Наклад 500 прим.
Видавництво: ТОВ «Праймдрук» 01023, м. Київ, вул. Еспланадна, 20, офіс 213
Свідоцтво про внесення до Державного реєстру суб’єктів видавничої справи серія ДК № 4222 від 07.12.2011.
