Embed Size (px)
Citation preview
Ю.Марчук Курс лекцій з математики
МНОГОГРАННИК ТА ЙОГО ЕЛЕМЕНТИ Фігури, які вивчає стереометрія, називають тілами.
Тіло – це частина простору, яку займає фізичне тіло, і яка обмежена його поверхнею.
Геометричні тіла, які ми будемо вивчати, подано у вигляді схеми.
Многогранником називають тіло (частину простору), обмежене скінченною кількістю плоских
многокутників.
Гранями многогранника – називають многокутники, які
обмежують многогранник.
Грані: ABCD, MNKL, AMLD, AMNB, BNKC, CKLD.
Ребрами многогранника – називають сторони многокутників.
Ребра: AB, BC, CD, DA, MN, NK, KL, LM, AM, DN, CK, DL.
Вершинами многогранника – називають вершини многокутників.
Вершини: A, B, C, D, M, N, K, L.
Многогранник називають опуклим, якщо він лежить по один бік
від площини будь-якої його грані.
ПРАВИЛЬНІ МНОГОГРАННИКИ Правильним називають опуклий многогранник, гранями якого є правильні многокутники з однією
і тією самою кількістю сторін, а в кожній вершині многогранника сходиться одне і те саме число
ребер.
Існує п′ять типів правильних опуклих многогранників: правильний тетраедр, куб, октаедр,
додекаедр, ікосаедр.
Тетраедр – це трикутна піраміда, всі ребра якої рівні. У правильного тетраедра
грані – правильні трикутники; у кожній вершині сходиться по три ребра. У
правильного тетраедра 4 грані, 6 ребер, 4 вершини.
Куб – це прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні. У куба всі грані –
квадрати; у кожній вершині сходиться по три ребра. У куба 6 граней, 12 ребер, 8
вершин.
Тема: Многогранники. Об'єми та площі поверхонь многогранників
У октаедра всі грані – правильні трикутники; у кожній його вершині сходиться по
чотири ребра. У октаедра 8 граней, 12 ребер, 6 вершин.
У додекаедра всі грані – правильні п′ятикутники; у кожній вершині сходиться по
три ребра. У додекаедра 12 граней, 30 ребер, 20 вершин.
У ікосаедра всі грані – правильні трикутники; у кожній вершині сходиться по
п′ять ребер. У ікосаедра 20 граней, 30 ребер, 12 вершин.
ПРИЗМА. ВИДИ ПРИЗМ Призма – це многогранник, який складається з двох плоских многокутників, які лежать в різних
площинах і суміщаються паралельним перенесенням, та всіх відрізків, що сполучають відповідні
точки цих многокутників.
Основні елементи призми та їх властивості
Многогранник ABCDEA1B1C1D1E1 – п'ятикутна призма.
1) Многокутники ABCDE і A1B1C1D1E1 називаються основами
призми.
Призма має дві основи. Основи призми паралельні і рівні.
2) Відрізки AA1, BB1, CC1, DD1,EE1 називаються бічними ребрами
призми.
Бічні ребра призми паралельні і рівні.
3) Вершини многокутників ABCDE і A1B1C1D1E1 є вершинами
призми.
4) Бічні грані призми – паралелограми.
AEE1A1, BAA1B1, BCC1B1, CDD1C1, DD1E1E – бічні грані призми.
5) Висота призми – це відстань між площинами її основ.
6) Діагональ призми – це відрізок, який сполучає дві вершини призми, що не лежать в одній
грані.
Діагоналі призми – AC1, A1C, BD1, B1D, EB1, E1B, EC1, E1C, AD1, A1D
Перерізом називається плоска фігура, утворена при перетині геометричного тіла січною
площиною.
Ю.Марчук Курс лекцій з математики
Діагональним перерізом призми є паралелограм.
ACC1A1 – діагональний переріз призми.
Побудова перерізу призми методом слідів.
Пряма m називається слід. Це пряма перетину січної площини і площини основи призми.
Початкова умова: січна площина проходить через точку М
призми і пряму т.
Щоб побудувати переріз призми, потрібно визначити всі
точки перетину січної площини з ребрами призми.
MRFKS – переріз призми.
Побудова перерізу призми методом внутрішнього проектування.
Початкова умова: січна площина проходить через точки M, N, P призми.
ABCD – переріз призми.
Пряма призма – це призма, в якої бічні ребра перпендикулярні до основ.
Похила призма – це призма, в якої бічні ребра не перпендикулярні до основ.
Правильна призма – це пряма призма, основами якої є правильні многокутники.
Повна поверхня призми складається з двох основ та бічної поверхні.
Бічна поверхня складається з усіх бічних граней призми.
Бічною поверхнею призми називається сума площ бічних граней.
Sбіч = S1+S2+…+Sn
Повною поверхнею призми називається сума бічної поверхні і площі основ.
Sпов = Sбіч+2⋅ Sосн
Тема: Многогранники. Об'єми та площі поверхонь многогранників
Теорема. Бічна поверхня прямої призми дорівнює добутку периметра основи на висоту призми,
тобто на довжину бічного ребра.
Sбіч = p⋅ l,
p – периметр основи; l – довжина бічного ребра.
Паралелепіпед – це призма, основами якої є паралелограм.
Види паралелепіпеда: прямий, похилий, прямокутний.
Прямокутним паралелепіпедом називається прямий паралелепіпед, основою якого є
прямокутник.
Куб – це прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні.
Грані паралелепіпеда, які не мають спільних вершин, називаються протилежними.
Теорема. Протилежні грані паралелепіпеда паралельні і рівні.
Теорема. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться
пополам.
Точка перетину діагоналей є центром симетрії паралелепіпеда.
Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, які виходять з однієї вершини, називаються
його лінійними вимірами.
Теорема. У прямокутному паралелепіпеді квадрат будь-якої діагоналі дорівнює сумі квадратів
трьох його вимірів.
ПІРАМІДА. ВИДИ ПІРАМІД Пірамідою називається многогранник, який складається з плоского многокутника і точки, яка
йому не належить, та всіх відрізків, які сполучають дану точку з вершинами многокутника.
Основні елементи піраміди
SABCD – чотирикутна піраміда.
S – вершина піраміди
ABCD – основа піраміди
SA, SB, SC, SD – бічні ребра піраміди
SAB, SBC, SCD, SDA – бічні грані піраміди
SO – висота піраміди, SO ⊥ (ABCD)
Бічні грані піраміди є трикутниками.
Трикутну піраміду називають тетраедром.
Бічна поверхня піраміди дорівнює сумі площ бічних граней цієї піраміди.
Sбіч = S1+S2+…+Sn Повна поверхня піраміди дорівнює сумі бічної поверхні і площі основи.
Sпов = Sбіч+ Sосн
Переріз піраміди січною площиною, яка проходить через її вершину, є трикутником.
Діагональним перерізом піраміди називається переріз, утворений січною площиною, яка
проходить через два не сусідні бічні ребра піраміди.
Ю.Марчук Курс лекцій з математики
Правильною пірамідою називається піраміда, в основі якої лежить правильний многокутник, а
основа висоти піраміди збігається з центром цього многокутника.
Апофема – це висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини.
Теорема. Бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи на апофему.
2
lpSбіч
⋅
=
Зрізаною пірамідою називається частина піраміди, що обмежена основою піраміди і січною
площиною, яка паралельна основі.
ABCA1B1C1 – зрізана піраміда.
ABC і A1B1C1 – основи зрізаної піраміди.
Основи зрізаної піраміди паралельні і подібні.
Бічні грані зрізаної піраміди – трапеції.
Висота зрізаної піраміди – це довжина перпендикуляра, проведеного з точки
однієї основи до площини другої основи.
Діагональним перерізом зрізаної піраміди є трапеція.
Бічна поверхня правильної зрізаної піраміди дорівнює добутку півсуми периметрів основ на
апофему.
lbnanSбіч
⋅+= )(2
1
a, b – сторони основ правильної зрізаної піраміди;
an, bn – периметри основ правильної зрізаної піраміди;
l – апофема правильної зрізаної піраміди.
Повна поверхня зрізаної піраміди дорівнює сумі бічної поверхні і площ основ.
Sпов = Sбіч+ Sосн1+ Sосн2
ОБ'ЄМ ПРИЗМИ Тіла простору мають об'єм. Ми вивчаємо прості тіла.
Простим називається тіло, яке складається зі скінченної кількості трикутних пірамід.
Призми і піраміди є простими тілами.
Для простих тіл об'єм – це додатна величина, числове значення якої має такі властивості:
1) рівні тіла мають рівні об'єми;
2) якщо тіло розбито на частини, які є простими тілами, то об'єм тіла дорівнює сумі об'ємів
його частин;
3) об'єм куба, ребро якого дорівнює одиниці довжини, дорівнює одиниці.
Об'єм прямокутного паралелепіпеда з лінійними вимірами a, b, c обчислюється за формулою:
V = a⋅ b⋅ c
Дану формулу можна вивести використовуючи таку властивість: об'єми двох прямокутних
паралелепіпедів з рівними основами відносяться, як їх висоти.
11H
H
V
V=
Об'єм куба обчислюється за формулою: Vкуб = a3
Ребро куба можна обчислити за формулою: 3кубVa =
Об'єм будь-якого паралелепіпеда обчислюється за формулою: V = Sосн⋅H
Об'єм призми обчислюється за формулою: V = Sосн⋅H
ОБ'ЄМ ПІРАМІДИ Два тіла називаються рівновеликими, якщо вони мають рівні об'єми.
Дві трикутні піраміди з рівними площами основ і рівними висотами – рівновеликі.
Об'єм піраміди обчислюється за формулою:
Тема: Многогранники. Об'єми та площі поверхонь многогранників
HSVосн
⋅=
3
1
Об'єм зрізаної піраміди обчислюється за формулою:
( )2121
3SSSS
HV ++=
ПЛОЩІ ПОВЕРХОНЬ МНОГОГРАННИКІВ Оскільки поверхня будь-якого многогранника складається із скінченної кількості плоских
многокутників, то площу поверхні такого многогранника можна визначити через суму площ всіх
його граней.
Враховуючи те, що грані многогранника можуть бути трикутниками, чотирикутниками,
многокутниками, потрібно знати формули площ відповідних многокутників.
Формули площ многокутників
- для прямокутного трикутника: baS ⋅=
2
1
- для довільного трикутника: ahaS ⋅=
2
1 αsin
2
1⋅⋅= baS
формула Герона – 2
,))()((cba
pcpbpappS++
=−−−=
- для прямокутника: S=a⋅b
- для трапеції: hba
S ⋅+
=
2
- для паралелограма: S = a⋅ ha S = a⋅ b sin α
- для ромба: 21
2
1ddS ⋅= S = a
2⋅ sin α
- для квадрата: S = a2
2
2
1dS =
- для правильного многокутника: 2
rnaS
n
= n
nRS
o
360sin
2
1 2=
