ПохіднаГеометричний та механічний зміст

похідної

х

у

о

y = (x)

х0 х0 + х х

у

f

f

f (х + х)

(х)

Означення похідної

січна

х

у

о

y = (x)

х0

у0

f

Геометричний зміст похідної:

k = tgα = (x0 )

α

f

Кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції у = (x) в точці (х0; у0) дорівнює значенню похідної в точці х0.

f

/

дотична

Геометричний зміст похідної:

Кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції у = (x) в точці (х0 ; у0) дорівнює значенню

похідної в точці х0.

f

k – кутовий коефіцієнт дотичноїk = tg α, α – кут нахилу дотичноїk = (x0)

f

/

х

у

о

y = (x)

х0

у0

f

Дотична до графіка функції у = (х)

α

f

січна дотична

х

у

о

y = (x)

х0

у0

f

Дотична до графіка функції у = (х)

α

f

А

х

у

о

y = (x)

х0

у0

f

Рівняння дотичної: у = (х0) + (х0)(х – х0).

k = tgα = (x0 )

α

f

f

/

f

f

/

у0 = (х0)

Механічний зміст похідної:

х0 – координата точки

v(t0)- швидкість точки в момент часу t0

а(t0) – прискорення точки в момент часу t0

/v(t0) = x (t0)/ a(t0) = v (t0)

Задача

• Закон руху точки по прямій задано формулою: х(t) = 0,3 t + 20;

Знайти миттєву швидкість руху точки при t = 2

Задача• Користуючись геометричним змістом похідної,

знайдіть (0).f /

Задача• Користуючись геометричним змістом похідної,

знайдіть (0).f /

Задача

• Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до параболи у = х2 + х в точці з абсцисою

х = 0.• При нагріванні тіла температура

змінюється залежно від часу нагрівання t за законом Т(t) = t2 - 2t + 3. Виведіть формулу для обчислення миттєвої швидкості v(t) зміни температури тіла.

Задача• Запишіть рівняння дотичної до графіка

функції у = х2 – х + 3, яка паралельна прямій х + у + 3 = 0.

• Тіло рухається за законом S(t)= 1 + 2t2 (S – шлях у метрах t – час у секундах). Обчисліть швидкість руху в момент

t =2с• Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до

параболи у = - х2 + х в точці з абсцисою х0 = 1.

ПохіднаЗастосування

похідної

х

у

о

y = (x) f

Означення1. Крива у = (x) називається випуклою вниз у проміжку ( ;b), якщо вона лежить вище від дотичної в будь-якій точці цього проміжку .

fа

х

у

о

y = (x) f

Означення1. Крива у = (x) називається випуклою вгору у проміжку ( ;b), якщо вона лежить нижче від дотичної в будь-якій точці цього проміжку .

fа

у

хо-3

3

3

у =(6; 12)

2

3хх