Cours de mathématiques économiques

Cours de mathématiques économiques

EL Ghali KHAMLICH EL Ghali KHAMLICH

EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH

A- Algèbre linéaireA- Algèbre linéaire

- Chapitre I- Chapitre I Calcul matricielCalcul matriciel- Chapitre II- Chapitre II Systèmes Systèmes

linaireslinaires- Chapitre III- Chapitre III DiagonalisationDiagonalisation

B- B- AAnalysenalyse

- Chapitre I- Chapitre I Modélisation Modélisation optimisationoptimisation

- Chapitre II - Chapitre II Suites numériquesSuites numériques

Plan du cours


Matrices:Matrices:

1- Définition :1- Définition :On appelle matrice M de type (n, p); un tableau de nombres réels aij à n On appelle matrice M de type (n, p); un tableau de nombres réels aij à n lignes et p colonnes. aij désigne le coefficient de la matrice M situé à lignes et p colonnes. aij désigne le coefficient de la matrice M situé à l ’intersection de la ligne n°i et de la colonne n°j. i : indice des l ’intersection de la ligne n°i et de la colonne n°j. i : indice des lignes; i = 1,2,3,........,nlignes; i = 1,2,3,........,n j : indice des colonnes; j = 1,2,3,....,p j : indice des colonnes; j = 1,2,3,....,p

On notera par On notera par MM(n,p) (n,p) l’ensemble des matrices du type (n,p) à coefficients dans l’ensemble des matrices du type (n,p) à coefficients dans IR (les aij ).IR (les aij ).

pj1

ni1M a

aaaa

aaaa

aaaaaaaa

ij

npnjn2n1

ipiji2i1

2p2j2221

1p1j1211

Chapitre I Calcul matriciel


Remarques:

*Si n = p : la matrice M est dite matrice carrée d’ordre n.

exemple:L’écriture de la matrice carrée d’ordre 3 est:

*Si n = 1 : la matrice M est dite matrice ligne (ou vecteur ligne)

11

21

n1

a

a

a

aaaaaaaaa

333231

232221

131211

11 12 1pa a a

*Si p = 1 : la matrice M est dite matrice colonne (ou vecteur colonne) M=


A

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

a1 i n

1 j p

11 12 1j 1p

21 22 2j 2p

i1 i2 ij ip

n1 n2 nj np

ij

11 21 i1 n1

12 22 i2 n2

1j 2j ij nj

1p 2p ip np

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

3- Opérations sur les matrices:3.1-Transposition d’une matrice:

Soit A une matrice de type (n,p). (n lignes et p colonnes)

On appelle transposée de la matrice A; la matrice qu’on note tA telle que :

tA =


Remarque:tA est une matrice de type (p,n) (p lignes et n colonnes) c’est à dire: les lignes

deviennent colonnes et les colonnes deviennent lignes.

5010

2913

10875

6321

52106

0983

1172

0351

Exemple:

A=

La matrice transposée est telle que:

3.2-Somme des matrices:On appelle somme de deux matrices A et B de même type (n,p); la matrice C = A + B du type (n,p); telle que: si A = (aij) et B = (bij) alors, C = (cij) et pour chaque

élément cij, on a,

cij = aij + bij , avec i = 1,2,.......,n et j = 1,2,.........,p.

tA=


2254

3660

5831

A

2350

98117

3012

B

225104

61457

8823

C

Exemples:

Soient les deux matrices de type (3,4) suivantes telles que:

et

La matrice C = A + B du même type que A et B (3,4) sera donnée de la façon suivante:


Propriétés:Soient A, B et C trois matrices du même type (n,p); on a:P1- A + B = B + A et (A + B) + C = A + (B + C)P2- Soit O(n,p) M(n,p) la matrice nulle de M(n,p) avec:

0 0 0

0 0 0

0 0 0

On a A M(n,p) ; A + O(n,p) = O(n,p) + A = A

O(n,p) =


A

1 7 8 5

0 6 6 3

4 5 1 2

( , )3 4

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0O

2254

3660

5831

A

2254

3660

5831

Exemple:Soit la matrice A de type (3,4) donnée par :

et la matrice nulle de type (3,4) donnée par

A + O = O + A = A

P3- L’opposée de la matrice A = (aij) M(n,p) est la matrice (-A) M(n,p) telle que :

(-A) = -(aij) = (-aij) avec i = 1,2,.......,n et j = 1,2,.........,p.

Exemple:L’opposée de la matrice

est la matrice - A =

P4- La transposée d’une somme de deux matrices A et B est égale à la somme des transposées tA et tB , autrement dit : t(A+B) = tA + tB


11 12 1j 1p

21 22 2j 2p

i1 i2 ij ip

n1 n2 nj np

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

11 12 1j 1p

21 22 2j 2p

i1 i2 ij ip

n1 n2 nj np

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

2254

3660

5831

A

224108

612120

101662

A

3.3-Produit d’une matrice par un scalaire:Soit A M(n,p) ; IR

=

Exemple:

2*

AA =


11 12 13

21 22 23

a a a

a a a

11 12

21 22

31 32

b b

b b

b b

11 12 13

21 22 23

a a a

a a a

11 12

21 22

31 32

b b

b b

b b

babababababababababababa

322322221221312321221121

321322121211311321121111

Propriétés: A, B M(n,p) et , IR P1- (A + B) = A + BP2- ( + ) A = A + AP3- ( A) = ( ) AP4- 1.A = AP5- t( A) = tA

3.4-Produit de deux matrices:

Soient deux matrices A et B de types respectifs (2,3) et (3,2) tel que:

et B =

La matrice C qui est le produit de la matrice A par la matrice B est donnée de la façon suivante :

Remarque:Le produit de deux matrices n’est possible que si le nombre de colonnes de la 1ère matrice A est égal au nombre de lignes de la 2ème matrice B.

A =

C = A.B = =

(2,3) (3,2) (2,2)


11 1 1

1

1

11 1 1

1

1

11

1 11

1 11

11

1 1

11

1 1

a a a

a a a

a a a

b b b

b b b

b b b

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

k p

i ik ip

n nk np

j q

k kj kq

p pj pq

kk

p

k kk

p

kj kk

p

kq

ikk

p

k ikk

p

kj ikk

p

kq

nkk

p

k nkk

p

kj nkk

p

kq

Cas général:

Soit A = (aij) une matrice de type (n,p) et B = (bij) une matrice de type (p,q), on appelle

produit de la matrice A par la matrice B: la matrice C = (cij) de type (n,q) défini par :

C = A.B ; avec 1 i n et 1 i q et

; A(n,p) . B(p,q) = C(n,q)

cij = babababa pjipjijikj

p

kik

..............2211

1 ou encore


543

211

64

01

72

5130

1911

Applications:

1- Soit A = et B =

La matrice produit C = A.B =

Propriétés:P1- Soit A M(n,p) et B M(p,q). (A.B) existe, mais en général si q n, (B.A) n’existe pas.a- Si n = q, on a A(n,p). B(p,n) = C(n,n) matrice carrée ; et

B(p,n). A(n,p) = D(p,p) matrice carrée

b- Supposons maintenant qu’on a p = q = n , on a pas forcément C = D (A.B = B.A)


132

153

012

601

470

121

8171

17292

632

61710

114729

186

0 1 0

0 0 0

0 0 0

1 0 0

0 0 0

1 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Exemple:

Soient les deux matrices A et B suivantes:

et B =

Calculer les produits: A.B et B.A et conclure.

Et B.A =

P2- Le Produit A.B = O n’implique pas que A = O ou B = O, en effet:

= O3 ;

A =

A.B =

A.B = alors que A O3 et A O3


P3- [(A(n,p)). (B(p,n))]. (C(q,r)) = (A(n,p)). [(B(p,n)) .(C(q,r))]On dit que le produit matriciel est associatif.P4- [(A(n,p)) + (B(n,p))]. (C(p,q)) = (A(n,p)).(C(p,q)) + (B(n,p)]. (C(p,q))On dit alors que la multiplication est distributive par rapport à l’addition.P5- t(A.B) = tB. tA

3.5-Matrices particulières: 3.5.1-Matrice carrée:

On appelle matrice carrée d’ordre n, toute matrice A ayant n lignes et n colonnes.

nj1

ni1A a

aaaa

aaaa

aaaaaaaa

ij

nnnjn2n1

iniii2i1

2n2j2221

1n1j1211

a11, a22, a33, ......., aii, ........., ann sont les termes de la diagonale principales de la matrice A.


3.5.2-Matrice diagonale: On appelle matrice diagonale d’ordre n, toute matrice dont les éléments en dehors de sa diagonale principale sont nuls : c’est à dire , aij = 0 si i j.

A

a

a

a

a

a

11

22

33

ii

nn

3.5.3-Matrice triangulaires: a- On appelle matrice triangulaire supérieure, toute matrice carrée dans laquelle les éléments situés au dessous de la diagonale principale sont nuls; c’est à dire:

A

a a a a

a a a

a a

a

a1 i n

1 j na

11 12 1j 1n

22 2j 2n

ii in

nn

ij ij

tel que si i j0


b- On appelle matrice triangulaire inférieure, toute matrice carrée dans laquelle les éléments situés au dessus de la diagonale principale sont nuls; c’est à dire:

A

a

a a

a

a a a

a1 i n

1 j na

11

21 22

ii

n1 n2 nn

ij ij

tel que si i j0

Propriété: Si A et B sont deux matrices triangulaires supérieures (respectivement inférieures) d’ordre n alors, (A + B) et (A.B) sont aussi des matrices triangulaires supérieures (respectivement inférieures).


100

150

012

200

820

311

300

970

323

200

38100

202

Exemples:1) Soient les matrices triangulaires supérieures A et B suivantes:

et B =

Calculer : (A + B) et (A.B).

et A.B =

Les matrices A + B et A.B sont bien des matrices triangulaires supérieures

A=

A + B =

3.5.4-Matrice unitaire:

On appelle matrice unitaire, une matrice diagonale d’ordre n notée In dont les éléments

qui forment la diagonale principale sont unitaires : c’est à dire , aii = 1.

A

1

1

1

1

1

Si A est une matrice carrée d’ordre n : A.In = In.A = A

A et I

1 6 0 2

1 4 1 5

3 3 9 6

4 2 7 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

4

1724

6933

5141

2061

A

Exemple:Soit A une matrice carrée d’ordre 4 et I4 la matrice unitaire d’ordre 4 tel que:

Calculer A.I et I.A.

A.I = I .A =



A

110

151

012

110

151

012

3.5.5-Matrice symétrique: On dit que la matrice carrée a d’ordre n est symétrique si tA = A, c’est à dire que :

aij = aji avec, i = 1,2,3,......,n et j = 1,2,3,......,n

Exemple:Soit A une matrice tel que:

; donner la matrice tA, que peut-on déduire?

tA =


Propriétés:

P1- Si A et B sont deux matrices symétriques, alors (A+B) est une matrice symétrique.En effet: on sait que tA = A et tB = B et que t(A+B) = tA + tB = A + B.Donc (A + B) est une matrice symétrique.P2- Si A est une matrice symétrique et IR, alors (A) est une matrice symétrique.En effet: on sait que tA = A et que tA = tA = A.Donc (A) est une matrice symétrique.P3- Si A et B sont deux matrices symétriques, la matrice (A.B) n’est pas nécessairement une matrice symétrique.En effet: t(AB) = tB .tA = B.A, or en général A.B B.A


11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 21 31

12 22 32

13 23 33

a a a

a a a

a a a

et t

a a a

a a a

a a a

A

Or t Aa a a

a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

a a

a a

a a

a a a

A

11 21 31

12 22 32

13 23 33

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 11

22 22

33 33

11 22 33

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0

0

0

0

4.5.6-Matrice antisymétrique:On dit que la matrice carrée A est antisymétrique si tA = -A, c’est à dire que: aij = -aji

Remarque:Soit A une matrice carrée d’ordre 3 donnée comme suit:

A est antisymétrique si tA = -A tA + A = O3.

A=


P2- Si A et B sont deux matrices antisymétriques, alors la matrice (A.B) n’est pas forcément antisymétrique.En effet: t(A.B) = tB .tA + = (-B) (-A) = (B.A) -(A.B) généralement

Aa a

a a

11 12

21 22

II- Déterminants des matrices:A chaque matrice A on fait correspondre un nombre réel, appelé déterminant de la matrice, et noté det A, ou encore A . Ce nombre s’obtient à partir des règles de calculs suivantes:

1- Déterminant d’ordre 2:Soit la matrice A donnée comme suit:

Le déterminant de A est donné de la façon suivante:

= a11.a22 - a12.a21

det A = 11 12

21 22

a a

a a


A

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

a1 i n

1 j n

11 12 1j 1n

21 22 2j 2n

i1 i2 ii in

n1 n2 nj nn

ij

Exemple:

Soit la matrice A=

2- Déterminant d’ordre n:Soit A une matrice d’ordre n tel que:

43

12; calculer son déterminant.

Det A = 11


Définitions:

D1- On appelle mineur de l’élément aij, le déterminant Mij d’ordre (n-1) obtenu à

partir du déterminant de A en supprimant dans ce déterminant la ième ligne et la jème colonne.

Exemple:

Soit A la matrice tel que: A =

110

151

012

Déterminer les mineurs M32, M22, et M33

11

02

10

0251

12

M32 =

= 2 M22 = = 2 M33 = = 9


D2- On appelle cofacteur de l’élément aij, le nombre Aij = (-1)i+j Mij

Exemple:

Pour la même matrice A, déterminer les cofacteurs A32 et A21

A32 = (-1)3+2 M32= -2 A21 = (-1)1+2 M21= 1


ijj

n

ija A

1

iji

n

ija A

1

D3- Le déterminant d’une matrice carrée A d’ordre n est égal à la somme des produits de chaque élément d’une ligne (ou d’une colonne) par son cofacteur.

Si on développe le déterminant suivant la ligne n° i, on a :

det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ai3Ai3 +........... + ainAin =

Si on développe le déterminant suivant la colonne n° j, on a : det A = a1jA1j + a2jA2j + a3jA3j +........... + anjAnj =

Remarques:R1- Les deux relations précédentes sont identiques. Le déterminant d’ordre n ne change pas de valeur quelle que soit la ligne ou la colonne suivant laquelle le développement est effectué.R2- Dans chaque cas, on est ramené au calcul de n déterminants d’ordre (n-1). On applique la même règle pour calculer chacun d’eux et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on arrive à des déterminants d’ordre 2.R3- Pour le calcul de déterminant d’une matrice, il convient de choisir la ligne ou la colonne qui contient un maximum de termes nuls (des zéros).


110

151

012

10

51

10

12 51

12

11

1510

11

Exemple:Soit la matrice A tel que:

calculer la déterminant de A en le développant suivant:1) la 3ème colonne.2) la 1ère ligne.Que peut-on conclure?

1.det A = 0 - 1 + 1

2. det A = 2

+ 0 = -13

A =

=-13

-(-1)


iii

n

a

1

7000

0300

0010

0001

A

Cas particuliers :le déterminant d’une matrice d’ordre n diagonale, diagonale supérieure, diagonale inférieure est égal au produit des termes constituant sa diagonale principale.

Det A = a11.a22.a33. ..............ann =

Exemple:Soit A une matrice diagonale d’ordre 4 tel que: Calculer le déterminant de .

Det A = 21

• 3- Propriétés:• P1- Si les éléments d’une colonne dans une matrice sont

tous nuls, alors le déterminant de cette matrice est nul.• P2- Si dans une matrice une colonne est multipliée par un

scalaire , alors son déterminant est multiplié par ce même scalaire.

• Application:

• A = et B =

• Calculer les déterminants des matrices A et B:• Det A = -13 et det B = -26

110

151

012

110

152

014

Remarques:R1- Si A est une matrice d’ordre 3, alors la matrice A =

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

a pour déterminant: det (A) = det A = 3 det A.

R2- Généralement, si A est une matrice d’ordre n, alors: det (A) = n det A

• Propriété: Un déterminant ne change pas de valeur si aux éléments d’une colonne on ajoute les éléments d’une autre colonne multipliés par le même nombre

• • Exemple:• Calculer les déterminants des matrices A et B suivantes:

• A = et B =

• • Que peut-on déduire?• Det A = det B = -4

110

152

011

110

130

011

Chapitre II Systèmes linéaires

x

Chapitre III Diagonalisation

Exercices d’applicationExercices d’application

Corrigé des exercices

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