Regla general de la derivada.

Incrementos y diferenciales

 

Para funciones de una variable , se define el incremento de como

y la diferencial de como

representa el cambio en la altura de la curva y representa la variación en a lo largo de la recta tangente cuando varía en una cantidad .

En la siguiente figura se muestra .

Figura 1: diferencial 

Observe que se aproxima a cero más rápidamente que , ya que

y al hacer , tenemos que .

Por tanto

donde conforme .

 

Derivadas

La lvariable x, no quieres decir que solo ella se aplica en las funciones, aqui solo es un

ejemplo.

Derivada de una constante.

f ( x )=k

f ' ( x )=0

Ejemplo:

f ( x )=52

f ' ( x )=(52)'

f ' ( x )=0

Derivada de una variable.

f ( x )=varible

f ' ( x )=(varible) '

f ' ( x )=1

Ejemplo:

f ( x )=x

f ' ( x )=(x )'

f ' ( x )=1

Derivada de una variable por un escalar K.

f ( x )=Kvariable

f ' ( x )=K (variable )'

f ' ( x )=k

Ejemplo:

f ( x )=5 x

f ' ( x )=5

Derivada de una potencia.

f ( x )=xn

f ' ( x )=(x¿¿n)' ¿

f ' ( x )=nxn−1

Ejemplo:

f ( x )=x 4

f ' ( x )=(x¿¿4) ' ¿

f ' ( x )=4 x3

Derivada de una raíz cuadrada.

f ( x )=√x

f ( x )=xn

f ' ( x )=(√ x) '

f ' ( x )=(( x )12) '

f ' ( x )= x '

2√ x

Ejemplo:

f (θ )=√θ

f ' ( x )= 12√θ

Derivada de una raiz

f ( x )= n√x

f ' ( x )=( n√ x) '

f ' ( x )= x '

nn√ xn−1

Ejemplo:

f ( p )=5√2 p−4

f ' ( p )=( 5√2 p−4)'

f ' ( p )= 2

44√(2 p−4)3

Derivada de una un polinomio

f (u )=k ± ku1±k u2…….±k un

f ' (u)=0±ku1−1±(1)(k u2−1)…….±(n−1)(k un−1)

f ' (u )=k ±2ku…….±kun

Ejemplo:

y=5 x2+8 x+2

y '=10 x+8

Para la aplicacion de las siguientes reglas vamos a considerar a las variables, u . v para la aplicacion de las reglas.

Derivada de una multiplicación

y=uv

dydx

=u' v+uv '

Ejemplo:

y= (x+3 ) ( x+6 )3

y '=( x+3 )' (x+6 )3+ ( x+3 )[( x+6 )3] '

y '=( x+6 )3+3 ( x+3 ) ( x+6 )2(1)

y '=( x+6 )3+(3 x+9 ) ( x+6 )2

Derivada de una division

y=uv

dydx

=u'v−uv 'v2

Ejemplo:

y=(5 x+4 )2

x+2

dydx

=2 (5 x+4 )(5)( x+2 )− (5 x+2 )2

( x+2 )2

dydx

=¿¿(5)−25 x2−20 x−4 ¿(x+2 )2

dydx

=50 x2+140 x+80−25 x2−20 x−4( x+2 )2

dydx

=25 x2+120 x+76( x+2 )2

Regla de la cadena.

( fog )' ( x )=g' [ f ( x ) ] f ' (x)

y=( x2+2 )4

dydx

=[ (x2+2 )¿¿4 ] '(x2+2)' ¿

dydx

=4 ( x2+2 )2(2x )

dydx

=(x2+2 )2(8 x)

Derivada de un logaritmo

F=ln f (x)

dydx

= 1f ( x )

( f (x ))'

dydx

=ln ( x+8 )(2 x+6)

dydx

= 1(x+8 ) (2 x+6 )

[ (2 x+6 )+(x+8)(2)]

dydx

=2 x+6+2 x+16(x+8)(2 x+6)

dydx

= 4 x+22(x+8)(2x+6)