Operad and Recognition Principle

Copyright © 2016 NTT DATA Mathematical Systems Inc.

2016/04/28 ロマンティック数学ナイトs.t.@simizut22Operad と Recognition Principle

2Copyright © 2016 NTT DATA Mathematical Systems Inc.

内容

0. Historical Reasons and Motivation1.What is an Operad…2.Operad Algebra3.Recognition Principle(Delooping Machine) ※ 0 章を追加 (4/30)


Historical Reason and Motivation Stasheff の Associahedra円周を i.e. 区間を端点をくっつけたもので考える ( 基点 * はくっつけた件の点 )基点付き位相空間のループ空間

には “積” が入る . たとえば

( 𝑓 1∗ 𝑓 2)∗ 𝑓 3=¿ 𝑓 1∗ ( 𝑓 2∗ 𝑓 3 )=¿


Historical Reason and Motivationの積を定めると、次の 2 通りが考えられる

この 2 つは一般的には異なる。ただし連続的に変形して互いに移り合うことは可能である。

この homotopy を

で現すことにする。これを形式的に表すと、以下の図になる (* や f は省略

これを、 4 つの積、 5 つの積 ... と繰り返していく。

( 𝑓 1∗ 𝑓 2)∗ 𝑓 3=¿ 𝑓 1∗ ( 𝑓 2∗ 𝑓 3 )=¿

(12)3 1(23)


Historical Reason and Motivation例 ) 4 つの積は 5 通りの結合方法が考えることができ、例えば

なる連続変形には次の 2 つの path が存在する

この二つの経路をつなぐ homotopy( 面 ) を

((12)3)4

(1(23))4

1((23)4)

1(2(34))

(12)(34)


Historical Reason and Motivation 5 つの場合は以下の 14 頂点の polytope で表される

ここで、各 5 角形の面は先の 4 積の homotopy 結合性を表した K4 である


Historical Reason and MotivationStasheff はより一般に次の概念を導入したDef() [J. D. Stasheff(1963)]位相空間 Y が ( 高次の ) 積の列

を持ち、“適切な” compatibility を unit が存在するときがを持つという Fact 今までの議論よりループ空間 ) は

実は、これの逆が成立するThm 連結成分が群を成す Hopf 空間 Y が構造を持てば、 Y はループ空間のホモトピー型を持つ． i.e.同様の議論を多重ループ空間にも拡張したい


What is an Operad… RemarkD.Borisov, Y.Manin[2007] は Operad の解釈として次の 3 つを挙げている1. グラフ理論の圏化 (Categorification) を実現するもの2. 計算プロセスの形式化3. 射の合成 (with relation) がある集合上の代数構造を調べる道具

http://arxiv.org/abs/math/0609748





What is an Operad… Def(Operad)と Operadic Composition の集まりが次の条件

1. に対し

を満たすとき、 Operad という自明な（でも大切な例 )位相空間 X に対し

with とすると、これは Operad


例１

Tree Operad w/ {root が n 個、葉が 1 つからなる tree}

合成は接ぎ木をすることで得られる

例： w/


例 2 Little n-Disks Operad は次のもので構成される

単位円盤に埋め込まれた j 個の n 次元円盤で1. それぞれの内部は互いに交わらない2. 平行移動とサイズの縮小のみ ( ゆがめたりしない ) このような埋め込み全体をとする

合成はの大外の円盤をの第 i 円盤の中に adjust して、ぶち込む

DefLittle n-Disks Operad と homotopy 同値な operad を operad という


例２ (Little n-disks Operad)

Little 2-disks での合成例

画像は math.stackexchange より拝借http://math.stackexchange.com/questions/1459369/clarification-regarding-little-n-discs-operads


Operad Algebra Def(Operad Algebra)Operad C に対し空間が C -Algebra の構造を持つとは射が存在する具体的には各 n に対しが存在し、

が成立する ( 合成と compatible)これは、

を考えても同じ (compatibility は省略 )


Operad Algebra Operad Algebra の構造からわかることの例

( 仮定 ) に対し，が定まる．これは algebra X に積構造が入ったことと思える

0. が弧状連結

⇒ homotopy unital ！ ( が hom. unit) という道が作れる

2. が弧状連結 ( 任意の二点をつなぐ道が存在 ) ⇒ homotopy assoc. ！！

という道が作れる in 3. が弧状連結

⇒ homotopy comm. ！！！

2. Homotopy associativity

3. Homotopy commutativity


Operad Algebra ループ空間と　 En-algebra空間 X に対し n 重ループ空間

境界はすべて基点に移す写像全体

は En-algebra の構造を持つ

実際、に対し次のループをにより

を定めることとする：


Recognition Principle Theorem(Recognition Principle) [J.P.May(1972)][J.M.Boardman, R.M.Vogt(1973)]弧状連結な空間 X が En-algebra の構造を持つならば、 X は n 重ループ空間の弱ホモトピー型を持つ

つまり、先ほどの自明な主張の逆がある意味で成立しているということ

でのループを解消した空間をあらわすとする i.e.

実際には Bn を構成して、その後に弱同値を示すので、このような functor は存在する

⇒ こういうものは Delooping Machine と言われる


まとめ

Operad は、代数的な操作 ( 積とか和というものを ) を抽象化したもの空間を調べるために、その operad algebra としての構造を調べる代数的な話から位相空間としての性質が見えてくる付加的な代数構造が分かる⇒以下、できるまで…


代数トポロジーはいいぞぉ！！！！

Science

Operad and Recognition Principle