Збіжна система сил. Теорема про три сили.

Вказівки до завдань С1.

Сили, лінії дії яких перетинаються в одній точці, утворюють систему

збіжних сил.

Нехай задана збіжна система сил, що прикладена до твердого тіла в

точках А, В, … (рис. 1). Користуючись тим, що сила – вектор ковзний,

переносимо всі сили в точку О. Складаючи сили за правилом паралелограма або

за правилом силового многокутника, знайдемо рівнодійну системи, яка

визначається як замикаюча сторона силового многокутника (рис. 1):

Рис. 1

R⃗=∑k=1

n

F⃗k (1)

Побудуємо систему координат з початком у точці О та визначимо числове

значення рівнодійної R⃗ за формулою:

R=√R x2+R y2 +R z2=√(∑k=1

n

F kx)2

+(∑k=1

n

Fky)2

+(∑k=1

n

F kz)2

(2)

Рівності R x=∑k=1

n

F kx, Ry=∑k=1

n

Fky, R z=∑k=1

n

F kzвипливають з теореми векторної

алгебри – «проекція геометричної суми на будь-яку вісь дорівнює алгебраїчній

сумі проекцій складових векторів на ту ж саму вісь» (рис. 2).

Рис. 2

Для рівноваги збіжної системи сил необхідно й достатньо, щоб рівнодійна

системи дорівнювала нулю, тобто

R⃗=0⃗ (3)

Тоді з рівності (1) випливає, що при рівновазі сил многокутник сил

збіжної системи є замкнутим, а з рівності (2), що при цьому алгебраїчні суми

проекцій сил системи на три взаємно перпендикулярні осі дорівнюють нулю,

тобто

∑k=1

n

F kx=0; ∑k=1

n

Fky=0 ;∑k=1

n

Fkz=0 ; (4)

Замкненість многокутника сил збіжної системи та рівняння (4) носять

назву умов рівноваги збіжної системи сил. Перша умова називається

геометричною умовою рівноваги, друга – аналітичними умовами рівноваги, або

рівняннями рівноваги збіжної системи сил.

Теорема про три сили. Якщо тверде тіло перебуває у стані рівноваги під

дією трьох непаралельних сил, що лежать в одній площині, то лінії дії цих сил

перетинаються в одній точці.

Нехай тверде тіло перебуває у рівновазі під дією трьох сил: F⃗1, F⃗2, F⃗3. Всі

сили містяться в одній площині (рис. 3).

Оскільки згідно з умовою теореми сили F⃗1, F⃗2, F⃗3 непаралельні, то лінії дії

двох сил, наприклад сил F⃗1 та F⃗2, перетинаються в довільній точці, наприклад у

точці О. Переносимо сили F⃗1 та F⃗2 у точку О та знайдемо їх рівнодійну R⃗ (див.

рис.3). Тепер можна розглядати рівновагу тіла, на яке діють дві сили R⃗ та F⃗3.

Очевидно, ці сили діють вздовж однієї прямої, тобто утворюють найпростішу

зрівноважену систему сил. Звідси випливає, що лінія дії сили F⃗3 проходить

через точку О.

Рис. 3

Задачі, в яких розглядається рівновага збіжної системи сил на площині,

можна за характером в'язей розділити на два типи:

1) задачі, де в'язі, що накладаються на тіло, рівновагу якого ми

розглядаємо, такі, що наперед можна визначити лінії дії реакцій цих в'язей

(гладенька поверхня, невагомий ідеальний стержень, невагома нитка);

2) задачі, де одна з в'язей, накладених на тіло, така, що лінію дії

реакції наперед визначити не можна, наприклад нерухомий шарнір. У цьому

випадку, якщо тіло перебуває у рівновазі під дією трьох непаралельних сил, що

лежать в одній площині, то лінію дії невідомої реакції можна визначити за

допомогою теореми про три сили. До цього типу задач і належить завдання С1.

Розв'язуючи задачі про рівновагу збіжної системи сил, треба додер-

жуватися такого порядку:

1) виділити об'єкт (тіло, точку), рівновагу якого розглядають;

2) зобразити задані сили;

3) визначити в'язі, накладені на тіло;

4) застосовуючи аксіому про звільнення від в'язей, умовно відкинути в'язі

та прикласти відповідні реакції в'язей;

5) зробити аналіз утвореної системи сил. Якщо задачу будемо розв'я-

зувати за допомогою аналітичних умов рівноваги системи сил, то

треба:

6) вибрати прямокутну систему координат;

7) скласти рівняння рівноваги твердого тіла під дією збіжної системи сил,

тобто рівняння (4);

8) розв'язати систему рівнянь і визначити всі невідомі величини;

9) зробити аналіз розв'язку.

При розв'язанні задачі за допомогою геометричної умови рівноваги

збіжної системи сил, замість пунктів 6 і 7 слід побудувати замкнений

многокутник сил, з якого визначити величину і напрям реакцій (коли кількість

сил, що утворюють збіжну систему, перевищує 3, то краще застосовувати

аналітичні умови рівноваги).

Приклад 1. Дефлегматор (теплообмінник) ректифікаційної колони

спирається на горизонтальну балку АВС, прикріплену до вертикальної стіни

шарніром А. Балка підтримується у рівновазі за допомогою стержня СD, як це

показано на рис. 4. Кут α=37°. На балку в точці В з боку дефлегматора діє сила

Р=10кН. Визначити реакцію шарніра А та стержня. Вагою балки та стержня

знехтувати.

Рис. 4

Розв'язання. Розглянемо рівновагу балки АВС, до якої прикладена сила Р⃗

(рис. 5). Балка АВС – невільне тіло. В'язями для неї є нерухомий шарнір А і

невагомий стержень СD. Застосовуючи аксіому про звільнення від в'язей, уявно

відкинемо в'язі і прикладемо відповідні їм реакції. Реакція S⃗ стержня СD

напрямлена вздовж стержня, а лінія дії реакції шарніра А – невідома. Оскільки

балка перебуває у рівновазі під дією трьох непаралельних сил, що лежать в

одній площині, то лінії їх дії мусять перетинатися в одній точці. Продовжуючи

лінії дії сили Р⃗ і реакції стержня СD до перетину, дістанемо точку К, через яку

мусить пройти і лінія дії реакції шарніра A. Сполучивши точки А і К матимемо

пряму – АК лінію дії реакції R⃗A шарніра A. Початково напрямляємо реакції S⃗ та R⃗A, як показано на рис. 5.

Рис. 5

Визначення реакцій S⃗ та R⃗A за допомогою геометричної умови

рівноваги збіжної системи сил.

Щоб визначити величину і напрям реакцій S⃗ та R⃗A, застосуємо

геометричну умову рівноваги збіжної системи сил. Для цього побудуємо

замкнений силовий трикутник (рис. 6). Побудову починаємо з відомої сили Р⃗.

У відповідному масштабі від довільно взятої точки відкладаємо вектор,

який геометрично дорівнює силі Р⃗.

Рис. 6

Через початок і кінець цього вектора проводимо прямі, відповідно

паралельні лініям дії реакцій S⃗ та R⃗A до їх перетину. Задаємо напрям сил так,

щоб трикутник був замкнутим (рис. 6). З трикутника на підставі теореми

синусів маємо:

Psinφ

= Ssin γ

=RA

sin β(5)

Визначаємо кути φ, γ та β. Кут β визначаємо з трикутника ΔКВС (рис. 5),

тобто β =90° - 53° = 37°. Кут γ визначаємо з трикутника ΔКВС (рис. 5), тобто

tan γ=1,2KB

= 1,20,66

=1,81, отже γ= 61°, де KB= 0,5tan γ

= 0,50,754

=0,663 м. Тоді φ = 180° - (β +

γ) = 180° - 98°=82°.

З рівності (5) визначаємо S і RA:

S= P sin γsinφ

=10 ·0,8750,99

=8,84 кН.

RA=P sin βsinφ

=10 ·0,6020,99

=6,08 кН.

Дійсний напрям S⃗ та R⃗A поданий на рис. 5.

Примітка 1. Дійсний напрям реакцій, тобто сил, з якими в'язі діють па

тверде тіло, що розглядається у рівновазі, визначає силовий трикутник (див.

рис. 6). Звільняючи тверде тіло від в'язей та замінюючи в'язі відповідними

реакціями, ми, як правило, знаємо лише лінії дії реакцій в'язей, але не знаємо

напрям реакцій вздовж цих ліній. Тому, замінюючи в'язь відповідною реакцією,

початково напрямляємо реакцію в будь-який бік по лінії її дії. Побудувавши

силовий трикутник, коригуємо напрям реакції (див. рис. 5 і 6).

Визначення реакцій S⃗ та R⃗A за допомогою аналітичних умов рівноваги

збіжної системи сил. Щоб визначити величину і напрям реакцій S⃗ і R⃗A

скористуємося аналітичними умовами рівноваги збіжної системи сил (4). Так як

на балку АВС (рис. 5) діє плоска система збіжних сил, то з трьох рівнянь

рівноваги (4) залишається тільки два:

∑k=1

n

F kx=0; ∑k=1

n

Fky=0 (4,а)

Побудуємо систему координат з початком у точці А (рис. 5) та складемо

рівняння рівноваги (4,а). При складанні рівнянь рівноваги приймаємо до уваги,

що проекція сили на вісь – скалярна величина, яка дорівнює добуткові модуля

сили на косинус кута між напрямом сили і додатним напрямом осі.

Оскільки кути між осями координат і реакціями S⃗ і R⃗A визначені при

застосуванні геометричної умови рівноваги сил, що діють на балку АВС

(рис. 5), то маємо

∑k=1

n

Fkx=0; R Acos29°−S cos53°=0;

∑k=1

n

F ky=0 ;R A sin 29°+S sin 53°−P=0 ;

Розв'язуючи ці рівняння, знаходимо:

RA=Scos 53°

cos29°=S ∙0,602

0,875=0,688S=0,688 P

1,13=10 ∙0,688

1,13=6,08 кН.

де S= P1,13

= 101,13

=8,84 кН.

Дійсний напрям реакцій S⃗ і R⃗A поданий на рис. 5.

Примітка 2. Якщо з рівнянь рівноваги шукані сили визначаються зі

знаком "+", то початковий напрям цих сил є дійсним їх напрямом (див. рис. 5).

Якщо з рівнянь рівноваги ці сили визначаються зі знаком "-", то слід змінити їх

початковий напрям на протилежний.