Лекція. Інтегрування ірраціональних функцій та тригонометричних

виразів.

Розглянемо деякі типи інтегралів, що зводяться до інтегралів від

раціонального дробу.

1. Інтеграл

де R — раціональна функція своїх аргументів, тобто частка поліномів від

цих аргументів, а — раціональні числа. Нехай m — спільний знаменник

показників цих дробів. Введемо нову змінну t:

При цьому, очевидно, і вирази будуть раціональними

функціями t, а шуканий інтеграл зведеться до інтеграла від раціонального

дробу.

2. Вираз називається біноміальним диференціалом, де —

будь-які дійсні числа, — раціональні числа.

Розглянемо три випадки.

1-й випадок: р — ціле число.

Тоді, записавши вираз за формулою бінома Ньютона, дістанемо

Позначимо найменший спільний знаменник дробів m і n через k. Після

заміни даний вираз перетворюється на раціональну функцію.

2-й випадок: р — не ціле число.

Зробимо заміну Тоді

Вираз набирає вигляду:

Позначимо через q.

Розглянемо випадок: q — ціле число. Ця умова рівносильна тому, що

— ціле число.

Позначимо знаменник числа p через k і зробимо заміну Тоді

Звідси Позначимо чисельник дробу числа р через l.

, , ,... ,ax b ax b

R x dxcx d cx d

, , ...

.max bt

cx d

,dx

xdt

,ax b ax b

cx d cx d

p

m nx a bx dx ,a b

, ,m n p

pnbxa

1 2 2 2 2 ... .p

m n p m p m n p m n p np m

px a bx a x pa bx C a b x b x

k x t

.nx t

1 111

, , .

m

mn n nx t x t dx t dtn

1 1

1 11 1.

m mp p

n n nt t a bt dt t a bt dtn n

11

m

n

1m

n

.k a bt z

.ka bt z 1

; .k kz a kz

t dt dzb b

Тоді ( — цілі числа). Біноміальний диференціал звели

до інтегрування раціональної функції:

Отже, якщо — ціле число, то підстановка зводить

біноміальний диференціал до інтегрування раціональної функції.

3-й випадок: р — не ціле число, — ціле число.

Позначимо Тоді інтеграл набирає вигляду

Розглянемо випадок, коли — ціле число. Нехай k — знаменник

дробу р. Тоді заміна зводить підінтегральний вираз до раціональної

функції.

За часів Ньютона було відомо, як інтегрувати біноміальний диференціал у

трьох випадках:

1) р — ціле;

2) — ціле;

3) — ціле.

У середині минулого століття російський математик П.Л. Чебишов довів

відому теорему:

Якщо ні один із цих випадків не виконується, то біноміальний диференціал

проінтегрувати в елементарних функціях неможливо.

3. Інтеграли виду

(1)

де R — раціональна функція, зводиться до інтегралів від раціонального

дробу за допомогою підстановок Ейлера.

У випадку можна користуватися першою підстановкою Ейлера:

Підносячи обидві частини цієї рівності до квадрата і розв’язуючи відносно

, дістаємо:

11q

k klz a kz

z dzn b b

, ,q k l

, , .kn n k nx t a bx z z a bx

11

mq

n

k nz a bx

p q

.nx t

1 1

.

ppq p q a bt

t a bt dt t dtn n t

11

mp

n

ka bt

zt

.n

k nkn

a bxz b ax

x

1m

n

1mp

n

2, .R x ax bx c dx

0a

2 .ax bx c t ax

x2

,2

t cx

at b

звідки бачимо, що і будуть раціональними функціями від

t і, отже, інтеграл (1) буде зведено до інтеграла від раціонального дробу.

У випадку можна користуватися другою підстановкою

Ейлера:

У випадку тричлен повинен мати дійсні корені і бо

інакше він мав би при всіх дійсних значеннях х знак («мінус»), а був

би величиною уявною. У випадку дійсних коренів згаданого тричлена інтеграл

(1.14) зводиться до інтеграла від раціонального дробу за допомогою третьої

підстановки Ейлера:

Інтегрування тригонометричних функцій

Інтеграл виду

(2)

де — раціональна функція своїх аргументів, зводиться до інтеграла від

раціонального дробу, якщо ввести нову змінну

Справді, згідно з відомими формулами тригонометрії дістанемо:

і, крім того,

звідки і випливає безпосередньо наше твердження.

Тепер розглянемо деякі частинні випадки, коли викладки можуть бути

спрощені.

1. Припустимо, що не змінюється при заміні i

відповідно на і тобто припустимо, що має період .

Оскільки то виявляється раціональною функцією

від і що не змінюється при заміні на тобто яка містить

тільки парні степені

У розглядуваному випадку для зведення інтеграла (2) до інтеграла від

раціонального дробу достатньо взяти:

Справді, при цьому

Отже, якщо не змінюється при заміні і відповідно на

і то інтеграл (2) зводиться до інтеграла від раціонального дробу

за допомогою підстановки

,dx

xdt

2ax bx c

0c

2 .ax bx c tx c

0a 2ax bx c 1x 2 ,x

cbxax 2

1 2 2 .a x x x x t x x

sin ,cos ,R x x dx

R

tg .2

xt

2

2 2

2 1sin ;cos ,

1 1

t tx x

t t

2

22arctg ; ,

1

dtx t dx

t

sin ,cosR x x xsin cos ,x

sin x cos ,x sin ,cosR x x

sin cos tg ,x x x sin ,cosR x x

xcos tg ,x xcos cos ,x

cos :x

2

1sin ,cos cos , tg .R x x R x x

tg .t x

2

2 2

1,cos .

1 1

dtdx x

t t

sin ,cosR x x xsin cos x

sin x cos ,x

tg .t x

2. Припустимо, що змінює лише знак при заміні на

Функція

зовсім не змінюватиметься при такій заміні, тобто матиме лише парні

степені а отже:

Підставляючи дістаємо:

тобто якщо при заміні на змінює лише знак, то

інтеграл (2) зводиться до інтеграла від раціонального дробу за допомогою

підстановки

3. Точно так само легко показати, що коли при заміні на

змінює лише знак, то інтеграл (2) зводиться до інтеграла від

раціонального дробу за допомогою підстановки

sin ,cosR x x sin x sin .x

sin ,cos

sin

R x x

x

sin ,x

.sincos,sincos,sin 2

1 xxxRxxR

cos ,t x 2

1sin ,cos 1 , ,R x x dx R t t dt

sin ,cosR x x sin x sin x

cos .t x

sin ,cosR x x cos x

cos x

sin .t x