Лекція №6

Рівняння Максвелла в інтегральній формі

Всю сукупність основних законів макроскопічного електромагнетизму можна представити

у вигляді системи рівнянь, яка відома під назвою системи рівнянь Максвелла (1831-1879

рр.)

Перше рівняння Максвелла є узагальненням закону Фарадея для електромагнітної індукції.

Враховуючи означення електрорушійної сили, можна записати

).,()(

ldEl

i

Відповідно закон електромагнітної індукції набуде вигляду:

.),()(

t

ΦldE m

l

(1)

Тут E

– напруженість вихрового електричного поля, яке виникає при будь-якій зміні

магнітного поля; l – довільний замкнутий контур ( не обов'язково електропровідний), що

знаходиться в цьому магнітному полі; t

Φm

–

швидкість зміни магнітного потоку, який

пронизує поверхню, охоплену контуром l.

Співвідношення (1) виражає перше

рівняння Максвелла. Його суть полягає в тому,

що змінне магнітне поле створює у просторі

вихрове електричне поле незалежно від того, чи є

там провідник чи ні.

Максвелл висловив гіпотезу, що можливе

і зворотне явище: змінне електричне поле

створює змінне магнітне поле. Він проаналізував

процеси, які відбуваються в колі при розрядці

попередньо зарядженого конденсатора (рис.

4.26).

При розрядці конденсатора струм

провідності напрямлений від його верхньої

обкладки до нижньої. Густина цього струму в

товщі обкладки

,t

j

де σ – поверхнева густина заряду на одній із обкладок. Зміна поверхневої густини заряду

зумовлює зміну величини електричного зміщення D у просторі між обкладками (D = σ).

Цю зміну Максвелл назвав густиною струму зміщення :

.змjt

D

t

.

Рис. 4.26

I

+

-

D j

H H

При розрядці конденсатора ,0

t

отже вектор .змj

напрямлений протилежно

векторові D

. Таким чином, між обкладками конденсатора при його розрядці струм

провідності замикається струмом зміщення.

У колі постійного струму конденсатор розриває коло, і струм в ньому існує тільки в

момент замикання і розмикання ключа. В колі зі змінною напругою постійно відбувається

перезарядка обкладок конденсатора, і тому струм не припиняється.

Вектор електричного зміщення в діелектрику визначається за формулою:

.eo PED

Тому

..t

P

t

Ej e

oзм

Перший доданок зберігається у вакуумі, другий доданок називається струмом

поляризації. Він характеризує зміщення частинок в діелектрику і зумовлює його

нагрівання.

Сила повного струму ІП дорівнює сумі сили струму провідності І та сили струму

зміщення Ізм..

Оскільки

)()(

. ,)(S

e

n

S

nзмt

ΦdSD

tdS

t

DI то

.t

ΦII e

П

Тут S – площа перерізу, крізь який проходить струм, nt

D)(

– проекція вектора густини

струму зміщення на напрямок нормалі до цього перерізу, Φе – потік напруженості

електричного поля через цей переріз.

Максвелл припустив, що навколо струму зміщення існує таке саме магнітне поле,

як і навколо струму провідності (див. рис. 4.26).

Закон повного струму з урахуванням струмів зміщення набуває вигляду:

.),(1)(

N

k

ek

lt

ΦIldH

(2а)

У відсутності струмів провідності (Іk = 0) –

.),()(

t

ΦldH e

l

(2)

Рівняння (2) – друге рівняння Максвелла – є свідченням того, що змінне електричне

поле породжує вихрове магнітне поле, причому DH

(рис. 4.26).

Аналізуючи перше і друге рівняння Максвелла, можна зробити декілька висновків:

1) змінні електричне і магнітне поля існують невіддільно одне від одного, вони є

складовими єдиного електромагнітного поля;

2) електрична і магнітна складові електромагнітного поля мають вихровий характер: їхні

силові лінії завжди замкнуті, охоплюють одна одну, а площини, в яких вони розміщені,

взаємно перпендикулярні;

3) різні знаки в правих частинах рівнянь (1) і (2) виражають закон збереження енергії

електромагнітного поля.

Третім рівнянням Максвелла є теорема Остроградського-Гаусса для електричного

зміщення:

,)(

qdSDS

n (3)

де q – алгебраїчна сума зарядів, охоплених замкнутою поверхнею S. Це рівняння

стверджує, що електростатичне поле неодмінно пов'язане з зарядженими тілами.

Теорема Остроградського-Гаусса для потоку ліній магнітної індукції,

)(

0S

ndSB , (4)

є четвертим рівнянням Максвелла. З нього безпосередньо можна зробити висновок про

відсутність магнітних зарядів. Будь-яке магнітне поле вихрове, його силові лінії завжди

замкнуті.

Систему рівнянь Максвелла необхідно доповнити так званими матеріальними

рівняннями, які характеризують електричні та магнітні властивості середовища. За

винятком сегнетоелектриків та феромагнетиків, ці рівняння мають вигляд:

,ED o

.Ej

,

HB o

Тут εо і μо – електрична і магнітна сталі, ε і μ – відносні електрична і магнітна проникності

середовища, γ – питома електропровідність.

Енергія електромагнітного поля визначається за формулою:

)(

,)(2

1

V

dVBHEDW

де V – об'єм середовища, в якому зосереджене поле.

Найважливішими наслідками з рівнянь Максвеллла були передбачення існування

електромагнітних хвиль та електромагнітної природи світла.

Е Л Е К Т Р О М А Г Н І Т Н І К О Л И В А Н Н Я І Х В И Л І

. Вільні електромагнітні коливання

Системою, що здійснює електромагнітні коливання, є коливний контур, який складається

з послідовно з'єднаних конденсатора, ємність якого С, і котушки індуктивністю L (рис.

4.27). Якщо зарядити конденсатор і замкнути коло ключем К, то в контурі

відбуватиметься періодичний рух електронів від однієї обкладки конденсатора до іншої,

одночасно з яким змінюватимуться всі електричні і магнітні характеристики системи.

Електричний струм, який виникає при розрядці конденсатора, зростатиме не стрімко, а

поступово через те, що в котушці виникає е. р. с. самоіндукції, яка за законом Ленца

протидіятиме різкому наростанню струму. В момент часу Т/4 конденсатор розрядиться,

його електричне поле зникне, сила струму в колі стане максимальною; в котушці

індуктивності буде наведене максимальне магнітне поле, яке, починаючи з цього моменту,

почне зменшуватись. Індукційний струм, що виникає при цьому, завершить процес

перезарядки конденсатора (t = T/2). Наступні процеси в контурі продовж часу від Т/2 до Т

будуть аналогічні попереднім тільки проходитимуть у зворотному напрямку.

Стани коливної системи в моменти часу, що

відрізняються на чверть періоду, схематично подані в

табл. 4.1. Для порівняння в нижній її половині подані

відповідні схематичні зображення станів математичного

маятника. Як видно з таблиці, аналогом потенціальної

енергії маятника є енергія електричного поля

конденсатора, а кінетичної – енергія магнітного поля

котушки.

Запишемо для даного контура закон Ома:

,R

dt

dILU

I

(1)

де dt

dqI – струм розрядки конденсатора,

C

qU – напруга між його обкладками,

dt

dIL – е. р. с. самоіндукції, R – опір провідників. Врахувавши, що ,

2

2

dt

qd

dt

dI

рівняння (1) можна записати у вигляді:

.01

2

2

qLCdt

dq

L

R

dt

qd (2)

Аналогічний вигляд має рівняння для згасаючих механічних коливань. Розв'язком

рівняння (2) є такий вираз:

),cos( teqq to (3)

де 22

o – циклічна частота згасаючих коливань, LC

o

1 – частота

власних коливань контура при R = 0, L

R

2 – коефіцієнт згасання. Період коливань

.22

22

o

T (4)

При R = 0 (β = 0) одержимо формулу Томсона для періоду вільних незгасаючих коливань:

.22

LCTo

(5)

З формули (3) бачимо, що амплітуда згасаючих електромагнітних коливань

зменшується за експоненціальним законом:

.2t

eqA L

R

o

(6)

Це означає, що згасаючі електромагнітні коливання (як і згасаючі механічні коливання) не

Рис. 4.28

R

C L

E(t)

Таблиця Табл.4.1

Значення

енергії

Стан

маятника

Значення

енергії

Wn0 ; Wk = 0

Wn = 0; Wk

0

Wn0

; Wk =0

Wn = 0; Wk

0

Wn0

; Wk =0

0;2

2

00 me WC

qW

0;2

2

00 em WC

LIW

0;

2

2

00 me WC

qW

C

LIWW me

2;0

2

00

0;2

2

00 me WC

qW

Стан

коливного

контура

t 0

I=I0

q=0

B=B0 E=0

C

L

4

T

I=0 q=q0

E=E0 L

I=0 q=q0

E=-E0 L

2

T

B=0

I=I0

q=0

B=-B0

E=0

C

L

I=0 q=q0

L E=E0

C

4

3T

T

C C B=0 B=0

Це означає, що згасаючі електромагнітні коливання (як і згасаючі механічні коливання) не

є гармонічними.

Необхідною умовою існування коливань в контурі є така: ,022 o тобто

.2C

LR Якщо ,2

C

LR то вся енергія, накопичена спочатку в конденсаторі,

витрачається за короткий час на нагрівання провідників. Конденсатор не

перезаряджається, коливань не буде.

Вимушені електромагнітні коливання

Для збудження і підтримування незгасаючих електромагнітних коливань в контур

необхідно включити джерело електричної енергії (рис. 4.28), е. р. с. якого змінюється в

залежності від часу за гармонічним законом: ε = εоcos ωt .

Закон Ома у цьому випадку матиме вигляд:

).(tdt

dILUIR (1)

У контурі виникнуть вимушені коливання,

диференціальне рівняння яких можна записати так:

.cos1

22

2

2

tL

qdt

dq

dt

qdoo (2)

Тут, як і вище, L

R

2 – коефіцієнт згасання вільних

коливань, LC

o

1 – частота незгасаючих вільних коливань.

Заряд конденсатора змінюється з часом за законом

q = qo cos(ωt + φo). (3)

Амплітуда qo і початкова фаза φо визначаються з формул:

,

)1

(4)( 2222222

CLRL

q o

o

oo

(4)

.1

CL

Rtg o

(5)

Графік залежності qo(ω) показаний на рис. 1.34 (МІ, A = qo , Ao= εoC).

Сила струму при вимушених коливаннях в контурі –

),sin( oo tqdt

dqI (6)

амплітуда –

Рис. 4.28

R

C L

E(t)

.

)1

( 22

00

CLR

qI o

(7)

Рівняння (7) виражає закон Ома для

амплітудних значень струму Io та е. р. с. εо.

Величина

22 )1

(C

LRZ

(8)

називається повним опором контура; R

називається активним, XL = ωL –

індуктивним, C

X C

1 – ємнісним, X =

XL – XC – реактивним опорами. При XL = XC повний опір Z = R (отже є мінімальним), а

сила струму набуває максимального значення .0max

RIo

Це означає, що при даних

значеннях параметрів має місце явище резонансу. Резонансна частота

LC

p

1 (9)

збігається з частотою власних незгасаючих коливань в контурі ωо. Графіки залежності

Io(ω) при різних значеннях R подані на рис. 4.29.

Завдання для самостійної роботи №4

1. Розглянути рівняння (2), §19 при R = 0 (диференціальне рівняння вільних

незгасаючих коливань). Записати вираз для функції q(t), яка задовольнятиме дане

рівняння. Знайти циклічну частоту ωо і період То незгасаючих коливань.

2. Методи вимірювання індуктивності контура.

3. Схема генератора незгасаючих електромагнітних коливань з трансформаторним

зворотним зв'язком коливального контура з вакуумним тріодом або транзистором.

Література: Бушок Г.Ф. та ін. Курс фізики. – Кн.1.– К.: Либідь, 2001

I0

O

R1=0<R2<R3

Рис. 4.29