最急降下法で制約つき最適化問題を解いてみた

きっかけ解法結果

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最急降下法で制約つき最適化問題を解いてみた

Kazuhiro HISHINUMA (@kazh98)

明治大学情報科学科数理最適化研究室

at 私立・プログラミング 2013 (8/18)

Kazuhiro HISHINUMA (@kazh98) 最急降下法で制約つき最適化問題を解いてみた


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.研究室紹介で・・・

数理計画問題の例（生産計画） 2種類の原料 M1, M2 から、3種類の製品P1, P2, P3 を生産し、利潤を最大にしたい。決定変数　　：P1, P2, P3 の生産量（トン）　　　　　　　　→　最大化　条件：　

　　　P1 P2 P3 利用可能量 (トン)

M1 (トン) 　　　3 5 2 500

M2　(トン)　 2 7 4 400

利潤 (万円/トン) 4 5 3



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.研究室紹介で・・・

数理計画問題の例（生産計画） 2種類の原料 M1, M2 から、3種類の製品P1, P2, P3 を生産し、利潤を最大にしたい。決定変数　　：P1, P2, P3 の生産量（トン）　　　　　　　　→　最大化　条件：　

　　　P1 P2 P3 利用可能量 (トン)

M1 (トン) 　　　3 5 2 500

M2　(トン)　 2 7 4 400

利潤 (万円/トン) 4 5 3



おぺにゃん解いてっ(✿・ヮ＜)-♡



おぺにゃん「

x1 = 150, x2 = 0, x3 = 25」



おぺにゃん「x1 = 150, x2 = 0, x3 = 25」



＼　終了　／



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.ということで、

おぺにゃんが飛び道具1を持ちだして悔しいので、Schemeで解き返そう！！

1最適化ソルバ lp-solveKazuhiro HISHINUMA (@kazh98) 最急降下法で制約つき最適化問題を解いてみた


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おぺにゃんが飛び道具1を持ちだして悔しいので、

Schemeで解き返そう！！



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おぺにゃんが飛び道具1を持ちだして悔しいので、Schemeで解き返そう！！



制約なし最適化問題制約あり最適化問題へ射影の定義

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.手元にあるのは・・・1

制約なし最適化問題の解法のみ

1PC絶不調のためウェブが使えない！！Kazuhiro HISHINUMA (@kazh98) 最急降下法で制約つき最適化問題を解いてみた



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.手元にあるのは・・・1

制約なし最適化問題の解法のみ

1PC絶不調のためウェブが使えない！！Kazuhiro HISHINUMA (@kazh98) 最急降下法で制約つき最適化問題を解いてみた



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.最急降下法

Minimize f(x) に対して，

x(n+1) = x(n)−λ(n)∇f (x(n))

limn→∞

λ(n) = 0 だと嬉しいなぁ・・・




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.方針は・・・

飛び出た部分をぶっ叩け！！！




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.方針は・・・

飛び出た部分をぶっ叩け！！！




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.制約つき最適化問題に対する最急降下法

Maximize f(x)のために，λ(n) = 1

(n+1)0.45 として，

x(n+1) = P2

(P1

(P0

(x(n) + λ(n)∇f(x(n))

)))P0は題意からの条件 x ∈ R3

+ に，P1は制約条件① 3x1 + 5x2 + 2x3 ≤ 500 に，P2は制約条件② 2x1 + 7x2 + 4x3 ≤ 400 に，

それぞれ対応。




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.題意からの条件

P0(x) =

max{0, x1}max{0, x2}max{0, x3}

P0はx ∈ R3

+に対応




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.制約条件①

3x1 + 5x2 + 2x3 > 500のとき，a = 3, b = 5, c = 2, d = 500として，

P1(x) =1

(abc)2

{(ab)2 + (bc)2 + (ca)2}

× (ax1 + bx2 + cx3 − d)

abc

3x1 + 5x2 + 2x3 ≤ 500であれば，P1(x) = x




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.制約条件②

2x1 + 7x2 + 4x3 > 400のとき，a = 2, b = 7, c = 4, d = 400として，

P2(x) =1

(abc)2

{(ab)2 + (bc)2 + (ca)2}

× (ax1 + bx2 + cx3 − d)

abc

2x1 + 7x2 + 4x3 ≤ 400であれば，P2(x) = x



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.x1, x2, x3 各値

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 100 200 300 400 500 600 700 800

x1x2x3



.

.目的関数値

0

100

200

300

400

500

600

700

0 100 200 300 400 500 600 700 800

value



.

.結果まとめ

10000回の反復計算で，

x =

150.0950.00024.887

, f(x) = 675.042

17.0秒 on 2.3GHz Intel Core i5



最適化ソルバになんか、負けないんだからねっ！！

(震え声)



Thanks forYour Listening!


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最急降下法で制約つき最適化問題を解いてみた