Btl xlths 2 cuoi cung

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ

1

I. BIẾN ĐỔI FOURIER LÀ GÌ ? ........................................................ 2

II. CƠ SỞ NGHIÊN CỨU BIẾN ĐỔI FOURIER CHO TÍN HIỆU

VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ LIỀN TỤC .... 3

1. Biến đổi Fourier thuận. ................................................................... 3

1.1. Định nghĩa .................................................................................. 3

1.2 Sự tồn tại của biến đổi Fourier ................................................. 3

1.3Các dạng biểu diễn của hàm X( ) ........................................... 5

1.3.1 Dạng phần thực và phần ảo .................................................. 5

1.3.2 Dạng mô đun và argumen ..................................................... 5

1.3.3Dạng độ lớn và pha ................................................................. 5

2. Biến đổi Fourier ngược ................................................................... 7

3. Các tính chất của biến đổi Fourier ................................................ 9

3.1 Tính chất tuyến tính .................................................................... 9

3.2 Tính chất trễ ............................................................................... 10

3.3 Tính chất trễ của hàm tần số .................................................... 11

3.4 Tính chất đối xứng ..................................................................... 12

3.5 Hàm tần số của tích chập hai dãy ............................................ 13

3.6 Hàm tần số của tích hai dãy ...................................................... 14

3.7 Công thức Parseval .................................................................... 15

III. THỰC HÀNH TRÊN MATLAB R2009a ................................... 17


2

BẢNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC CỦA NHÓM

Báo cáo , Slide Nguyễn Xuân Chiến, Bùi Tuấn Anh

Chỉnh sửa Trần Mạnh Hà

Tìm tài liệu Cả nhóm

Code Matlab Nguyễn Mạnh Cường, Phan Đình Điệp

Làm video Cả nhóm


3

I. BIẾN ĐỔI FOURIER LÀ GÌ ?

Biến đổi Fourier hay chuyển hóa Fourier, được đặt tên theo nhà toán học

người Pháp Joseph Fourier , là một biến đổi tích phân dùng để khai triển

một hàm số theo các hàm số sin cơ sở, có nghĩa là dưới dạng tổng hay một

tích phân của các hàm số sin được nhân với các hằng số khác nhau (hay còn

gọi là biên độ). Biến đổi Fourier có rất nhiều dạng khác nhau, chúng phụ

thuộc vào dạng của hàm được khai triển.

Biến đổi Fourier có rất nhiều ứng dụng khoa học, ví dụ như trong vật lý, số

học, xử lý tín hiệu, xác suất, thống kê, mật mã, âm học, hải dương học,

quang học, hình học và rất nhiều lĩnh vực khác. Trong xử lý tín hiệu và các

ngành liên quan, biến đổi Fourier thường được nghĩ đến như sự chuyển đổi

tín hiệu thành các thành phần biên độ và tần số.

Ở đây chúng ta đang tìm hiểu về biến đổi Fourier cho tín hiệu và hệ thống

rời rạc trong miền tần số liên tục.

Hình1 - Mối quan hệ giữa các phép biến đổi


4

II. CƠ SỞ NGHIÊN CỨU BIẾN ĐỔI FOURIER CHO TÍN

HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ

LIỀN TỤC

Tổng quan biến đổi Foiurier chúng ta đang nghiên cứu là để chuyển biểu

diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc từ miền biến số độc lập n sang miền tần

số liên tục ω

1. Biến đổi Fourier thuận.

1.1. Định nghĩa

Nếu dãy x(n) thoả mãn điều kiện

(n)

n

x [1]

thì sẽ tồn tại phép biến đổi Fourier như sau:

X( ) ( )j j n

n

e x n e [2]

Biến đổi Fourier đã chuyển dãy số x(n) thành hàm phức X(ej

), [2] là biểu

thức biến đổi Fourier thuận và được ký hiệu như sau :

[ ( )] ( )j n

XFT x n e [3]

hay : ( ) ( )FT j n

x n X e [4]

(FT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh FourierTransform).

1.2 Sự tồn tại của biến đổi Fourier

Theo định nghĩa, biến đổi Fourier thuận [2] chỉ tồn tại nếu dãy x(n) thoả

mãn điều kiện khả tổng tuyệt đối [1]. Điều đó có nghĩa là, nếu dãy x(n)

thoả mãn điều kiện [1] thì chuỗi [2] sẽ hội tụ về hàm X(ej

), nên x(n) tồn

tại biến đổi Fourier. Ngược lại, nếu dãy x(n) không thoả mãn điều kiện


5

[1] thì chuỗi [2] sẽ phân kỳ, vì thế hàm X(ej

) không tồn tại và x(n) không

có biến đổi Fourier.

Các tín hiệu số x(n) có năng lượng hữu hạn :

2

( )x

n

E x n [5]

luôn thỏa mãn điều kiện [1] , do đó luôn tồn tại biến đổi Fourier.

Ví dụ 1 : Hãy xét sự tồn tại và tìm biến đổi Fourier của các dãy sau:

a. ( )u n b. 2 ( )nu n c. )(nrect

N

Giải:

a. 0

( ) 1

n n

u n

Hàm u(n) không thoả mãn [1] nên không tồn tại biến đổi Fourier.

b. 0

2 ( ) 2n n

n n

u n

Hàm 2nu(n) không thoả mãn [1] nên không tồn tại biến đổi Fourier.

c.1

0

( ) 1

N

N

n n

rect n N

Hàm rect N(n) thoả mãn [1] nên tồn tại biến đổi Fourier, :

1

0

1[ ( )] ( ).

1

N

N

jNn

j n j

N j

n n

eFT rect n rect n e e

e [8]

Có thể thấy rằng, các dãy có độ dài hữu hạn luôn tồn tại biến đổi Fourier,

còn các dãy có độ dài vô hạn sẽ tồn tại biến đổi Fourier nếu chuỗi [1] của

nó hội tụ.


6

1.3Các dạng biểu diễn của hàm X( )

1.3.1 Dạng phần thực và phần ảo

X( ) ( ) ( )j

R Ie X j X [9]

Theo công thức Euler có :

X( ) ( ) ( ) cos(n ) sin(n )j j n

n n

e x n e x n j

[10]

Hàm phần thực : ( ) Re[X( )] ( ).cos( )j

R

n

X e x n n

[11]

Hàm phần ảo : ( ) Im[X( )] ( ).sin( )j

I

n

X e x n n [12]

1.3.2Dạng mô đun và argumen ( )

X ( ) X ( ) .j j j

e e e [13]

Mô đun : 2 2

X( ) ( ) ( )j

R Ie X X [14]

Argumen : ( )

( ) X( )( )

j I

R

XArg e arctg

X[15]

- X(ej) được gọi là hàm biên độ tần số, nó là hàm chẵn và đối xứng qua

trục tung : X(ej) = X(e

- j)

- ( ) được gọi là hàm pha tần số, nólà hàm lẻ và phản đối xứng qua gốc

toạ độ : ( ) = - (- ).

1.3.3Dạng độ lớn và pha ( ) ( )

X ( ) ( ). A( ) .j j j j j

e A e e e e [16]


7

Hàm độ lớn A(ej

) có thể nhận các giá trị dương hoặc âm, và :

A( ) X ( )j j

e e [17]

Còn : [A( )] ( ) ( )j

Arg e [18]

Hàm pha : ( ) ( ) [A( )]j

Arg e [19]

Với [A( )]j

Arg e phụ thuộc vào dấu của hàm A ( )j

e như sau :

0

0

0 ( )[A( )]

( )

j

j

j

K hi A eArg e

K hi A e

Một cách tổng quát, có thể viết :

1 12 2

A( )A( )

A( )

[A( )]j

je j

Sign ej

e

Arg e

Theo [19] , có thể biểu diễn hàm pha ( ) dưới dạng như sau :

12

A( )

A( )

( ) ( )j

e

je

Ví dụ 2 : Hãy xác định các hàm phần thực và phần ảo, mô đun và

argumen, độ lớn và pha của hàm tần số X( ) cos(2 ).j j

e e

Giải:

Theo [11] có : X( ) cos(2 ).cos( ) cos(2 ).sin( )j

e j

Hàm phần thực : ( ) cos(2 ).cos( )R

X

Hàm phần ảo : ( ) cos(2 ).sin( )I

X


8

Môđun:

2 2 2 2X( ) cos (2 ).cos ( ) cos (2 ).cos ( ) cos(2 )

je

Argumen : cos(2 ).sin( )

( ) arctancos(2 ).cos( )

Hàm độ lớn : A( ) cos(2 )j

e

Hàm pha : 2

2 2

cos( )1

cos( )( )

2. Biến đổi Fourier ngược

Biến đổi Fourier ngược cho phép tìm dãy x(n) từ hàm ảnh X(ej

). Để tìm

biểu thức của phép biến đổi Fourier ngược, xuất phát từ biểu thức

Fourier thuận [2] :

X( ) ( )j j n

n

e x n e [20]

Nhân cả hai vế của [20] với ej m

rồi lấy tích phân trong khoảng

(- , ) , nhận được :

( )X ( ). ( ). . ( )

j j m j n j m j m n

n n

e e d x n e e d x n e d

Vì : ( )

2

0

j m nkhi m n

e dkhi m n

Nên : X ( ). 2 . ( )j j n

e e d x n

Từ đó suy ra biểu thức của phép biến đổi Fourier ngược :


9

1

( ) X ( ).2

j j nx n e e d [21]

Phép biến đổi Fourier ngược được ký hiệu như sau :

IFT[X ( )] ( )j

e x n [22]

Hay : X( ) ( )IFTj

e x n [23]

(IFT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh InverseFourierTransform).

Biểu thức biến đổi Fourier thuận [20] và biểu thức biến đổi Fourier

ngược [21] hợp thành cặp biến đổi Fourier của dãy số x(n).

Ví dụ 3:Hãy tìm tín hiệu số x(n) có hàm phổ là 2

X( ) cos( ).j j

e e

Giải:

Ta có : 21

( ) cos( ). .2

j j nx n e e d

2 ( 1) ( 3 )1 ( ) 1( ) . .

2 2 4

j j

j j n j n j ne ex n e e d e e d

( 1) ( 3 )1 1 1( ) | |

4 ( 3) ( 3)

j n j nx n e e

j n j n

( 1) ( 1) ( 3 ) ( 3 )1

( )4 ( 1) ( 3)

j n j n j n j ne e e e

x nj n j n

( 1) ( 1) ( 3 ) ( 3 )1 [ ] 1 [ ]

( ) . .2( 1) 2 2( 3) 2

j n j n j n j ne e e e

x nn j n j


10

1 sin[( 1) ] 1 sin[( 3) ]( )

2 ( 1) 2 ( 3)

n nx n

n n

Vì :

1sin[( ) ] sin[( ) ]( )

0( ) ( )

khi n kn k n kn k

khi n kn k n k

Nên : 1 1

( ) ( 1) ( 2)2 2

x n n n

Vì X ( ) ( ) j

j

z ee X z , nên để lập bảng biến đổi Fourier chỉ cần sử

dụng bảng biến đổi z khi thay z = ej

, và để tìm biến đổi Fourier ngược,

ngoài cách tính trực tiếp tích phân [21], cũng có thể sử dụng các phương

pháp giống như tìm biến đổi Z ngược.

3. Các tính chất của biến đổi Fourier

Do biến đổi Fourier là một trường hợp riêng của biến đổi Z nên, biến đổi

Fourier cũng có các tính chất giống như biến đổi Z. Dưới đây trình bầy

các tính chất thường được sử dụng khi phân tích phổ tín hiệu số và đặc

tính tần số của hệ xử lý số.

3.1 Tính chất tuyến tính

Hàm tần số của tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm

tần số thành phần.

Nếu : [ ( )] ( )j

i iFT x n X e

Thì : ( ) ( ) . ( ) . ( )j j

i i i i

i i

Y e FT y n A x n A X e [24]

Trong đó các hệ số Ai là các hằng số.


11

Chứng minh:Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [2] có :

( ) . ( ) . ( ). ( ).j j n j n

i i i i i i

i n i i n

Y e FT A x n A x n e A x n e

Vì ( ). [ ( )] ( )j n j

i i i

n

x n e FT x n X e , nên nhận được [24].

Ví dụ 4: Hãy tìm hàm phổ của tín hiệu số

1 1( ) ( 1) ( 3)

2 2x n n n

Giải: Theo tính chất tuyến tính của biến đổi Fourier có :

31 1 1 1( ) ( 1). ( 3).

2 2 2 2

j j n j n j j

n n

X e n e n e e e

2 2( )

( ) . cos( ).2

j j

j j je eX e e e

3.2 Tính chất trễ

Khi dịch trễ dãy x(n) đi kmẫu thì hàm biên độ tần số X(ej

) không thay

đổi, chỉ có hàm pha tần số ( ) bị dịch đi lượng k .

Nếu : ( )

[ ( )] ( ) X ( ) .j j j

FT x n X e e e

Thì :[ ( ) ]

( ) X ( ) X ( ) .jk j j j k

FT x n k e e e e [25]

Nếu k >0 là x(n) bị giữ trễ kmẫu, nếu k <0 là x(n) được đẩy sớm kmẫu.


12


( )( ) ( ). ( ). X( )

j n j k j n k j k j

n n

FT x n k x n k e e x n k e e e

Ví dụ5 :Hãy tìm : X( ) [2 ( )]N

j ne FT rect n

Giải: Có 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )N

n n nrect n u n u n N

Nên : ( )

( ) [2 ( )] [2 .2 ( )]j n N n N

X e FT u n FT u n N

Theo biểu thức [6] và tính chất dịch của biến đổi Fourier nhận được :

1 1X ( ) .2

1 0, 5 1 0, 5

j N j N

j je e

e e

Vậy : .1 (0, 5 )

X( ) [2 ( )]1 0, 5

N

j N

j n

j

ee FT rect n

e [26]

3.3 Tính chất trễ của hàm tần số

Khi nhân dãy x(n) với nje 0 , trong đó 0 là hằng số, thì hàm tần số X(e

j)

không bị biến dạng mà chỉ tịnh tiến trên trục tần số một khoảng bằng 0 ,

theo chiều ngược với dấu của 0.

Nếu : [ ( )] ( )j

FT x n X e

Thì : 0 0( )( )( )

j n jFT e x n X e [27]


0 0 0 0( ) ( )( )( ) ( ). . ( ). X

j n j n j n jj n

n n

FT e x n x n e e x n e e


13

Ví dụ 6 :Tín hiệu số x(n) có phổ tần số là X( ) [ ( )]j

e FT x n , hãy tìm

phổ tần số của tín hiệu điều biên 0

Y( ) ( ).cos( )n x n n

Giải:

Có : 0 0

0cos( )

2

j n j ne e

n

Do đó :

0 0

0

1 1[ ( ).cos( )] ( ). ( ).

2 2

j n j nFT x n n FT x n e FT x n e

Theo tính chất dịch của hàm tần số nhận được :

0 0( ) ( )

0( ) ( )

1 1[ ( ).cos( )] X X

2 2

j jFT x n n e e [28]

3.4 Tính chất đối xứng

Biến đổi Fouriercủa các dãy thực có biến đảo x(n) và x(-n) là hai hàm

liên hợp phức.

Nếu : ( )

[ ( )] ( ) X ( ) .j j j

FT x n X e e e

Thì :* ( )

( ) ( ) ( ) X ( ) .j j j j

FT x n X e X e e e [29]


( ).( )( )( ) ( ). ( ).

j n j n j

n n

FT x n x n e x n e X e

Vì x(-n) là dãy thực nên *

X( ) ( )j j

e X e , do đó nhận được [29].

Như vậy, các dãy thực nhân quả và phản nhân quả tương ứng có hàm biên

độ tần số giống nhau, còn hàm pha tần số ngược dấu.


14

Ví dụ 7 :Hãy tìm [( )X FT 2 ( )]j n

e u n

Giải: Theo biểu thức [6] và tính chất biến đảo có :

[

12 ( )]

1 0, 5 .

n

jFT u n

e

3.5 Hàm tần số của tích chập hai dãy

Hàm tần số của tích chập hai dãy bằng tích của hai hàm tần số thành

phần.

Nếu : 1 1

[ ( )] ( )j

FT x n X e và 2 2

[ ( )] ( )j

FT x n X e

Thì :1 2 1 2

( ) ( ) * ( ) ( ).X ( )j j j

Y e FT x n x n X e e [30]


1 2 1 2

Y ( ) ( ) * ( ) ( ). ( ) .j j n

n k

e FT x n x n x k x n k e

1 2

Y( ) ( ). ( ) . .j j n j k j k

n k

e x k x n k e e e

Hay :

( )

1 2 1 2Y( ) ( ). ( ) ( ).X ( )

j j k j n k j j

k n

e X k e x n k e X e e

Ví dụ8 :Hãy tìm [( )X FT 2 ( ) * ( 1)]j n

e u n n

Giải: Sử dụng các biểu thức [6] , [7] với k = 1 , và [3] , tìm được :

1

[2 ( )]1 0, 5

n

jFT u n

e và [ ( 1)]

jFT n e

Vậy : (e )

1X .

1 0, 5 1 0, 5

j

j

j

j j

ee

e e


15

3.6 Hàm tần số của tích hai dãy

Hàm tần số của tích hai dãy bằng tích chập của hai hàm tần số thành

phần chia cho 2 .

Nếu : 1 1

[ ( )] ( )j

FT x n X e và 2 2

[ ( )] ( )j

FT x n X e

Thì :( )

1 2 1 2

1( ). ( ) ( ).X ( )

2

j jFT x n x n X e e d [31]

Hay : 1 2 1 2

1( ). ( ) ( ) * X ( )

2

j jFT x n x n X e e [32]


1 2 1 2( ). ( ) ( ). ( ) .

j n

n

FT x n x n x n x n e

Khi thay x1(n) bằng biểu thức biến đổi Fourier ngược của nó :

.

1 1

1( ) ( ).

2

j j nx n X e e d

Thì :

' '

1 2 1 2

1( ). ( ) ( ). ' . ( ).

2

j j n j n

n

FT x n x n X e e d x n e [33]

' ( ')

1 2 1 2

1( ). ( ) ( ). ( ). . '

2

j j n

n

FT x n x n X e x n e d

( )

1 2 1 2 1 2

1 1( ). ( ) ( ).X ( ). ( ) * X ( )

2 2

j j j jFT x n x n X e e d X e e


16

3.7 Công thức Parseval

Công thức tính năng lượng của tín hiệu theo hàm phổ

22

2

1( ) X ( )

j

x

n

E x n e d [34]

Chứng minh:Viết lại biểu thức [33] dưới dạng :

' '

1 2 1 2

1( ). ( ). ( ). ( ). ' .

2

j n j j n j n

n n

x n x n e x n X e e d e

Chia cả hai vế của biểu thức trên cho nje

. , nhận được :

' '

1 2 1 2

1( ). ( ) ( ). .X ( ). '

2

j n j

n n

x n x n x n e e d

Hay : ' '

1 2 1 2

1( ). ( ) ( ).X ( ). '

2

j j

n

x n x n X e e d

Khi cho x1(n) = x2(n) = x(n) thì theo [2.3-5], vế trái của biểu thức trên

chính là năng lượng x

E của tín hiệu số x(n) :

22 1 1( ) X ( ).X ( ). X ( )

2 2

j j j

x

n

E x n e e d e d

Hay : 2 1

( ) ( ).2

x x

n

E x n S d [35]

Trong đó : 2

( ) X ( )j

xS e [36]

( )x

S được gọi là hàm mật độ phổ năng lượng của tín hiệu số x(n), nó là

hàm chẵn và đối xứng qua trục tung. Về bản chất vật lý, hàm mật độ phổ


17

năng lượng ( )x

S chính là hàm phân bố năng lượng của tín hiệu trên trục

tần số.

Ví dụ9 :Hãy xác định năng lượng của tín hiệu số ( ) 2 ( )n

x n u n theo cả

hàm thời gian và hàm phổ, so sánh hai kết quả nhận được.

Giải: Theo hàm thời gian có :

22

1

0 0

1 42 ( ) (2 ) 4

(1 4 ) 3

n n n

x

n n n

E u n

Để xác định năng lượng theo hàm phổ, trước hết tìm :

cos . sin

1 1X( ) 2 ( ).

1 0,5 1 0,5 0,5

j n j n

j

n j

e u n ee

Vậy : 2 2

(1 0 ,5 0 ,5 1,25cos ) ( sin ) cos

1 1X ( )

je

Tính năng lượng của x(n) bằng công thức Parseval[38] :

2 2

1, 25 1

1, 25 1

2|

( ). ( )1 1 1 2. .

2 1, 25 cos 2 1, 25 1x

tgE d arctg

3

4

75,00

75,0

1

22.3

75,0

1)(arctgtgtgarctgE

x

Kết quả tính năng lượng theo hai cách là giống nhau. ( ở đây, nếu lấy

00)(artg thì 0x

E , nên phải lấy )(0artg ).


18

III. THỰC HÀNH TRÊN MATLAB R2009a

Đề ra:Cho đầu vào x = [ 1 2 5 6 7 8 3 -1 3 -5] , n= -2:7 .

Tính FT hiển thị phổ pha, phổ biên độ, phần thực phần ảo qua

MatLab

Giải:

Code MATLAB

Phần biến đổi Fourier thuận

n=-2:7;

x=[1 2 5 6 7 8 3 -1 3 -5];

Xw=ft(x,-2,7) syms w; X=Tinh(Xw,w,-pi,pi,500); k=0:500; w=-pi:2*pi/500:pi; magX=abs(X); angX=angle(X); realX=real(X); imagX=imag(X); subplot(2,2,1); plot(w,magX); grid; title('Pho bien do'); xlabel('Tan so'); ylabel('Bien do'); subplot(2,2,3); plot(w,angX); grid; title('Pho pha'); xlabel('Tan so'); ylabel('Pha'); subplot(2,2,2); plot(w,realX); grid; title('Phan thuc');


19

xlabel('Tan so'); ylabel('Thuc'); subplot(2,2,4); plot(w,imagX); grid; title('Phan ao'); xlabel('Tan so'); ylabel('Ao');

Kết quả:


20

Đề ra:Biến đổi Fourier ngược cho dãy sau

X(ω) = 3e-jω + 4e–j2ω – 3e–j4ω

Giải:

Code MALAB

syms w n; Xw=3*exp(-i*w*(-1))+4*exp(-i*w*2)-3*exp(-i*w*4) Xn=IFT(Xw,-10,10) n=-10:10; stem(n,Xn)

Kết quả:


21

Các hàm function sử dụng trong MatLab

function FT function [Xw] = ft(x,x1,x2)

syms w ;

Xw=0;

m=1;

for n=x1:1:x2

Xw=Xw + x(m)*exp(-1j*w*(n-1));

m=m+1;

end

function IFT function [Xn] = IFT ( xw, n1,n2)

m=1;

syms w;

for n= n1:1:n2

Xn(m)=int(xw*exp(1i*w*n)/(2*pi) , w, -pi,pi);

m=m+1;

end

function chuyển từ tín hiệu liên tục sang tín hiệu rời rạc function [X] = Tinh (x,w,x1,x2,N)

syms w;

m=1;

for n=x1:(x2-x1)/N:x2

X(m) =subs(x,w,n);

m=m+1;

end

Technology

Btl xlths 2 cuoi cung