Donuts プロコンチャレンジ2014

DONUTS プロコンチャレンジ2014 解説

株式会社Donuts　久野慎弥（@kuno4n）

おつかれさまでした！

問題A　勤怠管理

問題A

勤務データが与えられます

休憩時間を除いた勤務時間を出力して下さい

問題A　例

300, 500, 600, 800

→ 500-300 + 800-600 = 400　が答え

問題A　解答

n % 2 == 1 の場合 “error” を出力

そうでない場合 (a_2 - a_1) + (a_4 - a_3) + …　を出力

http://jobcan.ne.jp/

http://jobcan.ne.jp/

問題B　7TH

問題B以下の条件を満たすnが与えられます

1 ≦ n < 10^18

n の各桁は{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

以下の条件を満たす自然数の個数は？

n以下

各桁は{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

7の倍数

問題B　例

n = 31

→ 7, 14, 21 の3つが答え

問題B　部分点解法

1 ≦ n < 10^5　で部分点

愚直に条件を満たす自然数を数えればOK

問題B　満点解法

1 ≦ n < 10^18　で満点

ヒント


1 ≦ n < 10^18　で満点

ヒント

11～17のうち、7の倍数はいくつあるか？


1 ≦ n < 10^18　で満点

ヒント




1 ≦ n < 10^18　で満点

ヒント



どうみても1個



7個


7×7×7×7個


3546以下を考えてみる



3541, 3542, 3543, 3544, 3545, 3546

→3542の1個



353*, 352*, 351* 000*

→ 7^0 × 4個



34**, 33**, 32**, 31** 00**

→ 7^1 × 5個



2***, 1***, 0***

→ 7^2 × 3個

問題C　ソーシャルゲーム

問題C

1≦n≦100000 個からなる数列が与えられます

部分列の和が最大になる箇所の和を求めて下さい

問題C　例

3, -4, 2, 3, -1, 2, -1

→ 2, 3, -1, 2, の和6が答え

問題C　部分点解法

1 ≦ n ≦ 3000　で部分点

O(n^2)で全ての部分列を調べ上げればOK

O(n^3)にならないように注意

問題C　満点解法

1 ≦ n ≦ 10^5　で満点

O(n)の方法を考えよう


左から順番に足していく






あるとき、和がマイナスになった


途中からの和は絶対にマイナス


途中からの和は絶対にマイナスなぜなら、それまでの和がプラスだから


なので、和がマイナスになったら、


なので、和がマイナスになったら、それまでのことは忘れて新しく足し始めればよい






3, -4, 2, 3, -1, 2, -1

sum 0 result -1000


3, -4, 2, 3, -1, 2, -1

sum 3 result 3

↑


3, -4, 2, 3, -1, 2, -1

sum -1 result 3

↑


3, -4, 2, 3, -1, 2, -1

sum 0 result 3

↑

↑マイナスになったので、リセット


3, -4, 2, 3, -1, 2, -1

sum 2 result 3

↑


3, -4, 2, 3, -1, 2, -1

sum 5 result 5

↑


3, -4, 2, 3, -1, 2, -1

sum 4 result 5

↑


3, -4, 2, 3, -1, 2, -1

sum 6 result 6

↑


3, -4, 2, 3, -1, 2, -1

sum 5 result 6

↑


3, -4, 2, 3, -1, 2, -1

result 6

maximum subset sum (mss: 最大部分列和)

といいます

問題D　サバゲー

問題D

見分けのつくボールがn個

見分けの付かない箱がm個

1 ≦ n ≦ 1000, 1 ≦ m ≦ n

どの箱にも最低1個入れる入れ方は？

問題D　例

n = 3, m = 2

1 2 3

問題D　例3通り

1 2 3

1 2 3

1 3 2

問題D　部分点解法

箱が2つ　で部分点

1 2 3 4 ……


1番のボールを入れれば箱の見分けがつくので、

1

2 3 4 ……


あとは

1 23

4 ……

2^(n-1)


ただし、全て同じ箱はNG

123

4 ……

2^(n-1) - 1

問題D　満点解法

1 ≦ n ≦1000 1 ≦ m ≦ n　で満点

1 2 3 n……

……

n-1


n-1 個目まで入れ終わった状態を考える

123

n

……n-1


m個の箱が全部埋まっている状態なら、

123

n

……n-1


n番目のボールはm通りの入れ方がある

123

n

……n-1


m-1個の箱が埋まっている状態なら、

12

3

n

……n-1


「入っていない箱に入れる」という1通りしかない

12

3

n

……n-1

問題D　満点解法埋まっている箱がm-2個以下なら、

12

3

n

……n-1

問題D　満点解法埋まっている箱がm-2個以下なら、

12

3

n

……n-1

「n個のボールをm個の箱に入れる」事はできない


n個のボールをm個の箱に入れる入れ方

123n

……n-1

S(n, m)は、



123n

……n-1

S(n, m) = S(n-1, m)×m + S(n-1, m-1)



123n

……n-1

S(n, m) = S(n-1, m)×m + S(n-1, m-1)

第二種スターリング数

問題D　別解

123n

……n-1

「箱にも区別がつく」と考えて、最後にm! で割ってもOK

（modが素数なので逆元が使えます）

問題D　おまけボール箱最低１個入れる高々１個入れる入れ方に制限なし

区別が付く区別が付く 1 2 3

区別が付く区別が付かない 4 5 6

区別が付かない区別が付く 7 8 9

区別が付かない区別が付かない 10 11 12






第二種スターリング数はここ






写像１２相http://kuno4n.hateblo.jp/entries/2013/12/14

http://kuno4n.hateblo.jp/entries/2013/12/14

問題E　お菓子やさん

問題E

頂点数nの重み付き有向グラフ

1 ≦ n ≦ 16

いくつか辺を取り除いて閉路を無くしたとき、残った重み合計を最大にするには？

問題E　例

30

10

20

問題E　例

30

10

20

result: 50

問題E　例

3

23 3

3

問題E　例

3

23 3

3

result: 12

問題E　だめな例

貪欲にやってもうまくいきません

例：閉路を見つけたら一番小さい辺を消す

例：一番大きい辺から採用する


2

32 2

2

こういうので死にます


2

32 2

2

中央の辺を消すのが正解

問題E　部分点解法

閉路のない有向グラフということは


1

3

2

5

閉路のない有向グラフということは

4トポロジカルソートができる


1

3

2

5

全ての並び順をためす

4

1→2→3→4→5 1→2→3→5→4 …… 5→4→3→2→1


1

3

2

5

全ての並び順をためす

4

1→2→3→4→5 1→2→3→5→4 …… 5→4→3→2→1

「戻り辺」があったら必ず消す


1

3

2

54

O(n! × n)

n ≦ 8なら余裕

c++ならnext_permutationとか使えます

問題E　満点解法

1

3

2

4

n ≦ 16 で満点

部分点解法の考え方が使えます


1

3

2

45

「5」を付け加えるときに、 1～4の並び順が 1→2→3→4 だろうと 3→1→4→2 だろうと関係ない。（最大の重みだけ知れればOK）


5

1～4の結果をまとめて、 5を付け加える。

1～4の結果


5

1～4の結果をまとめて、 5を付け加える。

1～4の結果

動的計画法


5

1～4の結果n ≦ 16 なので、bitDP

{1,2,3,4}の結果を知るには、{1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}の結果を知ればよい。

{1,2,3}の結果を知るには、{1,2}, {2,3}, {1,3}の結果を知ればよい。

O(2^n × n)

ありがとうございました！

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