1

Hypermedian jatko-opintoseminaari 2009

Keskeisyys ja arvostus

MATHM-67500 Hypermedian jatko-opintoseminaari

Sosiaalisten verkostojen tutkimusmenetelmät

21.1.2009

Jari Jussila

Tärkeys

• Yksi graafiteorian pääkäyttökohteista sosiaalisten verkostojen

analyysissa on sosiaalisen verkoston tärkeimpien toimijoiden

tunnistaminen.

• Tärkeyden (importance, prominence) määritelmiä on useita,

mutta yhteistä niille on, että ne yrittävät kuvata ja mitata ”toimijan

sijainnin” ominaisuuksia sosiaalisessa verkostossa.

Varhaisempia esimerkkejä Morenon (1934) ”tähdet” ja

”eristäytyneet”.

• Käydään läpi käsitteet: • keskeisyysaste (degree)

• closeness (läheisyys)

• välisyys (betweenes)

• informaation keskeisyys (information)

2

Toimijan keskeisyys

• Tärkeät toimijat ovat laajasti osallisia yhteyksiin toisten toimijoiden

kanssa.

• Osallisuus tekee toimijoista enemmän näkyviä muille toimijoille.

• Toimijan keskeisyydessä ei ole väliä, onko toimija lähettänyt vai

vastaanottanut yhteyden. Soveltuu hyvin suuntaamattomille verkostoille,

joissa ei tehdä eroa lähettämisen ja vastaanottamisen välille.

• Suuntaamattomissa verkostoissa keskeinen toimija on siis sellainen, joka

on osallisena monissa yhteyksissä.

• Toimijan keskeisyys soveltuu esimerkiksi resurssien hallinnan ja pääsyn

sekä informaation välittämisen mittaamiseen (Knoke & Burt, 1983).

• Freeman (1977, 1979) on esittänyt seuraavaan notaation toimijan

keskeisyyden mitaksi:

• C on keskeisyyden mitta ni:n funktiona, jonka alaindeksi CA ilmaisee mittauksen

tyypin. Indeksi i saa arvot 1 – g.

3

Toimijan arvostus

• Suunnatuissa verkostoissa erotetaan toisistaan yhteyksien lähettäminen

ja vastaanottaminen. Arvostettuja toimija on sellainen, joka on useampien

yhteyksien vastaanottaja.

• Toisin sanottuna arvostettu toimija on sellainen, jolla on suuri tuontiluku

(indegree).

• Huomaa, että jos tarkastellaan negatiivisia suhteita, kuten ”vihaa” tai ”ei

halua olla ystävä”, niin tällöin arvostetut toimijat eivät ole vertaistensa

kovasti arvostamia.

• Toimijan arvostusta on myös kutsuttu statukseksi (Moreno, 1934; Zeleny,

1940, 1941, 1960; Proctor & Loomis, 1951; Katz, 1953; Harary, 1959).

Wasserman & Faust (1994) sen sijaan puhuvat mielummin sijasta (rank).

• Olkoon, P, arvostuksen mittaus, joka määritellään toimijalle ni.

4

Kertaus: Vienti- ja tuontiluvut (Miilumäki

2009)

• Suunnatuille verkoistoille solmujen vienti- (outdegree)

ja tuontiluvut (indegree) ovat helposti laskettavissa sosiomatriisin X avulla.

• dO = solmun vientiluku

• dI = solmun tuontiluku

• Arvostetut toimijat ovat yleensä niitä, joilla on suuret

tuontiluvut, tai joihin kohdistuu suuri määrä

vastaanotettuja ”valintoja”.

5

Tärkeyden mitta

• Hubbelin (1965) ja Friedkinin (1991) mukaan tärkeyden mittauksessa

pitää ottaa huomioon suorien (direct) ja viereisten (adjacent) yhteyksien

lisäksi epäsuorat polut .

• Esim. LinkedIn:

6

Keskeisyys ja keskittyneisyys

• Keskeisyys (centrality) on toimijan ominaisuus

• Keskittyneisyys (centralisation) on koko verkoston

ominaisuus

• Keskittyneisyys mittaa koko verkoston tasolla, missä

määrin yksittäiset toimijat hallitsevat muiden välistä

kanssakäymistä.

• ”Tähti” on kaikkein keskittynein verkosto ja ”pyörä” kaikkein

vähiten keskittynyt.

7

Siivonen 2003

Kolme havainnollista verkostoa

keskeisyyden (keskittyneisyyden) ja

arvostuksen tutkimiseen

8

Tähti

Pyörä

Ketju

Maksimaalisen keskittynyt,

kaikki solmut jäsentyvät

yhden keskeisen solmun

ympärille

Keskittyneisyys äärimmäisen

vähäinen, solmut kytkeytyvät

toisiinsa ilman, että yksikään

solmu olisi keskeisempi kuin

toinen

Löyhempi kuin tähti,

mutta keskittyneempi

kuin pyörä

0 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 1

1 0 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 1 0

0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 0 0 1 0

0 1 1 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 1 0

0 0 1 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0

Näkyvyys ja tärkeys -käsitteet

9

Centrality (level two concept)

Prestige (level two concept)

Visibility (superordinate concept)

CAN BE

STUDIED BY

Centrality (level two concept)

Prestige (level two concept)

Prominence (superordinate concept)

CAN BE

STUDIED BY

Wasserman & Faust 1994 Knoke and Burt 1983

Käsitekartta: Novak 1998

=

Prominence: Centrality and Prestige

10

Centrality Prestige

Prominence

Wasserman & Faust 1994

Degree

Centrality

Closeness

Centrality

Degree

Prestige

Proximity

Prestige

Betweeness

Centrality

Information

Centrality

Status or Rank

Prestige

Tärkeys: keskeisyys ja arvostus

11

Keskeisyys Arvostus

Tärkeys

Wasserman & Faust 1994

Keskeisyysaste Läheisyys Degree

Prestige

Proximity

Prestige

Välillisyys Informaation

keskeisyys

Status or Rank

Prestige

Keskeisyysaste

• Keskeisyysaste (degree)

• Kertoo, kuinka monta suoraa yhteyttä toimijalla on

muihin toimijoihin

• Jos verkostoaineisto on suunnattu, voidaan

laskea erikseen lähettäjäkeskeisyys (outdegree)

ja vastaanottajakeskeisyys (indegree)

• Keskeisyysastetta läheinen indeksi on ego tiheys

(ego density) (Burt 1982, Knoke & Kuklinski

1982). Ego tiheys on suhdeluku toimijan suorista

yhteyksistä kaikkiin mahdollisiin yhteyksiin

suuntaamattomissa verkostoissa.

12

Keskeisyysasteen mitta

• Standardi mittana Wasserman & Faust (1994) esittävät seuraavan

kaavan:

• Joka kuvaa osuutta solmuja jotka ovat viereisiä ni. C’D(ni) on itsenäinen

g:stä, jolloin sitä voidaan verrata eri kokoisiin verkostoihin.

• Esimerkiksi asteluku seitsemälle toimijalle tähtigraafissa ovat 6 (ni:lle) ja 1

(n2-n7). Jolloin jakaja standardoidulle toimija indeksille C’D(ni) on g-1=6.

Standardoitu indeksi saa arvot {1.0, 0.167, 0.167, 0.167, 0.167, 0.167,

0.167).

• Pyörägraafille asteluku on kaikille d(ni)=2, joten kaikki indeksit ovat

yhtäsuuria: C’D(ni) = 0.333.

• Vastaavasti ketjugraafissa n1-n5 on kaikilla : C’D(ni) = 0.333, mutta kaksi

viimeistä toimijaa C’D(n6) = C’D(n7) = 0.167 –ovat vähemmän keskeisiä.

13

1

)()('

g

ndnC i

iD

Keskeisyys indeksit Florentine perheille

With g = 16 actors With g = 15 actors

C’D(ni) C’B(ni)* C’D(ni)* C’C(ni)* C’B(ni)* C’I(ni)*

Acciaiuoli 0.067 0.000 0.071 0.368 0.000 0.049

Albizzi 0.200 0.184 0.214 0.483 0.212 0.074

Barbadori 0.133 0.081 0.143 0.438 0.093 0.068

Bischeri 0.200 0.090 0.214 0.400 0.104 0.074

Castellani 0.200 0.048 0.214 0.389 0.055 0.070

Ginori 0.067 0.000 0.071 0.333 0.000 0.043

Guadagni 0.267 0.221 0.286 0.467 0.255 0.081

Lamberteschi 0.067 0.000 0.071 0.326 0.000 0.043

Medici 0.400 0.452 0.429 0.560 0.522 0.095

Pazzi 0.067 0.000 0.071 0.286 0.000 0.033

Peruzzi 0.200 0.019 0.214 0.368 0.022 0.069

Pucci- 0.000 0.000 - - - -

Ridolfi 0.200 0.098 0.214 0.500 0.114 0.080

Salvati 0.133 0.124 0.143 0.389 0.143 0.050

Strozzi 0.267 0.089 0.286 0.438 0.103 0.070

Tornabuoni 0.200 0.079 0.214 0.483 0.092 0.080

Centralization 0.267 0.383 0.257 0.322 0.437 -

14

Läheisyys

• Ideana on, että toimija on keskeinen jos se

kykenee nopeasti vuorovaikutukseen muiden

kanssa

• Läheisyys (closeness) on toimijan lyhyimpien

polkujen summa kaikkiin verkoston muihin

toimijoihin

• dij on lyhyimmän polun pituus i:n ja j:n välillä

• Huomaa tulkinnassa, että pieni arvo tarkoittaa

keskeistä pistettä

15

n

ij

iji dc

Läheisyyden mitta

• Sabidussin (1966) esittämä läheisyys:

• ja Beauchamp (1965) esittämä ”standardi” läheisyys:

• Tämä standardoitu indeksi saa arvot välillä 0 ja 1, ja se voidaan ajatella

käänteisenä etäisyynä toimija i:stä muihin toimijoihin.

16

)()1()('

iCiC nCgnC

g

j

jiiC nndnC1

1

, )]([)(

Kertaus: Geodeesit ja etäisyys

(Miilumäki 2009)

• Geodeesit eli solmujen lyhimmät etäisyydet

esitetään usein etäisyysmatriisin (distance

matrix) avulla

• Etäisyysmatriisin alkiot d(i, j) ilmoittavat solmujen

ni ja nj välisemmän lyhimmän etäisyyden

pituuden

17

Välillisyys

• Välillisyys (betweenness) mittaa, kuinka monen

toimijaparin välisen lyhyimmän polun varrelle

toimija sijoittuu

• Jos piste sijaitsee useiden muiden pisteiden

välillä, se pystyy säätelemään esim. tiedon

kulkua näiden välillä (portinvartijat)

• Piste voi olla (lokaalisti) hyvin epäkeskeinen,

mutta sen välillisyys voi silti olla hyvin suuri

18

Välillisyyden mitta

• Esimerkiksi solmujen lyhimmät etäisyydet (geodeesi) toimijoiden n2 ja n3

välillä on n2n1n4n3 – eli lyhyn polku näiden kahden toimijan välillä kulkee

kahden toimijan n1 ja n4 kautta- voidaan sanoa, että n1 ja n4 on vaikutusta

n2 ja n3 välisessä vuorovaikutuksessa.

• Toimija on siis keskeinen jos sen on useiden toimijoiden ja niiden

geodeesien välissä, jolloin toimijalla on suuri keskeisyys välillisyys.

• Välillisyyden mitta voidaan pukea seuraavaan kaavaan:

• jossa gjk on j ja k toimijoiden yhdistävien geodeesien lukumäärä. Koska

mikä tahansa geodeesi on yhtä todennäköinen, niin todennäköisyys

minkä tahansa geodeesin kautta on 1 / gjk (Freeman)

• joka on standardoituna:

19

kj

jkijkiB gngnC /)()(

]2/)2)(1/[()()(' ggnCnC iBiB

Kritiikkiä Freemanin (1979)

välillisyydelle

• Freeman (1979) olettaa, että kaikki geodeesit ovat yhtä todennäköisiä,

huomioimatta toimijoita. Jotkut toimijat saattavat kuintenkin olla

keskeisempiä keskeisyysasteeltaan, esim. jonkun toimijan keskeisyysaste

voi olla 10 kun toisen toimijan 3, tällöin yleensä sellainen toimija valitaan

todennäköisemmin joka on keskeisempi.

• Freeman (1979) olettaa myös, että aina mennään lyhintä reittiä pitkin, eli

keskitityyn vain geodeeseihin, vaikka jossain tapauksissa pidemmän reitit

tai polut saattavat olla todennäköisempiä.

20

Informaation keskeisyys

• Stephensonin ja Zelenin (1989) keskeisyyden indeksi vastaa tähän

kritiikiin, ja huomioi kaikki polut sekä niiden painoarvot.

• Geodeeseille yleensä annetaan painoarvoina niiden yhteneväisyydet.

Kun taas poluille joiden pituus on pidempi kuin geodeesin pituus

annetaan pienemmät painoarvot sen mukaan mitä informaatiota ne

sisältävät. Polun informaatio on yksinkertaisesti määritelty sen pituuden

inverssinä.

21

Informaation keskeisyyden mitta

• Informaatio keskeisyyden laskemiseksi tarvitaan kaksi välillistä arvoa.

Nämät ovat summa-arvoja: ja

• T on yksinkertaisesti summa kaikista matriisin diagonaalisista arvoista, ja

R on joku rivi summista (kaikki rivi summat ovat yhtäsuuria). Näiden

kahden arvojen avulla voidaan vihdoin laskea informaation keskeisyys

indeksi toimijalle i:

• Tämä indeksi mittaa kuinka paljon informaatiota sisältyy polkuihin jotka

alkavat (ja päättyvät) tiettyyn toimijaan. Indeksin minimiarvo on 0, mutta

sillä ei ole maksimiarvoa; jos T = 2R, ja Cii = 0, niin indeksi on ääretön.

Stephenson ja Zelen (1989) suosittelevat että käytetään suhteellista

informaatio indeksi, joka saadaan jakamalla jokainen indeksi (CI(ni)

kaikilla indekseillä:

22

g

i iicTC1

:

g

j ijcR1

gRTcnC

ii

iI/)2(

1)(

i iI

iII

nC

nCniC

)(

)()('

Lähteet

• Johanson, J-E., Mattila, M., Uusikylä, P. 1995. Johdatus

verkostoanalyysiin. http://www.valt.helsinki.fi/vol/kirja/.

• Novak, J.D. 1998. Learning, Creating and Using Knowledge: Concept

Maps as Facilitative Tools in Schools and Corporations. New York,

Lawrence Erlbaum Associates.

• Miilumäki, T. 2009. Matriisit verkostojen mallintamisessa.

• Siivonen, V. 2003. Johdatus verkostoanalyysiin.

http://www.valt.helsinki.fi/blogs/ville.siivonen/Luento%202.pdf

• Wasserman, S., Faust, K. 1994. Social Network Analysis, Methods and

Applications.

23