Sect14 1

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 1

第 14 章图的基本概念哥尼斯堡七桥问题 1736 年，瑞士数学家欧拉（ Euler ）证明“哥

尼斯堡七桥问题”无解。——图论创始年 1936 年，匈牙利数学家寇尼格（ Konig ）出版

了图论的第一部专著《有限图与无限图理论》。广泛应用于计算机科学、物理学、化学、运筹

学、信息论、控制论、网络通讯、社会科学以及经济管理、军事、国防、工农业生产等方面

—— 异军突起，活跃非凡

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 2

七桥问题七桥问题七桥问题 (Seven bridges of Königsberg

problem): River Pregel, Kaliningrad, Russia

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 3

Leonhard EulerLeonhard EulerLeonhard Euler(1707~1783):

人类有史以来最多产的数学家 . 1736 年 ,“ 七桥问题” , 图论和拓扑学诞生

A D

cd

ab f

Cg

B

e

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 4

特点可直观地表示离散对象之间的相互关系。

只关心点之间是否有连线，而不关心点的位置以及连线的曲直。

———— 与几何学的区别

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 6

§14.1 图预备知识有序积 : AB={ <x,y> |xAyB}

有序对 : <x,y><y,x> 无序积 : A&B={ (x,y) |xAyB}

无序对 : (x,y)=(y,x)={x,y} 多重集 : {a,a,a,b,b,c}{a,b,c}

重复度 : a 的重复度为 3, b 的为 2, c 的为 1

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 7

无向图 (undirected graph)无向图 (graph): G=<V,E>,

(1) V, 顶点 , 结点 (vertex / node)

(2) 多重集 EV&V, 边 (edge / link)例 : G=<V,E>,V={a,b,c,d,e},

E={(a,a),(a,b),(a,b),(b,c),(c,d),(b,d)}.

a

b c

d

e

u v

(u,v)

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 8

有向图 (directed graph)有向图 (digraph): D=<V,E>,

(1) V, 顶点 , 结点 (vertex / node)

(2) 多重集 EVV, 边 (edge / link / arc)例 : D=<V,E>,V={a,b,c,d,e}, E={ <a,a>,

<a,b>,<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,(d,b) }.

a

b c

d

e

u( 起点 )

v( 终点 )<u,v>

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 9

术语与记号一般用 G 表示无向图， D 表示有向图，但有时用 G 泛指图 ( 无向的或有向的 ) ，

可是 D 只能表示有向图。若 G=<V,E>, 则 V(G)=V, E(G)=E | V(G) | 表示 G 的顶点数

| E(G) | 表示 G 的边数

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 10

n 阶图 , 零图 , 平凡图 , 空图n 阶图 (order-n graph): |V(G)|=n有限图 (finite graph): |V(G)|< ，且 |

E(G)|<零图 (null graph): E=, Nn

平凡图 (trival graph): 1 阶零图 , N1

空图 (empty graph): V=E=,

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 11

标定图 , 非标定图 , 基图标定图 (labeled graph): 顶点或边带标记非标定图 (unlabeled graph): 顶点或边

不带标记基图 ( 底图 ): 有向图去掉边的方向后得

到的无向图

a

b c

d

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 12

相邻 (adjacent), 关联 (incident)

相邻 ( 邻接 )(adjacent): 点与点 , 边与边邻接到 , 邻接于 : u 邻接到 v, v 邻接于 u关联 (incident): 点与边关联次数 : 环 (loop): 只与一个顶点关联的边孤立点 (isolated vertex): 无边关联的顶

点

?21 +1 -11

u v

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 13

平行边，多重图，简单图平行边 (parallel edge): 重数：平行边的条数。多重图：含平行边的图。简单图 (simple graph): 无环 , 无平行边。

v2

v3 v4

v2

v3 v4

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 14

邻域 (neighborhood)邻域 : NG(v)={u|uV(G)(u,v)E(G)uv}

闭 (closed) 邻域 : 关联集 : IG(v) = { e | e 与 v 关联 }

后继 :D+(v)={u|uV(D)<v,u>E(D)uv}

前驱 :D-(v)={u|uV(D)<u,v>E(D)uv}

邻域 : NG(v)=D+(v)D

-(v)

闭邻域 :

{v}(v)N(v)N GG

}{)()( vvNvN DD

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 15

顶点的度数 (degree/valence)度 dG(v): 与 v 关联的边的次数之和出度 dD

+(v): 与 v 关联的出边的次数之和入度 dD

-(v): 与 v 关联的入边的次数之和度 dD(v) = dD

+(v) + dD-(v)

0

3

3

4

0,0

1,2 (d+,d-)

2,1

2,2

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 16

最大 ( 出 / 入 ) 度 , 最小 ( 出 /入 ) 度最大度 : (G) = max{ dG(v) | vV(G) }

最小度 : (G) = min{ dG(v) | vV(G) }

最大出度 : +(D) = max{ dD+(v) | vV(D) }

最小出度 : +(D) = min{ dD+(v) | vV(D) }

最大入度 : -(D) = max{ dD-(v) | vV(D) }

最小入度 : -(D) = min{ dD-(v) | vV(D) }

简记为 , , +, +, -, -

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 17

悬挂顶点与悬挂边 , 偶度 ( 奇度 )顶点称度数为 1 的顶点为悬挂顶点，与它关

联的边称为悬挂边。度为偶数 ( 奇数 ) 的顶点称为偶度 (奇度 )顶点。

v2

v3 v4

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 18

握手定理 ( 图论基本定理 ) 定理 1: 设 G=<V,E> 是无向图 ,

V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则d(v1)+d(v2)+…+d(vn)=2m. #

定理 2: 设 D=<V,E> 是有向图 , V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则

d+(v1)+d+(v2)+…+d+(vn)

= d-(v1)+d-(v2) +…+d-(vn) = m. # 推论 : 任何图中 , 奇数度顶点的个数是偶数 .

#

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 19

简单图，正则图简单图 (simple graph): 无环 , 无平行边。若 G 是简单图 , 则 0 (G) n-1k- 正则图 (regular graph): v, d(v)k

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 20

度数列度数列 : 设G=<V,E>,V={v1,v2,…,vn}, 称

d = ( d(v1),d(v2),…, d(vn) )为G的度数列例 : d = ( 5, 1, 2, 3, 3 )

对有向图，还可类似定义出度列、入度列。

v2

v3v4

v5

v1

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 21

可图化 , 可简单图化可图化 : 设非负整数列 d=( d1,d2, …, dn ),

若存在图 G, 使得 G 的度数列是 d, 则称d 为可图化的

可简单图化 : 设非负整数列 d=( d1, d2, …, dn ), 若存在简单图 G, 使得 G 的度数列是d, 则称 d 为可简单图化的

例 : d = ( 5, 3, 3, 2, 1 )

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 22

可图化充要条件定理 3: 非负整数列 d=(d1,d2,…,dn) 是可图

化的 , 当且仅当 d1+d2+…+dn=0(mod 2). 证明 : () 握手定理 () 奇数度点两两之间连一边 , 剩余度用

环来实现 . 例 2: (1)d=(5,4,4,3,3,2); (2)d=(5,3,3,2,1).

5 3

3 1

5 3

3 12

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 23

可图化充要条件 ( 续 )

非负整数列 d=(d1,d2,…,dn) 是可图化的 , 当且仅当 d1,d2,…,dn 中有偶数个奇数。

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 24

例 14.2 判断下列各非负整数列哪些是可图化的？哪些

是可简单图化的？(1) (5,5,4,4,2,1) (2) (5,4,3,2,2) (3) (3,3,3,1)

(4) (d1,d2,…dn) ， d1>d2>…>dn≥1 且为偶数(5) (4,4,3,3,2,2)

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 25

Havel 定理 ( 可简单图化充要条件 )定理 (V. Havel, 1955): 设非负整数列

d=(d1,d2,…,dn)满足 :

d1+d2+…+dn=0(mod 2),

n-1d1d2…dn>0,

则 d 可简单图化当且仅当 d’=(d2-1,d3-1,…,dd1+1-1,dd1+2,…,dn)

可简单图化 .例 : d=(4,4,3,3,2,2), d’=(3,2,2,1,2)

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 26

Havel 定理 (举例 )例 4: 判断下列非负整数列是否可简单图

化 . (1) (5,5,4,4,2,2) (2)(4,4,3,3,2,2)解 : (1) (5,5,4,4,2,2), (4,3,3,1,1),

(2,2,0,0), (1,-1,0), 不可简单图化 .

(2) (4,4,3,3,2,2), (3,2,2,1,2), (3,2,2,2,1),

(1,1,1,1), (0,1,1), (1,1), 可简单图化 . #

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 33

Erdös 定理 ( 可简单图化充要条件 ) 定理 (P.Erdös,T.Gallai,1960): 设非负整数

列 d=(d1,d2,…,dn)满足 :

n-1d1d2…dn0,

则 d 可简单图化当且仅当d1+d2+…+dn=0(mod 2)

并且对 r=1,2,…,n-1 有d1+d2+…+dr r(r-1)+min{r,dr+1}+

min{r,dr+2}+…+min{r,dn}. #

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 34

Erdös 定理 ( 等价形式 ) 定理 (P.Erdös,T.Gallai,1960): 非负整数列

d=(d1,d2,…,dn) 可简单图化当且仅当d1+d2+…+dn=0(mod 2)

并且对 r=1,2,…,n 有d1+d2+…+dr r(r-1)+min{r,dr+1}+ min{r,dr+2}+…+min{r,dn}. #

说明 : n-1d1d2…dn0

d1+d2+…+dn n(n-1).

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 35

Erdös 定理 (举例 )例 3: 判断下列非负整数列是否可简单图

化 . (1) (5,4,3,2,2,1) (2)(5,4,4,3,2)

(3) (3,3,3,1) (4)(6,6,5,4,3,3,1)

(5) (5,5,3,3,2,2,2)

(6) (d1,d2,…,dn), d1>d2>…>dn1,

解 : (1) 5+4+3+2+2+1=170(mod 2).

不可 ( 简单 ) 图化 .

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 36


化 . (2)(5,4,4,3,2) 解 : (2) 5+4+4+3+2=18=0(mod 2).

但是 d1=5>n-1=4, 不满足 n-1d1, 不可简单图化 .

( 或者 : 但是 r=1 时 , d1=5>1(1-1)+min{1,4} +min{1,4}+min{1,3} +min{1,2}=4, 不可简单图化 .)

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 37


化 . (3) (3,3,3,1) 解 : (3) 3+3+3+1=10=0(mod 2).

d1=3=n-1,满足 n-1d1,

但是 r=2 时 ,

d1+d2=6>2(2-1)+min{2,3}+min{2,1}=5,

不可简单图化 .

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 38


化 . (4)(6,6,5,4,3,3,1) 解 : (4) 6+6+5+4+3+3+1=28=0(mod 2).

d1=6=n-1,满足 n-1d1. r=1,2 时 ,

d1=61(1-1)+min{1,6}+min{1,5}+ …=6,

d1+d2=12>2(2-1)+min{2,5}+…=11,

不可简单图化 .或 :6,6,*,*,*,*,1 不可简单图化

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 39

Erdös 定理 (举例 )例 3: (5) (5,5,3,3,2,2,2)解 : (5) 5+5+3+3+2+2+2=22=0(mod 2).

d1=5<n-1,满足 n-1d1. r=1,2,…,7 时 ,

d1=5<1(1-1)+min{1,5}+min{1,5}+ …=6,

d1+d2=10<2(2-1)+min{2,3}+…=12,

d1+d2+d3 =13<3(3-1)+min{3,3}+…=15,

d1+d2+d3+d4 =16<4(4-1)+min{4,2}+…=18,

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 40

Erdös 定理 (举例 )例 3: (5) (5,5,3,3,2,2,2)解 : (5)

d1+d2+d3+d4 =16<4(4-1)+min{4,2}+…=18,

d1+d2+…+d5 =18<5(5-1)+min{5,2}+…=24,

d1+d2+…+d6 =20<6(6-1)+min{6,2}=32,

d1+d2+…+d7 =22<7(7-1)=42,

可简单图化 .

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 41

Erdös 定理 (举例 )例 3: (5) (5,5,3,3,2,2,2)解 : (5) 可简单图化 .

(5,5,3,3,2,2,2), (4,2,2,1,1,2), (4,2,2,2,1,1),

(1,1,1,0,1),(1,1,1,1), (0,1,1),(1,1)

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 42


化 . (6) (d1,d2,…,dn), d1>d2>…>dn1,

解 : (6) d1>d2>…>dn1, dn-12, dn-23,…, d1n, 不满足 n-1d1, 不可简单图化 . #

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 43

Paul Erdös(1913-1996)保罗爱尔特希 , 匈牙利人廿世纪数学界的传奇人物 “Another roof, another proof.”

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 44

Paul Erdös(1913-1996)

“My mother said, ‘Even you, Paul, can be in only one place at one time.’

Maybe soon I will be relieved of this disadvantage.

Maybe, once I've left, I'll be able to be in many places at the same time.

Maybe then I'll be able to collaborate with Archimedes and Euclid.”

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 45

图同构 (graph isomorphism) 图同构 : 设 ( 有向 ) 图 G1=<V1,E1>, G2=<V2,E2>,

若存在双射 f: V1V2, 满足 uV1,vV1,

(u,v)E1 (f(u),f(v))E2

( <u,v>E1 <f(u),f(v)>E2 )

并且并且 (u, v) (<u, v>) 与 (f(u), f(v)) (<f(u) ， f(v)>) 的重数相同，

则称 G1与 G2同构 , 记作G1G2

说明 : 同构的图 ,其图论性质完全一样。

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 47

图同构 (举例 )

G1 G2 G3

G1G3, G1G2

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 48

图同构 (举例 )

G1 G2 G3

G1G2G3

• 彼德森 (Petersen)图

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 49

图同构 (举例 )

D1 D2 D3

D1D2, D2D3

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 50

同构图的性质图的同构关系是全体图构成的集合上的

等价关系。同构的图具有相同的阶数、边数、度数

列等。但反之不成立。

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 51

完全图 (complete graphs)设 G 为 n 阶无向简单图，若 G 中每个顶点均与其余的 n-1 个顶点相邻，则称 G 为 n阶无向完全图，简称 n阶完全图，记做Kn(n≥1) 。

设 D 为 n 阶有向简单图，若 D 中每个顶点都邻接到其余的 n-1 个顶点，又邻接于其余的 n-1 个顶点，则称 D 是 n阶有向完全图。

设 D 为 n 阶有向简单图，若 D 的基图为 n阶无向完全图 Kn ，则称 D 是 n 阶竞赛图。

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 52

1—5 阶完全图

K1 K2 K3

K4 K5

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 53

1—5 阶有向完全图

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 54

1—5 阶竞赛图 (tournament)

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 55

完全图的一个性质n 阶完全无向图的边数为 n(n+1)

n 阶完全无向图的边数为 n(n+1)

n 阶竞赛图的边数为 n(n+1)

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 56

正则图 (regular graph) r 正则图 : vV, d(v)=r, r=0,1,2,…例 : Kn 是 n-1 正则图 (n=1,2,3,…)

例 : n 阶零图是 0 正则图。

一个三正则图一个五正则图

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 57

柏拉图图 (Platonic graphs)

正四面体图正六面体图正八面体图

正十二面体图正二十面体图

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 58

彼德森图 (Pertersen graph)

是一个三正则图

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 59

正则图的一个性质 n 阶 k 正则图中，边数 m= kn k 为奇数时， n必为偶数。

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 60

r 部图 (r-partite graphs)

r 部图 : G=<V,E>,V=V1V2…Vr,

ViVj= (ij), EU(Vi&Vj), ij

也记作 G=<V1,V2,…,Vr ; E>.

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 61

二部图 ( 偶图 )(bipartite graphs)

二部图 : G=<V1,V2; E>, 也称为偶图

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 62

完全 r 部图 (complete r-partite

graphs)

K3,3K2,3 Kr,s

K1,1,1 K1,1,2K1,2,2 K1,2,3

r 个

s 个

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 63

库拉图斯基图 (Kuratowski graph)

K3,3 K5

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 64

路径 (paths)

P1 P2 P3 P4 P5

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 65

圈 (cycles)

C1 C2 C3 C4 C5

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 66

轮 (wheels)

W1 W2 W3 W4 W5

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 67

超立方体 (hypercubes)

Q0 Q1 Q2

Q3

Q4

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 68

树 (trees)树 : 连通无回路图

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 69

总结预备知识 , 无向图 , 有向图 , 相邻 , 关联度 , 握手定理 , 度数列 , 可图化图同构图族

23/4/12 《离散数学》第14章第1节 70

作业p352 1,2,3,4,6,7,8,15

Technology

Sect14 1