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23/4/12 《离散数学》第14章第2节 1
§14.2 通路与回路子图 , 生成子图 , 导出子图 ; 图的运算 ( 简单 , 初级 ) 通路 , ( 简单 , 初级 ) 回路
23/4/12 《离散数学》第14章第2节 2
子图 , 生成子图子图 (subgraph): G=<V,E>, G’=<V’,E’>,
G’G V’V E’E真子图 (proper subgraph):
G’G G’G (V’V E’E)生成子图 (spanning subgraph):
G’ 是 G 的生成子图 G’G V’=V
23/4/12 《离散数学》第14章第2节 3
导出子图 (induced subgraph) 导出子图 : G=<V,E>, 若 V1V, E1= E V1&V1, 则称
G1 = <V1,E1>
为由 V1 导出的子图， 记为 G[V1] 。 若 E2 E, V2={v|vG, G 与 E1 中的边关联 }, 则称
G2 = <V2,E2>
为由 E2 导出的子图 G[E2]
23/4/12 《离散数学》第14章第2节 4
导出子图 ( 举例 )
G
V1E1
G[V1]
G[E1]
23/4/12 《离散数学》第14章第2节 5
补图 (complement graph) 补图 : G=<V,E> 为简单图 , G=<V, E(Kn)-E>
自补图 (self-complement graph): GG
23/4/12 《离散数学》第14章第2节 6
例 14.3’ (1) 画出 5 阶 4 条边的所有非同构的无向
简单图 ; (2) 画出 4 阶 2 条边的所有非同构的有向简单图 .
分析 : (1) d(v)=2m=8, n-1=4,(4,1,1,1,1),(3,2,1,1,1),(2,2,2,1,1),(3,2,2,1,0),(2,2,2,2,0)(2) d+(v)=d-(v)=m=2, d(v)=2m=4,(2,1,1,0),(1,1,1,1),(2,2,0,0)
23/4/12 《离散数学》第14章第2节 7
例 14.3'(1) (1) 画出 5 阶 4 条边的所有非同构的无向
简单图 ;解 : (1)
23/4/12 《离散数学》第14章第2节 8
例 14.3'(2) (2) 画出 4 阶 2 条边的所有非同构的有向
简单图 .解 : (2)
23/4/12 《离散数学》第14章第2节 9
图的运算删除 , 收缩 , 加新边 , 不交并图 , 交图 , 差图 , 环和。
23/4/12 《离散数学》第14章第2节 10
删除 (delete)G-e = < V, E-{e} >, 删除边 eG-E’ = < V, E-E’ >, 删除边集 E’G-v = < V-{v}, E-IG(v) >, 删除顶点 v 以
及 v 所关联的所有边G-V’ = < V-V’, E-IG(V’) >, 删除顶点集 V’
以及 V’ 所关联的所有边
23/4/12 《离散数学》第14章第2节 11
删除的例子
v1
v2
v3v4
v5
v3v4
v5
v1
v2
v3v4
v5v2
v2
v1
v3v4
v1
v3
v1
v3v4
v5
v1
23/4/12 《离散数学》第14章第2节 12
收缩 (contract)G\e: e=(u,v), 删除 e, 合并 u 与 v
eu v
23/4/12 《离散数学》第14章第2节 13
加新边 (add new edge)G(u,v) = <V,E{(u,v)}>, 在 u 与 v 之间
加新边也写成 G+(u,v)
v1
v2
v3v4
v5
23/4/12 《离散数学》第14章第2节 14
不交 (non-intersect)
G1=<V1,E1>, G2=<V2,E2>,
G1 与 G2 不交 V1V2=G1 与 G2 边不交 ( 边不重 ) E1E2=
不交的图必然是边不交的。
23/4/12 《离散数学》第14章第2节 15
并图 , 交图 , 差图 , 环和 (ring sum)
G1=<V1,E1>, G2=<V2,E2>, 都无孤立点并图 : G1G2 =<V(E1E2), E1E2>
交图 : G1G2 =<V(E1E2), E1E2>
差图 : G1-G2 =<V(E1-E2), E1-E2>
环和 : G1G2 =<V(E1E2), E1E2>
23/4/12 《离散数学》第14章第2节 16
性质G1G2 = (G1G2)-(G1G2)
G1=G2 时 ,
G1G2 = G1G2 = G1 = G2
G1G2 = G1-G2 = G1与 G2 边不重时 ,
G1G2 = , G1-G2 = G1, G2-G1 = G2,
G1G2 = G1G2
23/4/12 《离散数学》第14章第2节 17
通路 (walk)通路 : 顶点与边的交替序列
其中 r = 1,2,…,l, 通路长度 || = l.
lll ijijiji vevevev12110
e
),,(1 rrr iij vve
),(
1
rrr iij vve
是终点是起点lii vv ,
0
0iv
1iv
2iv
liv
1je
2je
lje
1riv
riv
rje
23/4/12 《离散数学》第14章第2节 18
回路 (closed walk)回路 :
012110 ijijiji vevevevll
lii vv
0
0iv
1iv
2iv
1liv
1je
2je
lje
1riv
riv
rje
23/4/12 《离散数学》第14章第2节 19
简单通 ( 回 ) 路 , 初级通 ( 回 )路 简单 (simple) 通路 : 没有重复边的通路 简单 (simple) 回路 : 没有重复边的回路 复杂 (complex) 通路 : 有重复边的通路 复杂 (complex) 回路 : 有重复边的回路 初级 (element) 通路 ( 路径 (path)): 没有重复顶
点的通路 初级 (element) 回路 ( 圈 (cycle)): 没有重复顶点
的回路 初级通路 ( 初级回路 ) 都是简单通路 ( 简单回路 ) 。
23/4/12 《离散数学》第14章第2节 20
路径 (paths)
P1 P2 P3 P4 P5
23/4/12 《离散数学》第14章第2节 21
圈 (cycles)
C1 C2 C3 C4 C5
长为 1 的圈只由环生成。长为 2 的圈只由平行边生成。在简单无向图中，圈的长度至少为 3 。将长度为奇数的圈称为奇圈。长度为偶数的圈称为偶圈。
23/4/12 《离散数学》第14章第2节 22
通路的表示可以只用边的序列来表示通路
简单图可以只用顶点的序列来表示通路
画出的长度为 l 的圈 , 如果是非标定的 ,则在同构意义下是唯一的 , 如果是标定的( 指定起点 , 终点 ), 则是 l 个不同的圈
ljjj eee 21
ll iiii vvvv110
23/4/12 《离散数学》第14章第2节 23
定理 14.5 定理 14.5: 在 n 阶图 G 中 , 若从不同顶点 vi 到
vj 有通路 , 则从 vi 到 vj 有长度小于等于 n-1 的通路。
证明 : 若通路长度大于 n-1, 则通路上顶点数大于 n, 通路上有重复顶点 , 删除重复顶点之间的回路 , 通路长度至少减少 1. 重复进行 , 直到通路长度小于等于 n-1 为止 . #
23/4/12 《离散数学》第14章第2节 24
推论推论 : 在 n 阶图 G 中 , 若从不同顶点 vi
到 vj 有通路 , 则从 vi 到 vj 有长度小于等于n-1 的路径 ( 初级通路 ).
证明 : 若通路不是路径 , 则通路上有重复顶点 , 删除所有重复顶点之间的回路 , 得到的是路径 , 其长度小于等于 n-1. #
23/4/12 《离散数学》第14章第2节 25
定理 14.6定理 14.6: 在 n 阶图 G 中 , 若有从顶点
vi 到自身的回路 , 则有从 vi 到自身长度小于等于 n 的回路 . #
推论 : 在 n 阶图 G 中 , 若有从顶点 vi 到自身的简单回路 , 则有从 vi 到自身长度小于等于 n 的圈 ( 初级回路 ).
vi
23/4/12 《离散数学》第14章第2节 26
例 14.4
无向完全图 Kn(n3) 中有几种非同构的圈？
解：非标定图中，长度相同的圈都是同构的。 Kn(n3) 中含长度为 3 、 4 、…、 n 的圈，故 Kn(n3) 中含有 n-2 种非同构的圈。
23/4/12 《离散数学》第14章第2节 27
例 14.5 无向完全图 K3 的顶点依次标定为 a,b,c. 在定义
意义下 K3 中有多少个不同的圈？ 解：
在同构意义下， K3 中只有一个长度为 3 的圈。但在定义意义下，不同起点（终点）的圈是不同的，顶点间排列顺序不同的圈也看成是不同的， 因而 K3 中有 6 个不同的长为 3 的圈：abca,acba,bacb,bcab,cabc,cbac 。如果只考虑起点（终点）的差异，而不考虑顺时针逆时针的差异，应有 3 种不同的圈，当然它们都是同构的，画出图来只有一个。
23/4/12 《离散数学》第14章第2节 28
作业p353, 16 、 18 、 20 、 22
谢 谢
