El maravilloso mundo de la enseñanza de la matematica

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIOacuteN Y CAPACITACIOacuteN PERMANENTE 2010COMPONENTE DISENtildeO CURRICLAR NACIONAL ndash ASPECTOS ESPECIacuteFICOS

AacuteREA MATEMAacuteTICA

1UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

ESPECIALISTA RESPONSABLE

Juan Portal Pizarro

Universidad Nacional De Cajamarca

EL MUNDO MAacuteGICO DE LA ENSENtildeANZA

DE LA MATEMAacuteTICA

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIOacuteN Y CAPACITACIOacuteN PERMANENTE 2010 - 2011

ldquoMEJORES MAESTROS MEJORES ALUMNOSrdquo

COMPONENTE DISENtildeO CURRICULAR NACIONAL ESPECIacuteFICO


MOacuteDULO



INTRODUCCION

La importancia de las herramientas cuantitativas en el desarrollo del pensamiento loacutegico matemaacutetico requiere que el docente de educacioacuten primaria desarrolle capacidades habilidades meacutetodos y algoritmos de caacutelculo cuya base es la matemaacutetica por lo que se hace necesario darle eacutenfasis a traveacutes de esta aacuterea la comprensioacuten anaacutelisis de un conjunto de contenidos y estrategias matemaacuteticas que ayudan y proporcionan elementos necesarios para la toma de decisiones y desarrollar el pensamiento creativo y criacutetico

La matemaacutetica siempre ha sido considerada una aacuterea de importancia vital en el curriacuteculo escolar tanto por su contribucioacuten al desarrollo cognitivo del nintildeo como por la funcionalidad que poseen la mayoriacutea de los aprendizajes en la vida adulta o por proporcionar un instrumento para el posterior desarrollo de otras aacutereas Uno de los objetivos de esta aacuterea es analizar por un lado las dificultades que presenta el aacuterea por las que cierto nuacutemero de nintildeos llegan a manifestar un considerable retraso con la consiguiente inadaptacioacuten y fracaso que ello supone Por otra parte se revisan los principales tipos de deficiencias del aprendizaje de la matemaacutetica y su implicacioacuten en el aacuterea con especial atencioacuten al disentildeo de estrategias de actuacioacuten en el aula que permitan una progresiva incorporacioacuten o aproximacioacuten de los alumnos con dificultades en el aprendizaje de esta aacuterea de los demaacutes alumnos Teniendo en cuenta esto se realizaraacute y compartiraacute estrategias para desarrollar en el aula y de esta manera hacer una matemaacutetica luacutedica y significativa

El presente moacutedulo abarca los siguientes ejes temaacuteticos Desarrollo del pensamiento Loacutegico Matemaacutetico Proceso de construccioacuten de la nocioacuten del nuacutemero Cardinal y ordinal lectura y escritura de nuacutemeros naturales Valor posicional Establecimiento de relaciones Ordenamiento y sucesiones

TEMAS TRANSVERSALES

Comprensioacuten lectora Comprensioacuten literal Comprensioacuten inferencial Comprensioacuten critica

Educacioacuten inclusiva e interculturalidad

Educacioacuten inclusiva interculturalidad identidad y pertenencia a su comunidad

Desarrollo personal formacioacuten eacutetica valores y

orientacioacuten educativa

La eacutetica en el contexto del desarrollo humano emociones morales compartimiento eacutetico razonamiento moral identidad moral Equidad de geacutenero

APRENDIZAJES ESPERADOS

Maneja el sustento teoacuterico y las estrategias metodoloacutegicas del aacuterea de Matemaacutetica en el nivel de educacioacuten primaria

Conoce el proceso de maduracioacuten del pensamiento loacutegico matemaacutetico y los conceptos y destrezas baacutesicas que se proponen en el curriacuteculo de Educacioacuten Primaria con las dificultades intriacutensecas que conllevan

Fomentar la capacidad criacutetica innovadora e investigadora base de la formacioacuten permanente del profesorado




ENFOQUE DEL AacuteREA DE MATEMAacuteTICA EN EDUCACIOacuteN PRIMARIA

En la Educacioacuten Primaria el aacuterea de matemaacutetica mediante un enfoque cognitivo social y cultural busca dotar a los estudiantes de una cultura matemaacutetica que les proporcione recursos para toda la vida lo que implica brindarles oportunidades de aprendizaje que estimulen el desarrollo de su pensamiento Loacutegico permitiendo de esta manera realizar elaboraciones mentales para comprender el mundo y actuar en eacutelEsta concepcioacuten tiene profundas repercusiones en la manera de enfocar la ensentildeanza y el aprendizaje de la matemaacutetica

Existe una interaccioacuten profunda entre la realidad y la matemaacutetica Es necesario tener en cuenta la experiencia y la manipulacioacuten de los objetos es decir el apoyo permanente de lo real sin abandonar las intuiciones de nuestra mente contribuye al establecimiento de relaciones y conceptualizaciones matemaacuteticas La formalizacioacuten rigurosa de las experiencias iniciales corresponde a un estadio superior

Los procesos del pensamiento matemaacutetico son el centro de la Educacioacuten Matemaacutetica Se debe propiciar en los estudiantes el desarrollo de procesos del pensamiento antes que el acopio de contenidos La matemaacutetica es sobre todo saber hacer

La matemaacutetica brinda la posibilidad de tener un viacutenculo particular con la verdadPermite usar el conocimiento como medio para fundamentar el trabajo realizado Los estudiantes pueden validar sus realizaciones

Los factores afectivos son importantes en el desarrollo del pensamiento matemaacutetico Es preciso tener en cuenta la importancia de la motivacioacuten y buscar por diversos medios el desarrollo del sentimiento esteacutetico y el placer luacutedico que la matemaacutetica es capaz de proporcionar asiacute como el desarrollo de valores Los fracasos de muchos estudiantes tienen su origen en experiencias iniciales destructivas de sus propias potencialidades La matemaacutetica tiene un caraacutecter profundamente humano el cual deberiacutea hacerla asequible dinaacutemica interesante y atractiva a los estudiantes

Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y la comunicacioacuten estaacuten empezando a influir fuertemente en la orientacioacuten de la educacioacuten matemaacutetica desde los primeros grados de escolaridad Lo maacutes importante de la utilizacioacuten de herramientas tales como las calculadoras y las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten para apoyar el trabajo escolar es el desarrollo de los procesos del pensamiento antes que la ejecucioacuten de ciertas rutinas que se refieren solo al manejo de las maacutequinas

Seguacuten el Disentildeo Curricular Nacional en el aacuterea de matemaacutetica del nivel primario manifiesta ldquohellipel desarrollo del pensamiento matemaacutetico y el razonamiento loacutegico adquieren significativa importancia en la educacioacuten baacutesica permitiendo al estudiante estar en capacidad de responder a los desafiacuteos que se le presentan planteando y resolviendo con actitud analiacutetica los problemas de su realidadLa matemaacutetica forma parte del pensamiento humano y se va estructurando desde los primeros antildeos de vida en forma gradual y sistemaacutetica a traveacutes de las interacciones cotidianas Los nintildeos observan y exploran su entorno inmediato y los objetos que lo configuran estableciendo relaciones entre ellos cuando realizan actividades concretas de diferentes maneras utilizando materiales participando en juegos didaacutecticos y en actividades productivas familiares elaborando esquemas graacuteficos dibujos entre otrosSer competente matemaacuteticamente supone tener habilidad para usar los conocimientos con flexibilidad y aplicarlos con propiedad en diferentes contextos Desde su enfoque cognitivo la matemaacutetica permite al estudiante construir un razonamiento ordenado y sistemaacutetico Desde su enfoque social y cultural le dota de capacidades y recursos para abordar problemas explicar los procesos seguidos y comunicar los resultados obtenidosrdquo1

1 MINISTERIO DE EDUCACIOacuteN Disentildeo Curricular Nacional Para Educacioacuten Baacutesica Regular Lima Peruacute 2008




DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LOacuteGICO MATEMAacuteTICO

iquestQUEacute ES EL PENSAMIENTO LOacuteGICO MATEMAacuteTICO

Entendemos por pensamiento loacutegico matemaacutetico al conjunto de procesos mentales a traveacutes de los cuales se establecen relaciones entre objetos situaciones conceptos que permitan estructurar la realidad El pensamiento loacutegico matemaacutetico estaacute formado por una red de relaciones dicho de otra forma el conocimiento construido por el educando forma estructuras organizadas y la red de relaciones entre los objetos o hechos que el educando crea constantemente es lo que forma el pensamiento loacutegico matemaacutetico

El pensamiento loacutegico matemaacutetico se emplea para procesar informacioacuten seleccionada desarrollando ideas basaacutendose en la alta probabilidad matemaacutetica permitieacutendonos desarrollar comportamientos automaacuteticos esto implica que la informacioacuten no tenga que analizarse cuidadosamente todo el tiempo lo cual nos ahorra tiempo

En resumen podemos afirmar que el pensamiento loacutegico matemaacutetico es la capacidad que tiene una persona para construir relaciones entre las propiedades de los objetos elaborar contenidos matemaacuteticos (signos siacutembolos ideas nociones o conceptos) resolver problemas basados en el razonamiento

En consecuencia esta forma de pensamiento se traduce en el uso y manejo de las operaciones mentales o cognitivas tales como observar identificar relacionar discriminar interpretar argumentar analizar inferir etc

El razonamiento debemos atenderlo como la capacidad de pensar reflexivamente ordenar ideas con respecto a un concepto o planteamiento demostrar con argumentos soacutelidos nuestro punto de vista demostrar una secuencia o una conclusioacuten

Para Piaget el pensamiento loacutegico matemaacutetico es el aglutinamiento que unifica toda la cognicioacuten

PROCESO DE DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LOacuteGICO MATEMAacuteTICO

Se sustenta y deriva de los estudios y propuestas de Dienes asiacute como de las investigaciones de Piaget consiste baacutesicamente en tener en cuenta que el aprendizaje de la matemaacutetica debe ir desde lo intuitivo experimental concreto hasta lo graacutefico y representativo para finalmente recieacuten llegar a la parte formal y abstracta de la matemaacutetica que es la elaboracioacuten de conceptos y siacutembolos y su debida aplicacioacuten a la resolucioacuten de problemas Es una metodologiacutea eminentemente activa e inductiva puesto que va de lo concreto a lo abstracto y del ejemplo a la teoriacutea

ETAPA INTUITIVO - CONCRETA Aquiacute el alumno en su relacioacuten sensoperceptual con su entorno internaliza las primeras relaciones que seraacuten la base para las relaciones matemaacuteticas

Juegos libres Es la accioacuten directa se inicia con la manipulacioacuten de materiales concretos para reconocer sus caracteriacutesticas y sus relaciones de acuerdo a sus intereses y necesidades

Juegos estructurados Consiste en establecer y comprender reglas y secuencias que maacutes tarde se convertiraacuten en normas y algoritmos

Los materiales deben servir solamente de apoyo para que los alumnos desarrollen su pensamiento y aprendan luego a razonar en forma abstracta

ETAPA GRAacuteFICO ndash REPRESENTATIVA Es el segundo nivel llamado tambieacuten icoacutenico aquiacute es donde se realiza las primeras representaciones de los juegos y actividades de la etapa anterior Son el camino a las primeras abstracciones


ETAPAS PARA LA CONSTRUCCIOacuteN DEL CONOCIMIENTO LOacuteGICO MATEMAacuteTICO EN EL AULA

JUEGOS LIBRES

Colorear figurasClasificar ordenarAgrupar objetos Interpretar reglas Reconocer criterios

Construcciones Manipulaciones Desplazamientos

JUEGOS

Diagramas fechas Cuadros doble entrada Coacutedigo tablasModelizacioacuten Interpretar esquemas

ETAPA INTUITIVO CONCRETA

JUEGOS ESTRUCTURADOS

REPRESENTACIOacuteN DE ACTIVIDADES Y

JUEGOS

USO DE CONCEPTOS Y SIacuteMBOLOS

Formar conceptosManejar foacutermulas Tablas numeacutericas Ejercicio escrito y oral Solucioacuten de problemasInvencioacuten de problemas Utilizacioacuten de conceptos teoriacuteas leyes y principios

ETAPA GRAacuteFICO REPRESENTATIVA

ETAPA CONCEPTUAL SIMBOacuteLICA



ETAPA CONCEPTUAL ndash SIMBOacuteLICA Es el maacutes alto nivel del edificio matemaacutetico Es el manejo de constructos matemaacuteticos Aquiacute los nintildeos son guiados para construir los conceptos matemaacuteticos Se define signos (letras u objetos) a los que arbitrariamente se les atribuye determinadas propiedades Se aplican los conceptos elaborados a la solucioacuten de situaciones problemaacuteticas contextualizadas


Cognicioacuten Capacidad de Aprender a aprenderAprender a pensarAprender a hacer Aprender a vivirAprender a ser

Metacognicioacuten

DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LOacuteGICO


Aprender la realidad que nos rodea a traveacutes de nociones conceptos teoriacuteas leyes principios siacutembolos etc

DESARROLLO DEL PENSAMIENTO RACIONAL


Aprender la realidad a traveacutes de sus diversas formas y maneras de representarla y graficarla como un medio elemental de razonamiento

Aprender la realidad a traveacutes de diversas sensaciones es decir mediante la informacioacuten que nos proporcionan los sentidos

DESARROLLO DEL PENSAMIENTO SENSORIAL




El pensamiento loacutegico matemaacutetico se construye siguiendo rigurosamente las etapas determinadas para su desarrollo en forma histoacuterica existiendo una correspondencia biuniacutevoca entre el pensamiento sensorial que en matemaacutetica es de tipo INTUITIVO CONCRETO el pensamiento racional que es GRAacuteFICO REPRESENTATIVO y el pensamiento loacutegico que es de naturaleza CONCEPTUAL O SIMBOacuteLICA El siguiente esquema nos muestra dicho proceso

Para poder aprender nociones abstractas o generalizaciones teoacutericas del tipo que abundan en matemaacutetica es necesario que se hayan configurado en el cerebro humano las estructuras mentales que hagan posible su asimilacioacuten acomodacioacuten y conservacioacuten Es indispensable en consecuencia que el mediador y el facilitador del aprendizaje verifique si las personas que aprenden poseen dichas estructuras mentales antes de iniciar una sesioacuten de matemaacutetica De lo contrario es necesario realizar las manipulaciones clasificaciones construcciones anaacutelisis y agrupaciones necesarias con material objetivo o concreto para luego pasar a las representaciones graacuteficas y de alliacute finalmente a las formalizaciones que caracterizan a la matemaacutetica De nada sirve obviar estos procesos Existe la ventaja sin embargo de que el cerebro humano no tiene una edad liacutemite para crear sus estructuras mentales En matemaacutetica nunca seraacute tarde entonces para volver a ser nintildeos y desarrollar nuestra capacidad de aprender a aprender a partir de ldquohacer cosasrdquo Es importante indicar que en el debate (desequilibrio ndash reequlibrio cognoscitivo) de los distintos puntos de vista entre los alumnos es donde se construye el pensamiento loacutegico El nintildeo aprende a pensar autoacutenomamente desde dentro de su pensamiento y no desde nuestra ensentildeanza desde fuera Asiacute vamos comprendiendo aquello que tantas veces menciona el orientador ldquoLos nintildeos aprenden buenas actitudes (autonomiacutea moral) y buen desarrollo de su pensamiento loacutegico (autonomiacutea intelectual) en unas relaciones socio ndash afectivas adecuadas ldquoConstructivismos socio-afectivordquo y definitivamente el aprendizaje significativo En este sentido el docente debe convertirse en un mediador guiacutea orientador y problematizador




El desarrollo del pensamiento loacutegico matemaacutetico al igual que cualquier otra forma del desarrollo del pensamiento es susceptible de aprendizaje Nadie nace siendo poseedor de eacutel Por ejemplo nadie nace con la capacidad de razonar comunicarse matemaacuteticamente y de resolver problemas Todo se aprende Sin embargo este aprendizaje puede ser un proceso faacutecil o difiacutecil en la medida del uso que se haga de ciertas herramientas cognitivas

Algunos aspectos importantes que el docente debe saber sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas

Deberaacute mantener una actitud que propicie el desarrollo del pensamiento del nintildeo que se puede resumir en lo siguiente

Mantener un clima de confianza Para que el nintildeoa se pueda desenvolver en las distintas actividades con espontaneidad dentro de un clima seguro y afectuoso

Dar explicaciones precisas El hecho de que los nintildeos sean pequentildeos no debe impedir dar explicaciones verdaderas sobre las dudas que ellos nos manifiestan Se debe explicar el por queacute de las cosas

Motivacioacuten Dar sentido concreto a las actividades ayudaraacute al nintildeo a tener maacutes intereacutes hacia las experiencias que le haraacuten progresar

Estar atento y considerar las preguntas Debemos estar atentos a los nintildeos cuando experimentan en sus actividades para poder guiarlos en la resolucioacuten de ellas que cada uno conseguiraacute por caminos a veces distintos Dar respuesta a sus preguntas seraacute una actitud fundamental para que progresen

Ser paciente Cada nintildeo tiene un ritmo distinto en su proceso de maduracioacuten y desarrollo por ello deberemos ser pacientes ante las distintos tiempos de resolucioacuten de las actividades

Para desarrollar el pensamiento loacutegico matemaacutetico en los nintildeos es preciso considerar los siguientes espacios dentro del aula

a Espacios para armar desarmar y construir este espacio permite hacer construcciones armar y separar objetos rodarlos ponerlos unos encima de otros mantener el equilibrio clasificarlos jugar con el tamantildeo y ubicarlos en el espacio

b Espacios para realizar juegos simboacutelicos representaciones e imitaciones este espacio debe ser un lugar para estimular el juego simboacutelico y cooperativo ademaacutes de ser un lugar que le permita al nintildeo representar experiencias familiares y de su entorno

c Espacios para comunicar expresar y crear en edad preescolar conviene apoyar las conversaciones intercambios expresiones de emociones sentimientos e ideas Por lo tanto el aula debe estar equipada de materiales interesantes con el propoacutesito de desarrollar todos los medios de expresioacuten (dibujo pintura y actividades manuales)

d Espacios para jugar al aire libre este se refiere al ambiente exterior destinado para el juego al aire libre al disfrute y esparcimiento Este espacio permite construir las nociones adentro afuera arriba abajo cerca lejos estableciendo relacioacuten con objetos personas y su propio cuerpo

e Espacios para descubrir el medio fiacutesico y natural al nintildeo de los primeros grados de educacioacuten primaria le gusta explorar y hacer preguntas acerca de los eventos u objetos que le rodean Por tal motivo hace uso de sus sentidos para conocer el medio exterior y comienza a establecer diferencias y semejanzas entre los objetos y por ende los agrupa y ordena Estas nociones son la base para desarrollar el concepto de nuacutemero es por ello que se deben proporcionar materiales y objetos apropiados que




les permitan a los nintildeos agrupar ordenar seriar jugar con los nuacutemeros contar hacer comparaciones experimentar y estimar

Ademaacutes de espacios adecuados el nintildeo deberaacute disponer de materiales para manipular y experimentar pues su tipo de pensamiento requiere sobre todo presencia de materiales concretos tales como

1048707 Material diverso para seriar agrupar separar1048707 Material para asimilar formas geomeacutetricas bloques loacutegicos Tangram1048707 Para la orientacioacuten espacial ladrillos picas conos aros tubos1048707 Material de desecho variado y de fabricacioacuten propia1048707 Para la asimilacioacuten de las bases de numeracioacuten y sistema de numeracioacuten decimal son de

especial intereacutes el material multibase las regletas Cuissenaire El desarrollo del pensamiento loacutegico incluye una serie de periodos y los Primeros Grados de educacioacuten Primaria se situacutea en el Estadio de las operaciones concretas en el subestadio del pensamiento preoperacional Por lo cual las actividades contenidos y meacutetodos deberaacuten ser acordes a este tipo de pensamiento de nuestros alumnosas

El desarrollo del pensamiento loacutegico matemaacutetico se realiza de una forma continua en la cual cada uno de nuestros alumnos lleva un ritmo distinto de maduracioacuten y aprendizaje

Es muy importante que la actitud del docente sea acorde con las caracteriacutesticas del pensamiento de los alumnos de esta edad que fomente una actitud de confianza en si mismos que respeta las diferencias individuales que propicie la motivacioacuten y un clima adecuado en la clase

Es necesario para el desarrollo de este aspecto del pensamiento de nuestros alumnos que en la disposicioacuten de nuestras aulas haya lugares y materiales apropiados a las caracteriacutesticas del nintildeo de Educacioacuten Primaria que propicien las actividades que conllevaraacuten a la maduracioacuten en los procesos del pensamiento loacutegico matemaacutetico de nuestros alumnos y alumnas

Algunas cosas importantes que su nintildeo debe saber sobre las matemaacuteticas

Usted tambieacuten puede ayudar a su alumno a aprender matemaacuteticas al ofrecerle consejos sobre coacutemo abordar las matemaacuteticas Su nintildeo desarrollaraacute mayor seguridad en su capacidad matemaacutetica si comprende los siguientes puntos importantes

Los problemas pueden ser resueltos en varias maneras

Aunque en la mayoriacutea de los problemas matemaacuteticos hay soacutelo una respuesta correcta puede haber varias maneras de encontrarla El aprender matemaacuteticas es maacutes que encontrar la respuesta correcta tambieacuten es un proceso para resolver problemas y aplicar lo que se ha aprendido anteriormente a nuevos problemas

A veces las respuestas incorrectas tambieacuten son uacutetiles

La precisioacuten siempre es importante en las matemaacuteticas Sin embargo a veces usted podraacute usar una respuesta incorrecta para ayudar a su alumno a resolver coacutemo cometioacute un error Analizar las respuestas incorrectas puede ayudar a su nintildeo a comprender los conceptos fundamentales del problema y ayudarle a aplicar sus destrezas de razonamiento para encontrar la respuesta correcta

Pida que su nintildeo le explique coacutemo resolvioacute un problema matemaacutetico Su explicacioacuten le puede ayudar a descubrir si necesita ayuda con destrezas de caacutelculo como sumar o restar o con los conceptos necesarios para resolver el problema




iexclArrieacutesgate

Ayude a su alumno a tomar riesgos Ayuacutedele a valorar el intento de resolver un problema aunque sea difiacutecil Dele tiempo para explorar distintos meacutetodos para resolver un problema difiacutecil Mientras trabaja ayuacutedelo a hablar sobre lo que estaacute pensando Esto le ayudaraacute a reforzar sus destrezas matemaacuteticas y a poder razonar y resolver problemas independientemente

Es importante poder hacer matemaacuteticas ldquoen tu cabezardquo

Las matemaacuteticas no se hacen soacutelo con papel y laacutepiz Hacer problemas matemaacuteticos ldquoen tu cabezardquo (matemaacuteticas mentales) es una destreza valiosa que nos es uacutetil al hacer caacutelculos raacutepidos de los precios en las tiendas restaurantes y gasolineras Haacutegale saber a su nintildeo que al usar las matemaacuteticas mentales sus destrezas se fortaleceraacuten

A veces estaacute bien usar una calculadora para resolver problemas matemaacuteticos

Estaacute bien usar calculadoras para resolver problemas matemaacuteticos de vez en cuando Se utilizan con mucha frecuencia y saberlas usar correctamente es muy importante La idea es no permitir que su nintildeo se excuse con la actitud ldquoNo necesito saber matemaacuteticas tengo una calculadorardquo Ayude a su alumno a entender que para usar calculadoras correcta y eficientemente necesitaraacute fuertes fundamentos en operaciones matemaacuteticas de otra manera iquestcoacutemo sabraacute si la respuesta que le da la calculadora es razonable

DESARROLLO COGNITIVO Y PROGRESIOacuteN EN EL APRENDIZAJE DE LA MATEMAacuteTICA

El sentido numeacuterico y su desarrollo

Desde los niveles de inicial uno de los objetivos baacutesicos de la educacioacuten matemaacutetica seraacute el desarrollo progresivo del sentido numeacuterico entendido como una buena intuicioacuten sobre los nuacutemeros y sus relaciones que debe desarrollarse gradualmente como resultado de explorar los nuacutemeros usarlos en una variedad de contextos y relacionarlos entre siacute superando el limitado aprendizaje de los algoritmos tradicionales El sentido numeacuterico se concibe como una forma de pensar por consiguiente no es una leccioacuten en el curriacuteculum de la matemaacutetica sino una manera de aproximarse al trabajo con los nuacutemeros en el aula

La comprensioacuten y dominio de los nuacutemeros naturales pone en juego muchas ideas relaciones y destrezas por lo que podemos considerarlo como un aprendizaje complejo que no se desarrolla de manera simple y automaacutetica Con la expresioacuten lsquosentido numeacutericorsquo hacemos referencia al complejo de nociones y relaciones que configuran el lsquosistema de los nuacutemeros naturalesrsquo Incluye por tanto su origen en las actividades humanas de contar y ordenar colecciones de objetos los instrumentos materiales inventados para dicha actividad las operaciones y relaciones que se establecen entre ellas para la solucioacuten de problemas praacutecticos y el propio sistema loacutegico deductivo que organiza justifica y estructura todos sus elementos

El dominio intuitivo flexible y racional de los nuacutemeros que caracteriza la apropiacioacuten del sentido numeacuterico por parte del sujeto se inicia en el nivel Inicial con las actividades de clasificacioacuten y ordenacioacuten de colecciones (uso de relaciones ldquomaacutes querdquo ldquomenos querdquo ldquoigualrdquo) el aprendizaje de la secuencia numeacuterica hasta la decena y continuacutea desarrollaacutendose en los niveles escolares posteriores trabajando con nuacutemeros maacutes grandes fracciones decimales porcentajes etc

El aprendizaje de la sucesioacuten de palabras numeacutericas

El nuacutemero natural surge como respuesta a la pregunta iquestcuaacutentos hay o iquestqueacute lugar ocupa este elemento dentro de un conjunto ordenado Se construye por tanto alrededor de su significado como cardinal y ordinal y para ello es necesario contar Pero esto exige a su vez la memorizacioacuten de tramos de la sucesioacuten numeacuterica cada vez maacutes amplios Ademaacutes se necesita tambieacuten estar en condiciones de recitar cualquier tramo de la sucesioacuten numeacuterica para saber




cuaacuteles son los nuacutemeros anterior y posterior a uno dado y para desarrollar teacutecnicas orales de suma y resta

La memorizacioacuten de la sucesioacuten de palabras numeacutericas puede conseguirse por medio de situaciones de recitado o de recuento Pero el recuento empieza siempre desde uno y no permite consolidar tramos altos de la sucesioacuten Por ejemplo para aprender que despueacutes del novecientos noventa y nueve viene el mil no podemos contar desde uno tendremos que recitar la sucesioacuten numeacuterica desde un novecientos y pico Hay que tener en cuenta ademaacutes que las dificultades mayores se encuentran en los cambios de decena centena millar etc por lo que es necesario ejercitarse en tramos de la sucesioacuten que contengan alguno de estos cambios

En el dominio del recitado de las palabras numeacutericas el alumno puede encontrarse en alguno de los niveles siguientes

- Nivel cuerda El alumno es capaz de recitar un trozo de la sucesioacuten numeacuterica por evocacioacuten El sonido de lo que estaacute diciendo trae encadenados los sonidos siguientes pero el nintildeo no separa una palabra de otra Este conocimiento verbal no puede aplicarse al recuento al no distinguir donde acaba una palabra y empieza otra

- Nivel cadena irrompible El nintildeo soacutelo es capaz de recitar la sucesioacuten numeacuterica si empieza por el uno pero ahora ya diferencia las distintas palabras numeacutericas En este nivel ya se pueden asumir tareas de recuento

- Nivel cadena rompible Aquiacute el alumno es capaz de romper la cadena comenzando a recitar a partir de un nuacutemero distinto del uno

- Nivel cadena numerable El nintildeo es capaz comenzando desde cualquier nuacutemero de contar un nuacutemero determinado de palabras detenieacutendose en la que corresponda Por ejemplo contar cinco nuacutemeros a partir del ocho y decir el nuacutemero final el trece Desde este dominio se afrontan con bastantes garantiacuteas la realizacioacuten de las operaciones baacutesicas del caacutelculo

- Nivel cadena bidireccional Es el maacuteximo dominio al que se puede llegar Supone las destrezas del nivel anterior aplicadas al recitado de la sucesioacuten numeacuterica hacia delante o hacia atraacutes Contar bien desde el nuacutemero a b nuacutemeros hacia atraacutes tardando aproximadamente el mismo tiempo que hacia delante es el tipo de tarea que define al alumno que ha alcanzado este nivel de dominio de la sucesioacuten numeacutericaAunque estos niveles definen una progresioacuten en el aprendizaje del recitado de la sucesioacuten numeacuterica hay que entender que no todos los nintildeos pasan por todos esos niveles y tambieacuten que un mismo nintildeo puede tener un nivel de dominio de un cierto tramo numeacuterico y otro nivel distinto para otro tramo numeacuterico Es decir un nintildeo puede estar en un nivel de cadena numerable en el tramo del uno al diez y en un nivel de cadena irrompible en el tramo del diez al veinte El aprendizaje de las palabras numeacutericas se va haciendo por tramos progresivos que se suelen consolidar en el siguiente orden primero las palabras uno dos y tres despueacutes el tramo del uno al cinco seguido del tramo del cinco al diez En fases posteriores los nintildeos van consolidando los siguientes tramos del diez al veinte del veinte al cincuenta del cincuenta al cien del cien al doscientos del doscientos al quinientos del quinientos al mil del mil al diez mil del diez mil al cien mil del cien mil al milloacuten del milloacuten en adelante




PROCESO DE CONSTRUCCIOacuteN DE LA NOCIOacuteN DE NUacuteMERO CARDINAL Y ORDINAL

El aprendizaje del recuento y del significado del nuacutemero como cardinal y ordinal

Los distintos estados de conocimiento de los nintildeos sobre el significado del nuacutemero pueden resumirse como sigue

- Percepcioacuten temprana de cardinales Los nintildeos pequentildeos de primer grado son capaces de reconocer el cardinal de conjuntos de uno a tres o cuatro elementos sin necesidad de contar El cardinal es percibido globalmente por simple inspeccioacuten visual del conjunto En cambio cuando se trata de cardinales mayores los nintildeos ya no saben decirlos correctamente porque eso exige contar y en esta etapa no tienen asumidos los principios en los que se basa dicha teacutecnica

- Percepcioacuten prioritaria de ordinales Esta etapa corresponde a nintildeos con edades entre tres y cinco antildeos Ahora los nintildeos ya asumen algunos de los principios que permiten efectuar un recuento En concreto el principio del orden estable (las palabras numeacutericas deben decirse siempre en el mismo orden empezando por el uno y sin omitir ninguna) y el de la correspondencia uno a uno (cada objeto del conjunto contado debe recibir una palabra numeacuterica y soacutelo una)1 La praacutectica del recuento pone de manifiesto el sentido ordinal del nuacutemero por cuanto la palabra numeacuterica que se adjudica a cada objeto es su ordinal Sin embargo en esta fase no se asume el principio de cardinalidad es decir los nintildeos no entienden que el uacuteltimo ordinal sea al mismo tiempo el cardinal de todo el conjunto Para ellos la respuesta a la pregunta iquestcuaacutentos hay consiste en la enumeracioacuten de todos los objetos de la coleccioacuten

- Percepcioacuten prioritaria de cardinales En esta etapa los nintildeos asumen el principio de cardinalidad (la uacuteltima palabra de un recuento indica no soacutelo el ordinal del uacuteltimo elemento sentildealado sino tambieacuten el cardinal del conjunto) con lo que pueden responder correctamente a la pregunta iquestcuaacutentos hay despueacutes de haber efectuado un recuento Pero al centrar su atencioacuten en los cardinales sufren una cierta regresioacuten respecto a los ordinales y aparecen por ejemplo dificultades al obtener un ordinal Se niegan a detener el recuento en el elemento en cuestioacuten ya que tienen muy claro el principio de la correspondencia uno a uno y pretenden adjudicar palabras numeacutericas a todos los elementos del conjunto Tambieacuten tienen dificultades para reinterpretar un cardinal como ordinal es decir una vez que han dicho que diecisiete es el nuacutemero de elementos de un cierto conjunto les resulta difiacutecil volver a entenderlo como el ordinal del uacuteltimo elemento sentildealado Esto les impide entre otras cosas adoptar teacutecnicas de contar a partir de uno de los sumandos para obtener una suma

Una buena concepcioacuten del nuacutemero como cardinal y ordinal supone asumir la doble condicioacuten de cada palabra de un recuento como ordinal de un elemento y a la vez cardinal de los elementos contados hasta ese momento Esto permite interpretar las palabras de un recuento numeacuterico bien como ordinales bien como cardinales en funcioacuten del problema que haya que resolver

En lo que se refiere a la teacutecnica de contar los errores que se observan pueden clasificarse en

- Errores de recitado Errores ligados a un recitado incorrecto de la sucesioacuten numeacuterica consistentes en saltarse palabras numeacutericas decirlas en otro orden repetirlas introducir palabras no numeacutericas etc Pueden deberse a que el nintildeo no tiene asumido el principio del orden estable o a una memorizacioacuten incorrecta del tramo numeacuterico que recita

- Errores de coordinacioacuten Errores ligados a la falta de coordinacioacuten entre la emisioacuten de la palabra y el sentildealamiento del objeto Por ejemplo el nintildeo dice cuatro sentildealando dos objetos o dice dos tres sentildealando un uacutenico objeto Pueden deberse al desconocimiento del principio de la correspondencia uno a uno al hecho de no saber donde empiezan y acaban las distintas palabras numeacutericas (nivel cuerda del recitado) o a una falta de coordinacioacuten entre la emisioacuten vocal y el movimiento de la mano




- Errores de particioacuten Errores asociados al hecho de no llevar la cuenta es decir de no distinguir correctamente lo ya contado de lo que falta por contar Consisten en volver a contar un objeto ya contado o dejar objetos sin contar Se producen por desconocimiento del principio de la correspondencia uno a uno o por una defectuosa puesta en praacutectica del mismo debida al desconocimiento o mala utilizacioacuten de las teacutecnicas auxiliares del recuento (teacutecnicas de disentildeo de un camino marcado separacioacuten o realizacioacuten de una particioacuten)

El aprendizaje del orden numeacutericoEl orden numeacuterico se construye alrededor de situaciones de comparacioacuten comparacioacuten entre ordinales para decidir quieacuten va antes y comparacioacuten entre cardinales para decidir a queacute conjunto le sobran o faltan elementos cuando construimos parejas con un elemento de cada conjunto Decimos que cinco es menor que ocho porque si un elemento es el quinto estaraacute antes o seraacute anterior en el tiempo al octavo (significado del orden entre ordinales) Tambieacuten decimos que cinco es menor que ocho porque si emparejamos cinco tazas con ocho platos quedaraacuten platos sin taza (significado del orden entre cardinales) Esta uacuteltima definicioacuten tambieacuten lleva impliacutecita la idea de que todos los conjuntos que tienen el mismo cardinal pueden emparejarse sin que quede ninguacuten elemento sin pareja

El orden numeacuterico tanto en su sentido ordinal como cardinal es asumido muy pronto por los nintildeos En el caso de orden entre ordinales el eacutexito a la hora de ordenar dos nuacutemeros va ligado a la memorizacioacuten del tramo de la secuencia numeacuterica que los incluye El nintildeo capaz de recitar del uno al diez ya puede decir por ejemplo que el seis va antes que el nueve Sin embargo ese mismo nintildeo puede no saber que quince es menor que diecisiete si no tiene memorizado el tramo del diez al veinte La memorizacioacuten de tramos cada vez maacutes amplios de la sucesioacuten numeacuterica permite a los nintildeos ampliar las parejas de nuacutemeros susceptibles de ser ordenadas Finalmente la familiarizacioacuten con las reglas de formacioacuten de las palabras numeacutericas junto con el conocimiento de la escritura del nuacutemero conduce a los nintildeos a asumir las reglas formales del orden numeacuterico

a) Un nuacutemero es menor que otro si tiene menos cifrasb) Si dos nuacutemeros tienen el mismo nuacutemero de cifras seraacute menor aquel que tenga menor

la cifra de orden superiorc) Si las cifras de orden superior coinciden se examinan las cifras de orden siguiente

hasta encontrar alguacuten caso en que no coincidan y entonces se aplica la regla b

En cuanto al sentido cardinal del orden en un primer momento los nintildeos son capaces de percibir globalmente si en un conjunto hay maacutes elementos que en otro siempre que esa diferencia sea apreciable por simple inspeccioacuten visual Sin embargo el establecimiento del orden entre los cardinales de dos conjuntos por medio del emparejamiento (construccioacuten de parejas que contengan un elemento de cada conjunto) o del recuento no es una habilidad temprana de hecho hay nintildeos de seis y siete antildeos que en esas condiciones tienen dificultades para decidir queacute conjunto tiene maacutes o menos elementos

A este respecto es esclarecedor el comportamiento de los nintildeos en la llamada experiencia de la conservacioacuten del nuacutemero propuesta por Jean Piaget Consiste en lo siguiente

- Se le presentan aun nintildeo un nuacutemero reducido de objetos por ejemplo entre seis y nueve fichas azules puestas en fila A continuacioacuten el entrevistador le pide al nintildeo que ponga tantas fichas rojas como fichas azules hay una ficha roja por cada ficha azul Una vez que el nintildeo ha emparejado cada ficha azul con una ficha roja el entrevistador le pregunta si hay el mismo nuacutemero de fichas azules que de fichas rojas Si el nintildeo dice que siacute el entrevistador modifica la fila de fichas rojas dejando una mayor distancia entre dos fichas De esa manera la fila de fichas rojas ocupa maacutes espacio que la de fichas azules

Despueacutes de eso se pregunta al nintildeo si ahora sigue habiendo las mismas fichas azules que rojas

En la resolucioacuten de esta tarea los nintildeos se comportan de las siguientes maneras




- Algunos no saben colocar un nuacutemero de fichas rojas igual al de fichas azules No conocen la teacutecnica de emparejamiento ni tampoco se les ocurre contar Son nintildeos que pueden tener una percepcioacuten global de doacutende hay maacutes o menos elementos pero que no usan la correspondencia uno a uno para comparar cardinales

- Otros son capaces de colocar un nuacutemero de fichas rojas igual al de azules estaacuten seguros de que los dos cardinales son iguales pero cuando el entrevistador modifica una de las filas haciendo que ocupe maacutes espacio dicen que en esa fila hay maacutes fichas Se trata de nintildeos que son capaces de usar una teacutecnica de emparejamiento para comparar cardinales de conjuntos pero en cuanto visualmente ese emparejamiento desaparece dejan de verlo y vuelven a una comparacioacuten global basada en la percepcioacuten visual de que uno de los conjuntos ocupa maacutes espacio

- Por uacuteltimo tenemos a los nintildeos que a pesar de la modificacioacuten espacial efectuada por el entrevistador siguen afirmando que los dos conjuntos de fichas tienen el mismo nuacutemero porque no se ha puesto ni quitado ninguna ficha En este caso los nintildeos no soacutelo son capaces de usar la correspondencia uno a uno entre conjuntos para comparar cardinales sino que siguen vieacutendola aunque fiacutesicamente haya desaparecido y no se dejan distraer por consideraciones de otro orden

Lo maacutes sorprendente de esta experiencia es que ha puesto de manifiesto que praacutecticamente todos los nintildeos pequentildeos son no conservadores y que es necesario esperar a que tengan alrededor de siete antildeos para que acepten mayoritariamente que el nuacutemero de fichas sigue siendo el mismo

Una uacuteltima consideracioacuten a tener en cuenta es que la tarea de ordenar dos nuacutemeros es muy diferente de la de ordenar tres o maacutes nuacutemeros De hecho se ha observado que nintildeos que son capaces de ordenar tres nuacutemeros de dos en dos no son capaces de ordenarlos a base de decir cual es el menor el mediano y el mayor En una fase posterior se da tambieacuten el caso de que una vez ordenados ciertos nuacutemeros el nintildeo es incapaz de introducir en el lugar adecuado un nuacutemero que se le ha dado posteriormente

El aprendizaje del sistema escrito de numeracioacuten

El aprendizaje del sistema escrito de numeracioacuten se desarrolla en dos etapas la de la lectura y escritura de las cifras (nuacutemeros del O al 9) y la de la lectura y escritura de nuacutemeros de dos o maacutes cifras lo que supone asumir las reglas de representacioacuten de nuacutemeros propias de un sistema posicional de base diezEn lo que se refiere a las cifras los nintildeos deben aprender a reconocerlas y a escribirlas siguiendo el sentido de recorrido oportuno Para las personas diestras los sentidos de recorrido maacutes adecuados son los siguientes

Los errores maacutes frecuentes que se observan en el trabajo de los nintildeos son- Errores de inversioacuten de la grafiacutea Algunos nintildeos confunden el 6 y 9 otros escriben

- Errores caligraacuteficos La mala caligrafiacutea puede llevar a un nintildeo a confundir sus propias cifras cuando tiene que volver a leerlas Se puede confundir el 1 con el 2 el 3 con el 5 el 6 o el 9 con el 0 etc

- Errores de recorrido Es frecuente que los nintildeos se acostumbren a escribir las cifras siguiendo recorridos anoacutemalos Esto contribuye a empeorar la caligrafiacutea y ademaacutes puede fomentar los errores de inversioacuten ya comentados y la escritura de derecha a izquierda en vez




de izquierda a derecha lo que crea problemas cuando hay que escribir nuacutemeros de varias cifras

En cuanto al valor de posicioacuten de las cifras diversas experiencias muestran que la comprensioacuten que tienen los nintildeos de ese convenio es muy limitada incluso cuando llevan ya mucho tiempo escribiendo nuacutemeros de varias cifras A continuacioacuten vamos a describir dos de esas experiencias

SECUENCIA SUGERIDA PARA LA CONSTRUCCIOacuteN DE LA NOCIOacuteN DE NUacuteMERO

1 Evaluar la CONSERVACIOacuteN de nuacutemero2 Recolectar objetos del entorno3 Agrupar-clasificar objetos con criterios dados por los alumnos (trabajo intuitivo-

concreto con material no estructurado)4 Agrupar- clasificar objetos con criterios dados por el profesor5 Clasificaciones con material concreto estructurado en el aula como los ldquobloques

loacutegicosrdquo Los caracoles loacutegicos los carricitos loacutegicos los gallitos loacutegicos etc Comparar conjuntos

6 Clasificaciones con material concreto estructurado Bloques Loacutegicos de Vygotski y Dienes

7 Comparacioacuten de conjuntos 8 Seriaciones orden e inclusioacuten jeraacuterquica9 Trabajo con cuantificadores por ejemplo Hay maacutes bloques amarillos que bloques

redondos (circulares) etc 10 Construir la nocioacuten de relacioacuten de TANTOS COMO por ejemplo hay TANTOS

bloques rojos COMO bloques azules Relaciones de orden11 Habiendo construido la relacioacuten de tantos como habremos construido la nocioacuten de

CORRESPONDENCIA BIUNIacuteVOCA habremos llegado a la de NUacuteMERO como una determinada clase de correspondencia biuniacutevoca entre dos conjuntos disjuntos

12 Construccioacuten de la nocioacuten de cardinalidad o de tantos elementos por conjunto13 Establecimiento de la serie numeacuterica (Sistema Numeacuterico)

Al emprender un estudio de los nintildeos es importante recordar que estas tareas de conservacioacuten ejemplifican solamente un aacuterea del pensamiento loacutegico y que uacutenicamente representan un punto de partida conveniente Aquiacute describimos las diferentes tareas para la diagnosis de conservacioacuten en forma detallada para las entrevistas con nintildeos y se examine los niveles de pensamiento que se reflejan en sus respuestas

Auacuten cuando difieren las edades promedio para llevar adelante labores especiacuteficas si se comparan las culturas orientales y las no orientales por ejemplo encontraremos diferencias sorprendentes entre las edades consignadas para tal o cual trabajo con nintildeos suizos y norteamericanos A pesar de que la secuencia de desarrollo permanece igual muchos son los estudios que muestran que los nintildeos norteamericanos logran el punto culminante de su desarrollo a una edad posterior a la pensada Esta discrepancia de criterios es producto del sorprendentemente bajo porcentaje de gente que cuenta razonamiento operativo formal calculado para la poblacioacuten adulta norteamericana

ldquoConservar el nuacutemero quiere decir pensar que la cantidad permanece igual cuando se ha variado la colocacioacuten espacial de los objetosrdquo2

USANDO LAS TAREAS DE CONSERVACIOacuteN PARA EVALUAR EL NIVEL DE PENSAMIENTO INFANTIL

2 Constante Kamii El Nuacutemero en la Edad Preescolar Ed Graacutefica Valencia SA Madrid Espantildea p9




Todas las tareas de conservacioacuten son parecidas Todas ellas abarcan cuatro fases tal como se ilustra a continuacioacuten

Establecimiento de la equivalencia Antes de introducir cualquier transformacioacuten es esencial que el nintildeo se deacute cuenta de que los objetos originales son equivalentes Noacutetese que el nintildeo puede estar involucrado para establecer asiacute como para juzgar la equivalencia Si el nintildeo es incapaz de establecer la equivalencia puede usted decidir que su tarea ha terminado

Uno de los materiales es transformado Uno de los objetos es transformado o vuelto a arreglar enfrente del nintildeo el otro no se toca para comparar Enfoque la atencioacuten del nintildeo hacia el cambio diciente ldquoAhora fiacutejate en lo que hagordquo

El nintildeo juzga otra ve la equivalencia Aseguacuterese de que el nintildeo es capaz de retener la propiedad examinada a pesar de las apariencias preguntando ldquoiquestLa cantidad de agua es la misma en cada vaso o uno de ellos tiene maacutesrdquo

El nintildeo justifica su respuesta Preguntas tales como ldquoiquestCoacutemo sabes iquestqueacute te hace pensar asiacuterdquo animan al nintildeo a dar una razoacuten

Recomendaciones importantes

Evite cualquier comentario verbal que pueda sugerir al nintildeo coacutemo llegar a la respuesta correcta No lo dirija durante su explicacioacuten

Anime al nintildeo a extenderse en su respuesta preguntando ldquoiquestQueacute maacutes puedes decir acerca de que hellip es igualrdquo Esta informacioacuten adicional puede darle una segunda variacioacuten de su tarea una que le permitiraacute seguir la liacutenea del pensamiento infantil

Esteacute preparado para un cambio en la tarea y determine la consistencia del pensamiento infantil La tarea ilustrada arriba puede variarse cambiando la forma del segundo recipiente o la cantidad de ellos

Repita las preguntas con otras palabras cuando el nintildeo parezca no entender sus significados Utilice el vocabulario del nintildeo siempre que sea posible para transmitir sus intenciones Preseacutentele el problema en forma de una historieta esto facilita la comunicacioacuten

Use una contrasugerencia para verificar la fuerza de conviccioacuten del nintildeo ldquoEl otro diacutea una nintildea me dijo quehelliprdquo ldquoiquestQueacute piensas tuacute acerca de esordquo




LECTURA Y ESCRITURA DE NUacuteMEROS NATURALES

Consideraciones didaacutecticas en relacioacuten con la ensentildeanza y el aprendizaje del nuacutemero y la numeracioacuten

Los anaacutelisis precedentes nos han mostrado que a lo largo de los antildeos se han llevado a cabo propuestas didaacutecticas diferentes para introducir en la escuela estos conocimientos matemaacuteticos Antes de proponer otros modelos estimamos conveniente tener en cuenta las siguientes consideraciones didaacutecticas

El nuacutemero y la numeracioacuten son objetos culturales utilizados cotidianamente en el medio familiar y social Es ingenuo no tener esto en cuenta en la ensentildeanza y hacer como si el nintildeo no conociera absolutamente nada relacionado con el dominio numeacuterico al llegar a la escuela Debemos tener en cuenta los saberes previos de los alumnos enriquecer sus praacutecticas iniacuteciales y sus procedimientos primitivos en torno al nuacutemero y a su designacioacuten

Para disentildear el proceso de ensentildeanza no podemos servirnos uacutenicamente a la definicioacuten matemaacutetica de nuacutemero natural y de las reglas del algoritmo de ldquocontarrdquo tenemos necesidad de determinar un conjunto de situaciones que permita a los nintildeos desde los primeros niveles educativos encontrar las ldquorazones de serrdquo del nuacutemero y la numeracioacuten Seraacute preciso pues estudiar formalmente las funciones del nuacutemero y de la numeracioacuten y asiacute construir un conjunto de situaciones donde la cardinacioacuten y la numeracioacuten jueguen una funcioacuten y tengan significacioacuten

Si bien en matemaacuteticas nuacutemeros y numeracioacuten son objetos bien distintos (el nuacutemero no depende del modo como lo designamos) creemos sin embargo que esta distincioacuten no es suficiente para considerar las funciones especiacuteficas de cada uno de ellos en la ensentildeanza de modo aislado No podemos pensar que el nuacutemero pueda aprenderse en los primeros niveles escolares independientemente de la numeracioacuten

Estudios de epistemologiacutea y didaacutectica de las matemaacuteticas como los de El Bouazzaoui3 (1995) pone de manifiesto coacutemo las nociones de nuacutemeros y numeracioacuten estaacuten iacutentimamente ligadas Las relaciones entre nuacutemeros y numeracioacuten son dialeacutecticas La numeracioacuten nos permite hablar de los nuacutemeros y representarlos en consecuencia debe hacerlo de una forma coacutemoda eficaz y econoacutemica Su funcioacuten es designar (enunciar y escribir) los nuacutemeros y modernizar las propiedades de los nuacutemeros

Asiacute pues no consideramos adecuado hablar ldquoa priorirdquo de funciones de la numeracioacuten y del nuacutemero de forma independiente Por ello consideramos necesario crear situaciones que permitan describir el funcionamiento adecuado e idoacuteneo del nuacutemero junto con la numeracioacuten

Las situaciones que pueden dar significacioacuten al nuacutemero y la numeracioacuten seraacuten aquellas que den respuesta a la pregunta

iquestPara queacute tenemos necesidad del nuacutemero y de su designacioacuten

En los primeros niveles de escolaridad consideraremos fundamental proponer a los alumnos situaciones que les permitan construir con sentido las funciones del nuacutemero y de la numeracioacuten

Las funciones esenciales del nuacutemero en estos niveles son

Medir una coleccioacuten asignar un nuacutemero natural a una coleccioacuten Producir una coleccioacuten operacioacuten inversa a la anterior Ordenar una coleccioacuten asignar una determinada posicioacuten a los elementos de una coleccioacuten

La numeracioacuten a su vez constituye un medio que permite

3 EL BOUAZZAOUI H ldquoEstudio de la numeracioacuten en la escolaridadrdquo Universidad de Bordeaux 1995


5 galletas



a) Expresar la medida de una coleccioacuten

Con este medio de expresioacuten podremos resolver problemas en los cuales sea necesario

Verificar la conservacioacuten de una coleccioacuten dada una uacutenica coleccioacuten en dos momentos diferentes o en dos posiciones diferentes de terminar si se trata de la misma coleccioacuten

Administrar una coleccioacuten a partir de una determinada coleccioacuten podemos dar cuenta de los cambios que ha sufrido en el transcurso de un cierto tiempo Se trata de relatarlos adecuadamente Algo parecido al pastor de un rebantildeo de ovejas que debe saber cuaacutentas ovejas le han sido confiadas cuaacutentas han muerto cuaacutentas han nacido etc Mientras han estado a su cargo

Recordar una cantidad recordar en un instante t2 una cantidad que conociacuteamos o bien una cantidad de la que disponiacuteamos en un instante t1 (t1 lt t2)

Recordar una posicioacuten Permite evocar el lugar de un objeto en una sucesioacuten ordenada

Reproducir una cantidad construir una coleccioacuten coordinable a una coleccioacuten dada en presencia de esta uacuteltima

Comparar dos colecciones A y B desde l punto de vista de la cantidad de objetos que tiene cada una

Repartir una cantidad llevar a cabo la divisioacuten o reparto de una coleccioacuten en colecciones equipotentes (o no)

Anticipar los resultados de una operacioacuten Se trata de anticipar la accioacuten concreta es decir de construir una solucioacuten que nos pueda dispensar incluso de la manipulacioacuten de los objetos reales bien sea por pensar incluso de la manipulacioacuten de los objetos reales bien sea por que los objetos no estaacuten disponibles bien porque son demasiado numerosos y seriacutea costosiacutesima su manipulacioacuten La designacioacuten del nuacutemero nos permite tambieacuten tener la posibilidad de anticipar resultados en el caso de situaciones no presentes o incluso no realizadas (es decir simplemente evocadas) pero de las que disponemos de ciertas informaciones

b) Producir una coleccioacuten la designacioacuten del nuacutemero nos permite producir una coleccioacuten de cardinal dado Seriacutea la operacioacuten inversa de medir una coleccioacuten Conviene distinguir la reproduccioacuten de una coleccioacuten de su produccioacuten La primera se hace en referencia a una coleccioacuten que seriacutea de alguacuten modo el modelo a copiar La segunda se hace a partir de un nuacutemero dado ldquodame 5 galletasrdquo El poder producir la coleccioacuten supone el conocimiento de este nombre (ldquo5rdquo) como modo de designacioacuten del cardinal de dicha coleccioacuten

c) Ordenar una coleccioacuten la Designacioacuten de los objetos de una coleccioacuten por medio de los ordinales (primero segundo tercero etc) nos permite controlar el orden de la misma y determinar con precisioacuten el lugar ocupado por cualquier objeto

Basaacutendonos en las funciones anteriores sentildealaremos para los primeros grados de primaria algunos grandes tipos de problemas que permiten dar sentido a los procedimientos numeacutericos y a las designaciones orales o escritas de los nuacutemeros utilizados En referencia a estos tipos de problemas podremos construir diferentes situaciones didaacutecticas para proponerlas a los alumnos

Materiales concretos para la ensentildeanza del sistema posicional




Aquiacute se presentan varias actividades para introducir el sistema posicional de los nuacutemeros La idea central tiene dos partes

bull ensentildear a agrupar

bull ensentildear a denotar o nombrar esos agrupamientos

Por ese motivo varias actividades proponen maacutequinas que agrupen y maacutequinas que ponen nombre o intercambian por fichas que denotan grupos Veaacutemoslo asiacute por ejemplo una decena es un grupo de 10 y por lo tanto el nuacutemero 32 corresponde a tres grupos y dos unidades sueltas Es decir los 30 se agrupan en tres grupos Luego se les asigna 3 fichas de decenas y se lo escribe de esta forma 3D Asiacute 32 termina escribieacutendose como 3D 2U es decir 3 decenas y 2 unidades

Sugerimos hacer las maacutequinas agrupadoras las canjeadoras y los robots de cartoacuten e implementar con estas maacutequinas versiones en concreto de estas actividades Esta actividad se puede reforzar con visitas a salones de juego para la familia y nintildeos en los que se ganan tikets y luego se introducen en una maacutequina que los cuenta y genera a cambio una papeleta en la que viene anotado el nuacutemero de tikets

Las primeras tres actividades que planteamos para este tipo de conceptos son Agrupacioacuten en Decenas y Unidades Agrupa y coloca argollas en Aacutebaco y ldquoiquestCuaacuteles son lo mismordquo Aquiacute los alumnos podraacuten practicar directamente la nocioacuten de agrupacioacuten y de nombrar los grupos de diez como decenas

Luego estaacuten las actividades Maacutequinas Agrupadoras I Maacutequinas Agrupadoras II y Maacutequinas Agrupadoras III Estas actividades introducen al estudiante en la nocioacuten de maacutequina u operador y en particular al operador de agrupar y contar decenas y unidades

Finalmente las actividades Maacutequinas Agrupadoras con Centenas son similares a las anteriores pero agregando centenas

Agrupacioacuten en Decenas y Unidades

Pinta amarilla la caja con menos bolitas iquestCuaacutentas tiene ___D ____U Pinta naranja la caja siguiente con menos bolitas iquestCuaacutentas tiene ___D ____U Pinta azul la caja con maacutes bolitas iquestCuaacutentas tiene ___D ____U iquestCuaacutentas bolitas hay fuera de las cajas ___D ____U




A esta actividad el docente le puede agregar variantes de acuerdo al nivel de avance de sus alumnos asiacute mismo inventando una historia con objetos para cada caja con bolitas

Agrupa y coloca argollas en Abaco

Cuenta y agrupa en decenas y unidades las bolitas y dibuja las argollas en las columnas correspondientes

iquestCuaacutentas bolitas hay en la primera lista ___D ___U iquestCuaacutentas bolitas hay en la segunda lista ___D ___U iquestCuaacutentas bolitas hay en la tercera lista ___D ___U iquestCuaacutentas bolitas hay en total ___D ___U

iquestCuaacuteles son lo mismo

Une con liacuteneas de un mismo color los iguales Al final suma todo




En las actividades en donde interviene el aacutebaco es muy necesario que los alumnos construyan sus propios aacutebacos de esa manera estamos realizando la matemaacutetica de manera concreta graacutefica y simboacutelica

Maacutequinas Agrupadoras I

Celyna tiene 2 maacutequinas la maacutequina que agrupa pelotas en decenas y la maacutequina que a decenas de pelotas las canjea por fichas




Si se le echan 3 pelotas a la maacutequina que agrupa entonces iquestqueacute sale____

Si se le echan veinte pelotas a la maacutequina que agrupa entonces iquestqueacute sale

Si se le echan 23 pelotas a la maacutequina que agrupa entonces iquestqueacute sale __

Si se le echan veinte pelotas a la maacutequina que agrupa y luego se usa la otra maacutequina para canjear entonces iquestcuaacutentas fichas D y cuaacutentas pelotas sueltas se obtienen _____ D ____ U

Usted estimado docente puede realizar ejercicios con sus alumnos de acuerdo al nivel de avance de los mismos

Maacutequinas Agrupadoras II

A continuacioacuten se muestra un sistema de 3 pasos que produce nuacutemeros Llena tuacute la columna derecha




Maacutequinas Agrupadoras III

Saca de una urna un montoacuten de pelotas dibuacutejalas arriba a la izquierda y llena el proceso completo Saca otro montoacuten dibuacutejalas arriba a la derecha y completa la columna derecha




Maacutequinas Agrupadoras con Centenas I

Isi tiene dos maacutequinas La izquierda agarra chocolates sueltos y los mete de a 10 en cajas La derecha agarra cajas y las mete de a 10 en un bauacutel Pinta amarilla la maacutequina que mete una decena de chocolates en una caja Pinta roja la maacutequina que mete una decena de cajas en un bauacutel




Si hay 45 chocolates iquestCuaacutentas cajas y cuaacutentos bauacuteles se producen ____Si hay 500 chocolates iquestCuaacutentas cajas y cuaacutentos bauacuteles se producen ___Despueacutes de un largo diacutea se fabricaron en la mantildeana 4 bauacuteles llenos y 3 cajas En la tarde se fabricaron 4 bauacuteles y 8 cajas iquestCuaacutentos chocolates se produjeron en el diacutea

Estimado docente al igual que los ejemplos anteriores proponer otros que despierten la curiosidad el ingenio y la creatividad del alumno para graficar y dar respuesta a los problemas

Maacutequinas Agrupadoras con Centenas II

Celyna tiene dos maacutequinas La izquierda agarra chocolates sueltos y los mete de a 10 en cajas La derecha agarra cajas y las mete de a 10 en un bauacutel




Si cada chocolate cuesta una moneda de 10 pesos iquestCuaacutento cuesta una caja de chocolates _________iquestCuaacutento cuesta un bauacutel de chocolates _________iquestCuaacutento cuestan 10 bauacuteles de chocolates __________Cada chocolate superpoderoso cuesta 30 pesos Entonces iquestCuaacutento cuesta una caja de chocolates superpoderosos __________ iquestCuaacutento cuesta un bauacutel de chocolates superpoderosos __________ iquestCuaacutento cuestan 10 bauacuteles de chocolates superpoderosos _________


IZQUIERDA DERECHA

SINIESTRA DIESTRA

OESTE ESTE

OCCIDENTE ORIENTE



ESTABLECIMIENTO DE RELACIONES ORDENAMIENTO Y SUCESIONES

ORDEN DE INFORMACIOacuteN

Imaginemos un hermoso diacutea Sol radiante A lo lejos observamos a una escultural dama parada en una esquina esta chica causa una gran impresioacuten en Don Juan quien quedoacute anonadado Sin querer (o quizaacutes queriendo) detuvo su auto de una forma brusca Esta imprudente parada ocasionoacute una colisioacuten de 5 autos en hilera el pobre de Don Joseacute fue el segundo en chocar Don kevin arruinoacute las luces traseras del auto de Don Lucho el auto de Don Paco no estaba asegurado Aunque este sea un hecho ficticio nos motiva a determinar el orden en que chocaron los autos

Para esto la solucioacuten seriacutea muy sencilla Demos a cada auto un nuacutemero de orden del 1 al 5 siendo

o El nuacutemero 1 el de Don Juan pues eacutel se detuvoo Don Joseacute fue el segundo en chocar por lo tanto eacutel seraacute el nuacutemero 3 pueso El nuacutemero 2 es el primero en chocar Como Don Kevin arruinoacute las luces traseras de

Don Lucho entonces son autos seguidos por lo tanto la uacutenica opcioacuten seriacutea que fueran los nuacutemeros 4 y 5 respectivamente

o Entonces el auto de Don Paco seraacute el nuacutemero 2o Siendo esto cierto entonces el orden correcto de izquierda a derecha seriacutea

Don Juan ndash Don Paco ndash Don Joseacute ndash Don Lucho ndash Don Keviacuten

Ahora si utilizas tu habilidad e ingenio podraacutes resolver el problema y quizaacutes lo hagas de una manera maacutes corta

Existen diferentes tipos de estos ejercicios como Ordenamiento horizontal ordenamiento vertical creciente y decreciente o lateral ordenamiento circular ordenamiento por posicioacuten de datos

ORDENAMIENTO HORIZONTALLos problemas de ordenamiento horizontal son faacuteciles de identificar pues nos presentaraacuten elementos ordenados de la siguiente manera

Ejemplos de aplicacioacuten


Kevin Juan Joseacute

Juan Joseacute Kevin


KevinJuan Joseacute

Juan Joseacute Kevin Juan JoseacuteKevin


Juan Joseacute KevinCelina Juan Joseacute CelinaKevin

QuiacutemicaAlgebra AritmeacuteticaDERECHA IZQUIERDA

Aritmeacutetica FiacutesicaDERECHA

No izquierda



Juan Joseacute a la derecha de Kevin

Juan Joseacute a la izquierda de Kevin

Juan Joseacute junto y a la derecha de Kevin

Juan Joseacute junto y a la izquierda de Kevin

Juan Joseacute se sienta a dos sitios de Kevin

Juan Joseacute se sienta en el extremo izquierdo y Kevin a tres sitios de eacutel

Juan Joseacute estaacute adyacente a Kevin y Celina

Ejemplo 1

Se ubican en un estante (misma hilera) los libros de aritmeacutetica algebra fiacutesica y quiacutemica Sabiendo que

El libro de quiacutemica estaacute a la izquierda del libro de aritmeacutetica y a la derecha del libro de algebra

El de fiacutesica no estaacute a la izquierda dl libro de aritmeacutetica De derecha a izquierda el tercer libro es de

a) Fiacutesica b) Aritmeacutetica c)Geometriacutea d) Quiacutemica e) AlgebraResolucioacuten

Seguacuten el dato Nordm 1


De ambas informaciones obtenemos


Algebra Quiacutemica Aritmeacutetica Fiacutesica

ARRIBA ALTO

ABAJO BAJO

CARO

BARATO

Juan Joseacute

Kevin

Kevin

Juan Joseacute

Saacutenchez

Valenzuela

No indica si viven adyacentes

Paredes

Loacutepez

Tres pisos maacutes arriba



Respuesta El libro que estaacute en tercer lugar de derecha a izquierda es

Quiacutemica Alternativa d

ORDENAMIENTO VERTICAL

Los problemas de ldquoOrdenamiento Verticalrdquo son faacuteciles de identificar se debe tener en cuenta que

Ejemplo de aplicacioacuten

Juan Joseacute estaacute a tres pisos de Kevin (en un edificio de cuatro pisos)

Ejemplo 2Las familias Loacutepez Paredes Valenzuela y Saacutenchez viven en un edificio de 4 pisos cada una en un piso diferente Si

Los Saacutenchez viven arriba de los Valenzuela Los Paredes viven tres pisos maacutes arriba que los Loacutepez

iquestQuieacuten vive en el segundo piso

a) Paredes b) Saacutenchez c) Loacutepez d) Portal e) Valencia

Resolucioacuten

Seguacuten el primer dato tenemos

Seguacuten el segundo dato se tiene


Paredes

Saacutenchez

Valenzuela

Loacutepez



Ordenando ambos datos

Respuesta En el segundo piso vive la familia Valenzuela Alternativa e

ORDENAMIENTO CRECIENTE Y DECRECIENTE O LATERAL

En estos problemas encontraremos elementos relacionados de mayor a menor o de maacutes a menos Para estos problemas debemos tener en cuenta lo siguiente

ldquoArdquo no es mayor que ldquoBrdquoEquivale a decir ldquoArdquo puede ser menor o igual que ldquoBrdquo

ldquoArdquo no es menor que ldquoBrdquoEquivale a decir ldquoArdquo puede ser mayor o igual que ldquoBrdquo

Erika es mayor que JessicaErika gt Jessica o Jessica lt Erika

Erika es menor que JessicaErika lt Jessica o Jessica gt Erika

Erika no es menor que JessicaErika ge Jessica Erika gt Jessica o Erika = Jessica

Erika no es mayor que JessicaErika le Jessica Erika lt Jessica o Erika = Jessica

Erika es menor que Jessica pero mayor que RosmeryRosmery ltErika lt Jessica o Jessica lt Erika lt Rosmery

Erika es menor que Jessica y esta menor que RosmeryErika lt Jessica y Jessica lt PilarEquivale a Erika lt Jessica lt Pilar

Ejemplo 3

Miguel Aacutengel es mayor que Vanessa Alejandra es mayor que Henry y eacuteste es mayor que Vanessa Si Alejandra y Miguel Aacutengel son Mellizos iquestCuaacutel de los siguientes enunciados son verdaderos

I) Henry es mayor que AlejandraII) Vanessa es mayor que AlejandraIII) Miguel Aacutengel es mayor que HenryIV) Alejandra es mayor que Vanessa


Mayor MenorMiguel Aacutengel Vanessa

Miguel Aacutengel es mayor que VanessaMiguel Aacutengel y Alejandra tienen la misma edad


Alejandra es mayor que Henry y eacuteste mayor que Vanessa

Alejandra

Henry

F

ED

CB

A

Frente a ldquoArdquo o diametralmente opuestoA la derecha de ldquoArdquo estaacuten ldquoCrdquo y ldquoErdquo

Junto y a la izquierda de ldquoArdquo estaacute ldquoBrdquo



a) I y IV b) I y III c) II y IV d) I y II e) III y IV

ResolucioacutenUtilizando el siguiente quema

DATO I

DATO II

Comprobando el valor de verdad de los enunciados tenemos

I) Falso II) Falso III) Verdadero IV) VerdaderoRespuesta Diremos que solo son verdad III y IV Alternativa e

ORDENAMIENTO CIRCULAREn estos casos los elementos estaraacuten ordenados de manera que formen una figura

cerrada Debemos tener en cuenta lo siguiente

Ejemplo 4

Cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa circular con cuatro asientos distribuidos simeacutetricamente Se sabe que

Juan Joseacute esta a la derecha de Kevin


Juan Joseacute

Kevin

Juan Joseacute

Carlos

Juan Joseacute

KevinCarlos

Freddy



Carlos estaacute a la derecha de Juan Joseacute Freddy siempre llega tarde a las reuniones

Quienes estaacuten ubicados frente a frente

a) Kevin y Juan Joseacute b) Kevin y Carlos c) Kevin y Freddy d) Juan Joseacute y Carlos e) Freddy y Carlos

Resolucioacuten


Seguacuten el segundo dato tenemos

Luego se tiene

Respuesta Estaacuten frente a frente Kevin y Carlos Alternativa B

ORDENAMIENTO EN TABLAS

El mejor procedimiento para resolver estos problemas en donde se nos pide relacionar diversos datos entre siacute como pueden ser personas con su ocupacioacuten gustos deportes lugar donde viven donde estudian etc es haciendo un cuadro de doble entrada en el cual se iraacute marcando




las deducciones que se va haciendo Es recomendable buscar en primer lugar aquella premisa que nos da una informacioacuten que se pueda colocar directamente

Ejemplo 5

1 Luis Miguel y Alberto tienen diferentes aficiones y son hinchas de diferentes equipos de fuacutetbol (Universitario Alianza Lima y Cristal) en literatura (Novela Poesiacutea y Periodismo) Licores (Gin Pisco y Cerveza) y cigarrillos (Ducal Winston y Premier)

Se sabe que

1) Miguel no simpatiza con la ldquoUrdquo2) Al socio del Cristal le gusta el Pisco3) El que fuma Ducal es periodista4) El de la ldquoUrdquo toma cerveza5) Luis disfruta como juega el Cristal o lee a Beacutecquer6) Alberto fuma Winston7) Uno de ellos fuma Premier8) El hincha del ldquoAlianza Limardquo trabaja en el ldquoExpresordquo

Identificar los gustos de cada una de las personas

Resolucioacuten

Se elabora los siguientes cuadros de doble entrada

Fuacutetbol Licor

U AL Cristal Gin Pisco Cerveza

Miguel

Luis

Alberto

Literatura Cigarrillos

Nove

Poes

Per

Ducal

Premier

Winston

Miguel

Luis

Alberto

En primer lugar analizamos la parte con relacioacuten al fuacutetbol veamos

En (1) Miguel no es hincha de la U

En (5) Luis es hincha de Cristal

De acuerdo a lo analizado el cuadro queda de esta manera

Fuacutetbol Licor





Miguel NO

Luis SI

Alberto

Aplicando la regla tenemos

Fuacutetbol

U AL Cristal

Miguel NO SI NO

Luis NO NO SI

Alberto SI NO NO

De este cuadro deducimos que

Alberto es hincha de la U Miguel es hincha de Alianza Lima Luis es hincha de Cristal

En segundo lugar analizamos la parte con relacioacuten a licores veamos

De (2) Al socio de del Cristal le gusta Pisco esto quiere decir que a Luis le gusta pisco

De (4) el de la ldquoUrdquo toma cerveza esto quiere decir que Alberto le gusta cerveza

De acuerdo a lo analizado el cuadro con relacioacuten a licor queda asiacute

Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel

Luis SI

Alberto SI

Aplicando la regla obtenemos

Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI


A Miguel le gusta Gin A Luis le gusta Pisco A Alberto le gusta Cerveza

En tercer lugar analizamos la parte con relacioacuten a literatura veamos

De (5) Luis disfruta cuando juega Cristal o lee a Beacutecquer esto quiere decir que Luis es aficionado a la poesiacutea ya que Beacutecquer fue un poeta

De (8) El hincha del Alianza trabaja en el diario ldquoExpresordquo esto quiere decir que Miguel (hincha del Alianza) es aficionado al periodismo




De acuerdo a lo analizado el cuadro con relacioacuten a la literatura queda asiacute

Literatura

Novela Poesiacutea Periodismo

Miguel SI

Luis SI

Alberto

Aplicado la regla obtenemos

Literatura


Miguel NO NO SI

Luis NO SI NO

Alberto SI NO NO


A Alberto le gusta la novela A Luis le gusta la Poesiacutea A Miguel le gusta el periodismo

En cuarto lugar analizamos la parte relacionada con cigarrillos veamos

De (3) El que fuma Ducal es periodista esto quiere decir que a Miguel (periodista) le gusta Ducal

De (6) Alberto fuma Winston

De acuerdo a lo analizado el cuadro con relacioacuten a cigarrillos queda asiacute

Cigarrillos

Ducal Premier Winston

Miguel SI

Luis

Alberto SI


Cigarrillos


Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI


A Miguel le gusta Ducal A Luis le gusta Premier A Alberto le gusta Winston

Luego concluimos diciendo que

Alberto es hincha de la ldquoUrdquo y le gusta cerveza la novela y fuma Winston Miguel es hincha de Alianza Lima le gusta el Gin el periodismo y fuma Ducal




Luis es hincha de Cristal le gusta el pisco la poesiacutea y fuma Premier

EJERCICIOS PROPUESTOS

1 En un edificio de 4 pisos viven las familias Villanueva Pizarro Castantildeeda y Portal cada familia vive en un piso La Familia Villanueva vive un piso maacutes arriba que la familia Pizarro La familia Castantildeeda mas arriba que la familia Portal la familia Villanueva vive mas abajo que la familia Portal En que piso vive la familia Castantildeeda

a)1 b)2 c)3 d)4 e) 5

2 Cuatro amigos Tony Rudy Roberto Y Martiacuten practican un curso diferente cada uno

Tony quiere practicar aacutelgebra en lugar de trigonometriacutea Rudy le pide prestado su libro de aritmeacutetica a Martiacuten Roberto no sabe geometriacutea

iquestQueacute curso practica RudyiquestQuieacuten practica aacutelgebraa) Aritmeacutetica ndash Tony b) Geometriacutea ndash Martiacutenc) Trigonometriacutea ndash Robertod) Aritmeacutetica ndash Martiacutene) Geometriacutea ndash Roberto

3 Seis amigos juegan casinos alrededor de una mesa redonda

Luis no esta sentado al lado de Enrique ni de Joseacute Fernando no estaacute al lado de Gustavo ni de Pedro el cuaacutel estaacute a la derecha de enrique

iquestQuieacuten estaacute sentado a la izquierda de Enrique

a) Pedro b) Joseacute c) Gustavo d) Luis e) Fernando

4 Cuatro amigos Jorge Luis Pablo y Mario practican cada uno un deporte diferente Sabiendo que

Jorge quisiera jugar baacutesquet en lugar de fuacutetbol Luis le pide prestadas sus paletas de frontoacuten a Mario Pablo no sabe nadar

iquestQueacute deporte practica LuisiquestQuieacuten practica baacutesquet

a) Natacioacuten ndash Mariob) Baacutesquet ndash Luisc) Natacioacuten ndash Pablod) Baacutesquet ndash Pabloe) Frontoacuten ndash Luis

5 Si El palto no es maacutes alto que el nogal El manzano no es maacutes bajo que el nogal El nogal no es maacutes alto que el manzano

a) El nogal es el maacutes altob) El manzano es el maacutes altoc) El pero no es maacutes alto que el manzanod) El palto es el maacutes bajoe) El manzano no es maacutes alto que el palto




6 La ciudad X tiene maacutes habitantes que la ciudad W La ciudad W tiene menos habitantes que la ciudad Y pero maacutes que la ciudad Z Si X tiene menos habitantes que Y iquestQueacute ciudad tiene maacutes habitantes

a) X B) Y c) W d) Z e) fd

7 Cuatro amigas viven en la misma calle Si sabemos que Denise vive a la izquierda de Ursula La casa de Ursula queda junto a la derecha de Wendy Wendy vive a la izquierda de MariacuteaiquestQuieacuten vive a la izquierda de las demaacutes

a) Wendy b) Ursula c) Mariacutea d) Denise e) No se puede definir8 Seis amigos (A B C D E F) Estaacuten sentados en una fila de asientos libres juntos si se

sabe que B estaacute junto y a la izquierda de C D esta a la derecha de B y a la izquierda de E E esta junto y a la izquierda de F A estaacute a la izquierda de CiquestQuieacuten ocupa el cuarto lugar si los sentamos de izquierda a derecha

a)A b)C c)B d)F e)D

9 Cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa redonda con 4 sillas distribuidas simeacutetricamenteSi sabemos que Hugo se sienta junto y a la derecha de Pablo Carlos no se sienta junto a Pablo Enrique les contoacute lo entretenido que estaacutePodemos afirmara) Enrique y Hugo se sientan juntosb) Pablo y Enrique no se sientan juntosc) No es cierto que Enrique y Hugo no se sientan juntos d) Carlos se sienta junto y ala derecha Enriquee) Hugo se sienta junto y a la izquierda de Carlos

10Tres hombres A B y C y tres mujeres D E y F se sientan alrededor de una mesa circular con seis sillas distribuidas simeacutetricamente de modo que dos personas del mismo sexo no se sientan juntas

Cuaacuteles de las siguientes son verdaderasI A no se sienta frente a E

II C no se sienta frente a BIII F no se sienta frente a D

a) Soacutelo Ib) Soacutelo IIc) Soacutelo I y IIId) Todase) Ninguna de las anteriores




BIBLIOGRAFIacuteA

Broitman Claudia 1998 La ensentildeanza de la divisioacuten en el primer ciclo (Revista En el Aula Nordm 6

Ministerio de Cultura y Educacioacuten Colombia BROUSSEAU N

2002 ldquoTeoriacutea de la didaacutectica de la matemaacuteticardquo Editorial Paidoacutes Meacutexico Camous Henry

1995 Problemas y juegos con la matemaacutetica Editorial gedisa Barcelona Espantildea Coll Ceacutesar

1994 El constructivismo en el aula Editorial Graoacute Di Blasi Illuzi Acevedo

2000 Un espacio a su medida para la reflexioacuten Matemaacutetica UNSAM Meacutexico Dienes Z P y Golding E W

1984 Los primeros pasos en Matemaacutetica Editorial Teide Gaacutelvez Grecia y otros

1997 Didaacutectica de Matemaacuteticas Aportes y reflexiones Editorial Paidoacutes Buenos Aires Argentina

El Bouazzaoui H1995 Estudio de la ensentildeanza de la numeracioacuten en la escolaridad Universidad

de Bordeaux 1995




INTRODUCCION

La importancia de las herramientas cuantitativas en el desarrollo del pensamiento loacutegico matemaacutetico requiere que el docente de educacioacuten primaria desarrolle capacidades habilidades meacutetodos y algoritmos de caacutelculo cuya base es la matemaacutetica por lo que se hace necesario darle eacutenfasis a traveacutes de esta aacuterea la comprensioacuten anaacutelisis de un conjunto de contenidos y estrategias matemaacuteticas que ayudan y proporcionan elementos necesarios para la toma de decisiones y desarrollar el pensamiento creativo y criacutetico

La matemaacutetica siempre ha sido considerada una aacuterea de importancia vital en el curriacuteculo escolar tanto por su contribucioacuten al desarrollo cognitivo del nintildeo como por la funcionalidad que poseen la mayoriacutea de los aprendizajes en la vida adulta o por proporcionar un instrumento para el posterior desarrollo de otras aacutereas Uno de los objetivos de esta aacuterea es analizar por un lado las dificultades que presenta el aacuterea por las que cierto nuacutemero de nintildeos llegan a manifestar un considerable retraso con la consiguiente inadaptacioacuten y fracaso que ello supone Por otra parte se revisan los principales tipos de deficiencias del aprendizaje de la matemaacutetica y su implicacioacuten en el aacuterea con especial atencioacuten al disentildeo de estrategias de actuacioacuten en el aula que permitan una progresiva incorporacioacuten o aproximacioacuten de los alumnos con dificultades en el aprendizaje de esta aacuterea de los demaacutes alumnos Teniendo en cuenta esto se realizaraacute y compartiraacute estrategias para desarrollar en el aula y de esta manera hacer una matemaacutetica luacutedica y significativa

El presente moacutedulo abarca los siguientes ejes temaacuteticos Desarrollo del pensamiento Loacutegico Matemaacutetico Proceso de construccioacuten de la nocioacuten del nuacutemero Cardinal y ordinal lectura y escritura de nuacutemeros naturales Valor posicional Establecimiento de relaciones Ordenamiento y sucesiones

TEMAS TRANSVERSALES

Comprensioacuten lectora Comprensioacuten literal Comprensioacuten inferencial Comprensioacuten critica

Educacioacuten inclusiva e interculturalidad

Educacioacuten inclusiva interculturalidad identidad y pertenencia a su comunidad

Desarrollo personal formacioacuten eacutetica valores y

orientacioacuten educativa

La eacutetica en el contexto del desarrollo humano emociones morales compartimiento eacutetico razonamiento moral identidad moral Equidad de geacutenero

APRENDIZAJES ESPERADOS

Maneja el sustento teoacuterico y las estrategias metodoloacutegicas del aacuterea de Matemaacutetica en el nivel de educacioacuten primaria

Conoce el proceso de maduracioacuten del pensamiento loacutegico matemaacutetico y los conceptos y destrezas baacutesicas que se proponen en el curriacuteculo de Educacioacuten Primaria con las dificultades intriacutensecas que conllevan

Fomentar la capacidad criacutetica innovadora e investigadora base de la formacioacuten permanente del profesorado

































JUEGOS LIBRES



JUEGOS





JUEGOS










Metacognicioacuten








































































































































































5 galletas













































































IZQUIERDA DERECHA

SINIESTRA DIESTRA

OESTE ESTE

OCCIDENTE ORIENTE



















KevinJuan Joseacute






No izquierda










Ejemplo 1










ARRIBA ALTO

ABAJO BAJO

CARO

BARATO

Juan Joseacute

Kevin

Kevin

Juan Joseacute

Saacutenchez

Valenzuela


Paredes

Loacutepez














Resolucioacuten




Paredes

Saacutenchez

Valenzuela

Loacutepez















Ejemplo 3








Alejandra

Henry

F

ED

CB

A







DATO I

DATO II





Ejemplo 4




Juan Joseacute

Kevin

Juan Joseacute

Carlos

Juan Joseacute

KevinCarlos

Freddy






Resolucioacuten



Luego se tiene








Ejemplo 5


Se sabe que



Resolucioacuten


Fuacutetbol Licor


Miguel

Luis

Alberto


Nove

Poes

Per

Ducal

Premier

Winston

Miguel

Luis

Alberto





Fuacutetbol Licor





Miguel NO

Luis SI

Alberto


Fuacutetbol

U AL Cristal

Miguel NO SI NO

Luis NO NO SI

Alberto SI NO NO







Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel

Luis SI

Alberto SI


Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI










Literatura


Miguel SI

Luis SI

Alberto


Literatura


Miguel NO NO SI

Luis NO SI NO

Alberto SI NO NO







Cigarrillos


Miguel SI

Luis

Alberto SI


Cigarrillos


Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI











a)1 b)2 c)3 d)4 e) 5






















a)A b)C c)B d)F e)D









BIBLIOGRAFIacuteA










de Bordeaux 1995

































JUEGOS LIBRES



JUEGOS





JUEGOS










Metacognicioacuten








































































































































































5 galletas













































































IZQUIERDA DERECHA

SINIESTRA DIESTRA

OESTE ESTE

OCCIDENTE ORIENTE



















KevinJuan Joseacute






No izquierda










Ejemplo 1










ARRIBA ALTO

ABAJO BAJO

CARO

BARATO

Juan Joseacute

Kevin

Kevin

Juan Joseacute

Saacutenchez

Valenzuela


Paredes

Loacutepez














Resolucioacuten




Paredes

Saacutenchez

Valenzuela

Loacutepez















Ejemplo 3








Alejandra

Henry

F

ED

CB

A







DATO I

DATO II





Ejemplo 4




Juan Joseacute

Kevin

Juan Joseacute

Carlos

Juan Joseacute

KevinCarlos

Freddy






Resolucioacuten



Luego se tiene








Ejemplo 5


Se sabe que



Resolucioacuten


Fuacutetbol Licor


Miguel

Luis

Alberto


Nove

Poes

Per

Ducal

Premier

Winston

Miguel

Luis

Alberto





Fuacutetbol Licor





Miguel NO

Luis SI

Alberto


Fuacutetbol

U AL Cristal

Miguel NO SI NO

Luis NO NO SI

Alberto SI NO NO







Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel

Luis SI

Alberto SI


Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI










Literatura


Miguel SI

Luis SI

Alberto


Literatura


Miguel NO NO SI

Luis NO SI NO

Alberto SI NO NO







Cigarrillos


Miguel SI

Luis

Alberto SI


Cigarrillos


Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI











a)1 b)2 c)3 d)4 e) 5






















a)A b)C c)B d)F e)D









BIBLIOGRAFIacuteA










de Bordeaux 1995





















JUEGOS LIBRES



JUEGOS





JUEGOS










Metacognicioacuten








































































































































































5 galletas













































































IZQUIERDA DERECHA

SINIESTRA DIESTRA

OESTE ESTE

OCCIDENTE ORIENTE



















KevinJuan Joseacute






No izquierda










Ejemplo 1










ARRIBA ALTO

ABAJO BAJO

CARO

BARATO

Juan Joseacute

Kevin

Kevin

Juan Joseacute

Saacutenchez

Valenzuela


Paredes

Loacutepez














Resolucioacuten




Paredes

Saacutenchez

Valenzuela

Loacutepez















Ejemplo 3








Alejandra

Henry

F

ED

CB

A







DATO I

DATO II





Ejemplo 4




Juan Joseacute

Kevin

Juan Joseacute

Carlos

Juan Joseacute

KevinCarlos

Freddy






Resolucioacuten



Luego se tiene








Ejemplo 5


Se sabe que



Resolucioacuten


Fuacutetbol Licor


Miguel

Luis

Alberto


Nove

Poes

Per

Ducal

Premier

Winston

Miguel

Luis

Alberto





Fuacutetbol Licor





Miguel NO

Luis SI

Alberto


Fuacutetbol

U AL Cristal

Miguel NO SI NO

Luis NO NO SI

Alberto SI NO NO







Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel

Luis SI

Alberto SI


Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI










Literatura


Miguel SI

Luis SI

Alberto


Literatura


Miguel NO NO SI

Luis NO SI NO

Alberto SI NO NO







Cigarrillos


Miguel SI

Luis

Alberto SI


Cigarrillos


Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI











a)1 b)2 c)3 d)4 e) 5






















a)A b)C c)B d)F e)D









BIBLIOGRAFIacuteA










de Bordeaux 1995



JUEGOS LIBRES



JUEGOS





JUEGOS










Metacognicioacuten








































































































































































5 galletas













































































IZQUIERDA DERECHA

SINIESTRA DIESTRA

OESTE ESTE

OCCIDENTE ORIENTE



















KevinJuan Joseacute






No izquierda










Ejemplo 1










ARRIBA ALTO

ABAJO BAJO

CARO

BARATO

Juan Joseacute

Kevin

Kevin

Juan Joseacute

Saacutenchez

Valenzuela


Paredes

Loacutepez














Resolucioacuten




Paredes

Saacutenchez

Valenzuela

Loacutepez















Ejemplo 3








Alejandra

Henry

F

ED

CB

A







DATO I

DATO II





Ejemplo 4




Juan Joseacute

Kevin

Juan Joseacute

Carlos

Juan Joseacute

KevinCarlos

Freddy






Resolucioacuten



Luego se tiene








Ejemplo 5


Se sabe que



Resolucioacuten


Fuacutetbol Licor


Miguel

Luis

Alberto


Nove

Poes

Per

Ducal

Premier

Winston

Miguel

Luis

Alberto





Fuacutetbol Licor





Miguel NO

Luis SI

Alberto


Fuacutetbol

U AL Cristal

Miguel NO SI NO

Luis NO NO SI

Alberto SI NO NO







Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel

Luis SI

Alberto SI


Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI










Literatura


Miguel SI

Luis SI

Alberto


Literatura


Miguel NO NO SI

Luis NO SI NO

Alberto SI NO NO







Cigarrillos


Miguel SI

Luis

Alberto SI


Cigarrillos


Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI











a)1 b)2 c)3 d)4 e) 5






















a)A b)C c)B d)F e)D









BIBLIOGRAFIacuteA










de Bordeaux 1995



Metacognicioacuten








































































































































































5 galletas













































































IZQUIERDA DERECHA

SINIESTRA DIESTRA

OESTE ESTE

OCCIDENTE ORIENTE



















KevinJuan Joseacute






No izquierda










Ejemplo 1










ARRIBA ALTO

ABAJO BAJO

CARO

BARATO

Juan Joseacute

Kevin

Kevin

Juan Joseacute

Saacutenchez

Valenzuela


Paredes

Loacutepez














Resolucioacuten




Paredes

Saacutenchez

Valenzuela

Loacutepez















Ejemplo 3








Alejandra

Henry

F

ED

CB

A







DATO I

DATO II





Ejemplo 4




Juan Joseacute

Kevin

Juan Joseacute

Carlos

Juan Joseacute

KevinCarlos

Freddy






Resolucioacuten



Luego se tiene








Ejemplo 5


Se sabe que



Resolucioacuten


Fuacutetbol Licor


Miguel

Luis

Alberto


Nove

Poes

Per

Ducal

Premier

Winston

Miguel

Luis

Alberto





Fuacutetbol Licor





Miguel NO

Luis SI

Alberto


Fuacutetbol

U AL Cristal

Miguel NO SI NO

Luis NO NO SI

Alberto SI NO NO







Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel

Luis SI

Alberto SI


Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI










Literatura


Miguel SI

Luis SI

Alberto


Literatura


Miguel NO NO SI

Luis NO SI NO

Alberto SI NO NO







Cigarrillos


Miguel SI

Luis

Alberto SI


Cigarrillos


Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI











a)1 b)2 c)3 d)4 e) 5






















a)A b)C c)B d)F e)D









BIBLIOGRAFIacuteA










de Bordeaux 1995



























































































































































5 galletas













































































IZQUIERDA DERECHA

SINIESTRA DIESTRA

OESTE ESTE

OCCIDENTE ORIENTE



















KevinJuan Joseacute






No izquierda










Ejemplo 1










ARRIBA ALTO

ABAJO BAJO

CARO

BARATO

Juan Joseacute

Kevin

Kevin

Juan Joseacute

Saacutenchez

Valenzuela


Paredes

Loacutepez














Resolucioacuten




Paredes

Saacutenchez

Valenzuela

Loacutepez















Ejemplo 3








Alejandra

Henry

F

ED

CB

A







DATO I

DATO II





Ejemplo 4




Juan Joseacute

Kevin

Juan Joseacute

Carlos

Juan Joseacute

KevinCarlos

Freddy






Resolucioacuten



Luego se tiene








Ejemplo 5


Se sabe que



Resolucioacuten


Fuacutetbol Licor


Miguel

Luis

Alberto


Nove

Poes

Per

Ducal

Premier

Winston

Miguel

Luis

Alberto





Fuacutetbol Licor





Miguel NO

Luis SI

Alberto


Fuacutetbol

U AL Cristal

Miguel NO SI NO

Luis NO NO SI

Alberto SI NO NO







Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel

Luis SI

Alberto SI


Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI










Literatura


Miguel SI

Luis SI

Alberto


Literatura


Miguel NO NO SI

Luis NO SI NO

Alberto SI NO NO







Cigarrillos


Miguel SI

Luis

Alberto SI


Cigarrillos


Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI











a)1 b)2 c)3 d)4 e) 5






















a)A b)C c)B d)F e)D









BIBLIOGRAFIacuteA










de Bordeaux 1995










































































































































5 galletas













































































IZQUIERDA DERECHA

SINIESTRA DIESTRA

OESTE ESTE

OCCIDENTE ORIENTE



















KevinJuan Joseacute






No izquierda










Ejemplo 1










ARRIBA ALTO

ABAJO BAJO

CARO

BARATO

Juan Joseacute

Kevin

Kevin

Juan Joseacute

Saacutenchez

Valenzuela


Paredes

Loacutepez














Resolucioacuten




Paredes

Saacutenchez

Valenzuela

Loacutepez















Ejemplo 3








Alejandra

Henry

F

ED

CB

A







DATO I

DATO II





Ejemplo 4




Juan Joseacute

Kevin

Juan Joseacute

Carlos

Juan Joseacute

KevinCarlos

Freddy






Resolucioacuten



Luego se tiene








Ejemplo 5


Se sabe que



Resolucioacuten


Fuacutetbol Licor


Miguel

Luis

Alberto


Nove

Poes

Per

Ducal

Premier

Winston

Miguel

Luis

Alberto





Fuacutetbol Licor





Miguel NO

Luis SI

Alberto


Fuacutetbol

U AL Cristal

Miguel NO SI NO

Luis NO NO SI

Alberto SI NO NO







Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel

Luis SI

Alberto SI


Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI










Literatura


Miguel SI

Luis SI

Alberto


Literatura


Miguel NO NO SI

Luis NO SI NO

Alberto SI NO NO







Cigarrillos


Miguel SI

Luis

Alberto SI


Cigarrillos


Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI











a)1 b)2 c)3 d)4 e) 5






















a)A b)C c)B d)F e)D









BIBLIOGRAFIacuteA










de Bordeaux 1995

























































































































5 galletas













































































IZQUIERDA DERECHA

SINIESTRA DIESTRA

OESTE ESTE

OCCIDENTE ORIENTE



















KevinJuan Joseacute






No izquierda










Ejemplo 1










ARRIBA ALTO

ABAJO BAJO

CARO

BARATO

Juan Joseacute

Kevin

Kevin

Juan Joseacute

Saacutenchez

Valenzuela


Paredes

Loacutepez














Resolucioacuten




Paredes

Saacutenchez

Valenzuela

Loacutepez















Ejemplo 3








Alejandra

Henry

F

ED

CB

A







DATO I

DATO II





Ejemplo 4




Juan Joseacute

Kevin

Juan Joseacute

Carlos

Juan Joseacute

KevinCarlos

Freddy






Resolucioacuten



Luego se tiene








Ejemplo 5


Se sabe que



Resolucioacuten


Fuacutetbol Licor


Miguel

Luis

Alberto


Nove

Poes

Per

Ducal

Premier

Winston

Miguel

Luis

Alberto





Fuacutetbol Licor





Miguel NO

Luis SI

Alberto


Fuacutetbol

U AL Cristal

Miguel NO SI NO

Luis NO NO SI

Alberto SI NO NO







Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel

Luis SI

Alberto SI


Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI










Literatura


Miguel SI

Luis SI

Alberto


Literatura


Miguel NO NO SI

Luis NO SI NO

Alberto SI NO NO







Cigarrillos


Miguel SI

Luis

Alberto SI


Cigarrillos


Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI











a)1 b)2 c)3 d)4 e) 5






















a)A b)C c)B d)F e)D









BIBLIOGRAFIacuteA










de Bordeaux 1995









































































































5 galletas













































































IZQUIERDA DERECHA

SINIESTRA DIESTRA

OESTE ESTE

OCCIDENTE ORIENTE



















KevinJuan Joseacute






No izquierda










Ejemplo 1










ARRIBA ALTO

ABAJO BAJO

CARO

BARATO

Juan Joseacute

Kevin

Kevin

Juan Joseacute

Saacutenchez

Valenzuela


Paredes

Loacutepez














Resolucioacuten




Paredes

Saacutenchez

Valenzuela

Loacutepez















Ejemplo 3








Alejandra

Henry

F

ED

CB

A







DATO I

DATO II





Ejemplo 4




Juan Joseacute

Kevin

Juan Joseacute

Carlos

Juan Joseacute

KevinCarlos

Freddy






Resolucioacuten



Luego se tiene








Ejemplo 5


Se sabe que



Resolucioacuten


Fuacutetbol Licor


Miguel

Luis

Alberto


Nove

Poes

Per

Ducal

Premier

Winston

Miguel

Luis

Alberto





Fuacutetbol Licor





Miguel NO

Luis SI

Alberto


Fuacutetbol

U AL Cristal

Miguel NO SI NO

Luis NO NO SI

Alberto SI NO NO







Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel

Luis SI

Alberto SI


Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI










Literatura


Miguel SI

Luis SI

Alberto


Literatura


Miguel NO NO SI

Luis NO SI NO

Alberto SI NO NO







Cigarrillos


Miguel SI

Luis

Alberto SI


Cigarrillos


Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI











a)1 b)2 c)3 d)4 e) 5






















a)A b)C c)B d)F e)D









BIBLIOGRAFIacuteA










de Bordeaux 1995






























































































5 galletas













































































IZQUIERDA DERECHA

SINIESTRA DIESTRA

OESTE ESTE

OCCIDENTE ORIENTE



















KevinJuan Joseacute






No izquierda










Ejemplo 1










ARRIBA ALTO

ABAJO BAJO

CARO

BARATO

Juan Joseacute

Kevin

Kevin

Juan Joseacute

Saacutenchez

Valenzuela


Paredes

Loacutepez














Resolucioacuten




Paredes

Saacutenchez

Valenzuela

Loacutepez















Ejemplo 3








Alejandra

Henry

F

ED

CB

A







DATO I

DATO II





Ejemplo 4




Juan Joseacute

Kevin

Juan Joseacute

Carlos

Juan Joseacute

KevinCarlos

Freddy






Resolucioacuten



Luego se tiene








Ejemplo 5


Se sabe que



Resolucioacuten


Fuacutetbol Licor


Miguel

Luis

Alberto


Nove

Poes

Per

Ducal

Premier

Winston

Miguel

Luis

Alberto





Fuacutetbol Licor





Miguel NO

Luis SI

Alberto


Fuacutetbol

U AL Cristal

Miguel NO SI NO

Luis NO NO SI

Alberto SI NO NO







Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel

Luis SI

Alberto SI


Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI










Literatura


Miguel SI

Luis SI

Alberto


Literatura


Miguel NO NO SI

Luis NO SI NO

Alberto SI NO NO







Cigarrillos


Miguel SI

Luis

Alberto SI


Cigarrillos


Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI











a)1 b)2 c)3 d)4 e) 5






















a)A b)C c)B d)F e)D









BIBLIOGRAFIacuteA










de Bordeaux 1995

















































































5 galletas













































































IZQUIERDA DERECHA

SINIESTRA DIESTRA

OESTE ESTE

OCCIDENTE ORIENTE



















KevinJuan Joseacute






No izquierda










Ejemplo 1










ARRIBA ALTO

ABAJO BAJO

CARO

BARATO

Juan Joseacute

Kevin

Kevin

Juan Joseacute

Saacutenchez

Valenzuela


Paredes

Loacutepez














Resolucioacuten




Paredes

Saacutenchez

Valenzuela

Loacutepez















Ejemplo 3








Alejandra

Henry

F

ED

CB

A







DATO I

DATO II





Ejemplo 4




Juan Joseacute

Kevin

Juan Joseacute

Carlos

Juan Joseacute

KevinCarlos

Freddy






Resolucioacuten



Luego se tiene








Ejemplo 5


Se sabe que



Resolucioacuten


Fuacutetbol Licor


Miguel

Luis

Alberto


Nove

Poes

Per

Ducal

Premier

Winston

Miguel

Luis

Alberto





Fuacutetbol Licor





Miguel NO

Luis SI

Alberto


Fuacutetbol

U AL Cristal

Miguel NO SI NO

Luis NO NO SI

Alberto SI NO NO







Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel

Luis SI

Alberto SI


Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI










Literatura


Miguel SI

Luis SI

Alberto


Literatura


Miguel NO NO SI

Luis NO SI NO

Alberto SI NO NO







Cigarrillos


Miguel SI

Luis

Alberto SI


Cigarrillos


Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI











a)1 b)2 c)3 d)4 e) 5






















a)A b)C c)B d)F e)D









BIBLIOGRAFIacuteA










de Bordeaux 1995



































































5 galletas













































































IZQUIERDA DERECHA

SINIESTRA DIESTRA

OESTE ESTE

OCCIDENTE ORIENTE



















KevinJuan Joseacute






No izquierda










Ejemplo 1










ARRIBA ALTO

ABAJO BAJO

CARO

BARATO

Juan Joseacute

Kevin

Kevin

Juan Joseacute

Saacutenchez

Valenzuela


Paredes

Loacutepez














Resolucioacuten




Paredes

Saacutenchez

Valenzuela

Loacutepez















Ejemplo 3








Alejandra

Henry

F

ED

CB

A







DATO I

DATO II





Ejemplo 4




Juan Joseacute

Kevin

Juan Joseacute

Carlos

Juan Joseacute

KevinCarlos

Freddy






Resolucioacuten



Luego se tiene








Ejemplo 5


Se sabe que



Resolucioacuten


Fuacutetbol Licor


Miguel

Luis

Alberto


Nove

Poes

Per

Ducal

Premier

Winston

Miguel

Luis

Alberto





Fuacutetbol Licor





Miguel NO

Luis SI

Alberto


Fuacutetbol

U AL Cristal

Miguel NO SI NO

Luis NO NO SI

Alberto SI NO NO







Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel

Luis SI

Alberto SI


Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI










Literatura


Miguel SI

Luis SI

Alberto


Literatura


Miguel NO NO SI

Luis NO SI NO

Alberto SI NO NO







Cigarrillos


Miguel SI

Luis

Alberto SI


Cigarrillos


Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI











a)1 b)2 c)3 d)4 e) 5






















a)A b)C c)B d)F e)D









BIBLIOGRAFIacuteA










de Bordeaux 1995






















































5 galletas













































































IZQUIERDA DERECHA

SINIESTRA DIESTRA

OESTE ESTE

OCCIDENTE ORIENTE



















KevinJuan Joseacute






No izquierda










Ejemplo 1










ARRIBA ALTO

ABAJO BAJO

CARO

BARATO

Juan Joseacute

Kevin

Kevin

Juan Joseacute

Saacutenchez

Valenzuela


Paredes

Loacutepez














Resolucioacuten




Paredes

Saacutenchez

Valenzuela

Loacutepez















Ejemplo 3








Alejandra

Henry

F

ED

CB

A







DATO I

DATO II





Ejemplo 4




Juan Joseacute

Kevin

Juan Joseacute

Carlos

Juan Joseacute

KevinCarlos

Freddy






Resolucioacuten



Luego se tiene








Ejemplo 5


Se sabe que



Resolucioacuten


Fuacutetbol Licor


Miguel

Luis

Alberto


Nove

Poes

Per

Ducal

Premier

Winston

Miguel

Luis

Alberto





Fuacutetbol Licor





Miguel NO

Luis SI

Alberto


Fuacutetbol

U AL Cristal

Miguel NO SI NO

Luis NO NO SI

Alberto SI NO NO







Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel

Luis SI

Alberto SI


Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI










Literatura


Miguel SI

Luis SI

Alberto


Literatura


Miguel NO NO SI

Luis NO SI NO

Alberto SI NO NO







Cigarrillos


Miguel SI

Luis

Alberto SI


Cigarrillos


Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI











a)1 b)2 c)3 d)4 e) 5






















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KevinJuan Joseacute






No izquierda










Ejemplo 1










ARRIBA ALTO

ABAJO BAJO

CARO

BARATO

Juan Joseacute

Kevin

Kevin

Juan Joseacute

Saacutenchez

Valenzuela


Paredes

Loacutepez














Resolucioacuten




Paredes

Saacutenchez

Valenzuela

Loacutepez















Ejemplo 3








Alejandra

Henry

F

ED

CB

A







DATO I

DATO II





Ejemplo 4




Juan Joseacute

Kevin

Juan Joseacute

Carlos

Juan Joseacute

KevinCarlos

Freddy






Resolucioacuten



Luego se tiene








Ejemplo 5


Se sabe que



Resolucioacuten


Fuacutetbol Licor


Miguel

Luis

Alberto


Nove

Poes

Per

Ducal

Premier

Winston

Miguel

Luis

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U AL Cristal

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Luis SI

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Miguel SI

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ABAJO BAJO

CARO

BARATO

Juan Joseacute

Kevin

Kevin

Juan Joseacute

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Paredes

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Alejandra

Henry

F

ED

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Juan Joseacute

Kevin

Juan Joseacute

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Juan Joseacute

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Miguel

Luis

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Nove

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Ejemplo 1










ARRIBA ALTO

ABAJO BAJO

CARO

BARATO

Juan Joseacute

Kevin

Kevin

Juan Joseacute

Saacutenchez

Valenzuela


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Loacutepez














Resolucioacuten




Paredes

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Ejemplo 3








Alejandra

Henry

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Juan Joseacute

Kevin

Juan Joseacute

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Miguel

Luis

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BARATO

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Luis

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Henry

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Henry

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Se sabe que



Resolucioacuten


Fuacutetbol Licor


Miguel

Luis

Alberto


Nove

Poes

Per

Ducal

Premier

Winston

Miguel

Luis

Alberto





Fuacutetbol Licor





Miguel NO

Luis SI

Alberto


Fuacutetbol

U AL Cristal

Miguel NO SI NO

Luis NO NO SI

Alberto SI NO NO







Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel

Luis SI

Alberto SI


Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI










Literatura


Miguel SI

Luis SI

Alberto


Literatura


Miguel NO NO SI

Luis NO SI NO

Alberto SI NO NO







Cigarrillos


Miguel SI

Luis

Alberto SI


Cigarrillos


Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI











a)1 b)2 c)3 d)4 e) 5






















a)A b)C c)B d)F e)D









BIBLIOGRAFIacuteA










de Bordeaux 1995





Ejemplo 5


Se sabe que



Resolucioacuten


Fuacutetbol Licor


Miguel

Luis

Alberto


Nove

Poes

Per

Ducal

Premier

Winston

Miguel

Luis

Alberto





Fuacutetbol Licor





Miguel NO

Luis SI

Alberto


Fuacutetbol

U AL Cristal

Miguel NO SI NO

Luis NO NO SI

Alberto SI NO NO







Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel

Luis SI

Alberto SI


Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI










Literatura


Miguel SI

Luis SI

Alberto


Literatura


Miguel NO NO SI

Luis NO SI NO

Alberto SI NO NO







Cigarrillos


Miguel SI

Luis

Alberto SI


Cigarrillos


Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI











a)1 b)2 c)3 d)4 e) 5






















a)A b)C c)B d)F e)D









BIBLIOGRAFIacuteA










de Bordeaux 1995





Miguel NO

Luis SI

Alberto


Fuacutetbol

U AL Cristal

Miguel NO SI NO

Luis NO NO SI

Alberto SI NO NO







Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel

Luis SI

Alberto SI


Licor

Gin Pisco Cerveza

Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI










Literatura


Miguel SI

Luis SI

Alberto


Literatura


Miguel NO NO SI

Luis NO SI NO

Alberto SI NO NO







Cigarrillos


Miguel SI

Luis

Alberto SI


Cigarrillos


Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI











a)1 b)2 c)3 d)4 e) 5






















a)A b)C c)B d)F e)D









BIBLIOGRAFIacuteA










de Bordeaux 1995





Literatura


Miguel SI

Luis SI

Alberto


Literatura


Miguel NO NO SI

Luis NO SI NO

Alberto SI NO NO







Cigarrillos


Miguel SI

Luis

Alberto SI


Cigarrillos


Miguel SI NO NO

Luis NO SI NO

Alberto NO NO SI











a)1 b)2 c)3 d)4 e) 5






















a)A b)C c)B d)F e)D









BIBLIOGRAFIacuteA










de Bordeaux 1995







a)1 b)2 c)3 d)4 e) 5






















a)A b)C c)B d)F e)D









BIBLIOGRAFIacuteA










de Bordeaux 1995









a)A b)C c)B d)F e)D









BIBLIOGRAFIacuteA










de Bordeaux 1995




BIBLIOGRAFIacuteA










de Bordeaux 1995


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